Показательные уравнения егэ профиль 2023

ЕГЭ по математике профиль

Показательные уравнения

Рассмотрим уравнение 2^x = 8. В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8? Ясно, что в степень 3.

Более того, x = 3 — единственное решение данного уравнения. Почему? Это легко понять, посмотрев на график показательной функции y = 2^x: данная функция монотонно возрастает и потому каждое своё значение принимает ровно один раз. Иными словами, не существует других значений x, кроме 3, таких, что 2^x = 8.

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида

где a > 1 или 0 < a < 1.

Если b > 0, то уравнение (1) имеет решение, и притом единственное. Действительно, при a > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 — монотонно убывает; в любом случае она принимает каждое своё значение ровно один раз.

А вот если b ⩽ 0, то уравнение (1) не имеет решений: ведь показательная функция может принимать только положительные значения.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших.

В задачах достаточно представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием.

1.

Вспоминаем, что 125 = 5³. Уравнение приобретает вид: 5^x−7 = 5⁻³.

В силу монотонности показательной функции показатели степени равны: x − 7 = −3, откуда x = 4.

2.
Поскольку  , уравнение можно записать в виде:
Дальнейшее ясно:
Теперь рассмотрим более сложные уравнения.

3.

Здесь лучше всего вынести за скобку двойку в наименьшей степени:

4.

Делаем замену

Тогда   и относительно t мы получаем квадратное уравнение: Его корни: и

В первом случае имеем: откуда

Во втором случае: решений нет.

Ответ: 3.

5.

Замечаем, что а :

Делим обе части на положительную величину :

Делаем замену:
Полученное квадратное уравнение имеет корни −1 и  .

В случае
решений нет.

В случае

имеем единственный корень

Ответ:

Вообще, показательные уравнения вида

называются однородными. Для них существует стандартный приём решения — деление обеих частей на  (эта величина не равна нулю, так как показательная функция может принимать только положительные значения). Именно этим приёмом мы в данной задаче и воспользовались.

С однородными уравнениями, кстати, мы уже встречались — в тригонометрии. Это были уравнения вида
Их мы решали похожим приёмом — делением на

Определение

Показательным уравнением называется уравнение, содержащие неизвестную величину в показателе степени.  

Пример
такого
уравнения: 2**x= 16.

 В какую степень надо возвести 2, чтобы
получить 16? Понятно, что в степень 4.

При
том, x = 4 — единственное решение данного уравнения. Как вы

думаете почему? Это легко понять, посмотрев на график показательной функции y
= 2**x:

Рис. 1  График показательной функции

данная
функция монотонно возрастает (это когда x2 ˃ x1, y2 ˃ y1) и потому каждое своё значение
принимает ровно один раз.  Не существует других

значений
x, кроме 4, таких, что 2**x = 16.

Простейшее показательное уравнение —
это уравнение вида

a**x= b,             (1)                                                                                                         
 

где a > 1 или 0 < a < 1.

Если
b > 0, то уравнение (1) имеет решение, и притом единственное. Действительно,
при a > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1
— монотонно убывает; в любом случае она принимает каждое своё значение
ровно один раз.

А вот если b ⩽ 0, то уравнение (1) не имеет решений: ведь
показательная функция может принимать только положительные значения.

Свойства показательной функции

1. a**m х  a**n = a**(m+n)

2. a**m : a**n = a **(m-n)

3. (a x b)*n = a**n  x  b**n

4. (a : b)**n = a**n : b**n

5. (a**n)**m = a**n x m

6. a**(-n) = 1/a**n

7. (a/b)**(-n) = (b/a)**n

8. n√a =a**(1/n)

Методы решения показательных уравнений

Любое
показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к решению
одного или нескольких простейших. На примерах будет показано, как использовать способы решения.

Вот эти методы:

1. Приведение к одинаковому основанию;
2. Замена переменной;
3. Выделение устойчивого выражения;
4. Приведение к одинаковой степени;
5. Графический метод

Приведение к одинаковому основанию

Левую и правую часть показательного уравнения представляем в виде 

степеней с одинаковым основанием

Пример 1.

Вспоминаем,
что 125 = 5**3. Уравнение приобретает вид: 5**x-7 = 5**3

В
силу монотонности показательной функции показатели степени равны:

x − 7 = −3,
откуда x = 4.

Ответ: 4

Пример 2.

Поскольку  

то уравнение можно записать в следующем виде: 

Степени в левой части перемножаются по свойствам показательной функции и ясно что 
:    

 Основания одинаковые, значит согласно свойств показательной функции, степень левой части уравнения равна правой 

9+3x=9, 3x =0. откуда

 x=0

Ответ: 0

Замена переменной

Такой способ решения показательных уравнений понадобится тем, кто не боится по-настоящему трудных задач. Ведь с помощью ввода новой переменной можно упростить даже самое сложное выражение. Его суть проста: мы заменяем «сложную » переменную на более простую и решаем уравнение, а затем производим обратную замену. Главное — определить, какую именно переменную заменить.

Пример 1

4**x- 2**(x+1)- 8 = 0

Очевидно, что в этом уравнении показательные функции легко привести к общему основанию: 4**х = 2**2х, а 2**(х+1) = 2 × 2**х.

2**(2х)- 2 × 2**х — 8 = 0

Что-то уже напоминает. 

Если бы из этого выражения можно было волшебным образом убрать 2**х, получилось бы обычное квадратное уравнение.

Поэтому мы обозначим 2**х новой переменной — допустим, y.

Если 2**х = y, получается: у**2- 2*у — 8 = 0.

У такого уравнения есть два корня: у1 = 4, у2 = -2.

Проведем обратную замену: 2**х = 4, 2**х = -2.

Но показательная функция не может быть отрицательным числом,  значит, 2**х = -2 корней не имеет. Отсюда следует, что  2**х = 4.

х = 2.

Ответ: 2

Пример 2

25**х — 6 × 5**х + 5 = 0

Присмотримся к этому равенству, ясно, что у него много общего с квадратным уравнением. Введем новую переменную:

5**х = у. 

Получили квадратное уравнение

у**2 — 6*у + 5 = 0

Корни такого уравнения : 1 и 5.

Выполним обратную замену:

5**х = 1, значит х = 0, так как

5**х = 5**0;

5**х = 5,  5**х = 5**1,

значит х = 1.

Ответ: 0; 1

Выделение устойчивого выражения

В предыдущих примерах мы преобразовывали разные виды показательных уравнений путем разложения многочленов на множители, потому что хотели найти способ решения — получить одинаковые основания или выделить переменную, которую можно заменить. Так вот, когда мы выносим некий множитель за скобку или заменяем переменную, пытаясь упростить уравнение — это действие по сути и является выделением устойчивого выражения.

Устойчивое выражение — это некий многочлен, содержащий переменную, который в скрытом виде присутствует во всех показательных функциях уравнения. Его можно вынести за скобки или обозначить новой переменной, чтобы упростить уравнение.

 То или иное устойчивое выражение можно найти почти в любом сложном уравнении. Проблема только в том, чтобы научиться верно определять такое выражение, а этот навык появляется лишь с опытом.

Пример 1

3**(х+1) + 3**х — 3**(х-2) = 35

В данном случае в качестве устойчивого выражения удобно взять 3**(х-2), как степень с наименьшим показателем и как у=3**(х-2) показательная функция и её значение положительное число по определению. В итоге мы получим:  3**(х+1)/(3**(х-2)) +3**х/ (3**(х-2) — 3**(х-2)/ (3**(х-2) =35, отсюда

3**(х-2)(3**3 + 3**2 — 1) = 35,

3**(х-2) × 35 = 35, делим левую и правую часть уравнения на 35, получаем

3**(х-2) = 1

Поскольку 1 равняется любое число в нулевой степени, мы можем записать:

3**(х-2) = 3**0

х — 2 = 0

х = 2

Ответ: 2

Пример 2

5 × 3**(-3х+1) + 3**(-3х+2) = 24

Для начала мы попробуем в левой части уравнения получить одинаковую степень: 3**(-3х+2) = 3**(-3х+1)+1 = 3 × 3**(-3х+1).

Теперь у нас есть устойчивое выражение 3**(-3х+1), которое можно вынести за скобки, чтобы получить более простое уравнение:

3**(-3х+1)(5+3) = 24

8 × 3-3х+1 = 24

3**(-3)**х+1 = 31

(-3)**х + 1 = 1

х = 0

Ответ: 0

Приведение к одинаковой степени

Не все показательные уравнения с разными основаниями можно решить предыдущим способом. Иногда проще преобразовать не основания, а показатели степени. Правда, пользоваться этим методом есть смысл только в том случае, когда мы имеем дело с умножением или делением.

При умножении чисел с разными основаниями, но одинаковыми степенными показателями можно перемножить только основания (степень останется прежней): a**x*b**x = (a*b)**x.

Пример 1

5**(2х-4) = 49**(2-х)

Общих множителей у левой и правой части уравнения нет и привести их к одинаковому основанию достаточно трудно. Поэтому стоит поработать с показателями степеней:

5**(2х-4) = 49**(2-х)

5**(2х-4) = 7**(4-2х)

5**(2х-4) = (1/7)**(2х-4), используем свойства показательной функции и получаем

5**(2х-4)/(1/7)**(2х-4) =(1/7)**(2х-4)

35**(2х-4) = 1,

это 35**(2х-4) = 35**0

2х — 4 = 0

х = 2

Пример 2

2**(х-2) = 5**(2-х)

Нам нужно привести обе части уравнения к одинаковым степенным показателям, и для этого вначале попробуем преобразовать правую часть, используя свойство степенных функций.

2**(х-2) = 1/5**(х-2)

Теперь умножим обе части на 5**(2-х) и придем к уравнению:

2**(х-2) × 5**(2-х) = 1

10**(х-2) = 1

10**(х-2) = 10**0

х — 2 = 0

x=2

Графический метод

Пример 1.

4**х = 16

Смотрим на рис.1 и находим значение х =2

Пример 2.

1.5**х =2.25

Находим по графику функции у =1.5**х  значение 2.25 на оси у, проводим через эту точку прямую параллельную оси х. Из точки пересечения этой прямой с параболой у=1.5**х опускаем перпендикуляр на ось х и находим значение х = 2, что удовлетворяет нашему уравнению. 

Примеры для самостоятельной работы

Заключение

В
данной статье рассмотрели методы решения простейших показательных
уравнений,  подобные которым могут быть в  в первом задании ЕГЭ, ЦТ, на  школьном экзамене.

Повторим
эти основные методы:

1.     Графический,
то есть по графику находим решение.

2.     Решение
на основе свойства степеней: если две степени одного и того же положительного
числа, отличного от 1, равны, то равны и их показатели.

3.     Путем
введения новой неизвестной  показательное
уравнение сводится к алгебраическому уравнению и решается алгебраическими
методами.

Методика самостоятельной работы

Решаете
на основе разобранных примеров.

Ответы пишите в комментариях.

Если кому-то
будет непонятно, поясню в следующей статье.

 Будем подробно разбирать примеры на все темы
ЕГЭ, начиная с простых и закончим олимпиадными.

Успехов!

До новых встреч!