Показательные уравнения егэ профиль 2022

Показательные уравнения

Рассмотрим уравнение 2^x = 8. В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8? Ясно, что в степень 3.

Более того, x = 3 — единственное решение данного уравнения. Почему? Это легко понять, посмотрев на график показательной функции y = 2^x: данная функция монотонно возрастает и потому каждое своё значение принимает ровно один раз. Иными словами, не существует других значений x, кроме 3, таких, что 2^x = 8.

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида

где a > 1 или 0 < a < 1.

Если b > 0, то уравнение (1) имеет решение, и притом единственное. Действительно, при a > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 — монотонно убывает; в любом случае она принимает каждое своё значение ровно один раз.

А вот если b ⩽ 0, то уравнение (1) не имеет решений: ведь показательная функция может принимать только положительные значения.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших.

В задачах достаточно представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием.

1.

Вспоминаем, что 125 = 5³. Уравнение приобретает вид: 5^x−7 = 5⁻³.

В силу монотонности показательной функции показатели степени равны: x − 7 = −3, откуда x = 4.

2.
Поскольку  , уравнение можно записать в виде:
Дальнейшее ясно:
Теперь рассмотрим более сложные уравнения.

3.

Здесь лучше всего вынести за скобку двойку в наименьшей степени:

4.

Делаем замену

Тогда   и относительно t мы получаем квадратное уравнение: Его корни: и

В первом случае имеем: откуда

Во втором случае: решений нет.

Ответ: 3.

5.

Замечаем, что а :

Делим обе части на положительную величину :

Делаем замену:
Полученное квадратное уравнение имеет корни −1 и  .

В случае
решений нет.

В случае

имеем единственный корень

Ответ:

Вообще, показательные уравнения вида

называются однородными. Для них существует стандартный приём решения — деление обеих частей на  (эта величина не равна нулю, так как показательная функция может принимать только положительные значения). Именно этим приёмом мы в данной задаче и воспользовались.

С однородными уравнениями, кстати, мы уже встречались — в тригонометрии. Это были уравнения вида
Их мы решали похожим приёмом — делением на

ЕГЭ по математике профиль

Что такое показательные уравнения

Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

• Свойства степени и корня
• Решение линейных и квадратных уравнений
• Разложение на множители

Повторил? Замечательно!

Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения ( 3x+5=2{x} -1) является число ( x=-6).

Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно ( 5) в третьей степени? Ты абсолютно прав:

( {{5}^{3}}=5cdot 5cdot 5=125).

А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:

( 2cdot 2cdot 2={{2}^{3}}=8).

Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я ( x) раз умножаю само на себя число ( 2) и получаю в результате ( 16).

Спрашивается, сколько раз я умножил ( 2) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

( begin{align} & 2=2 \ & 2cdot 2=4 \ & 2cdot 2cdot 2=8 \ & 2cdot 2cdot 2cdot 2=16 \ end{align} )

Тогда ты можешь сделать вывод, что ( 2) само на себя я умножал ( displaystyle 4) раза.

Как еще это можно проверить?

А вот как: непосредственно по определению степени: ( displaystyle {{2}^{4}}=16).

Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем ( displaystyle 1024), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать ( displaystyle 2) само на себя до посинения.

И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

( displaystyle {{2}^{x}}=1024),

где ( displaystyle x) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь ( displaystyle 2) само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что ( displaystyle 1024={{2}^{10}}), тогда моя задачка запишется в виде:

( displaystyle {{2}^{x}}={{2}^{10}}), откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

( x=10).

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

Вот тебе еще один пример:

( {{1000}^{x}}=100).

Но что же делать?

Ведь ( 100) нельзя записать в виде степени (разумной) числа ( 1000).

Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.

Какого?

Верно: ( 100={{10}^{2}},~1000={{10}^{3}}).

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Пример 1 (меркантильный)

Пусть у тебя есть ( displaystyle 1000000) рублей, а тебе хочется превратить его в ( displaystyle 1500000) рублей.

Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под ( displaystyle 12%) годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением).

Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму?

Вполне приземленная задача, не так ли?

Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения:

Пусть ( Sn) – начальная сумма, ( Sk) – конечная сумма, ( i) – процентная ставка за период, ( x) – количество периодов.

Тогда:

А почему ( i) делится на ( 100)? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»!

Тогда мы получим вот такое уравнение:

Таким образом, для получения ( 1.5) млн. нам потребуется сделать вклад на ( 41) месяц (не очень быстро, не правда ли?)

Пример 1. Метод простой замены

( {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0)

Решение:

Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики.

В самом деле, замена здесь – самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

( {{4}^{x}}={{2}^{2x}}={{({{2}^{x}})}^{2}})

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

( {{({{2}^{x}})}^{2}}+{{2}^{x+1}}-3=0)

Если же дополнительно представить ( {{2}^{x+1}}) как ( 2cdot {{2}^{x}}), то совершенно ясно, что надо заменять: конечно же, ( t={{2}^{x}}). Во что тогда превратится исходное уравнение? А вот во что:

( {{t}^{2}}+2t-3=0)

Ты без проблем самостоятельно отыщешь его корни: ( {{t}_{1}}=-3,~{{t}_{2}}=1).

Что нам делать теперь?

Пришло время возвращаться к исходной переменной ( displaystyle x).

А что я забыл указать? Именно: при замене некоторой степени на новую переменную (то есть при замене вида ( t={{a}^{x}})), меня будут интересовать только положительные корни!

Ты и сам без труда ответишь, почему.

Таким образом, ( {{t}_{1}}=-3) нас с тобой не интересует, а вот второй корень нам вполне подходит:

( {{t}_{2}}=1), тогда ( {{2}^{x}}=1), откуда ( x=0).

Ответ: ( x=0)

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда.

Однако давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой.

Пример 2. Метод простой замены

( {{3}^{3x+1}}-4cdot {{9}^{x}}=17cdot {{3}^{x}}-6)

Решение:

Ясно, что скорее всего заменять придется ( {{3}^{x}}) (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение).

Однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно:

( {{3}^{3x+1}}=3cdot {{left( {{3}^{x}} right)}^{3}}), ( {{9}^{x}}={{({{3}^{x}})}^{2}}).

Тогда можно заменять ( t={{3}^{x}}), в результате я получу следующее выражение:

( 3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}=17t-6)

( 3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-17t+6=0)

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать.

Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить ( t) в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?).

А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).

Первое предположение ( displaystyle t=1). Не является корнем. Увы и ах! Хорошо, а теперь возьмем…

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов, так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения.

Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике, математику, как историю, за ночь не прочитаешь.

Как правило, всю сложность при решении задач повышенной сложности составляет именно отбор корней уравнения.

Еще один пример для тренировки

( {{9}^{x+1}}-2cdot {{3}^{x+2}}+5=0,~) при ( ~xin (lo{{g}_{3}}frac{3}{2};sqrt{5}))

Решение:

Ясно, что само уравнение решается довольно просто. Сделав замену ( t={{3}^{x}}) мы сведем наше исходное уравнение к следующему:

( {{t}^{2}}-18t+5=0)

( {{t}_{1}}=frac{1}{3},~{{t}_{2}}=frac{5~}{3})

Тогда ( {{x}_{1}}=-1,~{{x}_{2}}=mathbf{lo}{{mathbf{g}}_{3}}left( frac{5}{3} right)~~~)

Вначале давай рассмотрим первый корень. 

Сравним ( -1) и ( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)):

так как ( frac{3}{2}>1), то ( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)>0). (свойство логарифмической функции ( y=lo{{g}_{a}}x) при ( a>1)).

Тогда ясно, что( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)>-1) и первый корень не принадлежит нашему промежутку.

Теперь второй корень:

Пример уравнения с нестандартной заменой!

( displaystyle 4sqrt[x]{81}-12sqrt[x]{36}+9sqrt[x]{16}=0)

Решение:

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что – в принципе можно, но лучше не делать.

Можно – представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет?

Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться.

А что же тогда нужно?

Давай заметим, что ( 81={{9}^{2}},~16={{4}^{2}},~) а ( 36=4cdot 9.)

И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения!

Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:

( displaystyle 4cdot {{9}^{frac{2}{x}}}~-12cdot {{4}^{frac{1}{x}}}{{9}^{frac{1}{x}}}+9cdot {{4}^{frac{2}{x}}}=0)

Такие уравнения называются однородными (подробнее читай в теме «Однородные уравнения»).

Теперь разделим обе части получившегося уравнения на ( {{4}^{frac{2}{x}}}):

Например, уравнение вида:

( {{a}^{F(x)}}=b(x)), причем ( b(x)ne {{a}^{i}}), ( i)( in R/Q)

В общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию ( a)), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

( F(x)=lo{{g}_{a}}b(x))

Давай рассмотрим следующий пример:

( {{x}^{1+lgx}}=10x)

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только ( x>0). Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине. Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию ( 10):

( lg({{x}^{1+lgx}})=lg(10x))

( (1+lg(x))cdot lg(x)=1+lg(x))

( (1+lg(x))(lg(x)-1)=0)

( lg(x)=1,~lg(x)=-1)

( {{x}_{1}}=10,~{{x}_{2}}=0,1)

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу.

Давай потренируемся еще на одном примере:

( {{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}}={{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}})

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию ( 4), тогда получим:

( lo{{g}_{4}}({{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}})=lo{{g}_{4}}({{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}});)

( left( lo{{g}_{4}}x-2 right)text{lo}{{text{g}}_{4}}x=2left( text{lo}{{text{g}}_{4}}x-1 right)text{lo}{{text{g}}_{4}}2;)

( (lo{{g}_{4}}x-2)lo{{g}_{4}}x=(lo{{g}_{4}}x-1);)

Сделаем замену: ( t=lo{{g}_{4}}x)

( {{t}_{1}}=frac{3+sqrt{5}}{2},~{{t}_{2}}=frac{3-sqrt{5}}{2})

Тогда ( {{x}_{1}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3+sqrt{5}}{2} right),~{{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3-sqrt{5}}{2} right),~)

Однако мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах?

Ведь ( frac{3-sqrt{5}}{2}<1,~) тогда:

( {{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3-sqrt{5}}{2} right)<0,~~) что не удовлетворяет требованию ( x>0) (подумай откуда оно взялось!)

Ответ: ( lo{{g}_{4}}left( frac{3+sqrt{5}}{2} right))

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений, приведенных ниже

• ( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}}=sqrt{10})
• ( {{(x+5)}^{lo{{g}_{7}}(x+5)}}=7)

А теперь сверь свое решение с этим:

1. Логарифмируем обе части по основанию ( 10), учитывая, что ( x>0):

( lg left( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}} right)=lgsqrt{10})

( left( 2l{{g}^{3}}x-1.5lgx right)lgx=frac{1}{2},~), замена ( ~t=l{{g}^{2}}xge 0)

( 4{{t}^{2}}-3t-1=0)

( 4{{t}^{2}}-3t-1=0) (второй корень нам не подходит ввиду замены)

( l{{g}^{2}}x=1,~{{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=0.1~)

2. Логарифмируем по основанию ( displaystyle 7):

( displaystyle lo{{g}_{7}}{{left( x+5 right)}^{lo{{g}_{7}}left( x+5 right)}}=lo{{g}_{7}}7)

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

( displaystyle left( lo{{g}_{7}}left( x+5 right)+1 right)left( lo{{g}_{7}}left( x+5 right)-1 right)=0)

( displaystyle {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=-frac{34}{7})