Подготовка к экзамену по мат анализу 1 семестр - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Mirea Ninja

Загрузка…

Источник

Добавил:

Uman

Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Предмет:

Файл:

Скачиваний:

473

Добавлен:

04.03.2014

Размер:

2.41 Mб

Скачать

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Е. Б. Боронина

Эта книга написана для студентов технических вузов, желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу. Содер жание данной книги полностью соответствует программе по курсу «Математический анализ», экзамен по которому предусмотрены в большинстве высших учебных заведений России. Программа по могает быстро и без лишних трудностей найти необходимый ответ на поставленный вопрос. Вопросы составлены автором на основе личного опыта с учетом требований преподавателей.

ЛЕКЦИЯ № 1. Математический анализ функций одной переменной

1. Множества

Понятие множества относится к числу первоначальных поня тий, которые не определяются через другие, более простые. Вместо слова «множество» иногда говорят «совокупность некото рых предметов, объединенных по какому нибудь признаку».

Объекты, из которых состоит множество, называют его эле+ ментами или точками. Множества часто обозначают большими, а их элементы — малыми буквами. Если x — элемент множества X, то пишут x X (точка x принадлежит множеству X). Если x не является элементом множества X, то пишут x X (x не принад лежит X). Если множество X состоит из элементов x1, x2, x3, …, xn записывают X={x1, x2, x3, …, xn}.

Пусть X и Y — два множества. Если X и Y состоят из одних и тех же элементов, то пишут X = Y. Если в Х нет элементов, не принад лежащих Y, то пишут, что x X . Если X не содержится в Y, то пи шут x X . В математике часто используется пустое множество. Оно не содержит ни одного элемента и обозначается символом O. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество (−∞;+ ∞) называется числовой прямой, а любое чис ло — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой и δ — положительное число. Интервал (a − δ ; a + δ ) на зывается δ+окрестностью точки a.

Проколотой δ+окрестностью точки a называется ее δ+окрест+ ность, из которой удалена сама точка a.

Точка a называется внутренней точкой множества X, если су ществует δ окрестность точки a, в которой содержатся только точки множества X.

Точка a называется граничной точкой множества X, если в лю бой δ окрестности точки a содержатся точки, принадлежащие и не принадлежащие множеству X.

Говорят, что множество X ограничено сверху (снизу), если су ществует такое число c, что для любого x X выполнено нера венство x < c (x > c). Число c в этом случае называется верхней (ниж+ ней) гранью множества X. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней ограниченного сверху (снизу) множест ва называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

2. Теорема о вложенных отрезках

Определение. Пусть дана последовательность таких отрезков [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn], …, что каждый последующий содержит ся в предыдущем: [a1, b1] [a2, b2] … [an, bn] …, т. е. для всех n

an	<	an+1 < bn+1	<	bn	(1)

и пусть lim (bn − an ) . Такая последовательность называется по

n → ∞

следовательностью вложенных отрезков.

Теорема о вложенных отрезках. Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадле жащая всем отрезкам этой последовательности.

Доказательство. Из неравенства (1) следует, что левые концы отрезков образуют неубывающую последовательность

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ … ≤ an ≤ an+1 ≤ … ,

(2)

а правые концы образуют невозрастающую последовательность

b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ … ≥ bn ≥ bn+1 ≥ … ,

(3)

при этом последовательность (2) ограничена сверху, а последова тельность (3) ограничена снизу, так как an < b1, а bn > a1 для любо го n. Следовательно, на основании признака сходимости монотон ной последовательности эти последовательности имеют пределы

Пусть		lim a	= c‘ , а	lim b = c» .	Тогда из условия lim	(b	− a )=
		n→∞ n		n→∞ n	n → ∞	n	n
= lim b		− lim a = c»	– c‘ = 0
n→∞	n	n→∞	n

следует, что c‘ ‘ = c‘ , т. е. последовательности {an} и {bn} имеют об щий предел. Обозначая этот предел буквой C, получаем, что для любого n справедливы неравенства an < c < bn, т. е. точка c при надлежит всем отрезкам последовательности (1).

Докажем теперь, что такая точка только одна. Допустим, что су ществует еще одна точка c1(c1 ≠ c), принадлежащая всем отрезкам последовательности (1). Тогда для любого n должно выполняться не

равенство b	– a > \| c – c \| и, следовательно,	lim (bn − an ) ≥		c1 − c	,

n	n		1	n → ∞

что противоречит условию теоремы. Таким образом, теорема до казана полностью.

Замечание. Теорема неверна, если вместо отрезков рассматри вать интервалы. Например, для последовательности вложенных

интервалов
(0, 1) (0, 1/2) (0, 1/4) … (0, 1/2n)	(4)

не существует точки, принадлежащей всем интервалам. В самом деле, какую бы точку C на интервале (0,1) ни взять, всегда найдет


ся такой номер N, что при n > N будет	1	< c и, следовательно,
n
		2
точка C не будет принадлежать интервалам последовательности (4),
	1
начиная с интервала 0,		.
2N +1

3. Числовые последовательности

Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чи сел 1, 2, 3, …, n поставлено в соответствие вещественное число xn,

то множество вещественных чисел
x1, x2, x3, …, xn	(1)

называют числовой последовательностью или просто последова тельностью.

Числа x1, x2, x3, …, xn называются элементами (или членами) по следовательности (1), символ xn — общим элементом последова тельности, а число n — его номером. Сокращенно последователь ность (1) обозначается символом {xn}.

Последовательность задана, если указан способ получения любого ее элемента. Например, формула xn = 1 + (–1)n задает по следовательность:

0, 2, 0, 2, …

Определение 2. Последовательность {xn} называется ограничен+ ной сверху (снизу), если существует такое число M (число m), что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет нера

венству xn < M (xn > m).

Определение 3. Последовательность {xn} называется ограничен+ ной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е. существуют числа m и M такие, что любой элемент xn этой последовательности удов летворяет неравенству m < xn < M.

Определение 4. Последовательность {xn} называется неограни+ ченной, если для любого положительного числа A существует элемент xn этой последовательности, удовлетворяющий неравенст

ву | xn | > A(т. е. xn > A, либо xn < –A).

Примеры

1.Последовательность 1, 2, 3, …, n ограничена снизу, но нео граничена сверху.

2.Последовательность –1, –2, –3, …, –n ограничена сверху, но неограничена снизу.

3.Последовательность 1, 1 , 1 , …, 1 ограничена, так как любой

2 3 n

элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенствам: 0 < xn < 1 (m = 0, M = 1).

4.Последовательность –1, 2, –3, 4, …б (–1)nn неограниченная.

Всамом деле, каково бы ни было число A среди элементов xn этой последовательности, найдутся элементы, для которых будет вы

полняться неравенство.

Определение 5. Последовательность {xn} называется бесконеч+ но большой, если она становится и остается, начиная с некоторо го номера N, по абсолютной величине больше любого наперед за данного сколь угодно большого положительного числа A.

Символическая запись определения бесконечно большой по следовательности:

( A > 0)( N )( n> N ): |xn |> A.

Определение 6. Последовательность {xn} называется бесконеч+ но малой, если она становится и остается, начиная с некоторого номера N, по абсолютной величине меньше любого наперед за данного сколь угодно малого положительного числа ε.

Символическая запись определения бесконечно малой после довательности:

( ε > 0)( N )( n> N ) : |xn |< ε .

Теорема. Если {xn} — бесконечно большая последовательность
	1
и все ее члены отличны от нуля, то последовательность		бес

конечно малая, и, наоборот, если {xn} — бесконечно малая после

					1
довательность и x	≠ 0, то последовательность			— бесконечно

n					xn
большая.

Доказательство. Пусть {xn} — бесконечно большая последова
тельность, т. е.
( ε =	1	> 0) ( N )( n> N ) : \|xn \|>	1

			A			A
или
( ε	1	> 0), ( N )( n> N ) :	1
=			\|xn \|< A
A

т.е. бесконечно малая.

Доказательство второй части проводится аналогично.

4. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Критерий Коши

Определение 1. Число a называется пределом последователь+ ности {xn}, если для любого ε > 0 существует такой номер N, что при n > N выполняется неравенство

С помощью логических символов это определение можно за писать в виде:

( ε > 0) ( N )( n> N) : |xn − a|< ε .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если последовательность {xn} сходится и имеет своим преде

лом число a, то символически это записывается так:

lim xn = a или xn → a при n → ∞.	(2)
n → ∞

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется

расходящейся.

Определение 2. Говорят, что последовательность {xn} удовле творяет условию Коши, если для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех номеров n и m, удовлетворяющих условию n > N и m > N, справедливо неравенство:

Условие (3) можно сформулировать и таким образом: для лю бого ε > 0 существует такой номер N, что для всех номеров n > N и всех целых неотрицательных p

Для того, чтобы убедиться в равносильности условий (3) и (4), достаточно положить p = n – m, если n > m и p = m – n, , если n < m.

Последовательности, которые удовлетворяют условию Коши, называют также фундаментальными.

Определение 3. Последовательность {xn}, k = 1, 2, …— подпо+
следовательность последовательности {x }, если ( k )( N ): yk = xN ,
			n
причем (nk	< nk	2	) (k1k2 ) . Последовательность {y	} обозначает
1		k

ся в этом случае так же {xn}.

Теорема (Больцано—Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследова тельность.

Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство. Докажем необходимое условие. Пусть после

довательность {x } сходится и lim xn = a . Зададим ε > 0 , тогда

n n → ∞

согласно определению предела последовательности существует
такой номер N, что \|xn − a\| <	ε	при n	>	N.

2
Пусть теперь n > N и m > N, тогда

\|xn − xm \|= \| (xn − a)+ (a − xm )\| ≤ \| xn − a \|+
		+ \|xm − a \|<	ε	+	ε	= ε ,
			2
2
т. е. выполняется условие Коши.
Докажем достаточное условие. Пусть последовательность {xn}
удовлетворяет условию Коши, т. е. для любого ε > 0 существует

такой номер N, что для всех номеров n и m, удовлетворяющих условию n > N и m > N, справедливо неравенство |xn − xm |< ε . Возьмем ε = 0 , тогда существует такое N1, что | xn – xm | < 1 при

n > N1 и m > N1.

В частности, если n > N1 a m = N1, то | xn – xN1 | < 1, т. е. xN1 − 1 < xn xN1 + 1 при n > N1. Это и значит, что последователь

ность {xn} при n = N1, N1+1,… ограничена. А это значит, что по

теореме Больцано Вейерштрасса существует ее сходящаяся под
последовательность { xn }.
		k
Пусть lim xn	= a . Покажем что и	lim xn	= a .
n → ∞	k			n → ∞	k
Зададим некоторое ε > 0 . Тогда, во первых, по определению
последовательности существует такое K, что
		\| xn	− a \| <	ε		(5)

		k	2

для всех k > K.

Причем согласно определению последовательности неравен ство (5) выполняется для всех nk > nK.

Во вторых, так как последовательность {xn} удовлетворяет

условию Коши, то существует такое N, что |xn − xm | < ε для всех

n > N и всех m > N.

Положим Nε = max{N, nk} и зафиксируем некоторое nk >Nε . Тогда для любого nk >Nε получим:

|xn − a |= | (xn − xnk )+ (xnk − a)| ≤ | xn − xnk | + | xnk − a | <

|< ε + ε = ε

2 2

а это и доказывает, что lim xn = a.

n→∞

Теорема доказана.

5. Определение и признак сходимости монотонной последовательности

Определение 1. Последовательность {xn} называется возрастаю+ щей, если xn < xn+1 для всех n; неубывающей — если xn < xn+1 для всех n; убывающей — если xn > xn+1 для всех n; невозрастающей —

если xn > xn+1 для всех n.

Все такие последовательности объединяются одним общим названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убы вающие последовательности называются строго монотонными.

Примеры
1. Последовательность 1,	1	,	1		, …,	1	убывающая и ограниченная.
		n
2		3
2. Последовательность 1,	1,1	,		2,1	, 3, …,	1	невозрастающая и огра
			3,1	n
2,1

ниченная.

3.Последовательность 1, 2, 3, …, n возрастающая и неограни ченная.

4.Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, …, n, n неубывающая

инеограниченная.

Источник

1МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛОМОНОСОВАХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯСТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКАПЕРВЫЙ СЕМЕСТРЛЕКТОР – ПРОФ. ЧИРСКИЙ В.Г.МОСКВА -20082Уважаемый читатель!Это пособие написано на основе тех лекций, которые я прочитал впервом семестре 2008 года студентам первого курса.

Цель его написания– облегчить процесс подготовки к экзамену, оно поможет привести в системуВаши знания. Поэтому в пособие включён не весь лекционный материал, алишь та его часть, которая вошла в экзаменационные билеты и,следовательно, оно не является полной заменой Вашему собственномуконспекту.Обращу Ваше внимание на то, что предыдущие версии якобы«конспекта моих лекций» содержат вопиющие ошибки. Таких «лекций» я нечитал. «Конспектов» тем более не писал. Те, кто рискнут по ним готовиться кэкзамену – смелые, но безответственные люди.Конечно, этот текст тоже может содержать опечатки. Я будублагодарен всем, кто отметит их, или выскажет другие замечания.В заключение выражаю искреннюю благодарность Вашим коллегам,студентам 1 курса 2006г О.

Степановой, П. Рудаковской, Е. Гаранину, А.Климову,В. Пичужкину, А. Плеханову, которые помогли в подготовке этого пособия.Также выражаю благодарность старосте первого курса 2008г. Каменеву Е.И.и студентам первого курса 2008г. Денисову С.С. и Яско И.С.

за редакцию ивнесение изменений в работу предшественников.С наилучшими пожеланиямиВаш лектор В.Г. Чирский3Билет 1. Множества и операции над ними1.1.Понятие множестваПонятиямножества и его элемента относятся к числу первичных,неопределяемых понятий математики. К таким же понятиям относятся точка,прямая линия и др.

Вместо определения такого понятия приходитсяобходиться его описанием. Создатель теории множеств Георг Кантор в 1872году описал понятие множества, как «объединения в одно целое объектов,хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью».Мы будем говорить, что определено некоторое множество М объектов,если указан признак, который позволяет относительно каждого предмета хсказать, принадлежит ли этот предмет множеству М, или нет.Элементы множеств в дальнейшем будем записывать строчнымилатинскими буквами, сами множества – прописными. Обозначение a  Aиспользуется, как краткая запись утверждения: а есть элемент множества А,или: а принадлежит А. Аналогично,обозначение a  A используется, каккраткая запись утверждения: а не является элементом множества А, или: ане принадлежит А.

Множество, не имеющее элементов, называется пустым иобозначается  .Укажем ряд способов задания множеств. Во-первых, можно простоперечислить все элементы множества, если этих элементов – конечное число,т.е. если множество конечное. Например, множество, состоящее из двухчисел, 0 и 1. В этом случае используется обозначение{0,1}.

Дляпроизвольного конечного множества, например, состоящего из различныхэлементов {a1,…am}, используется обозначение {a1,…am},. Подчеркнём, что вэтом обозначении множества элементы a1,…am, должны быть различными,однако они могут быть перечислены в произвольном порядке, например,{1,2,3,4} и {2,1,4,3} — различные обозначения одного и того же множества.4Можно также указать свойство, которому удовлетворяют элементырассматриваемого множества. Например, множество действительных чисел,больших 5.

Обозначим его {x|x > 5}.Некоторые множества определяются с помощью указания способапоследовательного построения его элементов. Например,x1=1, xn=nxn-1, n=2,3,…Новые множества можно получать и в результате операций надзаданными множествами.НаиболеечастоунасбудутрассматриватьсямножествоRдействительных чисел, множество N натуральных чисел, множество Z целыхчисел, множество Q рациональных чисел.1.2.ПодмножестваВажный способ задания множества – выделение его, как частинекоторого основного множества.

Основное множество образуется всемиэлементами какого-нибудь определённого типа. Например, множество целыхчисел, множество простых чисел и т.п.В качестве примера рассмотрим основное множество целых чисел ивыберем в нём те числа, которые делятся на 2, т.е.

чётные числа. Мыполучилимножество чётных чисел, которое является подмножествомосновного множества целых чисел.В общем случае, если все элементы множества А являются такжеэлементами множества B , то мы говорим, что А есть подмножество B , илиА включено в B , и обозначаем это так: A  B .Если оказалось, что одновременно A  B и B  A , то эти множестваназываются равными, что обозначается A  B .Проще говоря, равныемножества состоят из одних и тех же элементов.Из того, что A  B иB  C следует, что B  C (т.е. отношениевключения множеств является транзитивным.

Понятие отношения и егосвойства будут подробнее описаны в билете 2).51.3.Операции над множествамиПусть задано некоторое основное множество M и его подмножества Aи B.Определение 1.1. Объединение A  B этих множеств определяется, какподмножество множества M , состоящее из элементов, входящих хотя бы водно из множеств A и B .Определение 1.2. Пересечение A  B этих множеств определяется, какподмножество множестваM,состоящее из элементов, одновременновходящих как в множество A , так и в множество B .Определение 1.3. ДополнениеCA множества A определяется, какподмножество множества M , не содержащее элементов множества A .Перечислим некоторые свойства операций над множествами.A  B  B  A, A  B  B  A, A  B   C  A  ( B  C ),  A  B   C  A  ( B  C ),A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ), A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ),C( A  B )  C A  C B, C ( A  B )  C A  C B,A  A  A, A  A  A, A  M  M , A  M  A,A    A, A    ,C  M , C M  , C ( C A)  A,.

A  C A  M , A  C A  , .В качестве примера докажем свойствоC( A  B)  C A  C B . Для этогозаметим, что условие x  C ( A  B) равносильно тому, что x  A  B . Это, в своюочередь, равносильно тому, что x  A и x  B , т.е. x  C A  C B . Свойстводоказано.Это утверждение, вместе с утверждениемС( A  B)  C A  C B , называюттеоремами де Моргана.

Доказательства остальных свойств ещё проще и мыих опускаем.6Билет 2. Декартово произведение множеств. Бинарныеотношения.2.1.Декартово произведение множествОпределение 2.1. Пусть даны два множества , A и B . Образуеммножество упорядоченных пар элементов, у которых первый элементпринадлежит A , а второй — B . Полученное множество называетсядекартовым произведением множеств A и B и обозначается A  B .Перечислим некоторые простейшие свойства декартова произведения.Если A  C , B  D , то ( A  B )  (C  D ) ;A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) .Отметим, что A  B  B  A тогда и только тогда, когда A  B .2.2.Бинарные отношенияОпределение 2.2.

Любое подмножество R множества A  Bназывается бинарным отношением.Изучим понятие бинарного отношения более подробно, так как оноявляется важным не только для математического анализа, но и длякомпьютерной математики.Задавать бинарные соотношения конечных множеств можно, например,с помощью таблиц. Например, пусть A  {1, 2,3}, B  {1, 2,3, 4,5, 6} . Зададимотношение R  A  B свойством: пара ( x, y ), x  A, y  B принадлежитотношению R тогда и только тогда, когда x есть делитель y . Отношение R ,таким образом, состоит из пар: (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6).Изобразим это отношение следующим образом.

Проведём три прямые,соответствующие трём элементам множества A . Проведём шестьперпендикулярных им прямых, соответствующих элементам множества B .Отметим жирной точкой те точки пересечения этих прямых, которыесоответствуют отношению R .(рис.1)7 111111 010101 001001Рис.1Рис.2Рис.3Другой способ задания бинарного отношения – использование стрелок.Элементы A и B изображаются в виде точек плоскости. Стрелкамисоединены те, и только те элементы x  A, y  B , для которых ( x, y )  R .(рис.2)Это же бинарное отношение можно задать матрицей, состоящей из 0 и1.

Её строки соответствуют элементам множества A , столбцы – элементаммножества B . Элемент этой матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда онстоит на пересечении строки и столбца, соответствующих паре x  A, y  B ,для которой ( x, y )  R .Определение 2.3. Элемент a называется проекцией элементаa  (a, b)  A  B на множество A . Для произвольного подмножества E  A  Bего проекцией на A называется множество, состоящее из проекций на Aвсех элементов множества E .Определение 2.4.

Сечением x  a множества E называется множествоE ( a ) элементов y  B , для которых ( a, y )  E . Множество сечений отношенияE называется фактормножеством B по отношению E и обозначается B E .Так как отношения представляют собой множества, к ним можноприменить операции, определённые в предыдущем параграфе. Но кроме этихопераций есть ещё важные операции композиции и симметризации.Пусть даны множества A, B, C и отношения E  A  B, G  B  C .8Определение 2.5. Композиция отношений E , G — это отношение GEмежду элементами множеств A и C такое, что для всех x  A сечениемножества GE по x совпадает с сечением множества G по подмножествуE ( x)  B , т.е. (GE )( x)  G ( E ( x )) .Если даны две пары отношений E  A  B , D  A  B и G  B  C , F  B  C ,причём E  D и G  F , то операция композиции обладает следующимсвойством: EG  DF .Определение 2.6.

Отношение, симметричное к некоторому отношениюE  A  B и обозначаемое E 1 , представляет собой подмножество множестваB  A , образованное теми парами ( y , x)  B  A , для которых( x, y )  E . ЕслиE  A  B и G  B  C , то ( EG ) 1  G 1 E 1 .Предположим, что задано некоторое основное множество M .Отношение E  M  M называется отношением эквивалентности, если онообладает такими свойствами:1. Рефлексивностью: всякий элемент a эквивалентен самому себе.Иными словами, для любого a  M пара (a, a)  E .2. Симметричностью: для любых двух элементов a, b  M из того, что aэквивалентен b следует, что b эквивалентен a . Другими словами, если( a, b)  E , то (b, a)  E .

Это означает, что отношение E совпадает со своимобратным, E 1 .3. Транзитивностью: если a эквивалентен b , а b эквивалентен c , то aэквивалентен c . Иначе говоря, если (a, b)  E и (b, c )  E , то (a, c)  E .Очень часто отношение эквивалентности элементов a, b  Mобозначается так: a b .Важным понятием является понятие класса эквивалентности. Класс эквивалентностиэлемента a  M состоит из всех элементов b  M , эквивалентных элементу a . Длянеэквивалентных элементов их классы эквивалентности не пересекаются. Множество классовэквивалентности называется фактормножеством множества M по отношению E иобозначается M / E .

Источник