Тригонометрия для многих старшеклассников представляется сложной темой. Но на самом деле это не так. Тригонометрия проста и логична. Главное – начать с самых основ. Вспомнить, что такое градусы и радианы. Что такое синус и что такое косинус для произвольного угла.
Тригонометрию можно понять! И мы поможем вам это сделать. Ведь понимание намного лучше зубрежки. Читайте статьи этого раздела:
New Задачи из сборников Ященко, 2021 год
Измерение углов: градусы и радианы
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрические формулы
Формулы приведения
Все формулы тригонометрии
Тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции
Простейшие тригонометрические уравнения, 1
Простейшие тригонометрические уравнения, 2
Тригонометрические уравнения. Методы решения
Повторим самое главное в тригонометрии.
— Выучи, что такое синус и что такое косинус произвольного угла.
Из курса геометрии ты помнишь, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Однако это частные случаи для углов, больших нуля и меньших 90 градусов. А мы говорим о произвольном угле. Определения синуса и косинуса произвольного угла – в этом разделе.
— Тригонометрический круг, или тригонометрическая окружность, – твоя универсальная шпаргалка. Значения синусов и косинусов основных углов, знаки синуса и косинуса в четвертях, четность и нечетность синуса и косинуса и многое другое – на тригонометрическом круге.
— Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо понять, как они получаются.
— Сколько формул тригонометрии нужно знать, чтобы уверенно решать задачи? Три – это мало. 100 – это много. В нашей таблице 29 формул. Их хватит для решения любой задачи ЕГЭ. И на первом курсе вуза тоже пригодится!
— Как решать тригонометрические уравнения? Не спеши учить формулы. Сначала разберись, почему их решения именно такие. Выучи определения и свойства обратных тригонометрических функций – арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
И тренируйся на реальных задачах ЕГЭ!
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Тригонометрия» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
$1$ радиан $={180}/{π}≈57$ градусов
$1$ градус$={π}/{180}$ радиана
Значения тригонометрических функций некоторых углов
| $α$ | $0$ | ${π}/{6}$ | ${π}/{4}$ | ${π}/{3}$ | ${π}/{2}$ | $π$ |
| $sinα$ | $0$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ | $1$ | $0$ |
| $cosα$ | $1$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ | $0$ | $-1$ |
| $tgα$ | $0$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ | $-$ | $0$ |
| $ctgα$ | $-$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ | $0$ | $-$ |
- Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
- Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($π/2$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Пример:
Преобразовать $сos (90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
$сos (90° + α)=sinα$
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos (90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования
Пример:
Вычислить $cos 840°$
У косинуса период повторения $2π$ или $360°$, мы можем из угла вычитать количество градусов кратное периоду.
$cos 840°=cos(720°+120°)=cos 120°$
По формуле приведения представим $120°$ как $90°+30°$
$cos(90°+30°) = -sin30= — 0.5$
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс, нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$
Тригонометрические тождества
1. $tgα={sinα}/{cosα}$
2. $ctgα={cosα}/{sinα}$
3. $sin^{2} α+cos^{2} α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
$sinα=±√{1-cos^{2}α}$
$cosα=±√{1-sin^{2} α}$
4. $tgα·ctgα=1$
5. $1+tg^{2} α={1}/{cos^{2} α}$
6. $1+ctg^{2}α={1}/{sin^{2} α}$
Пример:
Вычислить $sin t$, если $cos t = {5}/{13} ; t ∈({3π}/{2};2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈({3π}/{2};2π)$ — это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус.
$sint=-√{1-cos^{2} t}=-√{1-{25}/{169}}=-√{{144}/{169}}=-{12}/{13}$
Ответ: $-{12}/{13}$
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.
Арккосинус
Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t {⇔}↙{∷} {tablecost=a; ≤t≤π;$
$arcos(-a) = π-arccosa$, где $0≤а≤1$
Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение
$t=±arccosa+2πk;k∈Z$
Частные случаи
$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$
$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$
$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$
Пример:
Найдите наименьший положительный корень уравнения сos ${2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
${2πx}/{3}=±arccos(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-arccos ({√3}/{2}))+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±{5π}/{6}+2πk;kϵZ$
Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$
$x=±{5π·3}/{6·2π}+{2π·3}/{2π}k$
$x=±1.25+3k$
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо к целые значения
$k=0$
$x_1= -1.25$
$x_2=1.25$
$k=1$
$х_1=3-1.25=1.75$
$х_2=3+1.25=4.25$
Нам подходит $1.25$ – это и есть результат
Ответ: $1.25$
Арксинус
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t {⇔}↙{∷} {tablesint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$
Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:
1. $t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$
$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$
2. $t=(-1)^{n}arcsina+πn; n∈Z$
Частные случаи
$sin t = 0, t=πk;k∈Z$
$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$
$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$
Арктангенс
$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а.$
$arctg a = t {⇔}↙{∷} {tabletg t=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arctg(-a)= — arctg a$
Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$
СДАМ ГИА:
РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
≡ Математика
Базовый уровень
Профильный уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
Сайты, меню, вход, новости
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об экзамене
Каталог заданий
Варианты
Ученику
Учителю
Школа
Эксперту
Справочник
Карточки
Теория
Сказать спасибо
Вопрос — ответ
Чужой компьютер
Зарегистрироваться
Восстановить пароль
Войти через ВКонтакте
Играть в ЕГЭ-игрушку
Новости
10 марта
Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней
6 марта
Изменения ВПР 2023
3 марта
Разместили утвержденное расписание ЕГЭ
27 января
Вариант экзамена блокадного Ленинграда
23 января
ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.
6 января
Открываем новый сервис: «папки в избранном»
22 декабря
Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!
4 ноября
Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023
31 октября
Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР
21 марта
Новый сервис: рисование
31 января
Внедрили тёмную тему!
НАШИ БОТЫ
 |
|
Все новости
ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!
Экзамер из Таганрога
10 апреля
Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ
Наша группа
Каталог заданий.
Тригонометрические уравнения
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 12 № 507595 
а) Решите уравнение 
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Аналоги к заданию № 507595: 500917 501709 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
2
Тип 12 № 510018
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень.
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь
3
Тип 12 № 504543
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Аналоги к заданию № 504543: 504564 507292 510671 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
2 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь
4
Тип 12 № 500366
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Аналоги к заданию № 500366: 500587 501482 514505 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
4 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь
5
Тип 12 № 509579
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Аналоги к заданию № 509579: 509926 509947 509968 515762 519665 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023
1. Найдите значение выражения 
.
2. Найдите значение выражения 
.
3. Найдите 
, если 
и 
.
4. Найдите значение выражения .
5. Найдите значение выражения 
.
6. Найдите значение выражения 
.
7. Найдите 
, если 
и 
.
8. Найдите значение выражения 
.
9. Найдите значение выражения 
.
10. Найдите 
, если 
.
11. Найдите 
, если 
и 
.
12. Найдите значение выражения 
.
13. Найдите значение выражения
14. Найдите значение выражения 
.
15. Найдите значение выражения 
.
16. Найдите 
, если 
.
17. Найдите , если и
.
18. Найдите значение выражения .
19. Найдите значение выражения .
20. Найдите значение выражения , если
.
21. Найдите , если и .
22. Найдите , если
и
.
23. Найдите , если
и
.
24. Найдите значение выражения .
25. Найдите значение выражения .
26. Найдите значение выражения .
27. Найдите , если
.
28. Найдите значение выражения .
29. Найдите , если
30. Найдите значение выражения .
31. Найдите значение выражения .
32. Найдите значение выражения .
33. Найдите значение выражения .
34. Найдите значение выражения .
35. Найдите , если .
36. Найдите , если и
.
37. Найдите , если и
.
38. Найдите значение выражения .
39. Найдите значение выражения .
40. Найдите значение выражения .
41. Найдите значение выражения .
42. Найдите значение выражения
43. Найдите значение выражения .
44. Найдите , если .
45. Найдите значение выражения .
46. Найдите значение выражения .
47. Найдите значение выражения .
48. Найдите значение выражения
49. Найдите , если .
50 Найдите значение выражения .
51. Найдите значение выражения .
52. Найдите значение выражения .
53. Найдите значение выражения
54. Найдите значение выражения
55. Найдите , если
.
56. Найдите , если
.
57. Найдите , если
58. Найдите , если
.
59. Найдите , если
и
60. Найдите значение выражения
61. Найдите значение выражения .
62. Найдите значение выражения .
63. Найдите , если
и
.
64. Найдите , если
65. Найдите , если .
66. Найдите , если и
.
67. Найдите значение выражения .
68. Найдите значение выражения .
69. Найдите , если
.
70. Найдите значение выражения .
71. Найдите значение выражения .
72. Найдите значение выражения .
73. Найдите значение выражения , если .
74. Найдите значение выражения .
75. Найдите , если
и
.
76. Найдите , если
и
.
77. Найдите значение выражения .
78. Найдите значение выражения .
79. Найдите значение выражения .
80. Найдите значение выражения .
81. Найдите значение выражения .
82. Найдите значение выражения , если .
83. Найдите значение выражения .
84. Найдите значение выражения .
85 Найдите значение выражения .
86. Найдите значение выражения .
87. Найдите , если .
88. Найдите значение выражения .
89. Найдите значение выражения .
90. Найдите значение выражения .
91. Найдите значение выражения:
92. Найдите , если
.
93. Найдите , если
и
.
94. Найдите значение выражения .
95. Найдите значение выражения .
96. Найдите значение выражения .
97. Найдите значение выражения .
98. Найдите значение выражения .
99. Найдите значение выражения .
100. Найдите значение выражения .
101. Найдите значение выражения .
102. Найдите значение выражения .
103. Найдите значение выражения: .
104. Найдите значение выражения: .
105. Найдите значение выражения .
106. Найдите значение выражения .
107. Найдите значение выражения .
109. Найдите корень уравнения . В ответе напишите наименьший положительный корень.