Показательные параметры егэ

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене (t=a^x), новая переменная (t) всегда положительна.

Пример 1

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение ((a+1)(4^x+4^{-x})=5) имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, что (a+1 > 0), так как (4^x+4^{-x} > 0). Сделаем замену (t=4^x); (t > 0) $$ (a+1)(t+frac{1}{t})=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $${t}_{1,2}=frac{5±sqrt{25-4(a+1)^2}}{2(a+1)} .$$

Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$
$$a+1=±frac{5}{2}$$
(a=-3.5 -) не подходит;

(a=1.5;)

Ответ: (a=1.5.)

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Пример 2

Решите уравнение (log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2) для каждого (a).

Решение:

Найдем ОДЗ: (a>0;) (a≠1); (x>-1); (x≠0).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

(x^2 (x+1)^2=a^2 ⇔ |x|(x+1)=a. )

1 случай: (x∈(-1,0).)

Получаем уравнение:

$$-x(x+1)=a ⇔ -x^2-x-a=0,$$
$$D=1-4a;$$
$$ {x}_{1,2}=frac{1±sqrt{1-4a}}{-2};$$

При условии, что (1-4a≥0 ⇔ 0< a ≤ frac{1}{4} )Оба корня лежат в промежутке (x∈(-1,0)).

2 случай: (x>0).

Получаем:

$$ x(x+1)=a, $$
$$ x^2+x-a=0,$$
$$ D=1+4a;$$
$$ {x}_{3,4}=frac{-1±sqrt{1+4a}}{-2};$$

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=frac{1}{2}-frac{sqrt{1+4a}}{2}$$ не подходит, так как ( x>0.)

Ответ:
При (a≤0) решений нет;
при (0 < a ≤ frac{1}{4}:) $$ {x}_{1,2}=frac{1±sqrt{1-4a}}{-2}$$ $$x_3=frac{-1-sqrt{1+4a}}{-2};$$
при (a > frac{1}{4}:) $$ x_3= frac{-1-sqrt{1+4a}}{-2}.$$

Пример 3

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение (log_4 (16^x+a)=x) имеет два действительных и различных корня.

Решение:

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

$$ 16^x+a=4^x, $$
$$ 16^x-4^x+a=0;$$

Сделаем замену: (t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни (0 < {t}_{1} < {t}_{2}). Ветки данной параболы направлены вверх. Пусть (f(t)=t^2-t+a).

При помощи таблицы (см. таблицу):

$$ begin{cases} f(0)>0, \D≥0, \D>0, \ {x}_{0}>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} a>0, \1-4a>0, \ 1/2>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} a>0, \a<1/4. end{cases} $$

Ответ: (a∈(0;1/4).)

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене (t=a^x), новая переменная (t) всегда положительна.

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение ((a+1)(4^x+4^<-x>)=5) имеет единственное решение.

Заметим, что (a+1 > 0), так как (4^x+4^ <-x>> 0). Сделаем замену (t=4^x); (t > 0) $$ (a+1)(t+frac<1>)=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $$_<1,2>=frac<5±sqrt<25-4(a+1)^2>> <2(a+1)>.$$
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±frac<5><2>$$ (a=-3.5 -) не подходит;
(a=1.5;)

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Решите уравнение (log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2) для каждого (a).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

При условии, что (1-4a≥0 ⇔ 0 0).

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=frac<1><2>-frac<sqrt<1+4a>><2>$$ не подходит, так как ( x>0.)

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение (log_4 (16^x+a)=x) имеет два действительных и различных корня.

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

Сделаем замену: (t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни (0 0, \D≥0, \D>0, \ _<0>>0; end $$ $$ begin a>0, \1-4a>0, \ 1/2>0; end $$ $$ begin a>0, \a

Решение показательных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цели урока: Учащиеся должны знать способы решений уравнений вида – показательная функция и уметь применять при решении задач.

Ход урока.

Для первой группы учащихся выдавались следующие задания.

Для каждого значения a решить уравнения:

Задания для второй группы учащихся.

Указать число решений в зависимости от параметра а.

Третья группа решает уравнения, сводящиеся к квадратным.

Задание 1. Решить уравнение p · 4 x – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Задание 2. При каких a уравнение 9 x + (2a + 4) · 3 x + 8a + 1 = 0 имеет единственное решение.

Задание 3. Указать число решений уравнения 49 x + 2p · 7 x + p 2 – 1 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 4. При каких значениях p уравнение 4 x – (5p – 3) · 2 x + 4p 2 – 3p = 0 имеет единственное решение.

Выступление первой группы – решение показательных уравнений вида

Докладывает лидер первой группы и привлекает к своему докладу участников этой группы. То есть диалог идёт ученик – ученик.

Решение исходного уравнения сводится к решению линейного уравнения с параметрами kx = b.

Если k = 0, b = 0, то 0 · x = 0, – любое действительное число.

Если k = 0, b ≠ 0, то 0 · x = b – нет решений.

Если k ≠ 0, то , один корень.

Задание 1. Решить уравнение .

Докладчик решает у доски с комментариями, остальные записывают в тетрадях.

Значит уравнение (1) можно представить в виде (a – 1)(a + 4)x = (a – 1)(a – 1)(a – 3).

Исследуем полученное уравнение:

Ответ:

На этом выступление первой группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 1.

Выступление второй группы – решение уравнений вида

Докладывает лидер второй группы и привлекает к обсуждению этого вопроса всех учащихся. Исходное уравнение равносильно уравнению ax 2 + bx + c₁ = c₀, или ax 2 + bx + c = 0.

Далее идёт диалог ученик–ученик.

1. Какое уравнение получили? – Это уравнение степени не выше второй.
2. При a = 0, bx + c = 0, получили линейное уравнение, которое может иметь одно решение, не иметь корней, или иметь бесконечное множество решений.
3. При a ≠ 0, ax 2 + bx + c = 0, квадратное уравнение.
4. От чего зависит число решений квадратного уравнения? – Число решений квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Если D = 0 то квадратное уравнение имеет одно решение. Если D > 0, то два решения. Если D 2 + 2(a + 3)x + a + 2 = 0.

Ответ:

На этом выступление второй группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 2.

Выступление третьей группы – решение уравнений вида af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Слово предоставляется выступающему от третьей группы. Он докладывает, что их группа решала уравнения вида: (1) af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Исходное уравнение (1) равносильно

Далее докладчик задаёт вопросы, а учащиеся отвечают на них.

При каких условиях уравнение (1) имеет один корень?

1. При a = 0 уравнение (2) становится линейным, значит может иметь только один корень, и он должен быть положительным.
2. Если D = 0, уравнение (2) имеет один корень, и он должен быть положительным.
3. Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но они должны быть различных знаков.
4. Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но один из низ нуль. А второй положительный.

При каких условиях уравнение (1) имеет два корня?

Исходное уравнение имеет два корня, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны.

При каких условиях уравнение (1) не имеет корней?

Если Dx – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Ответим на вопрос: При каких значениях p уравнение (1) имеет один корень?

• Если одно решение. Обсуждается вопрос какие ещё могли быть варианты при t = 0 – нет решений, при t 0.

Уравнение будет иметь единственное решение при условии. Что дискриминант уравнения (2) есть число положительное, но корни при этом имеют различные знаки. Эти условия достигаются с помощью теоремы Виета. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Итак, уравнение (1) имеет единственное решение при p ≤ 0, p = 4.

Теперь остаётся ответить на вопрос. При каких условиях исходное уравнение (2) имеет два решения? Это возможно, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны. По теореме Виета для того, чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и при этом оба были положительными, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Исходное уравнение имеет два корня при 0 0, то уравнение (2) имеет корни, но они оба отрицательны.

Итак, D 4. При p > 4 – нет решений. Второе условие равносильно следующим соотношениям.

Значит уравнение (1) не имеет решений при p > 4.

Ответ:

1. При p = 4, p ≤ 0 одно решение.
2. При 0 4 нет решений.

На этом выступление третьей группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 3.

Домашнее задание.

Задание 1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a – 3) · 4 x – 8 · 6 x + (a +3) 9 x = 0 не имеет корней.

Задание 2.Указать число решений уравнения p · 2 x + 2 –x – 5 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 3. Выяснить при каких значениях a уравнение . имеет решения, найти эти решения.

Задание 4. Найти все значения p при которых уравнение (p – 1) · 4 x – 4 · 2 x + (p + 2) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Задание 5. Указать число решений уравнения a · 12 |x| = 2 – 12 –|x| в зависимости от параметра a.

165 задач с параметрами

1. Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами.
2. Квадратичные и сводимые к ним уравнения с параметрами.
3. Уравнения с параметрами, содержащие модуль.
4. Системы уравнений с параметрами.
5. Иррациональные уравнения с параметрами.
6. Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным. Системы неравенств.
7. Квадратичные неравенства с параметрами.
8. Иррациональные неравенства с параметрами.
9. Уравнения и неравенства с параметрами, содержащие логарифмы.
10. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений с параметрами.

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене (t=a^x), новая переменная (t) всегда положительна.

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение ((a+1)(4^x+4^<-x>)=5) имеет единственное решение.

Заметим, что (a+1 > 0), так как (4^x+4^ <-x>> 0). Сделаем замену (t=4^x); (t > 0) $$ (a+1)(t+frac<1>)=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $$_<1,2>=frac<5±sqrt<25-4(a+1)^2>> <2(a+1)>.$$
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±frac<5><2>$$ (a=-3.5 -) не подходит;
(a=1.5;)

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Решите уравнение (log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2) для каждого (a).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

При условии, что (1-4a≥0 ⇔ 0 0).

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=frac<1><2>-frac<sqrt<1+4a>><2>$$ не подходит, так как ( x>0.)

Найдите все значения параметра (a), при которых уравнение (log_4 (16^x+a)=x) имеет два действительных и различных корня.

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

Сделаем замену: (t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни (0 0, \D≥0, \D>0, \ _<0>>0; end $$ $$ begin a>0, \1-4a>0, \ 1/2>0; end $$ $$ begin a>0, \a

Решение показательных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цели урока: Учащиеся должны знать способы решений уравнений вида – показательная функция и уметь применять при решении задач.

Ход урока.

Для первой группы учащихся выдавались следующие задания.

Для каждого значения a решить уравнения:

Задания для второй группы учащихся.

Указать число решений в зависимости от параметра а.

Третья группа решает уравнения, сводящиеся к квадратным.

Задание 1. Решить уравнение p · 4 x – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Задание 2. При каких a уравнение 9 x + (2a + 4) · 3 x + 8a + 1 = 0 имеет единственное решение.

Задание 3. Указать число решений уравнения 49 x + 2p · 7 x + p 2 – 1 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 4. При каких значениях p уравнение 4 x – (5p – 3) · 2 x + 4p 2 – 3p = 0 имеет единственное решение.

Выступление первой группы – решение показательных уравнений вида

Докладывает лидер первой группы и привлекает к своему докладу участников этой группы. То есть диалог идёт ученик – ученик.

Решение исходного уравнения сводится к решению линейного уравнения с параметрами kx = b.

Если k = 0, b = 0, то 0 · x = 0, – любое действительное число.

Если k = 0, b ≠ 0, то 0 · x = b – нет решений.

Если k ≠ 0, то , один корень.

Задание 1. Решить уравнение .

Докладчик решает у доски с комментариями, остальные записывают в тетрадях.

Значит уравнение (1) можно представить в виде (a – 1)(a + 4)x = (a – 1)(a – 1)(a – 3).

Исследуем полученное уравнение:

Ответ:

На этом выступление первой группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 1.

Выступление второй группы – решение уравнений вида

Докладывает лидер второй группы и привлекает к обсуждению этого вопроса всех учащихся. Исходное уравнение равносильно уравнению ax 2 + bx + c₁ = c₀, или ax 2 + bx + c = 0.

Далее идёт диалог ученик–ученик.

1. Какое уравнение получили? – Это уравнение степени не выше второй.
2. При a = 0, bx + c = 0, получили линейное уравнение, которое может иметь одно решение, не иметь корней, или иметь бесконечное множество решений.
3. При a ≠ 0, ax 2 + bx + c = 0, квадратное уравнение.
4. От чего зависит число решений квадратного уравнения? – Число решений квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Если D = 0 то квадратное уравнение имеет одно решение. Если D > 0, то два решения. Если D 2 + 2(a + 3)x + a + 2 = 0.

Ответ:

На этом выступление второй группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 2.

Выступление третьей группы – решение уравнений вида af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Слово предоставляется выступающему от третьей группы. Он докладывает, что их группа решала уравнения вида: (1) af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Исходное уравнение (1) равносильно

Далее докладчик задаёт вопросы, а учащиеся отвечают на них.

При каких условиях уравнение (1) имеет один корень?

1. При a = 0 уравнение (2) становится линейным, значит может иметь только один корень, и он должен быть положительным.
2. Если D = 0, уравнение (2) имеет один корень, и он должен быть положительным.
3. Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но они должны быть различных знаков.
4. Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но один из низ нуль. А второй положительный.

При каких условиях уравнение (1) имеет два корня?

Исходное уравнение имеет два корня, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны.

При каких условиях уравнение (1) не имеет корней?

Если Dx – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Ответим на вопрос: При каких значениях p уравнение (1) имеет один корень?

• Если одно решение. Обсуждается вопрос какие ещё могли быть варианты при t = 0 – нет решений, при t 0.

Уравнение будет иметь единственное решение при условии. Что дискриминант уравнения (2) есть число положительное, но корни при этом имеют различные знаки. Эти условия достигаются с помощью теоремы Виета. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Итак, уравнение (1) имеет единственное решение при p ≤ 0, p = 4.

Теперь остаётся ответить на вопрос. При каких условиях исходное уравнение (2) имеет два решения? Это возможно, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны. По теореме Виета для того, чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и при этом оба были положительными, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Исходное уравнение имеет два корня при 0 0, то уравнение (2) имеет корни, но они оба отрицательны.

Итак, D 4. При p > 4 – нет решений. Второе условие равносильно следующим соотношениям.

Значит уравнение (1) не имеет решений при p > 4.

Ответ:

1. При p = 4, p ≤ 0 одно решение.
2. При 0 4 нет решений.

На этом выступление третьей группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 3.

Домашнее задание.

Задание 1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a – 3) · 4 x – 8 · 6 x + (a +3) 9 x = 0 не имеет корней.

Задание 2.Указать число решений уравнения p · 2 x + 2 –x – 5 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 3. Выяснить при каких значениях a уравнение . имеет решения, найти эти решения.

Задание 4. Найти все значения p при которых уравнение (p – 1) · 4 x – 4 · 2 x + (p + 2) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Задание 5. Указать число решений уравнения a · 12 |x| = 2 – 12 –|x| в зависимости от параметра a.

Показательные уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) (3cdot 4^+27=a+acdot 4^)
(3cdot 4^-acdot 4^=a-27)
(4^(3-a)=a-27)
(4^=frac<3-a>)
По свойствам показательной функции дробь справа должна быть положительной:
(frac<3-a>gt 0Rightarrowfraclt 0)

(3lt alt 27)
(x-2=log_4frac<3-a>)
(x=2+log_4frac<3-a>)
Ответ:
При (aleq 3cup ageq 27) решений нет, (xinvarnothing)
При (3lt alt 27, x=2+log_4frac<3-a>)

2) (D=0) при (a=1, t=frac22=1)
(11^<|x|>=1=11^0Rightarrow |x|=0Rightarrow x=0) — один корень

3) (Dgt 0) при (alt 1, t_<1,2>=frac<2pm 2sqrt<1-a>><2>=1pm sqrt<1-a>)
Корень (t_2=1+sqrt<1-a>) положительный при всех (alt 1)
Получаем для (x: 11^<|x|>=1+sqrt<1-a>Rightarrow |x|=log_<11>(1+sqrt<1-a>))
(log_<11>(1+sqrt<1-a>)geq 0,) т.к. (1+sqrt<1-a>geq 1), логарифм может быть равен модулю.
Получаем пару решений: (x=pm log_<11>(1+sqrt<1-a>))

Для корня (t_1=1-sqrt<1-a>) решаем неравенство (учитывая (alt 1)):
( 1-sqrt<1-a>gt 0Rightarrowsqrt<1-a>lt 1Rightarrow begin 1-alt 1\ alt 1 end Rightarrow begin agt 0\ alt 1 end Rightarrow 0lt alt 1 )
Тогда (|x|=log_<11>(1-sqrt<1-a>), но log_11⁡(log_<11>(1-sqrt<1-a>lt 0) и не может быть равен модулю. Значит, для корня (t_1) решений нет.

Ответ:
При (agt 1) решений нет, (xinvarnothing)
При (a=1) один корень (x=0)
При (alt 1) два корня (x=pm log_<11>⁡(1+sqrt<(1-a)>)

Пример 2. При каких значениях (a) неравенство (4^x-acdot 2^x-a+3leq 0) имеет хотя бы одно решение?
Замена: (t=2^x)
Функция (f(t)=t^2-at-a+3) – это парабола ветками вверх, которая будет иметь отрицательную область значений, если (Dgt 0) и будет равна 0 при (D=0).
Неравенство будет иметь решение, когда у соответствующего уравнения появятся корни.
(D=a^2-4cdot (-a+3)=a^2+4a-12geq 0)
((a+6)(a-2)geq 0)

(aleq -6cup aleq 2)

Решение квадратного уравнения: (t_<1,2>=frac><2>)
По свойству показательной функции, (t) должно быть положительным.
Для первого корня: begin a-sqrtgt 0Rightarrow sqrtlt aRightarrow begin agt 0\ a^2+4a-12geq 0\ a^2+4a-12lt a^2 end Rightarrow \ begin agt 0\ aleq -6cup ageq 2\ alt 3 end Rightarrow begin 0lt alt 3\ aleq -6cup ageq 2 end Rightarrow 2leq alt 3 end Для второго корня: begin a+sqrtgt 0Rightarrow sqrtgt -aRightarrow left[ begin begin -alt 0\ a^2+4a-12geq 0 end \ begin -ageq 0\ a^2+4a-12gt (-a)^2 end end right. Rightarrow\ Rightarrow left[ begin begin agt 0\ aleq -6cup ageq 2 end \ begin aleq 0\ agt 3 end end right. Rightarrow ageq 2 end Таким образом, у неравенства будет хотя бы одно решение при (ageq 2)
Ответ: (ainleft.left[2;+inftyright.right))

Пример 3. При каких значениях (a) оба корня уравнения (16^x-acdot 4^x+2=0) принадлежат отрезку [0;1]?

Замена: (t=4^xgt 0)
(t^2-at+2=0)
(D=a^2-8)
(Dgeq 0) при (|a|geq 2sqrt<2>)
Решение уравнения: (t_<1,2>=frac><2>)
По условию (0leq x_<1,2>leq 1,) что для замены даёт (4^0leq 4^>leq 4^1, 1leq t_<1,2>leq 4)
Условие выполняется, если одновременно ( begin t_1geq 1\ t_2leq 4 end )
Решаем систему: begin begin frac><2>geq 1\ frac><2>leq 4 end Rightarrow begin a-sqrtgeq 2\ sqrtleq 4-a end Rightarrow\ Rightarrow begin begin a-2geq 0\ a^2-8geq 0\ a^2-8leq (a-2)^2 end \ begin 4-ageq 0\ a^2-8geq 0\ a^2-8leq (4-a)^2 end end Rightarrow begin ageq 2\ aleq 4\ aleq -2sqrt<2>cup ageq 2sqrt<2>\ a^2-8leq a^2-4a+4\ a^2-8leq 16-8a+a^2 end Rightarrow begin 2sqrt<2>leq aleq 4\ aleq 3\ aleq 3 end Rightarrow \ Rightarrow 2sqrt<2>leq aleq 3 end Ответ: (ain[2sqrt<2>;3])

Пример 4. При каких значениях (a) система ( begin 2^x-y+1=0\ |x|+|y|=a end ) имеет ровно одно решение?
Запишите это решение.

Решаем графически.
(y=2^x+1) – это кривая показательной функции (y=2^x), поднятая на 1 вверх.
(|x|+|y|=a) — это множество квадратов с центром в начале координат и вершинами на осях в точках ((pm a;0),(0;pm a)).

Одна точка пересечения при (a=2). Решение – точка ( begin x=0\ y=2 end )
При (alt 2) решений нет.
При (agt 2) — два решения.