Преобразование выражений егэ профиль теория - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №6 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения $frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}.$

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

$frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}=frac{2,88cdot 44,5}{2,88cdot 0,445}=frac{44,5}{0,445}=100.$

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.

Ответ: 100.

2. Найдите значение выражения $7frac{9}{13}:frac{5}{13}.$

$7frac{9}{13}:frac{5}{13}=frac{100}{13}cdot frac{13}{5}=20.$

Ответ: 20.

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

$left ( sqrt{a} right )^{2}=a;;sqrt{a}geq 0;;ageq 0$ .

3. Вычислите .

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8.

4. Вычислите:

Упростим множители:

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7} right )^{2}+2sqrt{3}cdot sqrt{7}+left ( sqrt{3} right )^{2}}=$

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7}+sqrt{3}right )^{2}}=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )left ( sqrt{7}+sqrt{3} right )=$

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

$a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

$frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

$left ( a^{m} right )^{n}=left ( a^{n} right )^{m}=a^{mn}.$

$a^{n}b^{n}=left ( ab right )^{n}.$

$frac{a^{n}}{b^{n}}=left ( frac{a}{b} right )^{n}.$

5. Найдите значение выражения: $frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}$ при a=4.

$frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}=a^{8,9-4,9}=a^{4}=4^{4}=256.$

Применили формулу частного степеней $frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

Ответ: 256.

6. Вычислите $left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}.$

$left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}=left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{2^{frac{1}{12}}} right )^{2}=left ( 2^{frac{1}{3}+frac{1}{4}-frac{1}{12}} right )^{2}=left ( 2^{frac{4}{12}+frac{3}{12}-frac{1}{12}} right )^{2}=$

$=left (2^{frac{1}{2}} right )^{2}=2.$

Ответ: 2.

7. Вычислите $frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}$ , если .

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение m=3,7. Сначала упростим выражение.

$frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}=frac{5m^{30}+13m^{30}}{4m^{30}}=frac{18m^{30}}{4m^{30}}=4,5.$

Ответ: 4,5.

8. Вычислите $0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}.$

$0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}=left ( frac{3}{4} right )^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot left ( 3cdot 4 right )^{frac{7}{8}}=frac{3^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 3^{frac{7}{8}}cdot 4^{frac{7}{8}}}{4^{frac{1}{8}}}=3cdot 4=12.$

Применили формулу для произведения степеней: $a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

Ответ: 12.

9. Вычислите $frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}.$

$frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}=frac{3^{frac{1}{28}}cdot 3cdot 3^{frac{1}{21}}}{3^{frac{1}{12}}}=3^{frac{1}{28}+1+frac{1}{21}-frac{1}{12}}=3^{frac{3}{84}+1+frac{4}{84}-frac{7}{84}}=3.$

Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.

Ответ: 3.

Логарифмические выражения

Темы для повторения:
Логарифмы

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

$log _{a}b=cLeftrightarrow a^{c}=b$ .

При этом > 0, > 0, aneq 1.

Основные логарифмические формулы:

Основное логарифмическое тождество: $boldsymbol{log _{a}a^{c}=c, ; a^{log _{a}b}=b}.$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( bc right )=log _{a}b+log _{a}c}.$

Логарифм частного равен разности логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( frac{b}{c} right )=log _{a}b-log _{a}c}.$

Формула для логарифма степени: $boldsymbol{log _{a}b^{m}=mlog_{a}b}.$

Формула перехода к новому основанию: $boldsymbol{log _{a}b=frac{1}{log _{b}a},; log _{a}b=frac{log _{c}b}{log _{c}a}}.$

10. Вычислите: $log _{5}7cdot log _{7}25$ .

$log _{5}7cdot log _{7}25=log _{5}7cdot log _{7}5^{2}=2log _{5}7cdot log _{7}5=2.$

Снова формула перехода к другому основанию.

$log _{a}b=frac{1}{log _{b}a}$ , поэтому
$log _{a}bcdot log _{b};a=1.$

11. Найдите $log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}$ , если $log _{a}b=-2$ .

$log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}=log _{a}a^{6}-log _{a}b^{6}=6-4log _{a}b=6-4cdot left ( -2 right )=6+8=14.$

12. Найдите значение выражения $frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}$ .

$frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}left (8cdot 10 right )}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}8+log _{2}10}{3+log _{2}10}=frac{3+log _{2}10}{3+log _{2}10}=1.$

13. Найдите значение выражения $frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}$ .

$frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}=frac{log _{9}8^{frac{1}{10}}}{log _{9}8}=frac{1}{10}=0,1$ .

14. Найдите значение выражения $left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )$ .

$left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )=-left ( log _{3}18-log _{3}3 right )cdot left ( log _{6}54-log _{6}6 right )=-log _{3}6cdot log _{6}9=-2log _{3}6cdot log _{6}3=-2.$

Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения

Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.

15. Вычислите: $44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right ).$

$44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right )=44sqrt{3}cdot frac{sin left ( -480^{circ} right )}{cos left ( -480^{circ} right )}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 480^{circ}}{cos 480^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 120^{circ}}{cos 120^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}:left ( -frac{1}{2} right )=132.$

16. Найдите , если $sin alpha =-frac{2sqrt{2}}{3}$ и $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ .

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{2sqrt{2}}{3} right )^{2}=1-frac{8}{9}=frac{1}{9}.$

Т.к. $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ , то $cos alpha =frac{1}{3}.$
$3cos alpha =3cdot frac{1}{3}=1.$

17. Найдите , если $sin alpha =-frac{1}{sqrt{5}}$ и

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{1}{sqrt{5}} right )^{2}=1-frac{1}{5}=frac{4}{5}.$

Т.к. , то
$cos alpha =frac{2}{sqrt{5}}.$

$tgalpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=-frac{1}{sqrt{5}}:frac{2}{sqrt{5}}=-2.$

18. Найдите значение выражения: $frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}.$

$frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{13cdot 2sin 76^{circ}cdot cos 76^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{26sin 76^{circ}}{cos 14^{circ}}=frac{26sin left ( 90^{circ}-14^{circ} right )}{cos 14^{circ}}=$

$=frac{26cos 14^{circ}}{cos 14^{circ}}=26.$

Применили формулу приведения.

19. Упростите выражение: $frac{3cos(pi - beta)+sin(frac{pi}{2}+beta)}{cos(beta+3pi)}.$

$frac{3cos left ( pi -beta right )+sin left ( frac{pi }{2}+beta right )}{cos left ( beta +3pi right )}=frac{-3cos beta +cos beta }{-cos beta }=frac{-2cos beta }{-cos beta }=2.$

Применили формулу приведения.

20. Найдите , если .

$2cos 2alpha =2left ( 1-2sin ^{2}alpha right )=2-4sin ^{2}alpha =2-4cdot left ( -0,7 right )^{2}=0,04.$

21. Вычислите $frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }$ , если

$frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }=frac{1-cos ^{2}alpha +sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{1+cos ^{2}alpha -sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=$

$=frac{2sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{2cos ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=frac{sin alpha left ( sin alpha +cos alpha right )}{cos alpha left ( cos alpha +sin alpha right )}=frac{sin alpha }{cos alpha }=tgalpha =0,3.$

Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?

Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти $sqrt{a^{2}}$ .

Другие типы заданий

Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.

22. Найдите значение выражения
$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}$ при .

Запомним: $sqrt{a^{2}}=left | a right |.$

$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}=left | a-2 right |+left | a-4 right |$ .

Если , то и .

При этом и .

При получаем: .

Ответ: 2.

23. Найдите значение выражения

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}$ при xleq 12 .

При xleq 12 получим:

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}=x+sqrt{left ( x-12 right )^{2}}=x+left | x-12 right |=x+12-x=12.$

Ответ: 12.

24. Найдите $frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}$ , если , при .

Что такое ? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число . Например, ;

Тогда:

Заметим, что .

Значит, при
$frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}=1$ .

25. Найдите $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ , если $pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ , при .

$pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ — функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
$left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ .

Тогда при bneq 0.

$pleft ( frac{1}{b} right )=left ( frac{1}{b}-9b right )left ( -frac{9}{b} +bright )=left ( b-frac{9}{b} right )left (-9b +frac{1}{b} right )=pleft ( b right )$ , и значение выражения $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ равно 1.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 6 ЕГЭ по математике. Вычисления и преобразования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Преобразование выражений ЕГЭ по математике

08.11.2013

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Преобразование выражений».

Содержание темы:

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ
2.1. Формулы сокращенного умножения
2.2. Деление многочленов
2.3. Степени и арифметические корни
Тест для проверки теоретических знаний
Примеры
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест

Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.

В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: Скачайте в pdf файле.

Источник

Преобразование выражений

Комментарий. Задания на тождественные преобразования алгебраических выражений часто встречаются в вариантах экзаменов, проводимых в форме ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и в качестве компонентов заданий (например, при решении алгебраических уравнений и неравенств). Для их выполнения требуется умение применять формулы сокращенного умножения, разложения квадратного трехчлена на множители и знать определения и свойства степеней, уметь выделять полный квадрат.Формулы для справокДействия с дробями:

Сложение	Вычитание	Умножение	Деление

Перестановка членов пропорции:

Производные пропорцииДана пропорция , справедливы следующие пропорции:

Формулы сокращенного умножения:




где x₁ и x₂ — корни уравнения

Формулы корней квадратного уравнения:

, дискриминант
D > 0	D = 0	D < 0
		Среди действительных чисел корней нет

Формулы корней приведенного квадратного уравнения:

, дискриминант
D₀ > 0	D₀ = 0	D₀ < 0
		Среди действительных чисел корней нет

Теорема Виета. В приведенном квадратном уравнении сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а их произведение — свободному члену:Если задано квадратное уравнение в общем виде , то делением уравнения на можно свести к приведенному, где,Действия со степенями:

При работе с модулями используют различные свойства модулей, например:

Действия с корнями (корни предполагаются арифметическими):

Свойства числовых неравенств

	пусть c > 0, тогда
и	пусть a > 0 b > 0, тогда
,

Вспомним, что алгебраическим выражением называется выражение, в котором числа и буквы соединены действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень или извлечения арифметического корня.Равенство, обе части которого принимают одинаковые числовые значения при любых допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством.Например, каждая из формул сокращенного умножения представляет собой тождество, ибо левая и правая части каждого из равенств:

равны друг другу при любых значениях a и b. При этом одно выражение преобразуется в другое, ему тождественно равное.При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:

1) величина допустимых изменений буквенных величин;2) область допустимых значений каждой из буквенных величин.

Первое из этих требований является обязательным при всех преобразованиях, имеющих целью упрощение выражения или приведение его к нужному виду. Если надо, например, дополнить квадратный трехчлен до полного квадрата, то, прибавив к нему число 9, необходимо такое же число и вычесть, т.е.:Тождественные преобразования последнего выражения можно продолжить и привести исходное выражение к произведению двучленов:Второе требование — неизменность областей допустимых значений — не всегда выполняется при обычно применяемых нами преобразованиях. Сократив, например, дробь на разность a — 1 и написав равенство , мы замечаем, что нарушено второе требование, которому должно удовлетворять тождественное преобразование: правая часть равенства имеет смысл при любых значениях , а левая только при условии, что a ≠ 1, т.е. произошло изменение области допустимых значений величины a. Следовательно, преобразование в данном случае не является тождественным.Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.Порядок выполнения действий:

1) действия с одночленами;2) действия в скобках;3) умножение или деление (в порядке появления);4) сложение или вычитание (в порядке появления).

Обыкновенная дробь — число вида ; a — целое число, b — натуральное число. Две дроби равны, если a * d = b * c. Основное свойство дробей: , где c — любое отличное от нуля действительное число.В пропорции a и d — крайние члены, b и c — средние члены.Основное свойство пропорции: a * d = b * c (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов).Модуль (абсолютное значение) действительного числа a обозначается символом . По определению модуль действительного числа aявляется неотрицательным числом:При действиях с радикалами следует иметь в виду, что правила, по которым они выполняются, безоговорочно верны лишь для арифметических корней. По определению корень называется арифметическим лишь в том случае, если число a положительно или равно нулю, а также положительна или равна нулю и величина самого корня. Если этого не учитывать, то можно допустить ошибку. Например, равенство верно лишь при условии, что x ≥ 0. При x < 0 нужно писать так:Аналогично равенство верно лишь в случае, если a ≥ b. При a < b оно неверно и нужно писать . Оба случая можно охватить такой записью: .Пример 1.Упростите выражение .РешениеПрименим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .Ответ: 9m⁷.Пример 2.Сократив дробь вычислите ее значение, если .РешениеДля того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель этой дроби. Данное тождественное преобразование можно сделать разными способами.Способ 1Попробуем выполнить группировку в числителе, записав его следующим образом:3m² — 3mn + mn- n² = 3m(m — n) + n(m — n) = (3m + n)(m — n).Способ 2Составим и решим уравнение 3m² — 2mn — n² = 0 как квадратное уравнение относительно m, считая n параметром.Получаем, что:.Тогда Аналогично разложим на множители знаменатель дроби:6m² — 7mn + n² = (6m — n)(m — n).Следовательно, есть возможность сокращения дроби на множитель (m — n), т.е.:.Из условия следует, что (воспользовались свойством пропорции). Значит, .Ответ: .Комментарий. При тождественных преобразованиях иррациональных выражений в ряде случаев удобно выполнить замену переменных таким образом, чтобы для новых переменных получить рациональное выражение (другими словами, исключить иррациональность). При этом лучше просматриваются возможности для применения формул сокращенного умножения и другие способы упрощения рассматриваемого выражения.Пример 3.Сократите дробь: .РешениеТак как дробь содержит выражения целесообразно выполнить замену переменных следующим образом: .Тогда, воспользовавшись формулой «разность квадратов» и сократив дробь, получаем:Следует отметить, что другие варианты замены переменных, например, или , не приводят к получение рационального выражения.Ответ: .Комментарий. В выражениях, содержащих двойную иррациональность (корень из иррационального выражения) бывает полезным представление подкоренного выражения в виде полного квадрата (выделение полного квадрата). При этом используется формулы «квадрат суммы» или «квадрат разности». Подбор первого и второго слагаемого следует выполнять, ориентируясь на предполагаемое удвоенное произведение первого слагаемого на второе.Пример 4.Найдите значение выражения: РешениеЭтап 1Преобразуем знаменатель:8 = 5 + 3; 15 = 5 * 3,поэтому , то есть .Следуя несколько иной логике, можно рассмотреть число в качестве возможного удвоенного произведения первого слагаемого на второе. Далее, используя свойство квадратного арифметического корня, представим его в виде произведения . Таким образом, получаем, что:, т.к. .Этап 2Раскроем скобки в числителе дроби:.Учитывая, что 150 = 25 * 6, 90 = 9 * 10, получаем следующее:.Далее приведем подобные слагаемые (первое и последнее, второе и третье) и, помня, что наша цель — разложить знаменатель дроби на множители для ее сокращения, вынесем за скобку множитель :Тогда: .Заметим, что подкоренное выражение в знаменателе можно было записать и как , но а поэтому .Ответ: .Пример 5.Укажите все номера целых чисел данного множества:

РешениеУпростим запись каждого из данных чисел.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, получаем . Далее, выполним умножение показателей степеней для возведения степени в степень, . Так как целыми числами называются натуральные числа, им противоположенные и ноль, получаем, что число под номером 1 — целое.
Преобразуем выражение , используя выделение полного квадрата из выражения под знаком корня.Видно, что число следует представить в виде произведения множителей 2, 3 и . Можно проверить, что другие способы разложения числа на множители не приводят к выделению полного квадрата (например, 2, , 1).Таким образом, получаем, что .Следовательно:Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулой «разность квадратов»: — целое число.
Для преобразования выражения сначала исключим иррациональность из знаменателя первого слагаемого, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к знаменателю:Следовательно, — не является целым числом.
Выполним переход к одинаковому основанию 2 и запишем кубический корень в виде степени:Далее для деления степеней с одинаковым основанием, вычислим разность показателей: .Выделим целую часть дроби, полученной в показателе , и запишем результат тождественных преобразований в виде произведения: Таким образом, выражение под номером четыре — не целое число.
Представим основание в виде степени числа 4, тогда: .Используя правило возведения степени в степень, следует записать — целое число.

Ответ: 1, 2, 5.В экзаменах традиционной формы задачи на упрощение встречаются редко, но подобные навыки могут пригодиться и при решении заданий, сформулированных иначе.Пример 6.Найдите наименьшее значение выражения:5x² + 2y² — 4xy — 4x — 8y + 19.Решение.Представим формулу, задающую функцию, в виде выражения, в которое входят суммы полных квадратов:5x² + 2y² — 4xy — 4x — 8y + 19 = (4х² — 4ху + у²) + (х² — 4х + 4) + (у² — 8у + 16) — 1 = (2х — у)² + (х — 2)² + (у — 4)² — 1.Вспомним, что наименьшее значение квадрата любого выражения равно нулю. Следовательно, наименьшее значение каждого из первых трех слагаемых равно нулю, причем все они обращаются в 0 при х = 2 и у = 4. Таким образом, наименьшее значение функции равно -1 и достигается в точке (2; 4).Ответ: -1.Пример 7.Вычислить: .РешениеУказанные действия следует выполнять, не пользуясь микрокалькулятором, не делая округлений и приближенных вычислений, так как предполагается, что все заданные числа являются точными.Будем выполнять вычисления по действиям:

Таким образом: .Ответ: -20,275.Пример 8.Упростите выражение: при , a ≠ b и ab > 0.РешениеПокажем прежде, что при заданном условии все подкоренные выражения положительны:,Поскольку a – b ≠ 0, то (a – b)₂ > 0; ab > 0 по условию.Следовательно, дробь положительна, т.е. x – 1 > 0, а значит, и x + 1 > 0.Теперь перейдем к упрощению заданного выражения. Освободимся от иррациональности в знаменателе:Подставляя значение , получим:.По условию ab > 0, значит, , поэтому Рассмотрим оба возможных случая:

Ответ.Если a² > b², т.е. если , то и .Если a² < b², другими словами , то и .Пример 9.Сократите дробь:.РешениеС целью сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя x₁ = 1; x₂ = 4, поэтому имеем:x² – 5x + 4 = (x – 1) * (x – 4).Чтобы разложить знаменатель на множители, применим метод группировки:x³ – x – 4x² + 4 = (x³ – x) – (4x² – 4) = x (x² – 1) – 4 (x² – 1) = (x² – 1) (x – 4) = (x – 1) (x + 1) (x – 4).Тогда при x ≠ 1, x ≠ -1, x ≠ 4 будем иметь:Ответ: .Пример 10.Пользуясь теоремой Виета, вычислить , где x₁ и x₂ — корни уравнения 2x₂ + 6x + 1 = 0.РешениеПреобразуем исходное выражение в дробь . Числитель данного выражения может быть разложен, как сумма кубов двух выражений: . Выполним тождественные преобразования:.Воспользуемся теоремой Виета. Для начала убедимся, что дискриминант квадратного трехчлена 2x² + 6x + 1 больше нуля.Действительно, D = 62 – 4 * 2 * 1 = 36 – 8 = 28 > 0. Следовательно, у уравнения 2x² + 6x + 1 = 0 имеются два действительных корня, и теорема Виета может быть применена.Таким образом, , и . Поэтому, имеем:.Ответ: -45.

Источник

Лекция: Преобразования выражений, включающих арифметические операции

Существует несколько основных свойств, которые позволяют складывать, вычитать, а также умножать действительные числа:

1. Переместительный закон для такой арифметической операции, как сложение:

n + m = m + n

Как бы не переставляли местами слагаемые, сумма от этого не измениться.

2. Сочетательный закон для сложения. Для удобства сложения некоторых чисел можно изменять порядок действий, благодаря чему существенно упростить задачу.

Например, если нам необходимо найти сумму следующих цифр: 81+37+19, то мы можем по очереди произвести сложение, но проще воспользоваться сочетательным законом, при котором:

(81 + 37) + 19 = (81 + 19) + 37 = 100 + 37 = 137.

3. Переместительный закон для умножения действительных чисел:

n * m = m * n

Он означает, что не зависимо от порядка множителей, произведение не измениться.

4. Сочетательный закон для умножения. Он говорит о том, что мы можем менять порядок действий при умножении для облегчения расчетов.

Например:

(5 * 37) * 20 = (5 * 20) * 37 = 100 * 37 = 3700.

5. Распределительный закон для сложения и вычитания.

35 * (10 — 2) = 35 * 10 — 35 * 2 = 350 — 70 = 280.

35 * (10 + 2) = 35 * 10 + 35 * 2 = 350 + 70 = 420.

Источник

Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.

Определение и примеры рациональных выражений

Определение 1

Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.

Для примера имеем, что 5, 23·x-5, -3·a·b3-1c2+4a2+b21+a:(1-b), (x+1)·(y-2)x5-5·x·y·2-111·x3.

То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.

Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.

Основные виды преобразований рациональных выражений

Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.

Пример 1

Преобразовать рациональное выражение 3·xx·y-1-2·xx·y-1.

Решение

Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3·xx·y-1 и 2·xx·y-1. Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид

3·xx·y-1-2·xx·y-1=xx·y-1·3-2=xx·y-1

Ответ: 3·xx·y-1-2·xx·y-1=xx·y-1.

Пример 2

Выполнить преобразование 2·x·y4·(-4)·x2:(3·x-x).

Решение

Первоначально выполняем действия в скобках 3·x−x=2·x. Данное выражение представляем в виде 2·x·y4·(-4)·x2:(3·x-x)=2·x·y4·(-4)·x2:2·x. Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.

Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2·x·y4·(-4)·x2:2·x=2·x·y4·(-4)·x2:2:x.

Группируем числовые множители с переменной x, после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что

2·x·y4·(-4)·x2:2:x=(2·(-4):2)·(x·x2:x)·y4=-4·x2·y4

Ответ: 2·x·y4·(-4)·x2:(3·x-x)=-4·x2·y4.

Пример 3

Преобразовать выражение вида x·(x+3)-(3·x+1)12·x·4+2.

Решение

Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида (x·(x+3)-(3·x+1)):12·x·4+2, причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x·(x+3)-(3·x+1)12·x·4+2=x2+3·x-3·x-112·4·x+2=x2-12·x+2.

Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что

x2-12·x+2=(x-1)·(x+1)2·(x+1)=x-12

Ответ: x·(x+3)-(3·x+1)12·x·4+2=x-12.

Представление в виде рациональной дроби

Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.

Пример 4

Представить в виде рациональной дроби a+5a·(a-3)-a2-25a+3·1a2+5·a.

Решение

Данное выражение можно представить в виде a2-25a+3·1a2+5·a. Умножение выполняется в первую очередь по правилам.

Следует начать с умножения, тогда получим, что

a2-25a+3·1a2+5·a=a-5·(a+5)a+3·1a·(a+5)=a-5·(a+5)·1(a+3)·a·(a+5)=a-5(a+3)·a

Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что

a+5a·(a-3)-a2-25a+3·1a2+5·a=a+5a·a-3-a-5a+3·a

Теперь выполняем вычитание:

a+5a·a-3-a-5a+3·a=a+5·a+3a·(a-3)·(a+3)-(a-5)·(a-3)(a+3)·a·(a-3)==a+5·a+3-(a-5)·(a-3)a·(a-3)·(a+3)=a2+3·a+5·a+15-(a2-3·a-5·a+15)a·(a-3)·(a+3)==16·aa·(a-3)·(a+3)=16a-3·(a+3)=16a2-9

После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16a2-9.

Ответ: a+5a·(a-3)-a2-25a+3·1a2+5·a=16a2-9.

Пример 5

Представить xx+1+12·x-11+x в виде рациональной дроби.

Решение

Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется xx+1+1, а в знаменателе 2·x-11+x. Необходимо произвести преобразования xx+1+1. Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что xx+1+1=xx+1+11=xx+1+1·(x+1)1·(x+1)=xx+1+x+1x+1=x+x+1x+1=2·x+1x+1

Следует, что xx+1+12·x-11+x=2·x+1x+12·x-11+x

Получившаяся дробь может быть записана как 2·x+1x+1:2·x-11+x.

После деления придем к рациональной дроби вида

2·x+1x+1:2·x-11+x=2·x+1x+1·1+x2·x-1=2·x+1·(1+x)(x+1)·(2·x-1)=2·x+12·x-1

Можно решить это иначе.

Вместо деления на 2·x-11+x производим умножение на обратную ей 1+x2·x-1. Применим распределительное свойство и получаем, что

xx+1+12·x-11+x=xx+1+1:2·x-11+x=xx+1+1·1+x2·x-1==xx+1·1+x2·x-1+1·1+x2·x-1=x·1+x(x+1)·2·x-1+1+x2·x-1==x2·x-1+1+x2·x-1=x+1+x2·x-1=2·x+12·x-1

Ответ: xx+1+12·x-11+x=2·x+12·x-1.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник