Повторение тригонометрии при подготовке к егэ

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите , если  и .

4. Найдите значение выражения .

5. Найдите значение выражения .

6. Найдите значение выражения .

7. Найдите , если  и .

8. Найдите значение выражения .

9. Найдите значение выражения .

10. Найдите , если .

11. Найдите , если  и .

12. Найдите значение выражения .

13. Найдите значение выражения 

14. Найдите значение выражения .

15. Найдите значение выражения .

16. Найдите , если .

17. Найдите , если  и .

18. Найдите значение выражения .

19. Найдите значение выражения .

20. Найдите значение выражения , если .

21. Найдите , если  и .

22. Найдите , если  и .

23. Найдите , если  и .

24. Найдите значение выражения .

25. Найдите значение выражения .

26. Найдите значение выражения .

27. Найдите , если .

28. Найдите значение выражения .

29. Найдите , если 

30. Найдите значение выражения .

31. Найдите значение выражения .

32. Найдите значение выражения .

33. Найдите значение выражения .

34. Найдите значение выражения .

35. Найдите , если .

36. Найдите , если  и .

37. Найдите , если  и .

38. Найдите значение выражения .

39. Найдите значение выражения .

40. Найдите значение выражения .

41. Найдите значение выражения .

42. Найдите значение выражения 

43. Найдите значение выражения .

44. Найдите , если .

45. Найдите значение выражения .

46. Найдите значение выражения .

47. Найдите значение выражения .

48. Найдите значение выражения 

49. Найдите , если .

50 Найдите значение выражения .

51. Найдите значение выражения .

52. Найдите значение выражения .

53. Найдите значение выражения 

54. Найдите значение выражения 

55. Найдите , если .

56. Найдите , если .

57. Найдите , если 

58. Найдите , если .

59. Найдите , если  и 

60. Найдите значение выражения 

61. Найдите значение выражения .

62. Найдите значение выражения .

63. Найдите , если  и .

64. Найдите , если 

65. Найдите , если .

66. Найдите , если  и .

67. Найдите значение выражения .

68. Найдите значение выражения .

69. Найдите , если .

70. Найдите значение выражения .

71. Найдите значение выражения .

72. Найдите значение выражения .

73. Найдите значение выражения , если .

74. Найдите значение выражения .

75. Найдите , если  и .

76. Найдите , если  и .

77. Найдите значение выражения .

78. Найдите значение выражения .

79. Найдите значение выражения .

80. Найдите значение выражения .

81. Найдите значение выражения .

82. Найдите значение выражения , если .

83. Найдите значение выражения .

84. Найдите значение выражения .

85 Найдите значение выражения .

86. Найдите значение выражения .

87. Найдите , если .

88. Найдите значение выражения .

89. Найдите значение выражения .

90. Найдите значение выражения .

91. Найдите значение выражения: 

92. Найдите , если .

93. Найдите , если  и .

94. Найдите значение выражения .

95. Найдите значение выражения .

96. Найдите значение выражения .

97. Найдите значение выражения .

98. Найдите значение выражения .

99. Найдите значение выражения .

100. Найдите значение выражения .

101. Найдите значение выражения .

102. Найдите значение выражения .

103. Найдите значение выражения: .

104. Найдите значение выражения: .

105. Найдите значение выражения .

106. Найдите значение выражения .

107. Найдите значение выражения .

109. Найдите корень уравнения . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Тригонометрия для многих старшеклассников представляется сложной темой. Но на самом деле это не так. Тригонометрия проста и логична. Главное – начать с самых основ. Вспомнить, что такое градусы и радианы. Что такое синус и что такое косинус для произвольного угла.

Тригонометрию можно понять! И мы поможем вам это сделать. Ведь понимание намного лучше зубрежки. Читайте статьи этого раздела:

^New Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Измерение углов: градусы и радианы

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрические формулы

Формулы приведения

Все формулы тригонометрии

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Простейшие тригонометрические уравнения, 1

Простейшие тригонометрические уравнения, 2

Тригонометрические уравнения. Методы решения

Повторим самое главное в тригонометрии.

— Выучи, что такое синус и что такое косинус произвольного угла.

Из курса геометрии ты помнишь, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Однако это частные случаи для углов, больших нуля и меньших 90 градусов. А мы говорим о произвольном угле. Определения синуса и косинуса произвольного угла – в этом разделе.

— Тригонометрический круг, или тригонометрическая окружность, – твоя универсальная шпаргалка. Значения синусов и косинусов основных углов, знаки синуса и косинуса в четвертях, четность и нечетность синуса и косинуса и многое другое – на тригонометрическом круге.

— Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо понять, как они получаются.

— Сколько формул тригонометрии нужно знать, чтобы уверенно решать задачи? Три – это мало. 100 – это много. В нашей таблице 29 формул. Их хватит для решения любой задачи ЕГЭ. И на первом курсе вуза тоже пригодится!

— Как решать тригонометрические уравнения? Не спеши учить формулы. Сначала разберись, почему их решения именно такие. Выучи определения и свойства обратных тригонометрических функций – арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

И тренируйся на реальных задачах ЕГЭ!

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $={180}/{π}≈57$  градусов

$1$ градус $={π}/{180}$ радиан

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^2α}$

$cosα=±√{1-sin^2α}$

1. $tgα·ctgα=1$
2. $1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
3. $1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$

Формулы двойного угла

1. $sin2α=2sinα·cosα$
2. $cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$
3. $tg2α={2tgα}/{1-tg^2α}$

Формулы суммы и разности

$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$

Формулы произведения

$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$

$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$

$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$

Формулы сложения

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$

$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ {table cos (t)=a; ≤t≤π;$

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$t=±arccos ⁡ a+2πk; k∈Z$

Частные случаи

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ {table sint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$2. t=(-1)^n arcsin ⁡ a+πn; n∈Z$

$3.$ Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$

$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.

$arctg a = t ⇔ {table tgt=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arctg(-a)= — arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Цель: 

1. Повторить и систематизировать раннее изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.
2. Повторить методы решения уравнений.
3. Решить сложные уравнения, встречающиеся на ЕГЭ.
4. Проверить усвоение материала.

1 урок: «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений» (используя компьютерную презентацию).

2-3 уроки: «Семинар по решению одного уравнения несколькими способами».

4-5 уроки: Решение более сложных уравнений, предложенными способами.

6 урок: Контрольное тестирование по теме, с использованием компьютерной программы.

Урок №1: «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений»

Цель (слайд 2)

1. Повторить и систематизировать раннее изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.
2. Решение уравнений, с выбором ответов.
3. Воспитывать умение применять полученные знания.

Ход урока: 

1. Решение уравнений вида .
2. Решение уравнений вида
3. Решение уравнений вида  и 
4. Итог урока.

Решение сложных уравнений сводится к решению простейших уравнений:

и

Вспомним, как они решаются. (Используется презентация, «по щелчку мышки»)

1. Решение простейших тригонометрических уравнений вида: (слайд 3)

.

где

Частные случаи (слайд 4)

Решить уравнения:

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .

Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие):

2. Решение простейших тригонометрических уравнений вида: (слайд 5)

, где

Частные случаи: (слайд 6)

Решить уравнения:

1. 
   Ответ: .
2. 
   Ответ: .
3. 
   Ответ: .

Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие):

3. Решение простейших тригонометрических уравнений вида: (слайд 7)

Решить уравнения:

1.

Ответ: .

2.

Ответ: .

3.

Ответ: .

Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие)

Решение простейшего тригонометрического уравнения вида:

решение аналогичное предыдущему случаю.

4. Итог урока:

Сегодня на уроке мы повторили решение простейших тригонометрических уравнений. На следующем уроке будем повторять методы решения тригонометрических уравнений, для этого класс разбивается на 7 небольших групп, каждая из которых покажет выбранный метод решения уравнения:

.

Приложение

Можно обращаться за консультацией.

Дома повторить пункты № 9,11, учебник под редакцией А.Н.Колмогорова, стр. 93-106, учебник под редакцией А.Г.Мордковича.

Урок математики в 11 классе.

Тема «Тригонометрия в ЕГЭ».

Цели урока:

Образовательные:

повторить методы решения уравнений.
обобщить и систематизировать знания, закрепить умения и навыки учащихся при решении
тригонометрических уравнений.

Развивающие:
развивать навыки самоконтроля и самооценки, применения знаний в новой ситуации; умение
анализировать задание, обобщать, выделять главное, выбирать способы решения.

Воспитательные:

содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности.

Тип урока:
Урок обобщения и систематизации знаний.
Форма урока: Урок-тренинг. Подготовка к единому государственному экзамену.

Структура урока:
1.
Орг. момент. Приветствие. Постановка цели урока – 2 мин.
2.
Активизация знаний. Разминка: «Верю – не верю» – 5 мин.
3.
Основные способы решения тригонометрических уравнений – 5 мин.
4.
Установить соответствие между уравнением и ответом – 3 мин.
5.
Решение уравнений различными способами на доске. – 7 мин.
6.
Отбор корней – 8 мин.
7.
ЕГЭ прошлых лет (тригонометрические уравнений из реальных КИМов) – 12 мин.
8.
Подведение итогов. Оценка ответов учащихся – 2 мин.
9.
Рефлексия – 1 мин.

1
Здравствуйте,
ребята.
Девиз
нашего
урока:
«Готовимся
к
ЕГЭ».
Тригонометрия
–
большая
составная часть школьного курса математики, и в 10 классе на ее изучение отводится много часов.
Однако, результаты ЕГЭ показывают очень слабую подготовку выпускников по этой теме. А ведь еще
греки на заре человечества считали тригонометрию важнейшей из наук. «Геометрия – царица
математики, а тригонометрия – царица геометрии». И мы не будем оспаривать древних греков,
приступим к повторению тригонометрии.
Слайд № 2
. Только в 1 части вопросы по тригонометрии
встречаются почти в трети заданий. Как провести подготовку по всем этим темам? Конечно, на одном
уроке это сделать невозможно. Сегодня мы начнем
с решения тригонометрических уравнений.

Слайд № 3.
Самое главное, чтобы у ребят не возникло страха из-за огромного количества формул и
разнообразия
видов
тригонометрических
уравнений.
В
прошлом
году,
когда
мои
10-классники
изучили
тригонометрию,
я
предложила
им
участие
в
проекте
–
проанализировать
частоту
применения тех или иных тригонометрических формул за последние 3 года в КИМах ЕГЭ. Вот, что у
них получилось
. Слайд 4.

2
. Сначала разминка. Проверим вашу память. Поиграем в «Верю – не верю»
Слайд 5.
Я зачитываю
утверждения, если вы считаете их верными, пишите «да». Если не согласны – «нет». На таких
заданиях хорошо развивается зрительная память и отрабатывается умение находить свои ошибки
Это задание с самопроверкой. За каждый правильный ответ – 1 балл. Сегодня на уроке можно
заработать максимально 27 баллов + бонусные баллы – за решение на доске.

3 .
Раз мы решили начать повторение тригонометрии с решения уравнений, давайте вспомним
основные
методы
решения.
Слайд

6.
Поставьте «+» против каждого уравнения в том столбце,
который соответствует способу его решения. Самопроверка. За каждый правильный ответ – 1 балл.
Какие
уравнения
показались
вам
особенно
трудными?
Позже
мы
к
ним
вернемся.
Но
любое
тригонометрическое уравнение, каким бы сложным оно не было, всегда приводится к простейшему.

4 .
Я
предлагаю
вам
решить
простейшие
уравнения,
не
решая,
а
лишь
внимательно
оценить
предлагаемые к ним ответы. Установите соответствие.
Слайд 7.
Проверяем.

5 .
Теперь, когда мы вспомнили решение частных случаев простейших триг. уравнений, давайте
решим по 1 уравнению на доске (3 ученика).

6
. Как вы знаете, в № 13 2 задания: решить уравнение и выбрать корни, принадлежащие некоторому
промежутку. Как можно проводить отбор корней?
Слайд 8. Способ оценки
– самый надежный (если

2cos0x
-=
3sin30
x
-=
вы
хорошо
решаете
двойные
неравенства,
и
есть
много
времени).

С

помощью

единичной

окружности
(самый быстрый, и по моему мнению, самый легкий). И способ перебора. 4 ученика к
доске. № 5 – домашнее задание.

7.
А сейчас мы посмотрим, какие уравнения были на реальных экзаменах прошлых лет и попробуем
их решить.
Слайд 9.

8.
А сейчас поиграем в предсказателей и попробуем угадать, какие же уравнения ждут нас на ЕГЭ
2016 года.
Слайд 10.
Может быть эти?

9.
Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили основные методы решения
тригонометрических уравнений, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических
уравнений, потренировались в отборе корней. У меня появилась уверенность, что с решением
тригонометрических уравнений домашней работы большинство из вас справится. Если вы правильно
сделали все задания – у вас 27 баллов – максимальная оценка, и это 5. 25-26 баллов – 4.От 20 до 25 –
3. А если меньше – надо усиленно браться за тригонометрию (пока еще есть время).

Домашнее задание.
Задание № 5 – практикум по решению тригонометрических уравнений
Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в
работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Урок окончен. До свидания!

Приложение

1. « Верю – не верю»
1.
2.
3.
4.
5. cos x = 0,2, x = arccos 0,2 + 2Пn,
6. sin x = 0,2, x = (-1)ᵏarcsin 0,2 + 2Пk.
7.
8.
9.
10.
11.
12. Я сдам ЕГЭ на отлично!

2. Предложите способ решения тригонометрических уравнений
.

1. Приводимые к квадратным

(замена переменных)

2. Однородное уравнение

3. Разложение на множители

3. Установите соответствие.
А.1)
,
2
k k Z
p
+p
�
Б. 2)
2
,
k k Z
p
�
В.
9cos90
x
-=
3)
2
,
2
k k Z
p
+p
�
Уравнение
Способ решения
1
2
3
sin
2
x — 9 sin x cos x + 3 cos
2
x = –1.
y
=
sin x
−
чётная функция
ctg
(
π
2
+
x
)=
tgx
ctg α
=
sin α
cos α
arccos
π
3
=
1
2
cos
2
2 x
+
sin
2
2 x
=
1
2 sin x cos x
=
sin 2 x
tgx
=
1, x
=
π
4
+
2 πn
cos
(
π
−
x
)=
cos x
sin
(
x
+
3 π
2
)=
cos x

Г.
3sin0x
=
.
4)
2
,
k k Z
p+p
�
Д.
4cos40
x
+=
5)
,
k k Z
p
�
Е.
66sin0
x
+=

6)
2
,
2
k k Z
p
-+p
�
А
Б
В
Г
Д
Е

4. Отбор корней тригонометрического уравнения
1.
sinx
=
√
2
2
;
x
∈
[
π ;
5 π
2
]
.
2.
co sx
=
−
1
2
;
tgx
>
0.
3.
co sx
=
√
3
2
;
x
∈
[
−
5 π
/
2 ;
−
π
]
.
4.
tg x
+
3
=
0
;
x
∈
[
π
3
;
3 π
2
]
.


5.
co s 2 x
=
−
1
2
;
x
∈
[
−
3 π
2
;
π
2
]
.

5. Практикум по решению тригонометрических уравнений с выбором ответа

1.
а)
7 sin
2
x
+
4 sinxcosx
−
3 cos
2
x
=
0 ;б
¿
xϵ
[
3 π
2
;
5 π
2
]
.

2.
а
¿
cos 2 x
+
2 cos
2
x
−
sin 2 x
=
0; б
¿
xϵ
[
3 π
2
;
5 π
2
]
.

3.
а
¿
sinx
+
(
cos
x
2
−
sin
x
2
)(
cos
x
2
+
sin
x
2
)
=
0 ;б
¿
xϵ
[
π ;
5 π
2
]
.

4.
а
¿
cosx
=
(
cos
x
2
−
sin
x
2
)
2
−
1 б
¿
xϵ
[
π
2
; 2 π
]

5.
(
2 sin x
+
√
3
)
log
8
cos x
=
0 б
¿
xϵ
[
−
π ;2 π
]

6.
а
¿
cos 2 x
=
1
−
cos
(
π
2
−
x
)
б
¿
xϵ
[
−
5 π
2
;
−
π
)

7.
а
¿
√
3 sin x
−
tgx
+
tgxsinx
=
√
3 б
¿
xϵ
[
−
π
2
;
7 π
4
]

8.
а
¿
4 cosxsinx
−
3 sin
2
x
=
1 б
¿
xϵ
[
−
3 π
2
;
5 π
4
]

9.
а)

Как оказалось, я не очень хорошо помню

————————————————————————————————————————-

————————————————————————————————————————-

—————————————————————-

Хотелось бы перед экзаменом еще раз повторить

———————————————————————————————————————————-

———————————————————————————————————————————-

——————————————————

Фамилия Имя——————————————
[
−
3 π ;
−
3 π
2
]
cos 2 x
+
cos x
+
2 sin
2
x
−
1,5
√
−
2 sin x
=
0

Презентация к уроку — практикуму по теме «Тригонометрия», ЕГЭ, профильный уровень, задание №9. Презентацию можно использовать на уроках повторения, систематизации знаний при подготовке к ЕГЭ по математике. В презентации рассмотрены задачи по тригонометрии (преобразование числовых и буквенных выражений) из открытого банка заданий ЕГЭ по математике (сайт ФИПИ). В конце представлен тест для проверки знаний по теме.

Опубликовано 30.04.17 в 21:37 в группе «Математика — это интересно!»