Показательное неравенство решу егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Показательные неравенства в ЕГЭ по математике профильного уровня неизменно встречаются из года в год. Безусловно, баллы, которые можно набрать или, наоборот, не получить за данное задание, никак не влияют на итоговую оценку по предмету. Но нельзя забывать, что от них во многом зависит ваш шанс поступить в желаемый вуз.

Научиться решать показательные неравенства важно не только с целью успешной сдачи аттестационного испытания и получения конкурентоспособных баллов по ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшем учебном заведении Москвы или другого города. Кроме того, выполнение данных заданий позволяет развить навыки систематизации и логическое мышление, помогает повысить творческие и умственные способности школьника.

Показательные уравнения и неравенства, которые предстоит решить школьникам из Москвы и других городов в ЕГЭ по математике (профиль), входят в курс 10 класса. На уроках на изучение этой темы отводится мало времени. Для того чтобы верно выполнить решение показательных неравенств в ЕГЭ, рекомендуем воспользоваться при подготовке нашим ресурсом. Мы разработали для вас уникальный инструмент, с помощью которого вы сможете грамотно выстроить подготовку к сдаче экзамена, восполнить пробелы в знаниях и отработать навыки решения задач.

Источник

Показательные неравенства

В этой статье есть все о показательных неравенствах.

Для тех, кто ничего не знает, мы начнем с самых азов, с самых простейших примеров. И постепенно научим вам решать любые показательные неравенства, которые могут встретиться вам на ЕГЭ.

Если вы продвинутый школьник, вы можете пропустить азы и переходить сразу… к методу декомпозиции или к анализу монотонности функций. 🙂

А если серьезно, даже если вы уже хорошо знаете тему, вы точно найдете для себя что-то новое!

Или же хорошо потренируетесь, если решите все 44 неравенства этой статьи самостоятельно.

Показательные неравенства – коротко о главном

Определение:

Простейшими показательными неравенствами являются неравенства следующего вида:
({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}<{{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}ge {{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}le {{a}^{gleft( x right)}}),
Где (a) – основание, (fleft( x right),~gleft( x right)) – показатели.

Правило решения показательных неравенств:

({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}}=>~fleft( x right)>gleft( x right)) (left(при ~a>1 right))
({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}}=>~fleft( x right)<gleft( x right)) ((при ~0<a<1))

Методы решения показательных неравенств:

Метод группировки.
Метод интервалов.
Преобразование оснований.
Разложение на множители.
Замена переменной.
Метод декомпозиции.
Анализ монотонности функции.

Темы на повторение

Вспомнить простейшие свойства степеней;
Вспомнить, как решаются линейные неравенства и квадратичные неравенства;
Вспомнить, как решаются показательные уравнения;
Метод интервалов (будем разбирать в этой статье);
Свойства логарифмов.

Показательные неравенства – самые азы

Этот раздел для тех, кто “ничего не знает” про показательные неравенства.

Начнем с самого начала, чтобы вы разобрались в базовых вещах и далее понимали что вы делаете. Обязательно решите все примеры самостоятельно!

Если вы продвинутый читатель, можете его пропустить. Но лучше просмотреть и решить все примеры.

Это займет у вас 5 минут.

Если (displaystyle {{5}^{x}}~=25), то (displaystyle x=2). А если (displaystyle 5x>25), каким же должен быть (displaystyle x)?

Я думаю, что ты без труда понял, что (displaystyle x>5).

А если (displaystyle {{5}^{x}}~>25 )?

Так как (displaystyle 25={{5}^{2}}), то ты вполне резонно можешь предположить, что (displaystyle x>2).

А вот пример позабористее: (displaystyle {{0,1}^{x}}~>~0,01).

Опять таки, легко сосчитать, что (displaystyle 0,01={{0,1}^{2}}). И у нас получится (displaystyle {{0,1}^{x}}~>{{0,1}^{2}}).

И какой можно из этого сделать вывод? Может быть, как и в предыдущем примере, (displaystyle x>2)?

На первый взгляд, это кажется вполне очевидным. Но, увы, это не правильно.

Потому что, как ни парадоксально, из (displaystyle {{0,1}^{x}}~>{{0,1}^{2}}) следует, что (displaystyle x<2)!!

Неожиданно, правда?

Я бы мог долго распространяться, почему это так, умничая направо и налево, и бросаясь такими словами, как «монотонное возрастание» и «показательная функция», но я пожалею твое время и объясню простое правило.

Если основание в неравенстве больше (displaystyle 1), то знак неравенства выполняется и для его показателей.

Если же основание больше (displaystyle 0) и меньше (displaystyle 1), то знак неравенства между его показателями меняется на противоположный.

Кратко это правило можно записать так:

(displaystyle {{a}^{x}}>{{a}^{y}}=>~x>y) (при (displaystyle a>1))

(displaystyle {{a}^{x}}>{{a}^{y}}=>~x<y) (при (displaystyle 0<a<1))

Такие же правила ты можешь получить для трех оставшихся знаков неравенств: (displaystyle <),(displaystyle le ),(displaystyle ge ).

Я сказал «можешь»?

Нет, я ошибся: должен составить! Так тебе легче будет запомнить это нехитрое (самое нехитрое) правило.

Да, кстати, если ты внимательно читал мое изложение, то у тебя вполне могли появиться вопросы: а что если:

Основание (displaystyle a=1)?
Основание (displaystyle a<0)?
Правая часть неравенства меньше нуля, например: (displaystyle {{2}^{x}}>-2)?

Ответы вот:

во-первых, не принято и не умеют решать показательные неравенства в которых (displaystyle a=1) потому, что сколько единицу не умножай саму на себя (а именно это и делает степень), ничего кроме самой единицы ты все равно не получишь.
То же самое касается и неравенств, в которых основание меньше нуля – просто забудь о них.
Отдельного разговора (и абзаца) заслуживает последний случай.

Давай вместо основания возьмем число (displaystyle 2) и будем возводить его во всевозможные степени:

(displaystyle n)	(displaystyle 0)	(displaystyle 1)	(displaystyle -1)	(displaystyle 2)	(displaystyle -2)	(displaystyle 3)	(displaystyle -3)	(displaystyle 4)	(displaystyle -4)
(displaystyle {{2}^{n}})	(displaystyle 1)	(displaystyle 2)	(displaystyle frac{1}{2})	(displaystyle 4)	(displaystyle frac{1}{4})	(displaystyle	(displaystyle frac{1}{8})	(displaystyle 16)	(displaystyle frac{1}{16})

Ты понял, как я заполнил эту таблицу? Нет!?

Стыд и позор, я же просил повторить свойства степени. Вернись и перечитай, а потом возвращайся к нам.

Итак, все стало понятно? Ну что же, продолжим.

Что мы видим в этой таблице?

Чем больше степень, тем больше значение выражения (displaystyle {{2}^{n}}), и наоборот: чем меньше степень, тем это значение меньше.

Но, тем не менее, видно что, (displaystyle {{2}^{n}}) всегда больше нуля.

ВСЕГДА. Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!!

(displaystyle {{a}^{x}}>0) (для любых (displaystyle a) и (displaystyle x)).

Таким образом, уравнения вида (displaystyle {{a}^{x}}>0,{{a}^{x}}ge 0) имеют решения для любых (displaystyle x) (это, как ты помнишь, записывается, (displaystyle xin left( -infty ;+infty right))).

А вот неравенствам (displaystyle {{a}^{x}}<0,{{a}^{x}}le 0) повезло куда меньше: они не имеют решений.

Ну вот, все приличия соблюдены, теперь можно переходить уже к некоторым примерам:

(displaystyle {{2}^{x}}<32)
(displaystyle {{4}^{x+2}}le 64)
(displaystyle {{27}^{x+2}}le 81)
(displaystyle {{left( frac{1}{3} right)}^{2x}}>9) (Правая часть неравенства меньше нуля (displaystyle {{2}^{x}}>-2)?)
(displaystyle {{left( frac{1}{5} right)}^{-4x}}>frac{1}{sqrt{5}})

Решил? Честно? Ну хорошо, давай проверять вместе:

Пример 1. (displaystyle {{2}^{x}}<32,~{{2}^{x}}<{{2}^{5}}), так как (displaystyle 2>1), то (displaystyle x<5).

Ответ, как ты помнишь, мы записываем следующим образом: (displaystyle xin left( -infty ;5 right)).

Так как знак неравенства «строгий», то скобки будут «круглыми».

Пример 2. Здесь уже чуточку посложнее, но я уверен, ты тоже справился без проблем.

Сверяемся:

(displaystyle {{4}^{x+2}}le 64)

(displaystyle {{4}^{x+2}}le {{4}^{3}})

так как (displaystyle 4>1), то

(displaystyle x+2le 3), откуда (displaystyle xle 1),

Поэтому ответ:

(displaystyle xin left( -infty ;1 right]).

Пример 3. (displaystyle {{27}^{x+2}}le 81).

Продолжаем нагромождать: в третьем примере нас ждет беда: так получилось, что (displaystyle 81) это не целая степень числа (displaystyle 27), (в чем несложно убедиться, возводя число (displaystyle 81) в различные целые степени (displaystyle 0), (displaystyle 1), (displaystyle -1)…).

И что же теперь делать? Бросать решение примера?

Нет! Этого не одобрю ни я, ни твой школьный учитель по математике.

Давай немного напряжемся и заметим, что и (displaystyle 27) и (displaystyle 81) это степени одного и того же числа. Какого? Конечно, это степени тройки ((displaystyle 27={{3}^{3}},~81={{3}^{4}})).

Тогда все становится сразу понятным:

(displaystyle {{27}^{x+2}}le 81)
(displaystyle {{3}^{3left( x+2 right)}}le {{3}^{4}}) (напомню, что при такой «замене» степени умножаются!).

Так как (displaystyle 3>1), то знак неравенства не меняется и мы получаем:

(displaystyle 3left( x+2 right)le 4).

Раскроем скобки:

(displaystyle 3x+6le 4,~3xle -2,~xle -frac{2}{3}).

Отсюда, ответ:

(displaystyle xin left( -infty ;~-frac{2}{3} right]).

Пример 4. Теперь мы решим еще более «навороченный» пример:

(displaystyle {{left( frac{1}{3} right)}^{2x}}>9)

На самом деле, у нас есть аж два способа решить данное неравенство:

Во-первых, представить (displaystyle frac{1}{3}) как (displaystyle {{3}^{-1}})

(Если для тебя это «превращение» показалось магическим, перечитай свойства степени с отрицательным показателем)

Либо представить (displaystyle 9) как (displaystyle {{left( frac{1}{3} right)}^{-2}}).

Мне хочется сейчас пойти именно вторым путем, ну а ты сам можешь применить первый. Как ты понимаешь, ответы должны совпасть.

(displaystyle {{left( frac{1}{3} right)}^{2x}}>{{left( frac{1}{3} right)}^{-2}})

Теперь слева и справа в неравенстве мы имеем одинаковые основания, значит мы можем перейти к неравенству относительно их показателей.

Однако, можно (и нужно!) заметить, что (displaystyle frac{1}{3}<1), поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

Итого, мы получим: (displaystyle 2x<-2),

Откуда простым делением на (displaystyle 2) обеих частей неравенства очевидно следует, что (displaystyle x<-1).

Записываем ответ: (displaystyle xin left( -infty ;~-1 right)).

Пример 5. (displaystyle {{left( frac{1}{3} right)}^{2x}}>9)

Ну что же, здесь все нам тоже более-менее знакомо, единственно, что нужно вспомнить, так это то, что (displaystyle frac{1}{sqrt{5}}=sqrt{frac{1}{5}}={{left( frac{1}{5} right)}^{frac{1}{2}}}).

Теперь окончательно получим:

(displaystyle {{left( frac{1}{5} right)}^{-4x}}>{{left( frac{1}{5} right)}^{frac{1}{2}}}).

Опять-таки (displaystyle left( frac{1}{5} right)<1), а значит знак неравенства меняется на противоположный:

(displaystyle -4x<frac{1}{2}).

Данное линейное неравенство решается делением левой и правой стороны на число, стоящее перед иксом: то есть делением на (displaystyle -4).

Но мы ведь с тобой уже грамотные люди? Конечно! А потому мы помним, что при делении (или умножении) обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства МЕНЯЕТСЯ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ.

А это значит, что

(displaystyle x>frac{1}{2}:left( -4 right))
(displaystyle x>-frac{1}{8})

Нам осталось лишь записать полученный правильный ответ:

(displaystyle xin left( -frac{1}{8};~+infty right)).

Задачки для совсем самостоятельного решения:

(displaystyle ~{{(frac{1}{3})}^{({x} – 1)}}le frac{1}{9});

(displaystyle {{5}^{{x} – 1}}le sqrt{5});

(displaystyle {{7}^{{x} – 2}}>sqrt[3]{49});

(displaystyle {{3}^{-2x}}<27);

(displaystyle {{left( frac{1}{25} right)}^{-2{x} – 4}}<{{625}^{-3x+5}}).

А вот и ответы, заданные в измененном порядке, сверяйся!

(displaystyle left( 2frac{1}{3};~+infty right),~left( -infty ;~frac{3}{4} right),~left[ 3;~+infty right),~left[ 1frac{1}{2};~+infty right),~left( -1frac{1}{2};~+infty right))

Нашел свои ответы в приведенном списке? Ничего лишнего и ничего не потерялось?

Прекрасно! Это значит, что теперь ты умеешь решать почти все показательные неравенства из первой части профильного ЕГЭ!

Но мы ведь с тобой хотим стать еще лучше и уметь решать еще более сложные неравенства?

Как ты без труда (или почти без труда) заметил, каждый раз, когда мы решали показательное неравенство, оно сводилось к некоторому линейному неравенству для показателей. Более того, каждая из частей (правая и левая) неравенства состояла ровно из одного выражения.

Что же запрещает природе вмешаться и сделать, например, с каждой стороны неравенства, скажем, не по одному выражению, а по три или даже четыре? Или же что ей запрещает составить такое неравенство, которое сводится уже не к линейному, а к квадратичному?

Правильно, ничего не запрещает. Поэтому мы должны быть готовы к решению и таких неравенств тоже. Давай вначале посмотрим на некоторые примеры:

(displaystyle {{5}^{{{x}^{2}}-5x+4}}>frac{1}{25})

Применим к нему уже знакомую не понаслышке технику. Что же мы получим в итоге?

Верно:

(displaystyle {{x}^{2}}-5x+4>-2).

Кто знает, что это такое? Конечно это квадратное неравенство! А теперь быстренько вспоминаем, как они решаются!

Да почти что как квадратные уравнения. А вот уж их ты точно умеешь решать, я не сомневаюсь.

(displaystyle {{x}^{2}}-5x+4=-2),

(displaystyle {{x}^{2}}-5x+4+2=0),

(displaystyle {{x}^{2}}-5x+6=0).

Вычисляем дискриминант: (displaystyle D={{left( -5 right)}^{2}}-4cdot 1cdot 6=1)

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня:

(displaystyle {{x}_{1}}=frac{-left( -5 right)+sqrt{1}}{2cdot 1}=3), (displaystyle {{x}_{2}}=frac{-left( -5 right)-sqrt{1}}{2cdot 1}=2).

Если бы мы решали уравнение, то на этом можно было бы и остановиться. Но у нас с тобой более «высокая цель» – решение неравенства.

Поэтому далее нам нужен метод интервалов.

Метод интервалов

Метод интервалов – самый универсальный способ решения неравенств. Но он особенно эффективен при решении квадратных неравенств.

В этом разделе разберем алгоритм решения квадратных неравенств с помощью метода интервалов. И конечно же решим пару-тройку примеров.

Поехали!

Отметим эти точки на координатной прямой и разделим эту прямую на три интервала, затем выберем какое-нибудь число в любом из интервалов и вычислим, чему равно наше исходное выражение (displaystyle {{x}^{2}}-5x+6) в этой точке.

Мне нравится брать такое число, чтобы нужно было как можно меньше считать. Догадался, какое же это число? Верно, это ноль.

Ноль принадлежит самому левому интервалу.

Наше выражение, если подставить в него ноль вместо икса, будет равно (displaystyle 6), (displaystyle 6>0).

Поэтому в левом интервале я ставлю знак (displaystyle +). Далее чередую.

pokazatelnye neravenstva metod intervalov 1

Поскольку мы решаем неравенство (displaystyle {{x}^{2}}-5x+6>0), то нас интересуют те промежутки, где это выражение положительно (то есть стоит (displaystyle +)).

Таким образом, наш ответ будет:

(displaystyle xin left( -infty ;2 right)mathop{cup }^{}left( 3;+infty right)).

Теперь мне кажется, что ты без особого труда решишь следующие примеры:

(displaystyle {{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<frac{121}{169});

(displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{left( frac{1}{2} right)}^{2{x} – 3}}).

Давай сверяться вместе:

Пример 1. (displaystyle {{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<frac{121}{169});

(displaystyle {{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{left( frac{11}{13} right)}^{2}});

(displaystyle text{ }!!~!!text{ }{{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{left( frac{13}{11} right)}^{-2}})

Так как (displaystyle frac{13}{11}>1), то (displaystyle {{x}^{2}}-3x<-2)

Пример 2. Второе неравенство тоже решается элементарно, давай проверим:

(displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{left( frac{1}{2} right)}^{2{x} – 3}})

(displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{left( {{2}^{-1}} right)}^{2{x} – 3}})

(displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}>{{2}^{-left( 2{x} – 3 right)}}).

Откуда (displaystyle {{x}^{2}}>-left( 2{x} – 3 right)).

Что эквивалентно следующему квадратному неравенству:

Как видишь, решение подобных примеров чуть сложнее, чем тех, которые мы решали в самом начале.

Но тем не менее здесь нам уже требуется использовать такой мощный метод, как МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ.

Вообще говоря, большинство неравенств именно с его помощью и решается. Так что можно сказать, что в начале нам просто «везло» и мы обходились без него.

Метод группировки

Впервые ты столкнулся с методом группировки в 7 классе, когда раскладывал сложные выражения на простые множители, например:

(displaystyle 3ab+{{b}^{2}}+6{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}b=bleft( 3a+b right)+2{{a}^{2}}left( 3a+b right)=left( b+2{{a}^{2}} right)left( 3a+b right))

Как ни парадоксально, но что-то подобное может применяться и при решении таких монстров как показательные неравенства.

Да и что сказать, их используют, чтобы справиться с такими чудовищами, по сравнению с которыми наши неравенства покажутся белыми и пушистыми.

Но перейдем от слов к делу.

Допустим, нам требуется решить следующее неравенство:

(displaystyle {{3}^{x+2}}+{{3}^{{x} – 1}}<28)

Согласись, до этих пор мы ни с чем подобным не сталкивались. Однако не время унывать. Давай подумаем, что общего есть у слагаемых слева?

Верно, все они – это тройка в некоторой степени. Со свойствами степени мы уже давно на «ты», я ведь прав? Отлично!

Тогда давай вынесем, например (displaystyle {{3}^{x}}) из каждого выражения. Что мы получим?

(displaystyle {{3}^{x}}{{3}^{2}}+{{3}^{x}}{{3}^{-1}}<28)

Эврика! У нас есть общий множитель! Так чего же мы ждем? Срочно выносим его за скобки!

(displaystyle {{3}^{x}}({{3}^{2}}+{{3}^{-1}})<28)

Теперь вычисляем значение выражения внутри скобок:

(displaystyle {{3}^{2}}+{{3}^{-1}}=9+frac{1}{3}=frac{9cdot 3+1}{3}=frac{28}{3});

Ну теперь осталась самая малость: подставим полученное выражение в наше неравенство:

Давай решим следующее неравенство, но теперь я буду менее многословен, так что тебе придется многое додумывать самому:

(displaystyle 8cdot {{2}^{{x} – 1}}-{{2}^{x}}>48)

Вынесем за скобку множитель (displaystyle {{2}^{{x} – 1}}):

Предварительные выводы

Разумеется, описанные в данной статье методы решений показательных неравенств далеко не исчерпывают весь спектр методов, которые применяются при решении такого вида неравенств.

Да и сами неравенства далеко не всегда легки и понятны. Более того, к некоторым неравенствам даже математик не всегда сразу знает, «как подступиться».

Неравенства бывают самыми разнообразными. Насколько хватит твоего полета фантазии. Здесь же я описал подход к решению самых простейших.

Надеюсь, прочтение этих разделов было для тебя если не полезным, то по крайней мере не утомительным. Желаю тебе не останавливаться на достигнутом и двигаться дальше! Навстречу новым рубежам!

Ну а пока несколько примеров на повторение пройденного материала!

Показательные неравенства – повторение пройденного (решение 10 неравенств)

Пример 1. ({{left( 0,3 right)}^{frac{x}{{x} – 2}}}<{{left( 0,3 right)}^{frac{6}{{x} – 1}}});

Пример 2. ({{0,1}^{2{{x}^{2}}-3x+6}}<0,0001);

Пример 3. ({{3}^{frac{2{x} – 1}{{x} – 2}}}<1);

Пример 4. ({{5}^{4x+2}}<frac{125}{sqrt{{{5}^{-6}}}});

Пример 5. (displaystyle {{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} – 7 right)}}{{left( frac{49}{4} right)}^{2x+0,5}}ge 1);

Пример 6. ({{sqrt{7}}^{{x} – 1}}>frac{1}{{{49}^{x}}});

Пример 7. ({{0,4}^{2{x} – 1}}le {{0,16}^{3x+2}});

Пример 8. ({{2}^{3-x}}+{{2}^{1-x}}>40);

Пример 9. ({{3}^{x+2}}+{{3}^{x+1}}+{{3}^{x}}le 39);

Пример 10. ({{2}^{3}}{{2}^{x+5}}>16).

Решения:

pokazatelnye neravenstva metod intervalov 2

Пример 1. ({{left( 0,3 right)}^{frac{x}{{x} – 2}}}<{{left( 0,3 right)}^{frac{6}{{x} – 1}}}), т.к. (0,3<1), то (frac{x}{{x} – 2}>frac{6}{{x} – 1})

Приведем дроби к общему знаменателю:

(frac{xleft( {x} – 1 right)}{left( {x} – 2 right)left( {x} – 1 right)}>frac{6left( {x} – 2 right)}{left( {x} – 2 right)left( {x} – 1 right)},~frac{xleft( {x} – 1 right)-6left( {x} – 2 right)}{left( {x} – 2 right)left( {x} – 1 right)}>0),

(frac{{{x}^{2}}-{x} – 6x+12}{left( {x} – 2 right)left( {x} – 1 right)}>0,~frac{{{x}^{2}}-7x+12}{left( {x} – 2 right)left( {x} – 1 right)}>0)

Разложим ({{x}^{2}}-7x+12) на множители:

Пример 2. ({{0,1}^{2{{x}^{2}}-3x+6}}<0,0001)

Тогда

({{0,1}^{2{{x}^{2}}-3x+6}}<{{0,1}^{4}})

Значит

(2{{x}^{2}}-3x+6>4),

(2{{x}^{2}}-3x+2>0).

Дискриминант уравнения (2{{x}^{2}}-3x+2=0) равен (D={{left( -3 right)}^{2}}-4cdot 2cdot 2=-7<0)

Значит, уравнение не имеет корней.

Пример 3. ({{3}^{frac{2{x} – 1}{{x} – 2}}}<1)

Тогда

(frac{2{x} – 1}{{x} – 2}<0) данное неравенство снова решается методом интервалов.

Нанесем корни числителя и знаменателя на координатную ось, расставим знаки и получим ответ:

Пример 4. ({{5}^{4x+2}}<frac{125}{sqrt{{{5}^{-6}}}})

Преобразуем выражение справа:

(frac{125}{sqrt{{{5}^{-6}}}}=frac{{{5}^{3}}}{{{5}^{frac{-6}{2}}}}=frac{{{5}^{3}}}{{{5}^{-3}}}={{5}^{3-left( -3 right)}}={{5}^{6}})

Подставим полученное выражение в правую часть неравенства:

Пример 5. ({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} – 7 right)}}{{left( frac{49}{4} right)}^{2x+0,5}}ge 1),

({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} – 7 right)}}{{left( frac{{{7}^{2}}}{{{2}^{2}}} right)}^{2x+0,5}}ge 1),

({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} – 7 right)}}{{left( frac{7}{2} right)}^{2left( 2x+0,5 right)}}ge 1),

так как ({{left( frac{2}{7} right)}^{-1}}=frac{7}{2}), то

Пример 6. ({{sqrt{7}}^{{x} – 1}}>frac{1}{{{49}^{x}}}),

так как (sqrt{7}={{7}^{0,5}}), а (frac{1}{{{49}^{x}}}={{left( frac{1}{49} right)}^{x}}={{left( frac{1}{7} right)}^{2x}}={{7}^{-2x}}), то

({{7}^{0,5left( {x} – 1 right)}}>{{7}^{-2x}}), что эквивалентно:

Пример 7. ({{0,4}^{2{x} – 1}}le {{0,16}^{3x+2}}), откуда

({{0,4}^{2{x} – 1}}le {{0,4}^{2left( 3x+2 right)}}),

так как (0,4<1), то

Пример 8. ({{2}^{3-x}}+{{2}^{1-x}}>40),

({{2}^{-x}}left( {{2}^{3}}+2 right)>40),

({{2}^{-x}}>4),

(-x>2,~x<-2)

Ответ: (xin left( -infty ;~-2 right)).

Пример 9. ({{3}^{x+2}}+{{3}^{x+1}}+{{3}^{x}}le 39),

({{3}^{x}}left( {{3}^{2}}+3+1 right)le 39),

({{3}^{x}}cdot 13le 39),

({{3}^{x}}le 3), откуда ({{3}^{x}}le 3).

Ответ: (xin left( -infty ;1 right])

Пример 10. ({{2}^{3}}{{2}^{x+5}}>16),

({{2}^{x+8}}>{{2}^{4}}),

(x+8>4,~x>-4).

Ответ: (xin left( -4;~+infty right)).

Подведем итоги

Методы решения показательных неравенств во многом дублируют способы решения показательных уравнений.

Вот только что мы ищем при решении уравнения? Верно, корни соответствующего уравнения. Или же показываем, что их нет.

В неравенстве мы будем искать промежутки (то есть те множества значений переменной, на которой данное неравенство выполняется).

Для этого используют различные методы.

Вспомни, к чему сводилось решение показательного уравнения? Да, мы сводили его к такому виду:

({{a}^{fleft( x right)}}={{a}^{gleft( x right)}})

После чего делали вывод, что (fleft( x right)=gleft( x right)) и решали уже полученное уравнение. Практически аналогичным образом мы поступаем и с показательным неравенством.

Определение:

Простейшими показательными неравенствами являются неравенства следующего вида:

({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}<{{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}ge {{a}^{gleft( x right)}},~{{a}^{fleft( x right)}}le {{a}^{gleft( x right)}}),

где (a) – основание, (fleft( x right),~gleft( x right)) – показатели.

Например, в неравенстве ({{3}^{3left( x+2 right)}}le {{3}^{4}}) (a=3) – основание, (fleft( x right)=3left( x+2 right)), (gleft( x right)=4) – показатели.

Существует основное правило решения показательных неравенств.

Обрати на него особое внимание. Незнание этого правила является очень частой причиной глупейших (и оттого еще более обидных ошибок).

Правило:({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}}=>~fleft( x right)>gleft( x right)) (left(text{при} ~a>1 right))
({{a}^{fleft( x right)}}>{{a}^{gleft( x right)}}=>~fleft( x right)<gleft( x right)) (left(~0<a<1 right))

Аналогичные законы справедливы и для трех оставшихся знаков неравенств.

Сформулируй правила самостоятельно.

Теперь перейдем к методам решения показательных неравенств. Я могу выделить 5 методов их решения.

5 методов решения показательных неравенств

Метод №1. Преобразование оснований
Метод №2. Разложение на множители
Метод №3. Замена переменной
Метод №4 Метод декомпозиции
Метод №5. Анализ монотонности функций

Первые три метода относительно простые, а последние два… да тоже простые ).

Метод декомпозиции поможет разобраться с показательными неравенствами с переменным основанием.

А анализ монотонности функций – со смешанными неравенствами, которые никак иначе не решаются.

Начнем?

Метод №1. Преобразование оснований

Если неравенство имеет вид: ({{a}^{fleft( x right)}}>{{b}^{gleft( x right)}}), то работаем с основаниями.

Преобразовываем их к такому виду, чтобы они являлись степенями одного и того же числа. (a={{c}^{q}},~b={{c}^{t}}), а затем решаем простейшее неравенство ({{с}^{qfleft( x right)}}>{{c}^{tgleft( x right)}}).

Кажется немного непонятно, не так ли? Однако дай мне пару минут, и все встанет на свои места. Реши следующие неравенства.

Пример 1. ({{27}^{x+2}}le 81)

Решение:

Заметим, что (27={{3}^{3}},~81={{3}^{4}}). Таким образом, левая и правая часть неравенства – есть степени тройки. Тогда все становится сразу понятным: исходное неравенство равносильно такому: ({{3}^{3left( x+2 right)}}le {{3}^{4}}), так как (3>1), то получаем, что (3left( x+2 right)le 4), раскроем скобки:

(3x+6le 4,~3xle -2,~xle -frac{2}{3}).

Отсюда, ответ: (xin left( -infty ;~-frac{2}{3} right]).

Теперь еще один пример, немного посложнее.

Пример 2. ({{5}^{4x+2}}<frac{125}{sqrt{{{5}^{-6}}}})

Ну и для закрепления последний пример на первый метод решения.

Пример 3. ({{2}^{{{x}^{2}}}}>{{left( frac{1}{2} right)}^{2{x} -3}})

Решение:

({{2}^{{{x}^{2}}}}>{{left( {{2}^{-1}} right)}^{2{x} -3}}),

({{2}^{{{x}^{2}}}}>{{2}^{-left( 2{x} -3 right)}}), откуда

({{x}^{2}}>-left( 2{x} -3 right)), что эквивалентно следующему квадратному неравенству:

Метод №2. Разложение на множители

Вторым методом решения неравенств является хорошо тебе знакомое разложение на множители.

Много слов не нужно. Просто решай примеры.

Пример 1. ({{3}^{x+2}}+{{3}^{{x} -1}}<28)

Решение:

Вынесем общий множитель в выражении слева за скобки. Какое выражение является этим множителем?

Конечно же, это ({{3}^{{x} -1}})

Тут стоит не кривить душой и сказать, что вы бы могли вынести и просто ({{3}^{x}}), и результат бы совпал, но принято выносить за скобки наименьшую из возможных степеней.

Итого, получим:

({{3}^{{x} -1}}({{3}^{3}}+{{3}^{1}})<28),

({{3}^{{x} -1}}cdot 28<28),

({{3}^{{x} -1}}<1={{3}^{0}}),

(x<1).

Ответ: (xin left( -infty ;1 right)).

Ничего сложного, правда? Все почти как в 7 классе, с той лишь разницей, что тут объекты немного другие.

Пример 2. ({{3}^{x+2}}+{{3}^{x+1}}+{{3}^{x}}le 39)

Решение:

({{3}^{x}}left( {{3}^{2}}+3+1 right)le 39),

({{3}^{x}}cdot 13le 39),

({{3}^{x}}le 3),

откуда (xle 1).

Ответ: (xin left( -infty ;1 right]).

Пример 3. ({{left( 0,3 right)}^{frac{x}{{x} -2}}}<{{left( 0,3 right)}^{frac{6}{{x} -1}}})

({{left( 0,3 right)}^{frac{x}{{x} -2}}}<{{left( 0,3 right)}^{frac{6}{{x} -1}}}), т.к. (0,3<1), то

(frac{x}{{x} -2}>frac{6}{{x} -1}),

приведем дроби к общему знаменателю:

Пример 4. ({{3}^{frac{2{x} -1}{{x} -2}}}<1)

({{3}^{frac{2{x} -1}{{x} -2}}}<1), тогда (frac{2{x} -1}{{x} -2}<0).

Данное неравенство снова решается методом интервалов:

Нанесем корни числителя и знаменателя на координатную ось, расставим знаки и получим ответ: (xin left( frac{1}{2};2 right))

Пример 5. ({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} -7 right)}}{{left( frac{49}{4} right)}^{2x+0,5}}ge 1)

({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} -7 right)}}{{left( frac{49}{4} right)}^{2x+0,5}}ge 1),

({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} -7 right)}}{{left( frac{{{7}^{2}}}{{{2}^{2}}} right)}^{2x+0,5}}ge 1),

({{left( frac{2}{7} right)}^{3left( 2{x} -7 right)}}{{left( frac{7}{2} right)}^{2left( 2x+0,5 right)}}ge 1),

так как ({{left( frac{2}{7} right)}^{-1}}=frac{7}{2}), то

Пример 6. ({{2}^{3-x}}+{{2}^{1-x}}>40)

({{2}^{-x}}left( {{2}^{3}}+2 right)>40),

({{2}^{-x}}>4),

(-x>2,~x<-2)

Ответ: (xin left( -infty ;~-2 right)).

Пример 7. ({{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<frac{121}{169})

({{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<frac{121}{169}),

({{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{left( frac{11}{13} right)}^{2}}),

({{left( frac{13}{11} right)}^{{{x}^{2}}-3x}}<{{left( frac{13}{11} right)}^{-2}}), так как (frac{13}{11}>1), то

Метод №3. Замена переменной

Еще одним приемом является замена переменной.

В таком случае мы сразу же сводим показательное неравенство к более простому виду: например, к квадратичному.

Затем решаем это «простое» неравенство и делаем обратную замену.

Вспомни, например, как решается уравнение

({{x}^{4}}+{{x}^{2}}-6=0),

Вспомнил?

Ты делал простую замену (t={{x}^{2}}), не забывая, что (tge 0), а затем уже решал совсем простое уравнение ({{t}^{2}}+t-6=0), находил его корни ({{t}_{1}}=-3) (этот корень нам не подходит, так как он меньше нуля), ({{t}_{2}}=2), а затем делал обратную замену: (2={{x}^{2}})

Последнее уравнение имеет корни ({{x}_{1}}=sqrt{2},~{{x}_{2}}=-sqrt{2}), которые и являются корнями нашего исходного уравнения.

При решении неравенств мы тоже можем прибегнуть к приему замены переменной. Но здесь есть один подводный камень… Заинтригован? Тогда решаем вместе!

Пример 1. (3cdot {{5}^{x}}-5cdot {{25}^{x}}+2>0)

Решение:

Перепишем данное неравенство в следующем виде:

(3cdot {{5}^{x}}-5cdot {{5}^{2x}}+2>0)

Теперь пора задуматься, а что дальше? Ясно, что первый метод решения здесь не поможет: у нас есть «противная» двойка, от которой нам никак не избавиться.

Это же мешает применить разложение на множители: от двойки мы никак не избавимся. Да и вынести выражение так, чтобы только одно выражение содержало (x), также не получится.

Надо придумать замену.

Какую? Обычно принято заменять выражение, содержащее минимальную степень (x).

В нашем случае это ({{5}^{x}}). Если мы введем замену (t={{5}^{x}}), то чем же будет являться ({{25}^{x}}={{5}^{2x}})?

Да, ты абсолютно правильно понял, ({{5}^{2x}}={{t}^{2}}). Тогда исходное выражение будет равносильно следующему:

(3cdot t-5cdot {{t}^{2}}+2>0)

Решим данное неравенство, предварительно умножив его на (left( -1 right)):

(5cdot {{t}^{2}}-3cdot t-2<0)

Решениями соответствующего уравнения будут числа:

({{t}_{1}}=1,~{{t}_{2}}=-frac{2}{5}).

Нас интересует знак “(–)“, поэтому решениями соответствующего неравенства будет промежуток (-frac{2}{5}<t<1). (конечный !!!!)

Данное двойное неравенство равносильно системе:

(left{ begin{array}{l}t>-frac{2}{5}\t<1end{array} right.).

Теперь вспомним о том, что такое (t): (t={{5}^{x}}). Тогда получим систему уже относительно (x):

(displaystyle left( 1 right) left{ begin{array}{l}{{5}^{x}}>-frac{2}{5}\{{5}^{x}}<1end{array} right.)

Известен факт, что выражение

({{a}^{x}}>0) (для любых (a) и (x)).

Таким образом, что можно сказать про наше первое неравенство в системе?

Да! Нам несказанно повезло, оно имеет решения при всех (x)!!!!

Так что решение системы будет равносильно решению второго ее неравенства! Здорово, правда?

Теперь разберемся со вторым неравенством.

Пример 2. (displaystyle 4cdot {{4}^{x}}-29cdot {{10}^{x}}+25cdot {{25}^{x}}le 0)

Решение:

Здесь мы столкнулись с тем, что сделать замену напрямую не представляется возможным – четверка – это степень двойки, а (displaystyle 25) – степень пятерки.

Однако у нас есть еще одно слагаемое посередине – (displaystyle {{10}^{x}}), которое равно (displaystyle {{5}^{x}}{{2}^{x}}).

Также представим (displaystyle {{4}^{x}}={{2}^{2x}},~{{25}^{x}}={{5}^{2x}}):

(displaystyle 4cdot {{2}^{2x}}-29cdot {{5}^{x}}{{2}^{x}}+25cdot {{5}^{2x}}le 0)

Теперь у нас есть одно слагаемое, содержащее степень двойки, одно – степень пятерки, и еще одно посередине – содержит произведение степеней.

Прием, который позволяет решать такие неравенства заключается в делении обеих его частей на либо (displaystyle {{2}^{2x}}) либо (displaystyle {{5}^{2x}}).

Что же у нас получится? Я разделю на (displaystyle {{5}^{2x}}):

(displaystyle 4cdot frac{{{2}^{2x}}}{{{5}^{2x}}}-29cdot frac{{{5}^{x}}{{2}^{x}}}{{{5}^{2x}}}+25le 0)

Преобразую, используя свойства степеней:

(displaystyle 4cdot {{left( frac{2}{5} right)}^{2x}}-29cdot {{left( frac{2}{5} right)}^{x}}+25le 0)

Теперь замена очевидна, правда?

(displaystyle 4cdot {{t}^{2}}-29cdot t+25le 0), где (displaystyle t={{left( frac{2}{5} right)}^{x}})

Решаю последнее неравенство, получу (а ты получи сам!!) систему:

Не так уж все и страшно, правда?

Пример 3. (displaystyle sqrt{{{9}^{x}}-{{3}^{x+2}}}>{{3}^{x}}-9)

(displaystyle sqrt{{{9}^{x}}-{{3}^{x+2}}}>{{3}^{x}}-9Rightarrow )

(displaystyle sqrt{{{3}^{2x}}-9cdot {{3}^{x}}}>{{3}^{x}}-9, t={{3}^{x}}Rightarrow )

(displaystyle sqrt{{{t}^{2}}-9cdot t}>t-9), откуда:

(displaystyle left{ begin{array}{l}{{t}^{2}}-9tge 0~left( ОДЗ квадратного корня right)\t>0~left( из-за замены right)\{{t}^{2}}-9cdot t>{{left( t-9 right)}^{2}}end{array} right.)

Решение полученной системы, а так же обратную замену я предоставляю тебе в качестве упражнения.

Ответ: (left(2; +infty right)).

Пример 4. (displaystyle 3cdot {{2}^{2x}}-5cdot {{6}^{x}}+2cdot {{3}^{2x}}>0)

Делим обе части на (displaystyle {{3}^{2x}}), получим:

(displaystyle 3{{left( frac{2}{3} right)}^{2x}}-5{{left( frac{2}{3} right)}^{x}}+2>0),

замена (displaystyle t={{left( frac{2}{3} right)}^{x}}) приводит к неравенству:

(displaystyle 3{{t}^{2}}-5t+2>0),

Которое я опять-таки доверяю решить тебе самостоятельно. Уверен, ты меня не подведешь!

Ответ: (displaystyle xin left( -infty ;0 right)mathop{cup }^{}left( 1;+infty right))

Пример 5. (displaystyle {{left( frac{1}{36} right)}^{x}}-5cdot {{6}^{-x}}-6<0)

(displaystyle {{left( frac{1}{36} right)}^{x}}-5cdot {{6}^{-x}}-6<0),

сделаем замену (displaystyle t={{6}^{-x}}), получим:

(displaystyle {{t}^{2}}-5t-6<0) и т. д.

Ответ: (displaystyle xin left( -1;+infty right))

Пример 6. (displaystyle {{2}^{x+2}}-{{2}^{x+3}}-{{2}^{x+4}}>{{5}^{x+1}}+{{5}^{x+2}})

Вынесем общий множитель из левой и правой части:

(displaystyle {{2}^{x}}left( 4-8-16 right)>{{5}^{x}}left( 5+25 right))

(displaystyle -20cdot {{2}^{x}}>30cdot {{5}^{x}})

Левая часть неравенства всегда меньше нуля, а правая – всегда больше, значит, левая часть никогда не превосходит правую, и неравенство не имеет решений.

Пример 7. (displaystyle {{6}^{frac{{x} -7}{3}}}-{{6}^{frac{13-x}{3}}}-35>0)

(displaystyle {{6}^{frac{{x} -7}{3}}}-{{6}^{frac{13-x}{3}}}-35>0Rightarrow )

(displaystyle Rightarrow {{6}^{frac{x}{3}}}{{6}^{frac{-7}{3}}}-{{6}^{-frac{x}{3}}}{{6}^{frac{13}{3}}}-35>0,)

(displaystyle {{6}^{frac{x}{3}}}{{6}^{frac{-7}{3}}}-frac{1}{{{6}^{frac{x}{3}}}}{{6}^{frac{13}{3}}}-35>0),

замена (displaystyle t={{6}^{frac{x}{3}}}) и умножение обеих частей неравенства на (displaystyle t) приводит к неравенству

(displaystyle {{6}^{frac{-7}{3}}}{{t}^{2}}-{{6}^{frac{13}{3}}}-35t>0), решение которого остается на твоей совести.

Ответ: (displaystyle xin left(13;+infty right)).

Теперь мы с тобой владеем всеми необходимыми знаниями для решения таких неподступных «монстров», как неравенства повышенной сложности из ЕГЭ.

Конечно, те неравенства в которых есть пока что «непонятные» логарифмы, я здесь не привожу (приведу далее, так что от них ты тоже никуда не денешься), а вот с показательными мы вполне в состоянии справиться!

Здесь нет ничего сложного, вся техника для их решения уже у тебя в руках!

Давай посмотрим еще на один совсем простой пример (ума не приложу, почему он считается сложным?!)

Пример 8. (displaystyle left{ begin{array}{l}{{5}^{x}}+{{left( frac{1}{5} right)}^{x}}>2\{{2}^{{{x}^{2}}}}le 64cdot {{2}^{x}}end{array} right.)

Решение:

Не так страшен черт, как его малюют 🙂 Берем первое неравенство:

(displaystyle {{5}^{x}}+{{left( frac{1}{5} right)}^{x}}>2).

Перепишем его в виде: (displaystyle {{5}^{x}}+{{5}^{-x}}>2) и домножим обе части на положительное выражение (displaystyle {{5}^{x}}), тогда получим:

(displaystyle {{5}^{2x}}+1-2cdot {{5}^{x}}>0).

Я думаю, ты догадался, что дальше)

Пример 9. Вверху у нас – показательное неравенство, а снизу – дробно-рациональное:

(displaystyle left{ begin{array}{l}frac{2}{{{5}^{x}}-1}+frac{{{5}^{x}}-2}{{{5}^{x}}-3}ge 2\{{left( frac{2}{25{{x}^{2}}-10{x} -8}+frac{25{{x}^{2}}-10{x} -8}{2} right)}^{2}}ge 4end{array} right.)

Очередная помесь «бульдога с носорогом». Вверху у нас – показательное неравенство, а снизу – дробно-рациональное, причем устрашающего вида.

Вот с него бы мне и хотелось начать.

Решение:

Конечно, ничто не мешает нам решить его, как говорится, в «лоб». Только сам его вид должен отталкивать тебя от такой неразумной мысли. Все на самом деле довольно просто.

Давай заметим, что первое слагаемое скобки – перевернутое второе и наоборот. Таким образом, я могу сказать, что внутри у нас написана сумма величин вида: (displaystyle a+frac{1}{a}).

Знаешь, как называются такие величины? Они называются взаимно-обратными.

Кстати, посмотри на первое уравнение предыдущего примера. Увидел? Да, там тоже сумма подобного вида. В том случае мы доказали, что неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме нуля. При нуле мы получали двойку.

Таким образом, я утверждаю, что для всех сумм вида: (displaystyle a+frac{1}{a}) выполняется следующее неравенство:

(displaystyle a+frac{1}{a}ge 2), при (displaystyle a>0);
(displaystyle a+frac{1}{a}le -2), при (displaystyle a<0).

Ты можешь сам без труда доказать это утверждение. А что же из него следует? А вот что:

(displaystyle {{left( a+frac{1}{a} right)}^{2}}ge 4), при всех (displaystyle ane 0)!!!

Таким образом, нам лишь нужно «откинуть» те значения, при которых выражение (displaystyle 25{{x}^{2}}-10{x} -8) равно нулю (иначе оно обнулит знаменатель!).

Мы без труда найдем такие числа:

(displaystyle {{x}_{1}}=frac{4}{5},{{x}_{2}}=-frac{2}{5}).

Тогда второе неравенство имеет место при всех действительных (displaystyle x), кроме (displaystyle frac{4}{5}), (displaystyle -frac{2}{5}).

Теперь решим первое неравенство: (displaystyle frac{2}{{{5}^{x}}-1}+frac{{{5}^{x}}-2}{{{5}^{x}}-3}ge 2).

Сразу же сделаем замену переменных: (displaystyle t={{5}^{x}}). Тогда получим:

(displaystyle frac{2}{t-1}+frac{t-2}{t-3}ge 2)

Приведем выражение к общему знаменателю и получим:

(displaystyle frac{left( t-5 right)left( t-2 right)}{left( t-1 right)left( t-3 right)}le 0)

Решим данное неравенство методом интервалов, тогда получим:

Метод №4. Метод декомпозиции при решении показательных неравенств

В заключение я бы хотел рассмотреть еще один мощный метод решения показательных неравенств – метод декомпозиции.

Он особенно тебе пригодится, когда тебе придется иметь дело с показательными неравенствами с переменным основанием. Например, с вот таким:

(displaystyle {{left| {x} -3 right|}^{frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}}}>1)

В чем вся беда? А неприятность в том, что переменная в основании влияет на знак неравенства между показателями.

В самом деле, если основание больше единицы, то знак неравенства сохраняется, а если же оно больше нуля и меньше единицы, то знак неравенства меняется на противоположный.

Однако, существует универсальный метод решения таких сложных неравенств. Это метод декомпозиции, сводящий одно сложное неравенство к куче мелких, но попроще.

Вначале я рассмотрю формулы, а потом применю их к нашему примеру.

Неравенство (displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}~vee ~h{{left( x right)}^{fleft( x right)}}~left( 1 right)) равносильно следующей системе: (displaystyle left{ begin{array}{l}left( hleft( x right)-1 right)left( gleft( x right)-fleft( x right) right) vee ~0\hleft( x right)>0end{array} right.)

Неравенство (displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}-1~vee ~0 left( 2 right)) равносильно следующей системе: (displaystyle left{ begin{array}{l}left( hleft( x right)-1 right)gleft( x right)~ vee ~0\hleft( x right)>0end{array} right.)

Неравенство (displaystyle f{{left( x right)}^{hleft( x right)}}~vee ~g{{left( x right)}^{hleft( x right)}} left( 3 right)) равносильно следующей системе: (displaystyle left{ begin{array}{l}left( fleft( x right)-gleft( x right) right)hleft( x right)~vee ~0\fleft( x right)>0\gleft( x right)>0end{array} right.)

Я объясню тебе, откуда берутся эти правила. Например, рассмотрим первое из перечисленных неравенств.

(displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}~vee ~h{{left( x right)}^{fleft( x right)}})

То, что (displaystyle hleft( x right)>0) следует непосредственно из определения основания. Как же получилось первое неравенство?

В частности, если (displaystyle 0<hleft( x right)<1), то неравенство (displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}>~h{{left( x right)}^{fleft( x right)}}) влечет за собой (displaystyle gleft( x right)<fleft( x right)).

С другой стороны, так как (displaystyle hleft( x right)-1<0), то неравенство

(displaystyle left(gleft( x right)-fleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) имеет место только тогда, когда (displaystyle gleft( x right)-fleft( x right)<0) или (displaystyle gleft( x right)<fleft( x right)).

Получили, что при (displaystyle 0<hleft( x right)<1) неравенства (displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}>~h{{left( x right)}^{fleft( x right)}}) и (displaystyle left( gleft( x right)-fleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) равносильны (учитывая, конечно, ОДЗ на основание).

Аналогично ты можешь получить, что эти же неравенства будут равносильны и при (displaystyle hleft( x right)>1). Аналогичным образом получаются и все другие системы неравенств.

Давай вернемся к нашему примеру. Я напомню тебе его:

(displaystyle {{left| {x} -3 right|}^{frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}}}>1)

Смотрим, к неравенству какого типа он относится? А к вот такому: (displaystyle h{{left( x right)}^{gleft( x right)}}-1>~0). Значит, решить его, это все равно, что решить вот такую систему

(displaystyle left{ begin{array}{l}left( left| {x} -3 right|-1 right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\left| {x} -3 right|>0end{array} right.)

Давай вначале решим нижнее неравенство: так как по определению модуль – число неотрицательное, то (displaystyle left| {x} -3 right|>0) всюду, кроме (displaystyle x=3) – та точка, где модуль нулевой. Тогда исходная система равносильна

(displaystyle left{ begin{array}{l}left( left| {x} -3 right|-1 right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\xne 3end{array} right.)

Теперь нужно решить сложное первое неравенство. Опять-таки, нам нужно разбить его, анализируя два случая. Каких? Что у нас дает эти случаи?

Это опять-таки модуль! Если (displaystyle x>3), то (displaystyle left| {x} -3 right|=left( {x} -3 right)), а если же (displaystyle x<3), то (displaystyle left| {x} -3 right|=-left( {x} -3 right)=3-x).

Объединим эти условия, записав новую систему:

(displaystyle left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}left( {x} -4 right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x>3end{array} right.\left{ begin{array}{l}left( 2-x right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x<3end{array} right.end{array} right.\xne 3end{array} right.)

Ну что же, теперь наша цель – решить каждую из этих систем в совокупности. Начнем?

(displaystyle left{ begin{array}{l}left( {x} -4 right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x>3end{array} right.)

(displaystyle {{x}^{2}}-8x+15=left( {x} -3 right)left( {x} -5 right))

(displaystyle frac{left( {x} -3 right)left( {x} -5 right)left( {x} -4 right)}{{x} -2}>0)

Решим неравенство методом интервалов:

(displaystyle xin left( -infty ;2 right)mathop{cup }^{}left( 3;4 right)mathop{cup }^{}left( 5;+infty right))

Однако, надо учесть, что (displaystyle x>3). Тогда первая система имеет следующее множество решений:

(displaystyle xin left( 3;4 right)mathop{cup }^{}left( 5;+infty right))

Теперь черед второй системы.

(displaystyle left{ begin{array}{l}left( 2-x right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x<3end{array} right.)

Так как (displaystyle 2-x) и (displaystyle {x} -2) отличаются только знаком, то при любых (displaystyle xne 2) имеем:

(displaystyle frac{2-x}{{x} -2}=-1). Тогда систему я перепишу в следующем виде:

(displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-8x+15<0\x<3\xne 2end{array} right.)

Решаю методом интервалов:

(displaystyle {{x}^{2}}-8x+15<0)

(displaystyle xin left( 3;5 right))

В то же время второе неравенство говорит нам о том, что (displaystyle x<3)! Тогда делаем вывод: данная система решений не имеет. Отсюда решением совокупности

(displaystyle left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}left( {x} -4 right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x>3end{array} right.\left{ begin{array}{l}left( 2-x right)frac{{{x}^{2}}-8x+15}{{x} -2}>0\x<3end{array} right.end{array} right.)

будет решение первой системы:

(displaystyle xin left( 3;4 right)mathop{cup }^{}left( 5;+infty right))

Поскольку здесь уже учтено, что (displaystyle xne 3), то решение системы

Совпадает с решением совокупности и будет

(displaystyle xin left( 3;4 right)mathop{cup }^{}left( 5;+infty right))

Ответ: (displaystyle xin left( 3;4 right)mathop{cup }^{}left( 5;+infty right)).

Теперь попробуй проделать похожие выкладки вот для такого примера (он покажется тебе легким по сравнению с предыдущим):

(displaystyle {{left( x+2 right)}^{x}}>{{left( x+2 right)}^{{{x}^{2}}+2}})

и сравни свой ответ с моим:

(displaystyle xin left( -2;-1 right)).

Теперь ты вполне можешь справиться с решением многих, очень многих примеров 19 задачи.

Решай, не боясь их внешнего вида, на самом деле стоит лишь немного подумать, и все окажется простым! Я уверен, теперь у тебя все получится!

Сравнивай ответы и гордись своими приобретенными знаниями!

Метод №5. Анализ монотонности функций

Последним по номеру, но не по значимости, является решение неравенства методом анализа монотонности функции. Данный метод достаточно хитер: не всегда ясно, когда его следует применять. Я бы прибегал к нему в последнюю очередь.

Однако, если твое неравенство является смешанным то данного метода уже, увы, не избежать.

Например ({{2}^{x}}>1-x) – смешанное неравенство.

Оно включает в себя не только степени, но и линейное выражение (1-x)).

В дополнение к уже изложенному выше материалу, рассмотрим такие неравенства, которые не удается решать обыкновенными методами.

К «обыкновенным» обычно относят разложение на множители, замену переменных, элементарные преобразования оснований и т. д.

Далеко не все неравенства можно решить таким образом. Я бы сказал, что большинство тех неравенств, с которыми математики сталкиваются в реальности, не поддаются такому простому решению.

И здесь мы и рассмотрим один из методов решения таких «непростых» неравенств.

Все мои дальнейшие рассуждения будут основаны на таком понятии, как монотонность функции.

Ты уже не раз сталкивался с этим термином. Например, функция (displaystyle ~fleft( x right)=2x+1) монотонно возрастает на всей числовой прямой, а (displaystyle fleft( x right)=-{{x}^{0,5}}) – монотонно убывает. Еще раз напомню, что это значит.

Определение:

(displaystyle fleft( x right)) монотонно возрастает на (displaystyle left[ a,b right]), если для любых (displaystyle {{x}_{1}}) и (displaystyle {{x}_{2}}) из этого промежутка из того, что (displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}) следует, что (displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)) и наоборот, из того, что (displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}) следует, что (displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right)).

Определение:

(displaystyle fleft( x right)) монотонно убывает на (displaystyle left[ a,b right]), если для любых (displaystyle {{x}_{1}}) и (displaystyle {{x}_{2}}) из этого промежутка из того, что (displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}) следует, что (displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right)) и наоборот, из того, что (displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}) следует, что(displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)).

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к показательной функции (displaystyle fleft( x right)={{a}^{x}}), известно, что выполняется следующая теорема:

Если (displaystyle a>1), то функция (displaystyle fleft( x right)={{a}^{x}}) является монотонно возрастающей, если (displaystyle 0<a<1), то функция (displaystyle fleft( x right)={{a}^{x}}) является монотонно убывающей.

Также хорошо известно, что имеет место следующее утверждение:

Если (displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)) и (displaystyle fleft( x right)) – монотонно возрастающая (или постоянная), а (displaystyle gleft( x right)) – монотонно убывающая функции (или постоянная) , то уравнение (displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)) имеет не более одного корня.

Как нам это перефразировать на язык неравенств? Ведь мы решаем именно их, а не уравнения. А делается это довольно просто:

Давай посмотрим на картинку и все сразу поймем:

Например, пусть нам необходимо решить неравенство: (displaystyle {{2}^{-x}}>frac{x}{2}),

Мы видим, что левая часть неравенства есть убывающая функция (displaystyle fleft( x right)={{2}^{-x}}={{0,5}^{x}}) , а правая – возрастающая.

Тогда находим их (единственную!) точку пересечения. Нашли, это (displaystyle x=1).

Что же мы видим на рисунке? А то, что после того, как (displaystyle x>1) возрастающая функция всюду больше, чем убывающая (график возрастающей лежит выше), а значит, неравенство (displaystyle {{2}^{-x}}>frac{x}{2}) имеет место при всех (displaystyle x<1).

Мы получаем следующий алгоритм:

Пусть дано неравенство(displaystyle fleft( x right)>gleft( x right)), где (displaystyle fleft( x right)) – убывающая, а (displaystyle gleft( x right)) – возрастающая. Тогда:

Правило 1. Ищем корень (максимум единственный) уравнения (displaystyle fleft( x right)=gleft( x right))
Если корня нет, то сразу делаем вывод, что всюду (displaystyle gleft( x right)>fleft( x right)), а потому исходное неравенство не имеет решений.
Если нашелся корень (displaystyle {{x}_{0}}), то исходное неравенство имеет место при (displaystyle xin left( -infty ;{{x}_{0}} right))

Попробуй сам привести алгоритмы для других случаев неравенств. Я уверен, у тебя это без проблем получится. Стоит только нарисовать картинки и внимательно посмотреть на них. Готово? Отлично, тогда у нас есть мощный арсенал для решения самых различных показательных неравенств.

Пример 1:

Решите неравенство: (displaystyle {{2}^{x}}+{{3}^{x}}>{{5}^{x}}).

Разделим обе части на (displaystyle {{5}^{x}}), получим, что:

(displaystyle {{left( frac{2}{5} right)}^{x}}+{{left( frac{3}{5} right)}^{x}}>1)

Слева мы с тобой получили сумму двух убывающих функций. Как ты думаешь, какой будет сумма двух убывающих функций? Правильно, она снова будет убывающей!!

Запомни правило, оно часто помогает выйти из очень затруднительных ситуаций!!

Правило 2. (displaystyle Убывающая+убывающая=убывающая)
(displaystyle Возрастающая+возрастающая=возрастающая)
(displaystyle Возрастающая-убывающая=возрастающая)
(displaystyle Убывающая-возрастающая=убывающая)

Итак, слева у нас сумма двух убывающих функций, а справа – постоянная (displaystyle 1).

Уравнение (displaystyle {{left( frac{2}{5} right)}^{x}}+{{left( frac{3}{5} right)}^{x}}=1) имеет единственный корень (displaystyle {{x}_{0}}=1). Тогда в соответствии с правилом 1 получим (displaystyle xin left( -infty ;1 right)).

Теперь рассмотрим еще один пример.

Пример 2:

(displaystyle x{{4}^{x}}>4)

Рассмотрим 2 случая:

1) Пусть (displaystyle x>0), тогда разделим обе части неравенства на положительный (displaystyle x):

(displaystyle {{4}^{x}}>frac{4}{x})

Слева у нас стоит возрастающая функция, а справа – убывающая при (displaystyle x>0).

Корень уравнения (displaystyle {{4}^{x}}=frac{4}{x}) равен (displaystyle 1) и является единственным. Тогда при (displaystyle x>0) неравенство имеет решение: (displaystyle x>1).

2) Теперь пусть (displaystyle x<0), разделю обе части (displaystyle x{{4}^{x}}>4) на отрицательный (displaystyle x). Получу (displaystyle {{4}^{x}}<frac{4}{x}).

При (displaystyle x<0), но левая часть неравенства всегда положительна, в то время как правая – всегда отрицательна. Тогда (displaystyle {{4}^{x}}<frac{4}{x}) не имеет решений при отрицательных (displaystyle x). И ответом будет (displaystyle xin left( 1;+infty right)).

Самостоятельно реши примеры на анализ монотонности функций

(displaystyle {{2}^{sqrt{x}}}+{{3}^{sqrt{x}+1}}+{{4}^{sqrt{2}+2}}>20)
(displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}-4x+9}}<frac{1}{1+left| x-3 right|})

Решение:

Пример 1. Давай разберемся. Первый пример достаточно легкий и решается технично и быстро.

Сразу заметим, что (displaystyle xge 0) (свойство корня).

Ясно, что слева записана сумма возрастающих функций, поэтому все выражение слева возрастает, тогда как справа – постоянно.

Единственная точка, в которой они совпадают – (displaystyle x=0).

Ответ: (displaystyle xin left( 0;+infty right)).

Пример 2. Второй пример потруднее, здесь появляется выражение, зависящее от модуля. Рассмотрим его подробнее.

Во-первых, ясно, что выражение справа всегда не больше, чем (displaystyle 1). Причем равенство достигается при (displaystyle x=3).

Далее, при (displaystyle x>3) выражение принимает форму (displaystyle frac{1}{x-2}), а при (displaystyle x<3) мы имеем:

(displaystyle frac{1}{4-x}), таким образом, всюду правая часть не больше (displaystyle 1), причем при (displaystyle x>3) функция монотонно возрастает, а при (displaystyle x<3) – монотонно убывает.

Рассмотрим теперь показатель выражения слева:

(displaystyle {{x}^{2}}-4x+9), ясно, что дискриминант данного выражения равен (displaystyle -20<0), но (displaystyle gleft( x right)=~{{x}^{2}}-4x+9) – парабола с ветвями, направленными вверх с вершиной (displaystyle {{x}_{0}}=frac{4}{2}=2).

В этой точке функция достигает своего наименьшего значения (displaystyle gleft( 2 right)=~{{2}^{2}}-4cdot 2+9=5), а значит наименьшее значение (displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}-4x+9}}) равно (displaystyle {{2}^{5}}=32).

В то время, как наибольшее значение правой части равно (displaystyle 1).

Таким образом, левая часть всюду больше правой части и исходное неравенство не имеет решений.

Бонусы. Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №15. Показательные уравнения и неравенства. Сравнение чисел. Логарифмы

В этом видео мы научимся решать сложные показательные уравнения и неравенства.

Чаще всего они сводятся к квадратным или рациональным.

В сложных неравенствах нам никто не гарантирует, что концы интервалов получатся “красивыми” – частенько там возникают логарифмы.

Поэтому, чтобы знать, как эти точки располагаются на числовой прямой, нам необходимо уметь сравнивать значения логарифмов (друг с другом и с “обычными” числами). Это мы также научимся делать.

ЕГЭ №15. Смешанные неравенства. Логарифмические и тригонометрические

“Задачу №15 мы на курсе уже научились решать: разобрали по косточкам и показательные, и логарифмические (в том числе с переменными основаниями), и смешанные неравенства.

Ну и системы неравенств не забыли.

Бонусом прошлись по иррациональным неравенствам и неравенствам с модулем.

Но погодите, не выдыхайте пока. Поиграем в слабо! А слабо скрестить логарифмы с тригонометрией?

Этим и займемся в задаче на логарифмы с разными основаниями. Мы решим эту сложную задачу 2-мя способами!”

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи

тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
репетиторский стаж – c 2003 года;
в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Источник

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

^New

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Квадратичные неравенства

Метод интервалов

Уравнения и неравенства с модулем

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства

1. Решите неравенство:

$frac{{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 1}}{ +}frac{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 3}} geq { 2.}$

Сделаем замену

Тогда , а

Получим:

$frac{{ 2}}{{ t+1}}{ +}frac{{ t}}{{ t-1}} geq { 2};$

$frac{{ 2}{ t}{ -}{ 2+}{{ t}}^{{ 2}}{ +}{ t}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}}{ -}{ 2} geq{ 0};$

$frac{{{ t}}^{{ 2}}{ +3}{ t}{ -}{ 2-2}{{ t}}^{{ 2}}{ +2}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};$

$frac{{ 3}{ t}{ -}{{ t}}^{{ 2}}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};$

$frac{{ t}left({ t}{ -}{ 3}right)}{left({ t}{ -}{ 1}right)left({ t}{ +1}right)}le { 0}.$

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

$left[ begin{array}{c}{ -}{ 1 textless t}le { 0} \{ 1 textless t}le { 3} end{array}right..$

Вернемся к переменной x: $left[ begin{array}{c} -1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq0 \ 1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq 3 end{array} right. .$

$left[ begin{array}{c} {{2}over{sqrt{5}}} textless xleq {{4}over{sqrt{5}}}\ {{6}over{sqrt{5}}} textless xleq {{10}over{sqrt{5}}} end{array} right. .$

Ответ: $xin left(frac{{ 2}}{sqrt{{ 5}}};frac{{ 4}}{sqrt{{ 5}}}right]cup left(frac{{ 6}}{sqrt{{ 5}}};{ 2}sqrt{{ 5}}right].$

Показательные неравенства

2. Решите неравенство $2^x+17cdot 2^{3-x}le 25.$

$2^x+17cdot frac{8}{2^x}le 25.$

Сделаем замену Получим:

$t+17cdot frac{8}{t}-25le 0.$ Умножим неравенство на

Дискриминант квадратного уравнения

$D={left(-25right)}^2-4cdot 136=625-544=81.$ Значит, корни этого уравнения: $left[ begin{array}{c}t_1=17 \t_2=8 end{array}.right.$

Разложим квадратный трехчлен на множители.

. Вернемся к переменной x.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

$2^3le 2^xle 2^{{{log }_2 17}};$

$3le xle {{log }_2 17};$

Ответ: $xin left[3;{{log }_2 17}right].$

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.

3. Решите неравенство $2^{2x-x^2-1}+frac{1}{2^{2x-x^2}-1}le 2.$

Сделаем замену $2^{2x-x^2}=t,t textgreater 0.$ Получим:

$frac{t}{2}+frac{1}{t-1}-2le 0;$

$frac{t^2-t+2-4t+4}{2left(t-1right)}le 0;$

$frac{t^2-5t+6}{t-1}le 0;$

$frac{left(t-2right)left(t-3right)}{t-1}le 0.$

$left[ begin{array}{c}t textless 1 \2le tle 3 end{array} .right.$

Вернемся к переменной $x:left[ begin{array}{c}2^{2x-x^2} textless 1 \{2le 2}^{2x-x^2}le 3 end{array}.right.$

Первое неравенство решим легко: С неравенством ${2le 2}^{2x-x^2}$ тоже все просто. Но что делать с неравенством $2^{2x-x^2}le 3$ ? Ведь $3 = 2^{{{log }_2 3}}.$ Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим $t=2^{2x-x^2}.$ Для этого рассмотрим функцию $tleft(xright)=2^{2x-x^2}.$

Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

Тогда $2^{zleft(xright)}le 2$ , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.

Но если ${2le 2}^{2x-x^2}$ и $2^{2x-x^2}le 2$ , то $2^{2x-x^2}=2.$

Мы получили:

$left[ begin{array}{c} 2x-x^2 textless 0\ 2x-x^2=1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x(x-2) textgreater 0\ x^2-2x+1=0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\(x-1)^2=0end{array} right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\ x=1end{array}. right.$

Ответ:

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство $2{{log}_{frac{1}{2}} left(1-xright) textless {{log}_{frac{1}{2}} left(3x+1right)}}.$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

$2log_{{1}over{2}}(1-x) textless log_{{1}over{2}}(3x+1)Leftrightarrow left{begin{matrix} 1-x textgreater 0\3x+1 textgreater 0 \(1-x)^2 textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater -{{1}over{3}} \ 1+x^2-2x textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x^2-5x textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\ x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x(x-5) textgreater 0 end{matrix} .right.$

Ответ: $xin left(-frac{1}{3};0right).$

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство $2{{{log}_2}^2 {{cos}^2 x+7{{log}_2 {cos x} geq 1}}}.$

$2{{{log }_2}^2 {{cos }^{{ 2}} x+7{{log }_2 {cos x} geq 1}}}.$

ОДЗ:

Замена ${{log }_2 {cos x}=t} Rightarrow {{log }_2 {{cos }^{{ 2}} x}}=2{{log }_2 {cos x=2t}}.$

$2cdot {left(2tright)}^2+7t-1 geq 0;$

$t_1=frac{-7-9}{16}=-1;$

$t_2=frac{-7+9}{16}=frac{1}{8}.$

$(t+1)(t-{{1}over{8}})geq 0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} t leq -1 \ t geq {{1}over{8}} end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} log_2,cosx leq-1 \ log_2,cosx geq {{1}over{8}} end{array} right.$
$Leftrightarrow left{begin{matrix} left[ begin{array}{c} cosxleq{{1}over{2}} \ cosxgeqsqrt[8]{2} end{array} right. \ cosx textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow 0 textless cosxleq{{1}over{2}}.$

Ответ: $xin left(-frac{pi }{2}+2pi k;left.-frac{pi }{3}+2pi kright]right.cup left[frac{pi }{3}+2pi k;left.frac{pi }{2}+2pi kright), kright.in Z.$

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство: ${{log }_{{ 3-x}} frac{{ x+4}}{{left({ x-3}right)}^{{ 2}}}} geq { -2}.$

$log_{3-x}frac{x+4}{(x-3)^2}geq-2Leftrightarrow left{begin{matrix} 3-x textgreater 0\3-xneq1 \ {x+4over (x-3)^2} textgreater 0 \ log_{3-x} {{x+4}over(x-3)^2}+2geq 0 end{matrix} .right.$

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что ${left({ a-b}right)}^{{ 2}}{ =}{left({ b-a}right)}^{{ 2}}{ }$ . Используем также условия

$left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x+4 textgreater 0 \ log_{3-x}(x+4)-log_{3-x}(3-x)^2+2geq0 end{matrix}right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x textgreater -4 \ log_{3-x}(x+4)geq0 end{matrix}.right.$

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, ${{log }_{{ a}} {left({ b}left({ x}right)right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ a}} left|{ b}left({ x}right)right|}}.$

Поскольку ${ 3-}{ x}{ textgreater 0,}{{ log}}_{{ 3-x}}{left({ 3-x}right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ 3-x}} left|{ 3-x}right|{ =}}{ 2}{{log }_{{ 3-x}} left({ 3-x}right){ =2.}}$

Согласно методу замены множителя, выражение ${{ log}}_{{ 3-x}}left({ x+4}right)$ заменим на

Получим систему:

$left{ begin{array}{c}{ x}ne { 2} \{ -}{ 4}{ textless x textless 3} \left({ 2-x}right)left({ x+3}right) geq { 0} end{array}.right.$

Решить ее легко.

Ответ: .

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

${{log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 xleq 4}}.$

ОДЗ: $left{ begin{array}{c}x-5 textgreater 0 \x textgreater 0 end{array}Longleftrightarrow x textgreater 5.right.$

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

${{log }_2 left(9-5right)={{log }_2 4=2}};$

${{log }_3 9=2};$

${{log }_2 left(9-5right)+{{log }_3 9=4}}.$

Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции ${{{ y=}log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 x}}$ равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ: (5; 9].

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Посмотрите на еще одну таблицу. В ней представлены степени (frac{1}{3}):

$$left(frac{1}{3}right)^0=1;$$
$$left(frac{1}{3}right)^1=frac{1}{3};$$
$$left(frac{1}{3}right)^2=frac{1}{9};$$
$$left(frac{1}{3}right)^3=frac{1}{27};$$
$$left(frac{1}{3}right)^4=frac{1}{81};$$
$$left(frac{1}{3}right)^5=frac{1}{243};$$

Оказывается, чем в большую степень мы будем возводить (frac{1}{3}), тем МЕНЬШЕЕ значение будем получать. Показательная функция с основанием (frac{1}{3}) будет убывающей. Более того, если возводить в степень любую дробь меньшую единицы, с увеличением степени вы всегда будете получать всё меньшие и меньшие значения. Чтобы наглядно это продемонстрировать, нарисуем еще один график функции (y=(frac{1}{3})^x):

Из всего этого занудства следует очень важное общее правило:
Если основание у степени больше единицы (a>1), то показательная функция будет возрастающей, а если меньше единицы (0 lt a lt 1), то убывающей. Это ключевой момент при решении показательных неравенств!

Решение показательных (степенных) неравенств похоже на решение показательных уравнений с некоторыми оговорками. Начнем изучение с простейшего примера:

Пример 1
$$ 2^x>2^3; $$
Это неравенство решается интуитивно. Понятное дело, что чем в большую степень мы будем возводить двойку, тем большее значение будем получать. Основание больше единицы, а значит, показательная функция возрастающая!

Основания у нас одинаковые. Значит, если вместо (x) подставить любое число большее 3, мы получим верное неравенство. Решением нашего первого показательного неравенства будет:
$$ x>3;$$

Пример 2
$$3^{x+4}<3^{3x-10};$$
Основания одинаковые, большие единицы, а значит, у нас опять возрастающие функции — чем больше степень, тем больше значение показательной функции. Логично, что наше неравенство в таком случае сводится к сравнению степеней с сохранением знака неравенства:
$$x+4<3x-10;$$
$$-2x<-14;$$
При делении на отрицательное число не забываем поменять знак неравенства:
$$x>7;$$

Пример 3
$$ left(frac{1}{2}right)^x>left(frac{1}{2}right)^5;$$

Очень похожее неравенство, основания опять одинаковые, но они меньше единицы. Что это меняет? Знак неравенства!
Раз основание показательной функции меньше единицы, значит она убывающая — чем больше степень, тем меньше значение показательной функции. Поэтому для того, чтобы неравенство выполнялось, необходимо опять сравнить степени, но с противоположным знаком:
$$x<5;$$

Пример 4
$$left(frac{2}{3}right)^{2x-5}geleft(frac{2}{3}right)^{x+1};$$
Основания одинаковые и меньше единицы, значит избавляемся от основания (frac{2}{3}) и сравниваем степени, не забывая при этом изменить знак неравенства:
$$2x-5 le x+1;$$
$$x le 6;$$

Пример 5

$$2^{x+2} le 8^{2x-1};$$

Этот пример немного сложнее — здесь разные основания (слева 2, справа 8). Чтобы решить по аналогии с предыдущими примерами, нужно привести к одинаковым основаниям. Заметим, что восемь можно представить в виде степени двойки: (8=2^3). Подставим в исходное неравенство:
$$2^{x+2} le (2^3)^{2x-1};$$
Из свойства степеней: $$(a^n)^m=a^{n*m}.$$
$$2^{x+2} le 2^{3*(2x-1)};$$
Теперь основания одинаковые и больше единицы, избавляемся от них, оставляя знак неравенства неизменным:
$$x+2 le 3*(2x-1);$$
$$x+2 le 6x-3;$$
$$-5x le -5;$$
$$x ge 1.$$

Общий алгоритм

Сформулируем еще раз общие правила решения простых показательных неравенств:

Необходимо привести показательные функции слева и справа к одинаковому основанию
Избавляемся от оснований
Если основание больше единицы, то знак неравенства сохраняется
Если основание меньше единицы, то меняем знак неравенства на противоположный
Решаем получившееся неравенство

Схема решения

$$a^{f(x)}>a^{g(x)};$$
где (a>0; ; aneq1) — некоторое положительное число, а (f(x)) и (g(x)) какие-то зависящие от (x) выражения.
Если (a>1): то (f(x)>g(x));
Если (0 lt a lt 1:) то (f(x) lt g(x)).

В принципе, схема решения простых показательных неравенств очень похожа на решение показательных уравнений. За исключением необходимости внимательно следить за основаниями и знаком неравенства.

Разберем еще несколько интересных и важных примеров.

Пример 6
$$2^{x+1} ge 4;$$
Справа от знака неравенства стоит не показательная функция, а просто число. Но его легко представить в виде степени двойки:
$$2^{x+1} ge 2^2;$$
Основания одинаковые, большие единицы. Избавляемся от них, знак неравенства сохраняем.
$$ x+1 ge 2;$$
$$x ge 1.$$

Как приводить степени к одному основанию

Пример 7
$$5^x le 3;$$

На первый взгляд, пример аналогичен предыдущему. Чтобы решить неравенство, нужно привести к одинаковому основанию. Так и есть, но вот как представить (3-ку) в виде степени (5-ки)?

Ничего сложного в этом нет. Оказывается, любое число (a) можно представить в виде степени с нужным нам основанием (b). Правда, без логарифмов тут не обойтись. Это можно сделать при помощи формулы:
$$ a=b^{log_{b}(a)}; qquad (*)$$
Например: (3=5^{log_{5}(3)};)

Кто забыл, что такое логарифмы, вам обязательно нужно посмотреть сюда.

Мы уже пользовались этой формулой в главе про показательные уравнения. На самом деле, для решения неравенств ее необязательно понимать, можно в лоб подставлять числа в формулу. Но я бы настоятельно рекомендовал разбираться во всем, чем вы пользуетесь. Поэтому подумайте самостоятельно, почему эта формула верна?

Посмотрим на правую часть формулы (*). В степени у нас стоит логарифм (log_{b}(a)). Логарифм — это число, в которое нужно возвести основание (b), чтобы получить (a). И в итоге, в правой части формулы (*) мы (b) возводим в степень, в которую нужно возвести (b), чтобы получить число (a). Так немного запутанно эта формула и работает. Но, если подумать, все не так сложно.

Возвращаемся к примеру 7. Теперь мы знаем, как (3-ку) представить в виде степени (5-ки):
$$3=5^{log_{5}(3)};$$
Подставляем в исходное неравенство
$$5^x le 5^{log_{5}(3)};$$
Наши основания одинаковые, избавляемся от них
$$x le log_{5}(3);$$
Ответ оставляем с некрасивым логарифмом. Мы его не сможем посчитать без калькулятора. На ЕГЭ именно так и поступаем.

Пример 8
$$left(frac{1}{81}right)^{-4x} < 27^{x+8};$$
Здесь привести к одному основанию несколько сложнее. Обратите внимание, что числа 27 и (frac{1}{81}) являются степенями (3-ки):
$$ 27=3^3; $$
$$ frac{1}{81}=3^{-4}; $$
Кто забыл, как работать со степенями, посмотрите главу про свойства степеней. Приведем к основанию (3) левую и правую части неравенства:
$$(3^{-4})^{-4x} < (3^3)^{x+8};$$
$$3^{16x} < 3^{3x+24};$$
Основания одинаковые, избавляемся от них:
$$16x<3x+24;$$
$$ 13x<24;$$
$$x<frac{24}{13};$$

Пример 9
$$ 5^x <-3;$$
Казалось бы, пример ничем не отличается от примера №7 — приводи себе ((-3)) к основанию (5) по формуле и решай.

Но здесь проблема кроется в определении показательной функции. Показательная функция ВСЕГДА больше нуля!
А значит, (5^x>0) и никак не может быть меньше ((-3)), какие бы (x) вы не подставляли.
Попробуйте подставить вместо (x) минус миллион, что вы получите? По определению отрицательной степени:
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
$$ 5^{-1000000}=frac{1}{5^{1000000}};$$
Это, несомненно, будет очень маленькое, но положительное число.
Итак, в этом примере корней нет. Запомните это!

Пример 10
$$ 7^x >-6;$$
Неравенство аналогичное примеру №9, но с другим знаком неравенства.
Что меняется? Теперь нас просят найти такие (x), при которых показательная функция (7^x) будет больше отрицательного числа ((-7)). Но так как показательная функция больше (0) при любых (x), то она уже точно будет больше ((-7)).
Что бы вы не подставили, всегда будете получать верное неравенство.
Ответом здесь будет любое число.

Теперь разберем пример посложнее.

Пример 11
$$ 25^{x^2-2x+10}-0,2^{2x^2-4x-80} le 0;$$

Постараемся привести данное неравенство к виду, аналогичному предыдущим примерам. Для этого перенесем вправо второе слагаемое (0,2^{2x^2-4x-80}):
$$ 25^{x^2-2x+10} le 0,2^{2x^2-4x-80};$$
Приведем к одному основанию. Советую десятичные дроби записывать в виде обыкновенных дробей, так вы сразу увидите, к какому основанию удобно привести:
$$0,2=frac{2}{10}=frac{1}{5};$$
$$ 25^{x^2-2x+10} le left(frac{1}{5}right)^{2x^2-4x-80};$$
Слева и справа в основаниях стоят числа, которые легко можно представить в виде степени (5-ки):
$$25=5^2;$$
$$ frac{1}{5}=5^{-1};$$
Подставим
$$ (5^2)^{x^2-2x+10} le (5^{-1})^{2x^2-4x-80};$$
$$ 5^{2*(x^2-2x+10)} le 5^{-1*(2x^2-4x-80)};$$
$$ 5^{2*x^2-4x+20} le 5^{-2x^2+4x+80};$$
Основания одинаковые, избавляемся от них:
$$ 2x^2-4x+20 le -2x^2+4x+80; $$
$$4x^2-8x-60 le 0;$$
Через дискриминант раскладываем квадратный многочлен на множители:
$$ 4(x+3)(x-5) le 0;$$
И решаем методом интервалов:

Замена в показательных неравенствах

Мы разобрали все виды простейших степенных неравенств. Опираясь на эти знания, можно перейти к более сложным неравенствам, которые решаются при помощи замены переменной. В ЕГЭ по профильной математике такие примеры попадаются довольно часто.

Если вы раньше решали любые уравнения или неравенства на замену переменной, то разобраться будет совсем не трудно. Давайте посмотрим на примерах:

Пример 12
$$ 4^x-29*2^x+168le 0. $$
Согласно обычной логике в показательных неравенствах, приведем все показательные функции к одинаковому основанию. Здесь это сделать довольно легко:

$$ (2^2)^x-29*2^x+168 le 0$$
$$ 2^{2x}-29*2^x+168 le 0$$
Готово. Теперь обратите внимание, что (2^{2x}=(2^x)^2), согласно свойству степеней. Подставим:
$$ (2^x)^2-29*2^x+168 le 0$$
В любом примере на замену переменной нужно найти одинаковые конструкции (выражения), зависящие от (x). В нашем примере есть такая конструкция — (2^x).

Обозначим за (t=2^x), и подставим в наше неравенство:
$$ t^2-29t+168 le 0 $$
В итоге получили обыкновенное квадратное неравенство, которое я обычно решаю при помощи универсального метода интервалов:
$$ D=29^2-4*168=841-672=169;$$
$$t_{1}=frac{29+13}{2}=21;$$
$$t_{2}=frac{29-13}{2}=8;$$
Зная корни, раскладываем квадратный многочлен на множители:
$$(t-8)(t-21) le 0;$$
Для метода интервалов рисуем числовую прямую, отмечаем нули функции (корни) и исследуем промежутки. Кто не помнит метод интервалов, настоятельно рекомендую его повторить, без него решать показательные неравенства бесполезно.

Получаем промежутки для переменной (t):
$$ t in [8;21];$$
И тут частая ошибка в том, что школьники заканчивают на этом решение. Но нас же не просят в условии задачи найти (t), нас просят найти (x)!

Поэтому обязательно нужно сделать обратную замену, чтобы вернуться к исходной переменной (x).
Для этого будем пользоваться простой логикой: раз (tin[8;21]), значит (t) может принимать такие значения, которые больше либо равны 8, но и не больше 21. Перепишем то же самое в виде системы (система, потому что эти условия должны выполняться одновременно):
$$ begin{cases}
t ge 8, \
t le 21.
end{cases}$$
Теперь нужно вспомнить, а что такое собственно (t). Это же переменная, за которую мы обозначили (2^x=t). Подставим вместо (t) (2^x).

Обратная замена:
$$ begin{cases}
2^x ge 8, \
2^x le 21.
end{cases}$$
Получили систему из двух простейших показательных неравенств, которые выше мы уже научились с вами решать.
$$ begin{cases}
2^x ge 2^3, \
2^x le 2^{log_{2}(21)}.
end{cases}$$
Основания везде одинаковые, можно от них избавиться:
$$ begin{cases}
x ge 3, \
x le log_{2}(21).
end{cases}$$
Запишем эту систему в виде промежутка
Ответ: (x in [3;log_{2}(21)].)

Как видите, все не так уж сложно. Разберем еще примеры на замену переменной в показательных неравенствах.

Пример 13
$$ 2^x+6*2^{-x} le 7$$
Этот пример тоже на замену. Хотя основания у показательных функций у нас одинаковые — двойка, но вот степень у них отличаются, а значит, делать замену пока нельзя. Нужно сделать так, чтобы одинаковым было абсолютно все — и степени, и основания.

Вспомним свойство степени с отрицательным показателем:
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
И применим его в нашем неравенстве:
$$ 2^x+6*frac{1}{2^x} le 7$$
Обозначим за (t=2^x) и подставим:
$$ t+6*frac{1}{t} le 7 $$
Для того, чтобы тут воспользоваться методом интервалов, нужно перекинуть все в левую часть и привести к общему знаменателю.
$$ frac{t^2-7t+6}{t} le 0 $$
Я не рекомендую избавляться в неравенствах от знаменателя, как вы привыкли это делать в уравнениях. В неравенствах в подавляющем большинстве случаев ни в коем случае этого делать нельзя, он тоже влияет на знак всей функции. Это одна из самых частых ошибок на ЕГЭ.
Поэтому я рекомендую всегда в неравенствах тащить знаменатель за собой, не убирать его. Подробнее про это можно почитать в теории обыкновенных неравенств.

Но я вынужден отметить, что именно в этом примере убрать знаменатель (t) можно, так как (t=2^x>0). Показательная функция у нас ВСЕГДА больше нуля, поэтому и (t>0), а значит он не влияет на знак неравенства. Однако делать мы это не будем, чтобы не запутаться. Знаменатель всегда будем оставляем на месте.

Раскладываем на множители числитель:
$$ frac{(t-1)(t-6)}{t} le 0 $$
Метод интервалов, с учетом того, что (t=2^x>0):

$$ t in[1;6];$$

Запишем промежуток в виде системы:
$$ begin{cases}
t ge 1, \
t le 6.
end{cases}$$
Вспоминаем, что (t=2^x) и делаем обратную замену:
$$ begin{cases}
2^x ge 1, \
2^x le 6.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^x ge 2^0, \
2^x le 2^{log_{2}(6)}.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
x ge 0, \
x le log_{2}(6).
end{cases}$$
Ответ: (x in [0;log_{2}(6)].)

Пример 14
$$16^{x+frac{1}{4}}-9*4^{x-frac{1}{2}}+1ge0$$
Пример очень похож на предыдущие, но перед тем, как делать замену, нам придется преобразовать левую часть неравенства. Выпишем отдельно показательные функции и постараемся привести их к одному виду. Иначе мы не сможем сделать замену. Для этого нам понадобятся свойства степеней:
$$a^{n+m}=a^n*a^m;$$
$$(a^n)^m=a^{n*m};$$
$$a^{n-m}=frac{a^n}{a^m};$$
$$16^{x+frac{1}{4}}=16^x*16^{frac{1}{4}}=16^x*2=2*16^x=2*(4^2)^x=2*(4^x)^2;$$
$$4^{x-frac{1}{2}}=frac{4^x}{4^{frac{1}{2}}}=frac{4^x}{2}=frac{1}{2}*4^x;$$
Подставим наши преобразования в исходное неравенство:
$$2*(4^x)^2-9*frac{1}{2}*4^x+1 ge 0;$$
Все готово к замене. Пусть (t=4^x):
$$2*t^2-frac{9}{2}*t+1 ge 0;$$
Домножим на (2), чтобы избавиться от знаменателя
$$4t^2-9t+2 ge 0;$$
Обыкновенное квадратное неравенство. Решаем, как обычно, методом интервалов. Для этого разложим на множители:

$$4(t-frac{1}{4})(t-2) ge 0;$$

$$left[
begin{gathered}
tle frac{1}{4}; \
tge 2, \
end{gathered}
right.$$

Обратите внимание на знак совокупности! Он означает, что нас устраивают оба промежутка, как показано на числовой прямой.

Очень важно уметь различать системы и совокупности.
Знак системы используется, когда нужно, чтобы значения (x) удовлетворяли всем неравенствам, входящим в систему. Другими словами, система — это знак пересечения решений всех неравенств.
Знак совокупности показывает, что значения (x) удовлетворяют хотя бы одному из неравенств в системе. Совокупность — это знак объединения решений.

Делаем обратную замену (t=4^x):
$$left[
begin{gathered}
4^xle frac{1}{4}; \
4^xge 2, \
end{gathered}
right.$$
$$left[
begin{gathered}
4^xle 4^{-1}; \
4^xge 4^{frac{1}{2}}, \
end{gathered}
right.$$
$$left[
begin{gathered}
xle -1; \
xge frac{1}{2}, \
end{gathered}
right.$$
Запишем получившуюся совокупность в виде промежутков.
Ответ:(xin(-infty;-1] cup [frac{1}{2};+infty).)

Теперь наших знаний достаточно, чтобы решать некоторые реальные примеры из ЕГЭ по профильной математике. Поехали:

Пример 15
$$ frac{5^x}{5^x-4}+frac{5^x+5}{5^x-5}+frac{22}{25^x-9*5^x+20} le 0$$
Перед вами настоящий пример из ЕГЭ 2016 года. Возможно, выглядит неприятно, но на самом деле, он решается очень легко. А самое главное, у нас уже есть все необходимые знания, чтобы его решить.
Обращаем внимание, что почти везде есть конструкция (5^x). Это и будет наша замена, осталось только представить (25^x=(5^x)^2):
$$ frac{5^x}{5^x-4}+frac{5^x+5}{5^x-5}+frac{22}{(5^x)^2-9*5^x+20} le 0$$
Пусть (t=5^x):
$$ frac{t}{t-4}+frac{t+5}{t-5}+frac{22}{t^2-9*t+20} le 0$$
В третьей дроби разложим знаменатель на множители при помощи дискриминанта
$$ frac{t}{t-4}+frac{t+5}{t-5}+frac{22}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Приводим к общему знаменателю
$$ frac{t(t-5)+(t+5)(t-4)+22}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе
$$ frac{2t^2-4t+2}{(t-4)(t-5)} le 0$$
$$ frac{2(t^2-2t+1)}{(t-4)(t-5)} le 0$$
В скобках стоит полный квадрат
$$ frac{2(t-1)^2}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Теперь применяем метод интервалов

$$left[
begin{gathered}
t=1, \
4 lt t lt 5. \
end{gathered}
right.$$

Перепишем двойное неравенство в виде системы
$$left[
begin{gathered}
t=1, \
begin{cases}
t > 4, \
t < 5.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$
Делаем обратную замену (t=5^x):
$$left[
begin{gathered}
5^x=1, \
begin{cases}
5^x > 4, \
5^x < 5.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
5^x=5^0, \
begin{cases}
5^x > 5^{log_{5}(4)}, \
5^x < 5^1.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
x=0, \
begin{cases}
x > log_{5}(4), \
x < 1.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$
В ответе не забываем отдельную точку (x=0), она нас тоже устраивает! Если на ЕГЭ забудете точки, в зависимости от критериев, потеряете какое-то количество баллов. Отдельная точка всегда записывается при помощи фигурных скобок.

Ответ: (x in [0] cup (log_{5}(4);1).)

Пример 16
$$ frac{3}{(2^{2-x^2}-1)^2}-frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1 ge 0$$
Тут сразу бросается в глаза одинаковая конструкция (2^{2-x^2}-1). Замену мы можем делать абсолютно любую. Поэтому ничто не мешает нам тут обозначить за (t=2^{2-x^2}-1).

Подставим в исходное неравенство

$$ frac{3}{t^2}-frac{4}{t}+1 ge 0$$

Приводим к общему знаменателю
$$frac{t^2-4t+3}{t^2} ge 0$$
$$frac{(t-3)(t-1)}{t^2} ge 0$$
Самое время для метода интервалов:

$$t in (-infty;0) cup (0;1] cup [3;+infty);$$

Нас устраивает сразу три промежутка для (t). Запишем эти промежутки в виде большой совокупности, ведь нас устраивают все три промежутка:

$$left[
begin{gathered}
t < 0; \
begin{cases}
t > 0, \
t le 1.
end{cases} ; \
tge 3, \
end{gathered}
right.$$
Обратите внимание на то, что в совокупности у нас есть еще знак системы. Действительно, во втором промежутке (t) должно быть с одной стороны больше 0, а с другой меньше 1, и это должно выполняться одновременно. Поэтому второй промежуток описывается при помощи знака системы.

Сделаем обратную замену:

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}-1< 0; \
begin{cases}
2^{2-x^2}-1 > 0, \
2^{2-x^2}-1 le 1.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}-1ge 3, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}< 1; \
begin{cases}
2^{2-x^2}> 1, \
2^{2-x^2} le 2.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}ge 4, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}< 2^0; \
begin{cases}
2^{2-x^2}> 2^0, \
2^{2-x^2} le 2^1.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}ge 2^2, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2-x^2< 0; \
begin{cases}
2-x^2> 0, \
2-x^2 le 1.
end{cases} ; \
2-x^2ge 2, \
end{gathered}
right.$$

Разложим все квадратные неравенства по формуле разности квадратов:

$$left[
begin{gathered}
(sqrt{2}-x)(sqrt{2}+x)< 0; \
begin{cases}
(sqrt{2}-x)(sqrt{2}+x)> 0, \
(1-x)(1+x) le 0 .
end{cases} ; \
-x^2ge 0, \
end{gathered}
right.$$

Обратите внимание на последнее неравенство: так как квадрат всегда положителен, то это неравенство выполняется только, если (x=0).

И остальное решим методом интервалов. Я сразу напишу, что получается:

$$left[
begin{gathered}
xin (-infty;-sqrt{2}) cup (sqrt{2};+infty); \
begin{cases}
xin(-sqrt{2};sqrt{2}), \
xin(-infty;-1] cup [1;+infty).
end{cases} ; \
x=0, \
end{gathered}
right.$$

Для наглядности нарисуем числовую ось и отметим на ней все промежутки. Различными цветами показаны соответствующие промежутки из совокупности, а фиолетовой штриховкой показано итоговое решение. Там, где знак системы находим пересечение, там где совокупность – объединение.

Однородные показательные неравенства

Разберемся еще с одним типом показательных неравенств — однородными неравенствами. Такие неравенства часто встречаются, если в примере есть несколько показательных функций с разными основаниями, и свести их к одному основанию не представляется возможным.
Как обычно, давайте сразу будем разбираться на конкретном примере.

Пример 17
$$25^x-20^x-2*16^x le 0$$
Чем же это уравнение примечательно? Давайте попробуем по нашему старому алгоритму привести все к одинаковому основанию.
$$25^x=5^{2x};$$
$$20^x=(5*4)^x=5^x*4^x;$$
$$16^x=4^{2x};$$
Как видите, привести к одному основанию не получается. Мы никак не можем сделать одинаковые показательные функции, если основания 5 и 4. Будем работать с тем, что есть. Подставим получившееся разложение в исходное неравенство.
$$5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x} le 0;$$

Так как делить неравенства на положительные числа можно, поделим получившееся неравенство на (5^{2x}). На всякий случай напомню: при делении неравенств на положительные числа полностью делится и левая, и правая части неравенства, только в этом случае преобразование будет равносильным, то есть его корни не изменятся. Делить неравенство на (5^{2x}) можно, потому что это показательная функция, а она по определению всегда строго больше нуля.

$$frac{5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x}}{5^{2x}} le frac{0}{5^{2x}};$$

Разобьем левую часть на несколько дробей. То есть, поделим каждый одночлен числителя на знаменатель дроби. В правой части, очевидно, получается 0.
$$frac{5^{2x}}{5^{2x}}-frac{5^x*4^x}{5^{2x}}-2*frac{4^{2x}}{5^{2x}} le 0;$$
$$1-frac{4^x}{5^x}-2*frac{4^{2x}}{5^{2x}} le 0;$$
$$1-left(frac{4}{5}right)^x-2*left(frac{4}{5}right)^{2x} le 0;$$
$$1-left(frac{4}{5}right)^x-2*left(frac{4}{5}right)^{2x} le 0;$$
После некоторых преобразований в результате деления мы получили везде показательную функцию (left(frac{4}{5}right)^x), которую смело можно заменить на (t=left(frac{4}{5}right)^x).
$$1-t-2*t^2 le 0;$$
$$-2*t^2-t+1 le 0;$$
Разложим квадратный многочлен на множители при помощи дискриминанта, при этом не забываем про коэффициент (-2).
$$-2(t+1)(t-frac{1}{2}) le 0;$$
Решением этого квадратного неравенства будет:
$$ t in (-infty;-1]in[frac{1}{2};+infty);$$
Перепишем промежуток в виде совокупности:
$$left[
begin{gathered}
t le -1, \
t ge frac{1}{2}. \
end{gathered}
right.$$

И сделаем обратную замену. Напомню (t=left(frac{4}{5}right)^x):
$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
left(frac{4}{5}right)^x ge frac{1}{2}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
left(frac{4}{5}right)^x ge left(frac{4}{5}right)^{log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2})}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
x ge log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2}). \
end{gathered}
right.$$

Первое неравенство в совокупности не имеет решений, так как показательная функция всегда больше нуля, значит, тем более больше (-1).

Ответ: (xin(log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2}); +infty)).

Когда нет возможности привести к одинаковому основанию все содержащиеся в неравенстве функции, попробуйте решить как однородное уравнение при помощи деления. Разные основания — это звоночек о том, что пример может решаться при помощи деления.

Рассмотрим еще один интересный пример с разными основаниями. Только это уже не однородное уравнение.

Пример 18
$$6^x-4*3^x-2^x+4 le 0$$
Обратите внимание, что у нас в неравенстве сразу 4 слагаемых. Четное количество слагаемых иногда намекает на метод группировки. Его проходят в 8м классе, но если вы не помните, то сейчас научитесь прямо на этом примере.

Первым делом сгруппируем слагаемые попарно — первое со вторым, а третье с четвертым. И вынесем общий множитель. У первого и второго слагаемых общий множитель (3^x), а у третьего и четвертого общий множитель пусть будет (-1).

$$3^x*(2^x-4)-1*(2^x-4) le 0;$$

Обратите внимание на скобки, они получились одинаковые! Теперь у нас вместо четырех слагаемых стало два, но больших. У них тоже есть общий множитель — это как раз скобка ((2^x-4)). Вынесем скобку за скобку!

$$(2^x-4)(3^x-1) le 0;$$

У нас получилось произведение двух множителей. Произведение меньше нуля может быть только в том случае, если множители имеют разные знаки. То есть, нас устраивает либо:

$$ begin{cases}
2^x-4 ge 0, \
3^x-1 le 0.
end{cases}$$

Либо:
$$ begin{cases}
2^x-4 le 0, \
3^x-1 ge 0.
end{cases}$$

Решим обе системы и объединим решения, так как нам подходят оба случая.
$$ begin{cases}
2^xge 4, \
3^x le 1.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^xge 2^2, \
3^x le 3^0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
xge 2, \
x le 0.
end{cases}$$

Эти два неравенства в системе не имеют решений, подходящих одновременно обоим. Поэтому в первой системе нет решений. Решим вторую:
$$ begin{cases}
2^x le 4, \
3^x ge 1.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^x le 2^2, \
3^x ge 3^0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
x le 2, \
x ge 0.
end{cases}$$

Ответ: (xin[0;2].)

Рассмотрим еще один не очень приятный пример, который, тем не менее, может встретиться на ЕГЭ.

Пример 19
$$frac{5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10}{x+2} le 0.$$
Неравенство неприятное, потому что в числителе дроби у нас (x) везде в степени показательной функции, а в знаменателе (x) стоит отдельно. Никак не получится сделать замену. Но обратите внимание, нас спрашивают, при каких (x) дробь будет отрицательная. А дробь отрицательна только тогда, когда у нее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Опять, как в предыдущем примере, можем по отдельности рассмотреть числитель и знаменатель. Нас устраивает:
Либо:
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$

Либо система с противоположными знаками:
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 le 0, \
x+2 > 0.
end{cases}$$

Вторые неравенства в системах имеют строгий знак, так как это — условия, накладываемые на знаменатель.

Разберемся сначала с первой системой. Постараемся привести показательные функции к одинаковым основаниям в первом неравенстве системы:
$$ begin{cases}
5^{2x}*5^1-75*left(frac{1}{5}right)^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
5*25^x-75*left(frac{1}{25^{x}}right)-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
Выпишем отдельно первое неравенство и решим его, сделав замену (t=25^x>0).
$$ 5*25^x-75*left(frac{1}{25^{x}}right)-10 ge 0;$$
$$5*t-frac{75}{t}-10 ge 0;$$
$$frac{5*t^2-10*t-75}{t} ge 0;$$
Так как (t=25^x>0), то мы можем спокойно избавиться от знаменателя в дроби, ведь он всегда положительный и не влияет на знак всего выражения.
$$5*t^2-10*t-75 ge 0;$$
$$5*(t-5)(t+3) ge 0;$$
$$ tin(-infty;-3] cup [5;+infty);$$
Но так как (t>0):
$$tin[5;+infty);$$
Запишем в виде неравенства:
$$t ge 5;$$
Сделаем обратную замену
$$ 25^x ge 5;$$
$$5^{2x} ge 5^1;$$
$$2x ge 1;$$
$$xgefrac{1}{2};$$

Напоминаю, что мы решили только первое неравенство в первой системе
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
C учетом нашего решения, ее теперь можно переписать в виде

$$ begin{cases}
xgefrac{1}{2}, \
x < -2.
end{cases}$$

Такая система решений не имеет. Но не грустим и вспоминаем, что у нас еще одна система неравенств с противоположным случаем — когда числитель отрицательный, а знаменатель положительный:

$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 le 0, \
x+2 > 0.
end{cases}$$

Так как отличие только в знаках неравенства, то все преобразования, которые мы делали выше, справедливы и тут. Не будем заново решать то же самое, просто возьмем решение из предыдущей системы и изменим знаки неравенства:

$$ begin{cases}
xlefrac{1}{2}, \
x > -2.
end{cases}$$

Эта система уже имеет решения. Можно, наконец, записать ответ.

Ответ: (xin(-2;frac{1}{2}].)

Мне лично не нравится рассматривать кучу случаев в подобных примерах. А что, если знаменатель будет сложнее чем в примере выше? А еще может быть не два множителя, а сразу пять или больше, тут всех случаев не рассмотришь.

Поэтому существует отличный и очень удобный метод рационализации. Я написал статью с полным его разбором. Кстати, в ЕГЭ часто встречаются примеры именно на метод рационализации, поэтому, если вы хотите сдать профиль на высокие баллы, то это прямо обязательно знать.

Источник