Преобразование выражений для егэ

В записи $√^n{a}$, «а» называется подкоренным числом, $n$ — показателем корня или радикала.

Свойства корней $n$-ой степени при $а≥0$ и $b≥0$:

1. Корень произведения равен произведению корней

$√^n{a∙b}=√^n{a}∙√^n{b}$

2. Корень из дроби – это отдельно корень из числителя, отдельно из знаменателя

$√^n{{a}/{b}}={√^n{a}}/{√^n{b}}$, при $b≠0$

3. При возведении корня в степень, в эту степень возводится подкоренное выражение

$(√^n{a})^k=√^n{a^k}$

4. Если $а≥0$ и $n,k$ — натуральные числа, больше $1$, то справедливо равенство.

$√^n{√^k{a}}=√^{n∙k}a$

5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

$√^{n∙m}a^{k∙m}=√^n{a^k}$

6. Корень нечетной степени можно извлекать из положительных и отрицательных чисел, а корень четной степени – только из положительных.

7. Любой корень можно представить в виде степени с дробным (рациональным) показателем.

$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$

Если у радикала с четным показателем степени мы не знаем знак подкоренного выражения, то при извлечении корня выходит модуль подкоренного выражения.

Свойства степеней с рациональным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n∙a^m=a^{n+m}$

2. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n∙m}$

3. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a∙b)^n=a^n∙b^n$

4. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

Дроби

Практика: решай 6 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профиль)

Преобразование выражений

Теоретический материал

Рациональные выражения

Формулы сокращенного умножения многочленов

(a + b)(a – b) = a2 – b2.	4. (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3.	7. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.	5. (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.	6. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Формулы корней квадратного уравнения

Алгебраическое уравнение 2-й степени называют квадратным. Общий вид квадратного уравнения с одним неизвестным ax² + bx + c = 0, где a  0.

1. Дискриминант: D = b² – 4ac.

Если D

Если D ≥ 0, то .

2. Если b – четное число, то удобнее представить общую формулу в виде
, где .

Формула разложения квадратного трехчлена на множители

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂), где x₁ , x₂ – корни квадратного трехчлена, a ≠ 0.

Теорема Виета

1. Если приведенное квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет действительные корни, то

2. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 (где a ≠ 0) имеет действительные корни, то

Верны и обратные утверждения.

Основные свойства степени ( x  R, y  R, a  R, a 0, b  R, b 0).

а) , б) , в) , г) , д) , e) , ж) , з) .

Иррациональные выражения

Определение 1. Корнем n—й степени из неотрицательного числа a (n = 2, 3, 4, 5, …) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.

Определение 2. Корнем нечетной степени n из отрицательного числа a (n = 3, 5,7, …) называют такое отрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.

Определение 3. Если – обыкновенная дробь () и , то под понимают , т.е. .

Свойства функции при четной степени n (n = 2, 4, 6, …):

1) ;

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) функция возрастает на ;

4) функция не ограничена сверху, ограничена снизу;

5) функция не имеет наибольшего значения; y_наим= 0;

6) функция непрерывна;

7) .

Свойства функции при нечетной степени n (n = 3, 5, 7, …):

1) ;

2) функция нечетна;

3) функция возрастает;

4) функция не ограничена ни сверху, ни снизу;

5) функция не имеет наибольшего и наименьшего значений;

6) функция непрерывна;

7) .

Свойства корня n—й степени (n = 2, 3, 4, 5, …) из неотрицательного числа ()

1) ; 2) (); 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Замечания. , где (в частности ). , где , .

Теорема. При натуральном n уравнение равносильно системе

Логарифмы

Определение. Логарифм числа х по основанию а есть показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить х.

Тождество (где x 0, a 0 и a  1) называют основным логарифмическим тождеством.

Определение. Логарифмической функцией называется функция вида у = logx, где a  0, a  1.

Основные свойства логарифмической функции у = logx (a 0, a  1).

1. D(log_a ) = R₊ .

2. E(log_a ) =R.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при а 1 и убывает при 0 a

4. Основные свойства логарифмов.

4.1. При любых a 0 (a  1), b 0 (b  1), x 0, y 0, p  R, k  R верны равенства:

а) ; б) ; в) ; г)	д) ; e) ; ж) (в частности ).
4.2. При любых a 0 (a  1), b 0 (b  1), x ≠ 0, y ≠ 0, p  N верны равенства: а) ; б) в) .

При решении логарифмических уравнений и неравенств используются теоремы, вытекающие из свойств монотонности логарифмической функции.

Теорема 1. Если , то

log f(x) = log g(x)

Теорема 2. log (f(x)) = b  f(x)= a (a 0, a  1).

Теорема 3. Если a 1, то

log f(x) log g(x)

Теорема 4. Если 0 a

log f(x) log g(x)

1. ОГЭ, 1_31412. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: −2.

2. ОГЭ, 1_337273. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: 0,8.

3. ОГЭ, 1_287946. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: 12,5.

4. ОГЭ, 21_311255. Упростите вы­ра­же­ние  . Ответ: 0,5.

5. ОГЭ, 21_311552. Один из кор­ней урав­не­ния 5x² – 2x + 3p = 0 равен 1. Най­ди­те вто­рой корень. Ответ: − 0,6.

6. Найдите , если , при .

7. Найдите , если .

8. Найдите , если при .

9. Найдите , если .

10. Найдите при .

11. Найдите , если .

12. Найдите значение выражения .

13. Найдите значение выражения .

14. Найдите значение выражения при b = 6.

15. Найдите значение выражения при x = 3.

16. Найдите значение выражения .

17. Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

18. Найдите значение выражения .

19. Найдите значение выражения .

20. Найдите значение выражения .

21. Вычислите значение выражения: .

22. Решите уравнение  .

23. Решите уравнение  .

24. Решите уравнение  .

25. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

26. Найдите ошибку

. О.Д.З.: .
x = – 1 c учетом О.Д.З. корней нет. Ответ: корней нет.	c учетом О.Д.З. Ответ: .

27. Решите уравнение . Ответ: 625.

Критерии оценивания задания 21 ОГЭ