Помощь на экзамене по линейной алгебре

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль, занимаюсь помощью студентам более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И неважно – она по объёму на две формулы или огромная, сложно структурированная, на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Как заказать выполнение контрольной работы по линейной алгебре

Вы можете написать сообщение в WhatsApp. После этого я оценю контрольную работу и укажу стоимость и срок выполнения вашей работы. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за вашу работу, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл готовой работы в личные сообщения.

Сколько может стоить контрольная работа

Стоимость контрольной работы зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости, загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения заказа

Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить заказ

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Гарантии и исправление ошибок

В течение 1 года с момента получения Вами готового решения заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.

Чуть ниже я предоставила примеры оформления работ по некоторым темам линейной алгебры, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня, это не все темы, это лишь маленькая часть их, чтобы вы понимали насколько подробно я оформляю.

Определители

Контрольная работа с оформлением и решением №1

Вычислить определитель второго порядка

Ответ: 5

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа с оформлением и решением №2

Вычислить определитель третьего порядка

Способ 1. Метод треугольника

Ответ: 184

Способ 2, Метод раскрытия по строке (или столбцу). Раскроем по второй строке.

Ответ: 184

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа с оформлением и решением №3

Вычислить определитель четвертого порядка, преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и разложить полученный определитель по элементам этого ряда.

Используя свойства определителей, его нужно преобразовать так, чтоб в каком, либо столбце или строке стало три элемента нуля.
В данном задании проще всего к такому виду привести вторую строку, т.к. в ней уже содержится один ноль, а остальные числа не большие и удобны для преобразования.

Теперь во второй строке появилось два нуля. Далее, ко второму столбцу прибавим четвёртый, умноженный на два.
К первому столбцу прибавим четвёртый, т.е. почленно прибавим элементы четвёртого столбца к элементам первого.

Теперь во второй строке появилось три нуля. То. что и требовалось сделать. Далее раскроем данный определитель по второй строке.

Получилось, что в первых трёх определителях множители равны нулю, значит дальше их можно и не раскрывать, т.к. они всё равно обернутся в ноль. Раскроем только определитель в четвёртом слагаемом и найдём его значение.

Ответ: -51

Контрольная работа с оформлением и решением №4

Решить неравенство (или уравнение) с определителями

Для его решения необходимо раскрыть определители и решить обычное неравенство (или уравнение).

Упрощаем

Ответ:

Матрицы

Контрольная работа с оформлением и решением №5

Операции чад матрицами.
Дано матрицы

Выполнить операции

Примечание: , перестановка не тождественна.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа с оформлением и решением №6

Найти обратные матрицы

а) Обратная матрица второго порядка

Находим ответ

Ответ:

б) Обратная матрица третьего порядка

Способ 1. Метод миноров.

Этот метод заключается в составлении союзной матрицы и в дальнейшем делении её на определитель матрицы.

В матрице в нижнем ряду два нулевых элемента, так что будет проще раскрыть определитель по этой строке.

Союзная матрица

Способ 2. Метод Гаусса.

Расширим исходную матрицу единичной матрицей и методом Гаусса преобразуем исходную матрицу в единичную. Расширение матрицы и будет обратной матрицей.

Дальнейшая последовательность действий приводится без объяснений

Ответ совпал с предыдущим методом.

Ответ:

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа с оформлением и решением №7

Решить матричное уравнение

В общем виде уравнение решается

Умножим обе стороны на справа.

Нам необходимо найти обратную матрицу и выполнить умножение.

Ответ: Чтоб убедиться в правильности, можно выполнить проверку.

Примечание. Имеет больше значение то, с какой стороны находится .

Решение систем линейных уравнений

Дана система линейных алгебраических уравнений

Необходимо решить данную систему. Прежде всего, нужно найти определитель матрицы коэффициентов. Если определитель равен нулю, то система не имеет решения.
Далее показано три метода решения.

Контрольная работа с оформлением и решением №8

Решить методом Гаусса
Для удобства выпишем матрицу коэффициентов

Далее, нам нужно привести матрицу к треугольному виду, т.е. чтоб ниже главной диагонали были нули, а на диагонали — единицы. Для удобства, также поменяем первую и вторую строки местами для того чтоб верхний левый элемент был равен единице (что делать не обязательно).
Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), для того, чтоб первый элемент второй строки стал равным нулю. Какими станут значения других элементов этой строки, пока что нас не волнует.

К третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), для того, чтоб первый элемент третьей строки стал равным нулю.

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-1), для того, чтоб второй элемент третьей строки стал равным нулю.

Приведя матрицу к требуемому виду можно находить значения неизвестных:

Откуда получим ответ
Ответ:

Ответ можно было также найти при дальнейшем преобразовании матрицы. Для этого нужно привести матрицу коэффициентов при неизвестных к виду единичной матрицы.

Из последнего, можно увидеть, чему равна каждая неизвестная.
Ответ:

Примечание. Метод Гаусса, на первый взгляд может показаться запутанным, однако, но является наименее трудозатратным и широко применяется.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа с оформлением и решением №9

Решить по правилу Крамера.

Выпишем матрицу коэффициентов

Найдём основной и дополнительные определители. Определитель ещё обозначается символом .

Находим неизвестные

Ответ:

Данный метод кажется простым, но это только для системы с тремя неизвестными, при увеличении количества уравнений сложность резко возрастает.

Контрольная работа с оформлением и решением №10

Решить матричным методом.

Решение матричного уравнения в общем виде

Найдем матрицу, обратную .

Союзная матрица

Т.к. элементы матрицы не делятся нацело на 12, оставим делитель за скобками, это не будет ошибкой.

Теперь можем разделить на определитель

Ответ:

Примечание. При перемножении матриц и скаляра, действует переместительный закон, но только на скалярное число.

Ранг матрицы. Разрешимость систем

Контрольная работа с оформлением и решением №11

Определить ранг матрицы

Найдем определитель данной матрицы

Определитель не равен нулю, значит, ранг матрицы равен ее размерности

Ответ:

Найдём её определитель

Определитель матрицы равен нулю, значит, ранг матрицы не будет равен её размерности. Из матрицы составим матрицы меньшей размерности (2×2) путём удаления одной строки и одного столбца. Таких комбинаций будет девять. Если хоть одна такая матрица не даст нулевой определитель, то ранг всей матрицы будет равен двум.
Из матрицы отбросим первую строку и столбец и найдём определитель получившейся матрицы.

Значит ранг матрицы равен размерности последней матрицы

Ответ:

Данная матрица прямоугольная, а определитель можно найти только квадратной. Значит будем составлять квадратные матрицы путем отбрасывания лишних столбцов.

1) Возьмем два первых столбца.

2) Возьмём первый и третий столбцы.

3) Возьмём первый и четвёртый столбцы.

Ранг матрицы равен размерности данной матрицы, несмотря на то, что два первых определителя равны нулю.
Ответ:

Примечание. Данный метод нахождения ранга матрицы становится затруднительным при повышении размерности матрицы. Далее будет показано применение метода Гаусса для нахождения ранга матрицы.

Контрольная работа с оформлением и решением №12

Определение ранга матрицы методом Гаусса.

Приведём матрицу к виду трапеции.

Как видим, получили матрицу, в которой два ряда сократились, а остальные два ряда не сокращаются. Рангом матрицы является количество несокращаемых рядов в матрице.
Ответ: ранг матрицы равен 2.

Контрольная работа с оформлением и решением №13

Дана система, где и некоторые константы.

а) При каких и система имеет единственное решение.
Система имеет единственное решение, если определитель матрицы коэффициентов не равен нулю.

Определим, при каком значении , определитель матрицы не будет равным нулю.

Ответ: система имеет решение при

Обратите внимание, что определитель был раскрыт по первому столбцу. Если бы мы применяли метод треугольника, то пришлось бы собирать подобные при неизвестной . Также стоит обратить внимание на то, что на решаемость системы не влияет столбец ответов .
б) При каких значениях и система не имеет решения.
Если определитель системы равен нулю, система не имеет единственного решения, в таком случае система, либо не имеет решения вовсе, либо имеет бесконечное множество решений.
Система не имеет решения если: где — расширенная матрица В основную матрицу подставим,

Для начала найдём ранг матрицы :

Определитель данной матрицы равен нулю, т.к. мы подставили искомую Следовательно, ранг матрицы ниже 3-х.

Составим из матрицы матрицу меньшего размера и найдём её определитель. Возьмем матрицу 2×2 построенную из левых верхних элементов матрицы .

Определитель не равен нулю, значит ранг матрицы
Чтоб система не имела решений ранг матрицы должен быть больше 2-х. Определим, при каком значении ранг матрицы не будет равен нулю.

Найдём определитель подматрицы .

Получаем
Проверим для двух других случаев

Как видим, для всех комбинаций расширенной матрицы
Ответ: система не имеет решение при

в) При каких и система имеет бесчисленное множество решений.
Если а это будет в случае если
Ответ: система имеет бесконечное количество решений при

Контрольная работа с оформлением и решением №14

Имеет ли система однородных уравнении нетривиальное решение. Если имеет, найти его.

Однородное уравнение всегда имеет нулевое решение, но это решение называется тривиальным. Чтоб система однородных уравнений имела нетривиальное решение, её определитель должен быть равен нулю. Если система однородных уравнений имеет нетривиальное решение, то это бесконечное множество решений.
Найдём определитель

Следовательно, система имеет нетривиальные решения. Приведём матрицу коэффициентов к виду трапеции.

Ответ: система имеет решение

Примечание. То, что в ответе присутствуют свободные элементы, это нормально. Выражение полностью исчерпывает ответ. Для любого ответ будет верным, т.с. ответов бесконечное множество.

Линейное пространство

Контрольная работа с оформлением и решением №15

Образует ли линейное пространство, заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента а на любое число .

Немного теории.
Линейное (векторное) пространство над числовым полем называется множество объектов любой математической природы, для которых определены операции сложения и умножения.
— элементы математической природы
— числовое поле
— операция сложения:
— операция умножения

Линейное пространство должно удовлетворять следующим свойствам

1. — замкнутость операций
2. — коммутативность сложения
3. — ассоциативность
4. — существование «нулевого» элемента
5. — существование «отрицательного» элемента
6. — существование «единичного» элемента
7. — существование «обратного» элемента
8. — ассоциативность умножения на скаляр
9. — дистрибутивность относительно вектора
10. — дистрибутивность относительно скаляра

Пример.
Образует ли линейное пространство множество всех дифференцируемых функций если сумма задана — произведение — Попросту говоря, функция называется дифференцируемой, если её график можно нарисовать в виде непрерывной линии на всём участке.

Проверим выполнение всех свойств.

1. Произведение дифференцируемых функций, даст дифференцируемую функцию, произведение действительного числа на дифференцируемую функцию, также, даст дифференцируемую функцию.

2. Второе свойство выполняется по свойствам тождественных преобразований: от перестановки множителей произведение не меняется. Для дифференцируемых функций это также справедливо.

3. Свойство выполняется, аналогично предыдущему.

4. Нулевой элемент , т.к. . Функция также дифференцируема, следовательно, нулевой элемент существует, свойство выполняется.

5. Отрицательный элемент для существует, так как . Однако, отрицательная функция не всюду дифференцируемая, а только если не равно нулю. Следовательно, свойство не выполняется.
Дальнейшую проверку можно не проводить.
Ответ: не образует

Примечание. В показанном примере, множество дифференцируемых функций образовывали бы линейное пространство, если сумма была бы определена следующим образом:

Контрольная работа с оформлением и решением №16

Исследовать на линейную зависимость систему векторов.
Чтобы проверить является ли система векторов линейно-зависимой, необходимо составить линейную комбинацию этих векторов , и проверить, может ли она быть рана нулю, если хоть один коэффициент равен нулю.

Случай 1. Система векторов заданна векторами

Составляем линейную комбинацию

Мы получили однородную систему уравнений. Если она имеет ненулевое решение, то определитель должен быть равен нулю. Составим определитель и найдём его значение.

Определитель равен нулю, следовательно, вектора линейно зависимы.

Случай 2. Система векторов заданна аналитическими функциями:
а) если тождество верно, значит система линейно зависима.
Составим линейную комбинацию.

Необходимо проверить, существуют ли такие (хотя бы одна из которых не равна нулю) при которых данное выражение равно нулю.
Запишем гиперболические функции

тогда

тогда линейная комбинация векторов примет вид: , откуда , возьмем, например, , тогда линейная комбинация
равна нулю, следовательно, система линейно зависима.

Ответ: система линейно зависима.
b) , составим линейную комбинацию

Линейная комбинация векторов, должна быть равна нулю для любых значений .
Проверим для частных случаев.

Линейная комбинация векторов равна нулю, только если все коэффициенты равны нулю.
Следовательно, система линейно не зависима.
Ответ: система линейно не зависима.

Контрольная работа с оформлением и решением №17

Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений.

Сформируем расширенную матрицу и приведём её к виду трапеции методом Гаусса.

Получим

Чтоб получить какой-нибудь базис подставим произвольные значения:

Получим остальные координаты

Ответ: (1, -5, 1, 1, 1)

Контрольная работа с оформлением и решением №18

Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе .

Нахождение координат вектора в новом базисе сводится к решению системы уравнений.

Способ 1. Нахождение при помощи матрицы перехода
Составим матрицу перехода

Найдём вектор в новом базисе по формуле

Найдём обратную матрицу и выполним умножение

Способ 2. Нахождение путем составления системы уравнений.

Составим базисные вектора из коэффициентов базиса

Нахождение вектора в новом базисе имеет вид , где это заданный вектор

Полученное уравнение можно решить любым способом, ответ будет аналогичным.
Ответ: вектор в новом базисе (-21, -8, 20).

Контрольная работа с оформлением и решением №19

Пусть Являются ли линейными следующие преобразования.

Составим матрицы линейных операторов из коэффициентов заданных векторов.

Проверим свойство линейных операций для каждой матрицы линейного оператора.

Левую часть найдём умножением матрицы на вектор . Правую часть найдем, умножив заданный вектор на скаляр .

Мы видим, что значит, преобразование не является линейным. Проверим другие вектора.

, преобразование не является линейным.

, преобразование является линейным.
Ответ: — не линейное преобразование, — не линейное, — линейное.

Примечание. Можно выполнить данное задание гораздо проще, внимательно посмотрев на заданные вектора. В мы видим, что есть слагаемые которые не содержат элементы , что не могло быть получено в результате линейной операции. В есть элемент в третьей степени, что также не могло быть получено умножением на вектор

Контрольная работа с оформлением и решением №20

Дано Выполнить заданную операцию: .
Выпишем матрицы линейных операторов.

Выполним операцию над матрицами

При умножении полученной матрицы на , получим

Ответ:

Контрольная работа с оформлением и решением №21

Найти матрицу в базисе , где если она задана в базисе

Запишем вектора в виде системы и составим матрицу перехода и исходную матрицу.

Воспользуемся формулой нахождения матрицы в новом базисе.

Найдем обратную матрицу и выполним произведение.

Ответ:

Контрольная работа с оформлением и решением №22

Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость .

Нормальный вектор плоскости . Произвольная точка пространства переходит в точку . При этом вектор является направляющим вектором прямой , поэтому канонические уравнения этой прямой будут:

Отсюда

Точка одновременно принадлежит плоскости и прямой , следовательно её координаты удовлетворяют уравнениям прямой и плоскости.

Преобразуем, чтоб найти координаты точки .

Мы получили координаты проекции, точка переходит в точку следовательно, проектирование на плоскость выполняется линейным преобразованием .

а) Проверим выполнение свойства
Проверим линейность данного преобразования. Рассмотрим вектор и выполним над ним преобразование .

свойство выполняется.

б) Проверим выполнение свойства

Выполним преобразование над векторами.

Оба свойства выполняются, значит, преобразование является линейным.
Составим матрицу преобразования. Для этого найдём образы орт:

Построим матрицу линейного преобразования, строки в которой — координаты образов базисных векторов

Областью значений преобразования является множество всех образов этого преобразования, то есть
Ядром линейного оператора является подпространство векторов, отображающихся в нулевой вектор

Распишем равенство по координатам и преобразуем

Запишем систему в виде канонических уравнений прямой

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной к исходной плоскости

Ответ: матрица ядро линейного оператора

Контрольная работа с оформлением и решением №23

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Собственные значения матрицы получим, решив характеристическое уравнение.

Раскроем определитель

Решив данное уравнение любым способом, получим его корни:
Это и есть собственные значения матрицы.

Для нахождения собственных векторов матрицы, в выражение характеристического уравнения будем подставлять собственные значения.

Решим систему методом Гаусса

Получим собственный вектор
Аналогично найдём и для других собственных значений.

Ответ: собственные значения: 1, 3, 4; собственные вектора: