Презентация по теории вероятности 11 класс подготовка к егэ 2022

Слайд 1

Обучение учащихся элементам теории вероятностей при подготовке к сдаче ГИА и ЕГЭ

Слайд 2

Классическое определение вероятности Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Слайд 3

Задачи на прямое использование классического определения вероятности На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней. Решение: m =4 – число пирожков с вишней (число благоприятных исходов) n= 16 – число всех пирожков (общее число равновозможных исходов)

Слайд 4

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение: m =20-8-7=5 – число гимнасток из Китая (число благоприятных исходов) n=20 – число гимнасток, которые принимают участие в чемпионате (общее число равновозможных исходов)

Слайд 5

Задачи на прямое использование классического определения вероятности Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Решение: m =10-1=9 – число участников из России за исключением Руслана Орлова (число благоприятных исходов) n=2 6-1=25 – число бадминтонистов, участвующих в чемпионате за исключением Руслана Орлова (общее число равновозможных исходов)

Слайд 6

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе . Решение: Пусть Аня оказалась в некоторой группе, тогда m =21:7-1=2 – число вакантных мест в этой же группе (число благоприятных исходов) n=2 1-1=20 – число учащихся класса за исключением Ани (общее число равновозможных исходов)

Слайд 7

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе. 2 способ Вероятность того, что одна из подруг окажется в одной из групп равна Вероятность того, что вторая подруга окажется в этой же группе равна Поскольку все 7 групп равноправны, то вероятность попасть в одну группу равна

Слайд 8

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе. 3 способ Используем формулы комбинаторики:

Слайд 9

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в разных группах . Решение: События А – « подруги окажутся в одной группе » и В- « подруги окажутся в разных группах » являются противоположными. В этом случае P(A)=1-P(B) .

Слайд 10

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Комбинации в выпадении очков на кубиках: 1 – 1 2 – 1 3 – 1 4 – 1 5 – 1 6 — 1 1 – 2 2 – 2 3 – 2 4 – 2 5 – 2 6 — 2 1 – 3 2 – 3 3 – 3 4 – 3 5 – 3 6 — 3 1 – 4 2 – 4 3 – 4 4 – 4 5 – 4 6 — 4 1 – 5 2 – 5 3 – 5 4 – 5 5 – 5 6 — 5 1 – 6 2 – 6 3 – 6 4 – 6 5 – 6 6 — 6 Жирным шрифтом выделены комбинации, в которых сумма очков равна 8.

Слайд 11

Задачи на прямое использование классического определения вероятности Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза . Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда Возможные комбинации жребия: 000 001 010 011 100 101 110 111 Жирным шрифтом выделены благоприятные комбинации.

Слайд 12

Задачи на прямое использование классического определения вероятности В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно три раза.

Слайд 13

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз Возможные исходы: О – О О – Р Р – Р Р – О Жирным шрифтом выделены благоприятные исходы

Слайд 14

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза. Общее число исходов найдем по формуле Число благоприятных исходов

Слайд 15

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно три раза. Общее число исходов найдем по формуле Число благоприятных исходов: О-О-О-Р О-О-Р-О О-Р-О-О Р-О-О-О

Слайд 16

Задачи на прямое использование классического определения вероятности Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. m=100 n=100+8=108 m=100 0 -5=9 9 5 n=100 0

Слайд 17

Основные понятия События А и В называются совместными , если они могут произойти оба в результате одного опыта. События А и В называются несовместными , если в результате испытания они никогда не могут наступить вместе

Слайд 18

Примеры совместных и несовместных событий Совместные события Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени: событие А – попадание первого стрелка, событие В – попадание второго стрелка. Несовместные события Подбрасываем игральный кубик: событие А – выпадение 1, событие В – выпадение 5.

Слайд 19

Сумма событий Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Если из орудия произведены два выстрела: событие А — попадание при первом выстреле, событие В — попадание при втором выстреле, то событие А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Слайд 20

Теорема о сумме несовместных событий Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Слайд 21

Использование теоремы о сумме несовместных событий На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ: 0,35 Решение: Пусть событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Параллелограмм», событие А+В – достанется вопрос по одной из этих тем. События А и В – несовместные, следовательно P(A + B) =P(A) + P(B). P(A + B) = 0 ,2+0,15=0, 35

Слайд 22

Теорема о сумме совместных событий Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB) .

Слайд 23

Пример использования теоремы о сумме совместных событий В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение: Пусть А – кофе закончится в 1 автомате, В – кофе закончится во 2 автомате, А*В – кофе закончится в обоих автоматах, событие А+В – кофе закончится хотя бы в одном автомате, событие A+B – кофе останется в обоих автоматах. Тогда P(A)=P(B)=0, 25 , P(A*B)=0,1 5 События А и В – совместные, следовательно P(A+B)=0, 25 +0, 25 -0,1 5 =0, 35. Таким образом P(A + B) = 1-0, 35 =0, 6 5

Слайд 24

Произведение событий Произведением двух событий А и В называют событие А*В, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то А * В — деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то А * В * С — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Слайд 25

Основные понятия Два события называют независимыми , если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми . На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Слайд 26

Теорема о произведении независимых событий Теорема. В случае независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий Р (А*В) = Р (А) * Р (В)

Слайд 27

Использование теоремы о произведении независимых событий Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение: Пусть событие А – выигрыш А. белыми фигурами , событие В – выигрыш А. черными фигурами, событие А*В – выигрыш А. разными фигурами. События А и В – независимые, следовательно P(A*B) =P(A)*P(B). P(A*B) = 0,52*0,3=0, 156

Слайд 28

Формула полной вероятности Пусть событие может произойти вместе с одним из независимых событий Обозначим через событие — «событие произошло вместе с . Тогда справедлива формула

Слайд 29

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. P ( A+B)=P(A)+P(B)= =0,03*0,45+0,01*0,55= =0,019

Слайд 30

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Слайд 31

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий A – пациент болен и анализ правильный, B – пациент здоров и анализ не правильный P(A)=0,05*0,9=0,045 P(B)=0,95*0,01=0,0095 События А и В – несовместные P(A+B)=0,045+0,0095= =0,0545 Пациент Болен гепатитом 5% Не болен гепатитом 100-5=95% Положительный результат 0,9 Ложный положительный результат 0,01

Слайд 32

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0, 82 . Вероятность того, что окажется меньше 1 0 пассажиров, равна 0,5 1 . Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 1 0 до 1 7 . События A и B – несовместные, следовательно 0,82=0,51+x . Значит x=0,31

Слайд 33

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах. Ответ: 0,6 Пусть А – событие «пятирублевые монеты в разных карманах» Наступление события А возможно лишь в трех случаях (три результата перекладывания монет): 5,10,10; 10,5,10 или 10,10,5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Слайд 34

Пример решения задач с использованием теорем о вероятностях событий В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение: Пусть А – неисправен 1 автомат, В – неисправен 2 автомат, А*В – неисправны оба автомата, событие А*В – исправен хотя бы один автомат. Тогда P(A)=P(B)=0, 05 , События А и В – независимы P(A*B)=0, 05*0,05=0,0025 Таким образом P(A * B) = 1-0, 0025 =0, 997 5

Слайд 35

Статистическая вероятность Относительной частотой W(A) события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М , в которых событие А произошло, к числу N всех проведенных испытаний . При этом число М называют частотой события А Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний

Слайд 36

Пример решения задачи Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается относительная частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Решение. A — событие «гарантийный ремонт» Частота события A равна М =51, число испытаний N =1000. Тогда относительная частота события «гарантийный ремонт» равна . Тогда

Слайд 37

Примеры решения задач с костями Задача. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 9. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых. Пусть А – событие «за два броска выпало более 9 очков» Наступление события А возможно лишь в трех случаях : выпало 10;11;12 очков. Пусть — выпало в сумме 10 очков. Это возможно только в трех случаях 4+6, 6+4, 5+5. Значит , Пусть — выпало в сумме 11 очков. Это возможно только в двух случаях 5+6, 6+5. Следовательно, Пусть — выпало в сумме 12 очков. Это возможно только в случае 6+6. Поэтому, Поскольку и события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий :

Слайд 38

Испытание — бросание кубика. Выпадение восьми очков при двукратном бросании кубика возможно только при следующих результатах испытаний: 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4. Тогда событию А — «выпало восемь очков и хотя бы раз 4» благоприятствует один исход ( m=1 ) , всего исходов пять ( n=5 ) . По определению вероятности получаем, что При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 8 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 4 очка?

Слайд 39

Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 4». Испытание — двукратное бросание кубика. Возможные исходы испытания занесем в таблицу: (1 ;1) ( 3;1) ( 4;1) ( 5;1) ( 6;1) (1 ;3) ( 3;3) ( 4;3) ( 5;3) ( 6;3) (1 ;4) ( 3;4) ( 4;4) ( 5;4) ( 6;4) (1 ;5) ( 3;5) ( 4;5) ( 5;5) ( 5;6) (1 ;6) ( 3;6) ( 4;6) ( 5;6) ( 6;6) Здесь m=2, n=25, следовательно, по определению получаем

Слайд 40

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа 1,3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик? Для удобства будем различать обозначения «троек» и «пятерок» на каждом из кубиков. Пусть на первом кубике это будут 3 и 5, а на втором — 3 , 3 , 5 , 5 . Тогда возможные наборы в двух испытаниях будут: ( 3 ,5) (5,3) ( 3 , 5 ) ( 5 , 3 ) ( 3 , 5 ) ( 5 , 3 ) ( 3 , 5 ) ( 5 , 3 ) ( 3 , 5 ) ( 5 , 3 ) Для события А — «бросали первый кубик» благоприятствуют только пары черного цвета ( m=2 ) , всего же видим десять пар ( n=10 ) Таким образом,

Слайд 41

Схема решения задач по теории вероятности Выяснить, в чем состоит рассматриваемое в задаче испытание. Обозначьте буквами события, рассматриваемые в условии задачи. С помощью введенных обозначений выразите событие, вероятность наступления которого необходимо найти. * Если требуется найти вероятность суммы событий , выясните, совместны или несовместны рассматриваемые события. * Если же требуется найти вероятность произведения событий , выясните, зависимы или независимы рассматриваемые события. Выберите соответствующую условию задачи формулу и вы­полните необходимые вычисления.

Слайд 42

Полезно почитать по теме https://self-edu.ru/books/dwn.php?filename=balak_scool https://www.mathedu.ru/text/lyutikas_fakultativnyy_kurs_po_teorii_veroyatnostey_1990/_tp.pdf

Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»
Свидетельство о регистрации средства массовой информации ЭЛ №ФС77-69741 от 5 мая 2017 г.

Почтовый и фактический адрес:
ул. Платовская, 4,
Москва,
Россия,
121151,
ИД «Первое сентября», Оргкомитет фестиваля «Открытый урок»

1. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий m = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек).

Ответ: 0,25.

2. В чемпионате мира участвуют 15 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по три команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Италии окажется в третьей группе?

Решение: Обозначим через А событие «команда Италии в третьей группе». Тогда количество благоприятных событий m = 3 (три карточки с номером 3), а общее число равновозможных событий n = 15 (15 карточек).

Ответ: 0,2.

3. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 80 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Ответ: 0,25.

4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов – первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Ответ: 0,16.

5. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Ответ: 0,225.

6. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 5 прыгунов из Испании и 3 прыгуна из Бразилии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что сорок вторым будет выступать прыгун из Испании.

Ответ: 0,1.

7. В классе 21 шестиклассник, среди них два друга – Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной и той же группе.

Решение: В каждой группе 7 человек. Будем считать, что Митя уже занял место в одной группе. Обозначим через А событие «Петя оказался в той же группе». Для Пети останется n = 20 свободных мест, из них m = 6 мест.

Ответ: 0,3.

8. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

Решение: Общее число случаев (число участников, исключая самого Руслана Орлова) n = 26 – 1 = 25.

Число благоприятных случаев (число участников из России, исключая самого Руслана Орлова)

m = 10 – 1 = 9.

Ответ: 0,36.

9. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (одним из выстрелов).

Ответ: 0,84.

10. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стёкол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая – 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Ответ: 0,025.

11. Два завода выпускают одинаковые автомобильные предохранители. Первый завод выпускает 40% предохранителей, второй – 60%. Первый завод выпускает 4% предохранителей, а второй – 3%. Найдите вероятность того, что случайно выбранный в магазине предохранитель окажется бракованным.

Ответ: 0,034.

12. На соревнования по метанию ядра приехали 5 спортсменов из Сербии, 7 из Хорватии и 3 из Норвегии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать спортсмен из Норвегии

Решение: Общее число случаев (число всех спортсменов) n = 15. Число благоприятных случаев (число спортсменов из Норвегии) m = 3.

Ответ: 0,2.

13. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадёт в точку G.

A

C

G

H

F

B

D

E

К

Ответ: 0,125.

14. Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение: Обозначим через A событие «начинает игру Петя». Тогда количество благоприятствующих исходов m = 1, а общее число равновозможных исходов n (начинает игру Петя, начинает игру Вася, начинает игру Коля, начинает игру Лёша).

Ответ: 0,125.

15. Катя дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

Общее число случаев n = 5 ((1,5); (5,1); (2,4); (4,2); (3,3)). Число благоприятных случаев (комбинации (1,5); (5,1)) m = 2.

Ответ: 0,4.

Решение:

16. Люда дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 5 очков.

Решение: Общее число случаев n = 4 ((3,6); (4,5); (5,4); (6,3)). Число благоприятных случаев m = 1 (комбинация (5,4)).

Ответ: 0,25.

17. Таня и Нина играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Таня выиграла.

Решение: Общее число случаев n = 5 ((1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1)). Число благоприятных случаев m = 2 (комбинации (1,5); (2,4) или (4,2); (5,1)).

Ответ: 0,4.

18. Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков на каждом выпадет менее 4 очков.

Ответ: 0,25.

19. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало меньше 3 очков.

Решение: Общее число случаев n = 5 (комбинации (1,5); (5,1); (2,4); (4,2); (3,3)). Число благоприятных случаев (комбинации (1,5); (2,4)) m = 2.

Ответ: 0,4.

20. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами «Марс», «Юпитер» и «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий».

Ответ: 0,125.

Ответ: 0,125.

2 способ решения:

21. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Хуторянка» по очереди играет с командами «Радуга», «Дружба», «Заря» и «Воля». Найдите вероятность того, что команда «Хуторянка» будет первой владеть мячом только в первых двух играх.

Ответ: 0,0625.

22. Перед началом матча по водному поло судья устанавливает мяч в центр бассейна, и от каждой команды к мячу плывёт игрок, чтобы первым завладеть мячом. Вероятность выиграть мяч у игроков равны. Команда «Русалочка» по очереди играет с командами «Наяда», «Ундина» и «Ариэль». Найдите вероятность того, что во втором матче команда «Русалочка» выиграет мяч в начале игры, а в двух других проиграет

Ответ: 0,125.

23. В некоторой местности утро в июле может быть либо ясным, либо пасмурным. Наблюдения показали:

1) Если июльское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.

2) Если июльское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,5.

3) Вероятность того, что утро в июле будет пасмурным, равна 0,2.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июльский день дождя не будет.

Ответ: 0,82.

24. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение: Первый способ. Обозначим через А событие «кофе закончится в первом автомате», через В событие «кофе закончится во втором автомате». Событие С «кофе закончится хотя бы в одном автомате» является их суммой С = А + В.

Ответ: 0,52.

Решение: Второй способ решения задачи 16.

25. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос о производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не встретится вопрос о производной.

Решение: Общее число случаев (всего билетов)

n = 20. Число благоприятных случаев (количество билетов, в которых не встречается вопрос о производной) m = 20 – 7 = 13.

Ответ: 0,65.

26. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября, которые должны приготовить класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежурить два мальчика.

Ответ: 0,1.

27. Валя выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Ответ: 0,1.

Формула классической вероятности

Вероятность – есть число, характеризующее возможность наступления события.

Сумма вероятностей всех элементарных событий случайного эксперимента равна 1.

Несовместные события. Формула сложения вероятностей

Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытанию

Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B (появление хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий: P (A+B)=P(A) +P(B).

Теорема обобщается на любое число попарно несовместных событий

Совместные события. Формула сложения вероятностей (формула для вероятности суммы двух событий в общем случае (не обязательно несовместных))

Определение. События называют совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает появление решки на другой монете.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B (появление хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то есть P (A+B)=P(A) +P(B) – P(AB).

Независимые события. Формула умножения вероятностей

Определение. Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(AB) = P(A) · P(B).

Использованная литература:

• ЕГЭ-2014: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В.Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко.- Москва: АСТ: Астрель, 2014.
• А.Г.Корянов , Н.В.Надежкина. Задача В10. ЕГЭ. Математика, 2014. Элементы теории вероятностей (интернет-ресурс http://alexlarin.net/ege/2014/b102014.html‎)
• ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/А.Л.Семёнов, И.В.Ященко и др.; под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2014.
• Источник шаблона презентации : http://pedsovet.su/load/321-1-0-32889

Комплекс презентаций «ЕГЭ: вероятность»(профиль) Комплексы методических разработок • 11 класс • повторение, систематизация , презентация 06.08.2019

Комплекс презентаций «ЕГЭ: вероятность»(профиль) предназначен в помощь учителям по организации заинтересованности повторения к занятиям по данной теме при подготовке к итоговой аттестации. Работы можно применять при проведении уроков по математике, систематизации, закреплении и проверке знаний учащихся. Понравилось? Сохраните и поделитесь: Загрузка началась… Понравился сайт? Получайте ссылки на лучшие материалы еженедельно! Подарок каждому подписчику!

Порядок вывода комментариев: Поистине — настоящая помощь коллегам. Богатая коллекция работ. За такую работу можно и нужно дать только высокую оценку. Молодец, Нина Николаевна. Ольга Михайловна, спасибо за Ваш позитивный отзыв! Какой красивый комплекс у Вас получился, Нина Николаевна! Бесспорно, это хорошая помощь коллегам в работе. Дальнейших Вам творческих успехов. Надежда Георгиевна благодарю Вас за интерес к моим работам!

1.

11 класс
УМК: любой
Разработано учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером
Корткеросского района Республики Коми
Мишариной Альбиной Геннадьевной

2. Содержание

• Теория
• Тип 1. Самая простая задача
• Тип 2. Задачи с бросанием
монет
• Тип 3. Задачи с игральным
кубиком
• Тип 4. Задачи на
перекладывание монет
• Тип 5. Задачи с
экзаменационными билетами
• Тип 6. Задачи с кофейным
аппаратом
• Тип 7. Задачи о стрельбе по
мишеням
• Тип 8. О выступлениях с
докладами
• Тип 9. С процентами
• Тип10. Разделение на группы
• Разные задачи
• Самостоятельная работа

3. Вспомним Теоремы сложения и умножения для двух событий

1) P(A + B) = P(A) + P(B)
(для независимых событий)
2) P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB)
(для зависимых событий)
3) P(AB) = P(A)∙P(B)

4. Вспомним

Формула классической вероятности случайных
событий:
P = N(A) : N, где
N – число всех возможных вариантов
N(A) – число благоприятных вариантов

5. Запомним

Если идёт объединение (U), т.е. союз
или, то надо вероятности «+»
Если идёт пересечение (∩), т.е. союз
и, то надо вероятности «·»

6. Тип 1. Самая простая задача

В чемпионате по гимнастике
участвуют 64 спортсменки: 20
из Японии, 28 из Китая,
остальные — из Кореи.
Порядок, в котором
выступают гимнастки,
определяется жребием.
Найдите вероятность того, что
спортсменка, выступающая
первой, окажется из Кореи.
Решение.
1) Из Кореи выступают
64 – (20 + 28) = 16
спортсменок.
2) По формуле классической
вероятности получим: P =
= 16:64 = 1:4 = 0, 25.
Ответ: 0,25

7. Задание (решаем в паре)

На чемпионате по прыжкам в воду
Решение.
выступают 40 спортсменов, среди них
6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна
Ответ:
0,05
из Аргентины. Порядок выступлений
определяется жеребьевкой. Найдите
вероятность того, что четырнадцатым
будет выступать прыгун из Аргентины.

8. Тип 2. Задача с бросанием монет

В случайном
эксперименте
симметричную монету
бросают дважды.
Найдите вероятность
того, что орел не
выпадет ни разу.
Решение.
Способ I. Метод перебора комбинаций.
Способ II. Специальная формула
вероятности, адаптированная для
решения задач с монетами.
P = Сn по k : 2ⁿ , где 2ⁿ – число всех
возможных исходов, Сnпоk — число
сочетаний из n элементов по k, которое
вычисляется по формуле
Сnk = n! / k!(n- k)!
Т.к. n=2; k=1, то ответ: 0,25

9. Задание

В случайном
эксперименте
симметричную монету
бросают трижды.
Найдите вероятность
того, что орел не
выпадет ни разу.
Решение (Способ II):
С3 0 = 3!/0!(3-0)! = 1
P = С3 0 : 2³ = 1:8 = 0,125
Ответ: 0,125
по
по

10. Тип 3. Задача с игральным кубиком

Игральный кубик
бросили один раз.
Какова вероятность
того, что выпадет
не менее 4 очков?
Решение.
Бросаем игральный кубик один раз => 6 исходов.
Значит, у данного действия (бросание одного
игрального кубика 1 раз) всего имеется n = 6
возможных исходов.
Выписываем все благоприятные исходы: 4; 5; 6
Значит, k = 3 – число благоприятных исходов. По
формуле классической вероятности имеем:
P = 3 : 6 = 0,5.
Ответ: 0,5

11. Задание

В случайном
эксперименте бросают
две игральные кости.
Найдите вероятность
того, что в сумме
выпадет 5 очков.
Результат округлите до
сотых.
Кубик бросаем 2 раза, значит всего
имеется N = 6² = 36 возможных исходов.
Выписываем все благоприятные исходы в
виде пар чисел: (1;4), (2;3), (3;2), (4;1).
Значит, N(A) = 4 – число благоприятных
исходов.
По формуле классической вероятности
имеем: P = 4:36 = 1/9 ≈ 0,11111….
Ответ: 0,11

12. Задание

В случайном
эксперименте бросают
три игральные кости.
Найдите вероятность
того, что в сумме
выпадет 15 очков.
Результат округлите до
сотых.
Решение.
У данного действия (бросание трех
игральных костей) всего имеется
N = 6³ = 216 возможных исходов.
Выписываем все благоприятные исходы
в виде троек чисел: (6;6;3), (6;3;6), (3;6;6),
(5;5;5), (6;5;4), (5;4;6), (4;6;5).
Значит, N(A) = 7 – число благоприятных
исходов.
По формуле классической вероятности
имеем: P =7: 216 ≈ 0,032….
Ответ: 0,03

13. Задание (решаем в паре)

В случайном эксперименте
бросают три игральные
кости. Найдите
вероятность того, что в
сумме выпадет 7 очков.
Результат округлите до
сотых.
Решение.
Ответ: 0,07

14. Тип 4. Задача с перекладыванием монет

Тип 4. Задача с перекладыванием
Решение.
монет
В кармане у Андрея
было 4 монеты по 2
рубля и 2 монеты по 5
рублей. Он, не глядя,
переложил 3 монеты в
другой карман. Найти
вероятность того, что
обе монеты по 5
рублей лежат в одном
кармане.
Всего у Андрея было: 4 + 2 = 6 монет.
3 (переложенные) монеты можно
выбрать из 6 (имеющихся) монет:
С6 3 =6!/3!∙(6-3)!=20 (способами).
Т.е. N = 20.
2 монеты по 5 рублей выбираем
из двух пятирублевых монет:
2! = 2 (способами).

15.

3 монеты из 4-х монет по 2рубля
выбираем:
С4по3 =4!/3!(4-3)! = 4(способами).
По формуле классической
вероятности и правилу
произведения получим:
P = 2·4 / 20 = 0,4.
Ответ: 0,4

16. Задание (решаем в паре)

В кармане у Ольги было 6 монет
по 1 рублю и 2 монеты по 5
рублей. Она, не глядя,
переложила 4 монеты в другой
карман. Найти вероятность
того, что обе монеты по 5
рублей лежат в одном
кармане. Ответ округлите до
сотых.
Решение.
Ответ: 0,43

17. Тип 5. Задача с экзаменационными билетами

Тип 5. Задача с экзаменационными
Решение.
билетами
На экзамене по геометрии школьнику
достаётся один вопрос из списка
экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос на
тему «Вписанная окружность», равна
0,1. Вероятность того, что это вопрос на
тему «Тригонометрия», равна 0,35.
Вопросов, которые одновременно
относятся к этим двум темам, нет.
Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос
по одной из этих двух тем.
Если А — вопрос на тему
«Вписанная
окружность»,
В — вопрос на тему
«Тригонометрия»,
и события А и В –
несовместны. Тогда
Р(А+В)= Р(А)+Р(В) =
= 0,1 + 0,35 = 0,45

18. Задание

Решение.
30!
30!
N C
Программа экзамена содержит
2! (30 2)! 2 28!
30 вопросов. Студент знает 20
28! 29 30
из них. Каждому студенту
29 15 435
предлагают 2 вопроса,
2
28
!
которые выбираются
случайным образом.
Отличная оценка ставится,
если студент правильно
ответил на оба вопроса.
Какова вероятность
получения «5»?
Ответ округлить до сотых.
2
30
20!
20!
N ( A) C
2! (20 2)! 2 18!
18! 19 20
19 10 190
2 18!
2
20
190 38
P( A)
0,436… 0,44
435 87

19. Задание (решаем в паре)

На экзамене по геометрии школьнику достаётся
Решение.
один вопрос из списка экзаменационных
вопросов. Вероятность того, что это вопрос
на тему «Вписанная окружность», равна 0,1.
Ответ: 0,35
Вероятность того, что это вопрос на тему
«Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов,
которые одновременно относятся к этим
двум темам, нет. Найдите вероятность того,
что на экзамене школьнику достанется
вопрос по одной из этих двух тем.

20. Тип 6. Задача с кофейными автоматами

Решение.
В торговом центре два
одинаковых автомата
продают кофе. Вероятность
того, что к концу дня в
автомате закончится кофе,
равна 0,2. Вероятность того,
что кофе закончится в обоих
автоматах, равна 0,16.
Найдите вероятность того, что
к концу дня кофе останется в
обоих автоматах.
А = {кофе закончится в первом автомате}
В = {кофе закончится во втором автомате}
С = A U B = {кофе закончится хотя бы в одном
автомате}
По условию: Р(А) = Р(В) = 0,2, Р(А ∩ В) = 0,16
По смыслу задачи события А и В являются
совместными. По формуле сложения
вероятностей совместных событий имеем:
Р(С) = Р(A U B) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В) =
= 0,2 + 0,2 – 0,16 = 0,24.
Р( A U B) = 1 – 0,24 = 0,76.
Ответ: 0,76

21. Задание (решаем в паре)

В торговом центре два одинаковых
автомата продают кофе. Вероятность
того, что к концу дня в автомате
закончится кофе, равна 0,35.
Вероятность того, что кофе закончится в
обоих автоматах, равна 0,2. Найдите
вероятность того, что к концу дня кофе
останется в обоих автоматах.
Решение.
Ответ: 0,5

22. Тип 7. Задача о стрельбе по мишеням

Биатлонист 4 раза стреляет Решение.
по мишеням. Вероятность Вероятность попадания = 0,85.
попадания в мишень при Вероятность промаха = 1 – 0,85 = 0,15.
одном выстреле равна
А = {попадание, попадание, промах,
промах}
0,85. Найдите вероятность
того, что биатлонист
События независимые. По формуле
умножения вероятностей:
первые 2 раза попал в
мишени, а последние два Р(А) = 0,85∙0,85∙0,15∙0,15 =
=0,7225∙0,0225 = 0,01625625 ≈ 0,02.
промахнулся. Результат
Ответ: 0,02
округлите до сотых.

23. Задание (решаем в паре)

Биатлонист 8 раза стреляет по
мишеням. Вероятность попадания
в мишень при одном выстреле
равна 0,8. Найдите вероятность
того, что биатлонист первые 5 раз
попал в мишень, а последние три
промахнулся. Результат округлите
до сотых.
Решение.
Ответ:

24. Тип 8. Задача о выступлениях

Конкурс исполнителей проводится 5 дней.
Всего заявлено 50 выступлений – по
одному из каждой страны. В первый
день 26 выступлений, остальные
распределены поровну между
оставшимися днями, Порядок
выступлений определяет жеребьевка.
Какова вероятность, что выступление
представителя из России состоится в
третий день конкурса.
Решение.
N = 50
N(A)=(50-26) : 4 = 6
=> Р(А)= 6 : 50=3/25
Ответ: 3/25=0,12

25. Задание (решаем в паре)

Конкурс исполнителей проводится 5 дней.
Всего заявлено 80 выступлений — по одному
от каждой страны. Исполнитель из России
тоже участвует в конкурсе. В первый день
запланировано 8 выступлений, остальные
распределены поровну между оставшимися
днями. Порядок выступлений определяется
жеребьёвкой. Какова вероятность, что
исполнитель из России будет выступать в
третий день конкурса?
Решение.
Ответ: 0,225

26. Тип 9. С процентами

Решение.
Две фабрики выпускают
1
2
одинаковые стёкла. Первая
фабрика выпускает 30% этих
70%= 0,7
30%= 0,3
стёкол, а вторая-70%. Первая
фабрика выпускает 3%
Качес. Брак
Качес.
Брак
бракованных стёкол, а вторая
4%= 0,04
0,97
0,96
3%= 0,03
-4%. Найдите вероятность
того, что случайно купленное
=>
События независимые
в магазине стекло окажется
качественным.
Р(А)=Р1+Р2= 0,3·0,97+0,7·0,96 =
= 0,291 + 0,672 = 0,963

27. Задание

В магазине три продавца.
Каждый из них занят с
клиентом с вероятностью 30%.
Найдите вероятность того, что в
случайный момент все три
продавца заняты
одновременно (считайте, что
клиенты заходят независимо
друг от друга)
Решение.
—
+
30%=0,3
=>
70%=0,7
Независимые события
Р = Р(А+В+С)=
= Р(А)+Р(В)+Р(С)=
= 0,3+0,3+0,3=0,9
=>

28. Задание

Агрофирма закупает куриные
яйца в двух домашних
хозяйствах. 60% яиц из
первого хозяйства – яйца
высшей категории, а во
втором хозяйстве – 30% яиц
высшей категории. Всего
высшей категории получается
54% яиц. Найдите вероятность
того, что яйцо, купленное у
этой агрофирмы, окажется из
второго хозяйства.
агрофирма
2
1
(1-х)
В
<=
н/в
Р=(х)
В
н/в
30%=0,3
60%=0,6
54%=0,54
Составим уравнение:
0,6·(1-х) + 0,3·х = 0,54
Ответ: 0,2

29. Задание (решаем в паре)

Агрофирма закупает куриные яйца в двух
домашних хозяйствах. 40% яиц из
первого хозяйства – яйца высшей
категории, а во втором хозяйстве – 20%
яиц высшей категории. Всего высшей
категории получается 35% яиц. Найдите
вероятность того, что яйцо, купленное у
этой агрофирмы, окажется из первого
хозяйства
Решение.
Ответ: 0,75

30. Тип 10. Деление на группы

В классе 21 человек. Среди
них два друга Андрей и
Дима. Класс случайным
образов делится на 7
групп, по 3 человека в
каждой группе. Какова
вероятность того, что
Андрей и Дима окажутся
в одной группе.
Решение.
Если взять А., то N=21-1=20.
Т.к. группа из 3-х человек, то
для Д. остаётся только 2
места, т.е. N(А)=2.
Р = N(А):N =2:20=1/10 = 0,1

31. Задание

В чемпионате по бадминтону
участвуют 26 спортсменов, среди
которых 10 – из России и в том
числе Руслан Орлов. Перед
началом первого тура чемпионата
участников разбивают на игровые
пары с помощью жребия. Какова
вероятность того, что в первом
туре Руслан Орлов будет играть с
кем-нибудь из России.
Решение.
N = 26 -1=25
N(A)(т.е. из России)= 10-1=9
Р(А)= 9 : 25 =9/25=0,36
Ответ: 0,36

32. Задание

В студенческой группе (12
девушек и 8 юношей)
разыгрываются 5
зарубежных путевок.
Какова вероятность того,
что путевки получат 3
девушки и 2 юноши?
Ответ округлить до сотых .
Решение. Всего 20 человек
20!
20!
N С
5!(20 5)! 5! 15!
16 17 18 19 20
15504
1 2 3 4 5
5
20
12!
8!
N (a) С С
3!(12 3)! 2!(8 2)!
10 11 12 7 8
6160
6
2
3
12
2
8
6160 1540
P( A)
0,397… 0,40
15504 3876

33. Задание (решаем в паре)

В классе 33 ученика, среди них две
подруги – Галя и Таня. Класс
случайным образом разбивают на 3
равные группы. Какова вероятность
того, что подруги окажутся в одной
группе.
Решение.

34. Разные задачи (о сейфе)

Преступник знает, что шифр
сейфа составлен из цифр
1,3,7,9, но не знает в
каком порядке их
набирать.
Какова вероятность того,
что преступник откроет
сейф с первой попытки?
Решение.
N=P4=4!=24
N(A)= 1
P(A)= 1 : 24 = 0,041…=0,04
Ответ: 0,04

35. Разные задачи

Из 8 учеников,
жеребьёвкой
выбирают группу,
состоящую из 2
человек
(разыгрывают 2
билета). Сколько
всего существует
различных вариантов
состава такой группы
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
8!
6! 7 8
C
2!(8 2)! 2 6!
7 4
28
1
2
8

36. Разные задачи (о точках на окружности)

На окружности
выбрано 12
точек. Сколько
существует хорд
с концами в
этих точках
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
12!
10! 11 12
С
2!(12 2)!
2 10!
11 6
66
1
2
12

37. Разные задачи (о точках на окружности)

На окружности
выбрано 9
точек.
Сколько
существует
треугольников
с вершинами в
этих точках.
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
9!
6! 7 8 9
С
3!(9 3)!
2 3 6!
7 4 3
84
1
3
9

38. Разные задачи (о расписании)

Сколькими способами
можно составить
расписание на вторник,
если изучаются 10
предметов и должно
быть 6 уроков (порядок
уроков неважен).
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
10!
10!
С
6!(10 6)! 6! 4!
6! 7 8 9 10 7 2 3 5
210
6! 2 3 4
1
6
10

39. Разные задачи (о числах)

Два ученика
одновременно
называют по одному
целому числу от 1 до
5 включительно.
Какова вероятность
того, что сумма
названных чисел
будет делится на 3.
Решение. N = 5² = 25
N(A)-?: найдем перебором
(11); (12); (13); (14); (15)
(21); (22); (23); (24); (25);
(31); (32); (33); (34); (35);
(41); (42); (43); (44); (45);
Значит N(A)=9
Р(А) = 9 : 25 = 36:100 = 0,36
(51); (52); (53); (54); (55).

40. Самостоятельная работа

Задача 1. На чемпионате по прыжкам в воду
выступают 40 спортсменов, среди них 9
прыгунов из Великобритании и 10
прыгунов из Венесуэлы. Порядок
выступлений определяется жеребьевкой.
Найдите вероятность того, что
двенадцатым будет выступать прыгун из
Венесуэлы.

41. Самостоятельная работа

Задача 2. В случайном эксперименте
бросают три игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет
9 очков. Результат округлите до сотых.

42. Самостоятельная работа

Задача 3. На экзамене по геометрии школьнику
достаётся один вопрос из списка
экзаменационных вопросов. Вероятность того,
что это вопрос на тему «Внешние углы», равна
0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Вписанная окружность», равна 0,3.
Вопросов, которые одновременно относятся к
этим двум темам, нет. Найдите вероятность
того, что на экзамене школьнику достанется
вопрос по одной из этих двух тем.

43. Самостоятельная работа

Задача 4. В торговом центре два одинаковых
автомата продают жвачку. Вероятность
того, что к концу дня в автомате закончится
жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что
жвачка закончится в обоих автоматах,
равна 0,2. Найдите вероятность того, что к
концу дня жвачка останется в обоих
автоматах.

44. Самостоятельная работа

Задача 5. В кармане у Маргариты было 6
монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей.
Она, не глядя, переложила 4 монеты в
другой карман. Найти вероятность того, что
обе монеты по 5 рублей лежат в одном
кармане. Ответ округлите до сотых.

45. Проверим ответы

1) 0,25
2) 0,12
3) 0,5
4) 0,4
5) 0,43
Критерии оценивания:
«5» — за 5 верных задач
«4» — за 4 верные задачи
«3» — за 3 верные задачи
«2» — если верно выполнено
менее 3-х задач

46. Интернет ресурсы

• Шаблон подготовила учитель русского языка и литературы Тихонова
Надежда Андреевна
• Задачи открытого бака заданий ЕГЭ по математике
http://cs5736.vkontakte.ru/u18303177/-14/x_bd1f87ce.jpg
http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/109/678/109678317_f3088__post103063013341921289892.png

Презентация по математике для подготовке к ЕГЭ -2022 (профиль)

Задачи по теории вероятностей

1. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Вероятность того, что происходит несколько независимых событий, равна произведению вероятностей.

Решение.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5 · 0,3 = 0,15. Ответ:  0,15.

2. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5) 4  = 0,0625. Ответ:  0,0625.

3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна

1 – 0,06 = 0,94.

Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий:

0,94·0,94 = 0,8836.

Ответ: 0,8836.

4. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

Решение.

Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число равна 0,5. Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа равна 0,5 · 0,5=0,25. Ответ:  0,25.

События A, В и С несовместные , вероятность их суммы

равна сумме вероятностей этих событий.

5 . Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года». 

Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:

P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,93 = P(A) + 0,87.

Тем самым, для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06. Ответ:  0,06.

6. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17

Решение.

Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 10 пассажиров» и В = «в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,82 = 0,51 + P(В), откуда

P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31. Ответ:  0,31.

7. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна 0,3 3 .

Ответ:  0,027.

8. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

События A и B совместные , вероятность суммы двух совместных событи й равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65. Ответ:  0,65.

9. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

Решение.

Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19. Ответ:  0,19.

10. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. Ответ:  0,035.

11. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.

Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна

0,8∙0,8∙0,8∙0,2∙0,2 = 0,02048 ≈ 0,02. Ответ: 0,02.

12 . Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение.

Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09.

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91. Ответ:  0,91.

13. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.  

Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:

Р (1) = 0,6. Р (2) =  Р (1)·0,4 = 0,24. Р (3) =  Р (2)·0,4 = 0,096.

Р (4) =  Р (3)·0,4 = 0,0384; Р (5) =  Р (4)·0,4 = 0,01536.

  Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. Ответ: 5.

14. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35. Ответ:  0,35.

15 Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение.

Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:

Вероятность ничьей равна 1 − 0,4 − 0,4 = 0,2.

Ответ:  0,32.

16. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008 P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392. Ответ:  0,392.

17. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.

Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.  Ответ:  0,9975.

  18. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ:  0,52.

  Приведем другое решение.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 −  х , откуда искомая вероятость  х  = 0,52.

  Примечание.

Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако, по условию, эта вероятность равна 0,12.

19. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение.

Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Ответ:  0,019.

20. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение.

Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристреляный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.

  Ответ:  0,52.

Приведем другое решение.

Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристреляный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.

21. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.

Это решение можно записать коротко. Пусть х — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1-х — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:

Ответ:  0,75.

22 . Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент  З . получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что  З . сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение. В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику: 0,6 · 0,8 · 0,7 = 0,336, вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию: 0,6 · 0,8 · 0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на «Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5 = 0,168. Успешная сдача экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию» — события совместные, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Тем самым, поступить хотя бы на одну из этих специальностей абитуриент может с вероятностью 0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408. Ответ:  0,408.

23. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

24. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение.

Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Ответ:  0,07.

25. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение.

Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02. Ответ:  0,02.

26. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение.

Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Ответ:  0,125.

27. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется  положительным . У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение.

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

Ответ:  0,0545 .

28. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение.

Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий.

Ответ:  0,0296.

29. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение.

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Ответ:  0,6.

30 Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение.

Пусть  A  — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела,  B  — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события  A  равна  P ( A ) = 0,7. Событие  B  наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий:  P ( B ) = 0,3·0,7 = 0,21. События  A  и  B  несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

  P ( A  +  B ) =  P ( A ) +  P ( B ) = 0,7 + 0,21 = 0,91. Ответ : 0,91.

  31 . Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 4 часа.

  Решение.

На циферблате между десятью и четырьмя часами шесть часовых делений. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: 6:12=0,5 Ответ:  0,5.

32. В ма­га­зи­не три продавца. Каж­дый из них занят с кли­ен­том с ве­ро­ят­но­стью 0,6. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни все три про­дав­ца за­ня­ты од­но­вре­мен­но (считайте, что кли­ен­ты за­хо­дят не­за­ви­си­мо друг от друга). 

Решение.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна 0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,216. Ответ:  0,216.

33. При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.

Решение.

По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 67,99 до 68,01 мм с вероятностью 0,968. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,968 = 0,032. Ответ:  0,032.

34. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 спортсменов из России, в том числе Егор Косов. Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России.

Решение.

В первом туре Егор Косов может сыграть с 26-1=25  шахматистами, из которых 14-1=13 из России. Значит вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна

  13:25=0,52. Ответ: 0,52.

35. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение.  

  Всего мест для посадки 9. Назовем девочек А и В. Посадим А на любое место. Тогда для В будет 8 вариантов для посадки, а из них только 2 благоприятных — справа от А и слева от А. Р = 2/8=1/4 Ответ: 0,25.