Пример задачи егэ с процентами - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задачи на проценты из вариантов ЕГЭ по математике

Смотри также видео «Текстовые задачи на ЕГЭ по математике».
Текстовая задача — это не только задача на движение и работу. Есть еще задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси, на движение по окружности и нахождение средней скорости. О них мы и расскажем.

Начнем с задач на проценты. Если эта тема сложна для тебя — посмотри материал простейшие текстовые задачи. В частности, в нем мы сформулировали важное правило: за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

Мы также вывели полезные формулы:

если величину увеличить на процентов, получим $xcdot left( 1+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right);$
если величину уменьшить на процентов, получим $xcdot left( 1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right);$
если величину увеличить на процентов, а затем уменьшить на , получим $xcdot left( 1+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right)left( 1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle q}{displaystyle 100} right);$

если величину дважды увеличить на процентов, получим $xcdot left( 1+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right)^2;$
если величину дважды уменьшить на процентов, получим $xcdot left( 1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right)^2.$

Воспользуемся ими для решения задач.

. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году в результате строительства новых домов число жителей выросло на , а в 2010 году — на по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

По условию, в 2009 году число жителей выросло на , то есть стало равно человек.

А в 2010 году число жителей выросло на , теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать жителей.

Следующая задача предлагалась на пробном ЕГЭ по математике в декабре 2010 года. Она проста, но справились с ней немногие.

. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили рублей. К вечеру понедельника они подорожали на и стали стоить $xcdot left(1+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right)$ . Теперь уже эта величина принимается за 100% , и к вечеру вторника акции подешевели на по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

По условию, акции в итоге подешевели на 4%.

Получаем, что
$xcdot left(1+ genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right) left(1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right)=xcdot left(1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 100} right).$

Поделим обе части уравнения на (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения:

$1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p^2}{displaystyle 100^2}=1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 100};$
$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p^2}{displaystyle 100^2}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 100}.$

По смыслу задачи, величина положительна.
Получаем, что p=20 .

. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 2000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшилась на , и теперь она равна:

$20000cdot left(1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right) ^2=15842;$

$left(1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right) ^2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 15842}{displaystyle 20000};$

$left(1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100} right) ^2=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7921}{displaystyle 10000};$

$1- genfrac{}{}{}{0}{displaystyle p}{displaystyle 100}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 89}{displaystyle 100};$

p=11.

. Четыре рубашки дешевле куртки на . На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна , стоимость куртки . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 92% от цены куртки, то есть .

Стоимость одной рубашки — в раза меньше:

А стоимость пяти рубашек:

$5x=1,15y=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 115}{displaystyle 100}y=115%y.$

Получили, что пять рубашек на 15% дороже куртки.

Ответ: .

. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67% . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась…») назовем «ситуация » и «ситуация ».

	муж	жена	дочь	Общий доход
В реальности
Ситуация
Ситуация			$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}z$

Осталось записать систему уравнений:

$left{begin{matrix}2x+y+z=1,67left( x+y+z right)\ x+y+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}z=0,96left( x+y+z right)end{matrix}right. .$

Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти , и по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму x+y+z .

Получим:

Это значит, что зарплата мужа составляет 67% от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение x+y+z , упростим и получим, что

Значит, стипендия дочки составляет от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 27% общего дохода.

Ответ: 27.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задачи на проценты из вариантов ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

1. Прикладные задачи (задачи из повседневной жизни)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Решение задач на проценты

Основные моменты:

(blacktriangleright) Процент – это число, равное (frac{1}{100}) части от данного числа.

(blacktriangleright) Пример: (13%) от числа (N) равно:

Способ 1: (dfrac{N}{100}cdot 13) (где (frac{N}{100}) – сотая часть числа (N), а значит (frac{N}{100}cdot 13) – тринадцать таких частей.)

Способ 2: (0,13N) (то есть перевести процент в так называемый “десятичный вид”: (frac{13}{100}=0,13))

(blacktriangleright) Чтобы найти, сколько процентов составляет число (A) от числа (B), нужно найти (dfrac{A}{B}cdot 100
%).

(blacktriangleright) Чтобы найти, на сколько процентов число (A) больше (меньше) числа (B), нужно найти, сколько процентов составляет число (A) от числа (B), а затем из этого количества процентов отнять (100%) (из (100%) отнять найденное количество процентов).

Задание
1

#1477

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Авиабилет стоит 12000 рублей. Двум пассажирам из группы в десять человек была сделана скидка в 6(%). Сколько в сумме отдали эти 10 пассажиров за перелёт?

Билет со скидкой стоит (12000 cdot (1 — 0,06) = 11280) рублей. Из группы в десять человек двое летели со скидкой, остальные восемь платили по 12000 рублей за билет. В сумме эти 10 пассажиров отдали (12000 cdot 8 + 11280 cdot 2 = 118560) рублей.

Ответ: 118560

Задание
2

#2814

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Артём считает ворон. Он пришёл к выводу, что в данный момент около его окна кружит (55) ворон. Известно, что Артём ошибся и на самом деле количество этих самых ворон на (20%) больше, чем насчитал Артём. Сколько ворон кружит около окна Артёма в данный момент?

На самом деле искомое количество ворон равно (55cdot (1 + 0,2) = 66).

Ответ: 66

Задание
3

#2978

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Аня купила 10 яблок и несколько груш, причем яблоки составляют 40(%) от всех фруктов. Сколько груш купила Аня?

Пусть всего было (x) груш, тогда всего фруктов (10+x). Так как яблоки составляют (40%) от всех фруктов, то получаем следующее уравнение [(10+x)cdot 0,4=10quadRightarrowquad x=15.]

Ответ: 15

Задание
4

#1483

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Масса топлива ракеты до старта составляла 280 тонн. Через некоторое время часть топлива сгорела и масса оставшегося топлива стала 238 тонн. На сколько процентов уменьшилась масса топлива?

Сгорело (280 — 238 = 42) тонны топлива. Чтобы найти, сколько процентов от 280 составляет 42, надо разделить 42 на 280 и умножить на 100(%): (42 : 280 cdot 100% = 15%).

Ответ: 15

Задание
5

#1484

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Масса палки колбасы до того, как её заметил Артем Я., составляла 1,2 килограмма. Артем Я. кое-что сделал с колбасой, после чего масса оставшейся части палки колбасы стала 0,75 килограмма. На сколько процентов уменьшилась масса палки колбасы?

Артем Я. куда-то дел (1,2 — 0,75 = 0,45) килограмма колбасы. Чтобы найти, сколько процентов от 1,2 составляет 0,45, надо разделить 0,45 на 1,2 и умножить на 100(%): (0,45 : 1,2 cdot 100 % = 37,5%).

Ответ: 37,5

Задание
6

#1485

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем воды в графине до того, как его заметил Коля, составлял 2 литра. Коля выпил часть воды так, что оставшийся объем составил 1,3 литра. На сколько процентов уменьшился объем воды в графине?

Коля выпил (2 — 1,3 = 0,7) литра воды. Чтобы найти, сколько процентов от 2 составляет 0,7, надо разделить 0,7 на 2 и умножить на 100(%): (0,7 : 2 cdot 100% = 35%).

Ответ: 35

Задание
7

#1479

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Билет в кино стоит 500 рублей. Двум киноманам из группы в пять человек была сделана скидка в 1(%). Сколько в сумме отдали эти 5 киноманов за сеанс в кино?

Билет со скидкой стоит (500 cdot (1 — 0,01) = 495) рублей. Из группы в пять человек двое шли со скидкой, остальные трое платили по 500 рублей за билет. В сумме эти 5 киноманов отдали (500 cdot 3 + 495 cdot 2 = 2490) рублей.

Ответ: 2490

Уметь правильно и быстро решать текстовые задачи на проценты необходимо не только учащимся, которым предстоит сдача ЕГЭ по математике базового или профильного уровня, но и всем взрослым, поскольку подобные задания постоянно встречаются в повседневной жизни. Повышение цен, планирование семейного бюджета, выгодное вложение финансовых средств и множество других вопросов невозможно уладить без данных навыков. При подготовке к сдаче аттестационного испытания обязательно нужно повторить, как решать задачи на проценты: в ЕГЭ по математике они встречаются как в базовом, так и в профильном уровне.

Необходимо запомнить

Процент — это (frac{1}{100}) часть от какого-либо числа. Обозначает долю чего-либо по отношению к целому. Письменный символ — (%). При подготовке к ЕГЭ по теме «Проценты» школьникам как в Москве, так и в других точках РФ необходимо запомнить следующую формулу:

[1%= frac{1}{100}=0.01]

Как ее применить?

Для того чтобы решить простое задание с процентами в ЕГЭ по математике, нужно:

Разделить имеющееся число на (100).
Умножить полученное значение на то количество (%), которое нужно найти.

Например, для того чтобы вычислить (10%) от числа (300), нужно найти (1) процент, разделив (300:100=3). И полученное от предыдущего действия число (3cdot10=30). Ответ: (30).

Это простейшие задания. Учащиеся 11 класса в ЕГЭ сталкиваются с необходимостью выполнить решение сложных задач на проценты. Как правило, речь в них идет о банковских вкладах или платежах. Ознакомиться с формулами и правилами их применения вы можете, перейдя в раздел «Теоретическая справка». Здесь вы сможете не только повторить основные определения, но и познакомиться с вариантами решения сложных задач на проценты по банковскому кредиту, а также с упражнениями из других разделов алгебры, например, задачами на перевод единиц измерения, которые встречаются в ЕГЭ.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Задачи на проценты»

Открытый банк заданий по теме задачи на проценты. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1099

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Елена сделала вклад в банк в размере 5500 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Спустя год Наталья положила такую же сумму в этот же банк и на тех же условиях. Ещё через год Елена и Наталья одновременно закрыли вклады и забрали деньги. В результате Елена получила на 739,2 рубля больше, чем получила Наталья. Найдите, какой процент годовых начислял банк по вкладам?

Показать решение

Решение

Пусть процент годовых будет x, тогда через год вклад Елены составил:

5500 + 0, 01x cdot 5500 = 5500(1 + 0,01x) рублей, а ещё через год — 5500(1 + 0,01x)^2 рублей. Вклад Натальи лежал в банке только год, потому он равен 5500(1 + 0,01x) рублей. А разность между получившимися вкладами Елены и Натальи составила 739,2 рубля.

Составим и решим уравнение:

5500(1+ 0,01x)^2-5500(1+0,01x)= 739,2,

(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,enspace x_2=12.

Банк начислял 12% годовых.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1098

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Предприниматель Петров получил в 2005 году прибыль в размере 12,000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 110% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2008 год?

Показать решение

Решение

В 2005 году прибыль составляла 12,000 рублей, каждый следующий год она увеличивалась на 110%, то есть становилась 210% = 2,1 от предыдущего года. Через три года она будет равна 12,000 cdot 2,1^3 = 111,132 рубля.

Ответ

111132

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1097

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 12% железа, второй — 28% железа. Масса второго сплава больше массы первого на 2 кг. Из этих двух сплавов изготовили третий сплав с содержанием железа 21%. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Показать решение

Решение

Обозначим массу первого сплава через x кг. Тогда масса второго сплава (x + 2) кг. Содержание железа в первом сплаве равно 0,12x кг, во втором сплаве — 0,28(x + 2) кг. Третий сплав имеет массу x + x + 2 = 2x + 2 (кг), и в нём содержание железа равно 2(x + 1) cdot 0,21 = 0,42(x + 1) кг.

Составим и решим уравнение:

0,12x+ 0,28(x + 2) = 0,42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

x = 7.

Третий сплав имеет массу 2 cdot 7 + 2 = 16 (кг).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №942

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Цена телевизора в магазине ежеквартально (в квартале — три месяца) уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Известно, что телевизор, стоимостью 50 000 рублей был продан спустя два квартала за 41 405 рублей. Найдите, на сколько процентов ежеквартально уменьшалась стоимость телевизора.

Показать решение

Решение

Цена телевизора первоначально была 50 000 руб. Через квартал она стала 50,000-50,000cdot0,01x = 50,000(1-0,01x) рублей, где x — количество процентов, на которые уменьшается ежеквартально цена телевизора. Через два квартала его цена стала

50,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50,000(1-0,01x)^2.

Составим и решим уравнение:

50,000(1-0,01x)^2=41,405,

(1-0,01x)^2=0,8281,

1-0,01x=0,91,

x=9.

Итак, на 9 процентов уменьшалась цена телевизора ежеквартально.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №941

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

В 2005 году в посёлке проживало 55 000 человек. В 2006 году, в результате строительства новых домов, число жителей увеличилось на 6%, а в 2007 году — на 10% по отношению к 2006 году. Найдите, число жителей посёлка в 2007 году.

Показать решение

Решение

В 2006 году число жителей посёлка выросло на 6%, т.е. стало 106%, что равно 55,000 cdot 1,06 = 58,300 (жителей). В 2007 году число жителей посёлка выросло на 10% (стало 110%) по сравнению с 2006 годом, т.е. число жителей посёлка стало 58,300 cdot 1,1 = 64,130 человек.

Ответ

64130

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №940

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

В сосуд, содержащий 3 литра 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Найдите концентрацию (в процентах) получившегося после смешивания раствора.

Показать решение

Решение

В 3 литрах 14%-ного водного раствора содержится 3cdot0,14=0,42 л. некоторого вещества. Добавили 4 литра воды, стало 7 литров раствора. В этих 7 литрах нового раствора — 0,42 л некоторого вещества. Найдём концентрацию нового раствора: 0,42:7cdot100=6%.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №329

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Строительные фирмы учредили компанию с уставным капиталом 150 млн рублей. Первая фирма внесла 20% уставного капитала, вторая фирма — 22,5 млн рублей, третья — 0,3 уставного капитала, четвертая фирма внесла оставшуюся часть.

По договоренности ежегодная прибыль между фирмами будет расформирована пропорционально внесенным в уставный капитал вкладам. Какую сумму получит четвертая фирма, если прибыль составила 100 млн рублей? Ответ дайте в млн рублей.

Показать решение

Решение

Первая форма — 150cdot20:100=30 (млн руб.).

Вторая фирма — 22,5 (млн руб.).

Третья фирма — 0,3cdot150=45 (млн руб.).

Четвертая фирма — 150-(30+22,5+45)=52,5 (млн руб.).

Часть уставного капитала, который составляет взнос четвертой фирмы: frac{52,5}{150}=0,35.

Найдем сумму от прибыли, причитающуюся четвертой фирме: 100cdot0,35=35 (млн руб.).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №327

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

В результате смешивания 25%-го и 15%-го растворов серной кислоты было получено 750 г 20%-го раствора. Сколько граммов 15%-го раствора было использовано?

Показать решение

Решение

Пусть x г было взято 15%-го раствора, тогда (750-x) г было взято 25%-го раствора.

frac{xcdot15}{100}=(0,15x) г кислоты содержал 15%-й раствор.

frac{(750-x)cdot25}{100}=(187,5-0,25x) г кислоты содержал 25%-й раствор.

В результате смешивания получили 20%-й раствор, который содержал frac{750cdot20}{100}=150 г кислоты.

Составим и решим уравнение.

0,15x+187,5-0,25x=150,

0,1x=37,5,

x=375.

375 г — масса 15%-го раствора.

Ответ

375

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №87

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

Имеются два куска металла массой 80 г и 70 г, которые содержат различную концентрацию серебра. Если сплавить эти два металла, то на выходе получится металл, который будет содержать 63% серебра. Если же сплавить одинаковые массы этих металлов, то результатом будет сплав, содержащий 65% серебра. Найдите, сколько граммов серебра находится в первом куске металла.

Показать решение

Решение

Пусть в первом сплаве концентрация серебра составляет x₁%, во втором – x₂%. Соответственно в первом сплаве находится 80x₁ г серебра, а во втором – 70x₂ г.

При сплавлении металлов образуется третий сплав массой 150 г, который содержит x₁ + x₂ г серебра. По условию задачи, концентрация серебра в нем составляет 63%, т.е. масса серебра равна 0,63·150. Составим уравнение:

80x₁ + 70x₂ = 0,63·150

При сплавлении равных масс металлов, концентрация серебра в новом металле составляет 65%. Т.е.:

x₁ + x₂ = 2·0,65

Составляем и решаем систему уравнений:

begin{cases} 80 x_1 + 70 x_2 = 0,63 cdot 150\ x_1 + x_2=2 cdot 0,65end{cases}

begin{cases} 80x_1+70x_2=94,5\ x_1 + x_2= 1,3 end{cases}

Из второго уравнения выразим x₂:

x₂ = 1,3 − x₁

Подставим это значение в первое уравнение системы:

80x₁ + 70x₂ = 94,5

80x₁ + 70(1,3 − x₁) = 94,5

80x₁ + 91 − 70x₁ = 94,5

10x₁ = 3,5

x₁ = 0,35

Как указывалось выше, в первом сплаве содержится 80x₁ г серебра. Вычисляем:

80·x₁ = 80·0,35 = 28 г серебра содержится в 80 г сплава.

Ответ

Задание №56

Тип задания: 11
Тема:
Задачи на проценты

Условие

В двух сплавах имеется различное содержание кобальта. В первом – 25%, во втором – 30% кобальта. На производстве из них был получен третий сплав общей массой 150 кг, в котором содержится 28% кобальта. Определите разницу в весе двух сплавов. Ответ дайте в килограммах.

Показать решение

Решение

Пусть x – масса первого сплава. Тогда масса второго сплава равна 150 − x. В первом сплаве содержится 25% никеля, т.е 0,25·x, а во втором 30% никеля, т.е. 0,3 cdot (150 — x). Третий сплав имеет массу 150 кг и содержит массы двух сплавов с содержанием никеля 28%, т.е. 0,28 cdot 150. Зная эти значения, можем составить уравнение:

0,25x+0,3cdot (150-x)=0,28cdot 150

0,25x+45-0,3x=42

0,3x-0,25x=45-42

0,05x=3

x=60

Масса первого сплава равна 60 кг. Масса второго равна 150 − 60 = 90 кг. Разница в весе сплавов составляет 90 − 60 = 30 кг.

Ответ

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Основные определения

Когда мы описываем разные части целого, мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Это удобно: отрезать половину пирога, пройти треть пути, закончить первую четверть в школе.

Чтобы называть сотые доли, придумали процент (1/100): с латинского языка — «за сто».

Процент — это одна сотая часть от любого числа. Обозначается вот так: %.

Как перевести проценты в десятичную дробь? Нужно убрать знак % и разделить число на 100. Например, 18% — это 18 : 100 = 0,18.

А если нужно перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Например:

0,18 = 0,18 · 100% = 18%.

А вот, как перевести проценты в десятичную дробь — обратным действием:

18% : 100% = 0,18.

Выразить дробь в процентах просто. Для перевода сначала превратим ее в десятичную дробь, а потом используем предыдущее правило и переведем десятичную дробь в проценты:

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Типы задач на проценты

В 5, 6, 7, 8, 9 классах в задачках по математике на проценты сравнивают части одного целого, определяют долю части от целого, ищут целое по части. Давайте рассмотрим все виды задач на проценты.

Тип 1. Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Задача. Блогер записал 500 видео для тиктока, но его продюсер сказал, что 20% из них — отстой. Сколько роликов придется перезаписать блогеру?

Как решаем: нужно найти 20% от общего количества снятых роликов (500).

20% = 0,2

500 * 0,2 = 100

Ответ: из общего количества снятых роликов продюсер забраковал 100 штук.

Тип 2. Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

Задачи по поиску процента по числу и числа по его проценту очень похожи. Чтобы не перепутать — внимательно читаем условия, иначе зайдем в тупик или решим неправильно. Если в задании есть слова «который», «что составляет» и «который составляет» — перед нами задача по нахождению числа по его проценту.

Задача. Школьник решил 40 задач из учебника. Что составляет 16% числа всех задач в книге. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?

Как решаем: мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но нам известно, что 40 задач составляют 16% от общего количества. Запишем 16% в виде дроби: 0,16. Далее известную нам часть целого разделим на ту долю, которую она составляет от всего целого.

40 : 0,16 = 40 · 100 : 16 = 250

Ответ: 250 задач собрано в этом учебнике.

Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100%.

Задача. В секретном чатике 25 человек. 10 из них — девочки. Сколько процентов девочек в чате?

Как решаем: поделим 10 на 25, полученную дробь переведем в проценты.

10/25 * 100% = 2/5 * 100% = 2 * 100/5 = 40%

Ответ: в чатике 40% девочек.

Тип 4. Увеличение числа на процент

Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, можно найти число, которое выражает нужное количество процентов от данного числа, и сложить его с данным числом.

А можно воспользоваться формулой:

a = b · (1 + с : 100),

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом месяце стикерпак стоил 110 рублей. А в этом месяце на 12% больше. Сколько стоит стикер-пак?

Как решаем: можно найти 12% от 110:

0,12 · 110 = 13,2.

Прибавить к исходному числу:

110 + 13,2 = 123,2 рубля.

Или можно воспользоваться формулой, тогда:

110 · (1 + 12 : 100) = 110 · 1,12 = 123,2.

Ответ: стоимость стикерпака в этом месяце — 123 рубля 20 копеек.

Тип 5. Уменьшение числа на процент

Чтобы уменьшить число на несколько процентов, можно найти число, которое выражает нужное количество процентов данного числа, и вычесть его от данного числа.

А можно воспользоваться формулой:

a = b · (1 − с : 100),

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом году школу закончили 100 ребят. А в этом году выпускников на 25% меньше. Сколько выпускников в этом году?

Как решаем: можно найти 25% от 100:

0,25 · 100 = 25.

Вычесть из исходного числа 100 − 25 = 75 человек.

Или можно воспользоваться формулой, тогда:

100 · (1 − 25 : 100) = 75/p>

Ответ: 75 выпускников в этом году.

Тип 6. Задачи на простые проценты

Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада или долга.

Формула расчета выглядит так:

S = а · (1 + у · х : 100),

где a — исходная сумма,

S — сумма, которая наращивается,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Марии срочно понадобились деньги и она взяла на один год в долг 70 000 рублей под 8% ежемесячно. Сколько денег она вернет через год?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

70 000 · (1 + 12 · 8 : 100) = 137 200

Ответ: 137 200 рублей вернет Мария через год.

Тип 7. Задачи на сложные проценты

Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.

Формула расчета выглядит так:

S = а · (1 + х : 100)^y,

где S — наращиваемая сумма,

a — исходная,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Антон хочет оформить вклад 10 000 рублей на 5 лет в банке, который дает 10% годовых. Какую сумму снимет Антон через 5 лет хранения денег в этом банке?

Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:

10000 · (1 + 10 : 100)3 = 13 310

Ответ: 13 310 рублей снимет Антон через год.

Курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы. Вводный урок — бесплатно!

Способы нахождения процента

Деление числа на 100

При делении на 100 получается 1% от этого числа. Это правило можно использовать по-разному. Например, чтобы узнать процент от суммы, нужно умножить их на размер 1%. А чтобы перевести известное значение, следует разделить его на размер 1%. Этот метод отлично помогает в вопросе, как перевести целое число в проценты.

Представьте, что вы пришли в магазин за шоколадом. Обычно он стоит 250 рублей, но сегодня скидка 15%. Если у вас есть дисконтная карта магазина, шоколад обойдется вам в 225 рублей. Чем будет выгоднее воспользоваться: скидкой или картой?

Как решаем:

Переведем 15% в рубли:

250 : 100 = 2,5 — это 1% от стоимости шоколада,

значит 2,5 * 15 = 37,5 — это 15%.
250 — 37,5 = 212,5.
212,5 < 225.

Ответ: выгоднее воспользоваться скидкой 15%.

Составление пропорции

Пропорция — определенное соотношение частей между собой.

С помощью метода пропорции можно рассчитать любые %. Выглядит это так:

a : b = c : d.

Читается: а относится к b так, как с относится к d. Также важно помнить, что произведение крайних членов равно произведению средних. Чтобы узнать неизвестное из этого равенства, нужно решить простейшее уравнение.

Рассмотрим пример. На сколько выгодно покупать спортивную футболку за 1390 рублей при условии, что в магазине в честь дня всех влюбленных действует скидка 14%?

Как решаем:

Узнаем сколько стоит футболка сейчас в % соотношении:

100 — 14 = 86,

значит 1390 рублей это 86%.
Составим пропорцию:

1390 : 100 = х : 86,

х = 86 * (1390 : 100),

х = 1195,4.
1390 — 1195,4 = 194,6.

Ответ: купить спортивную футболку выгоднее на 194,6 рубля.

Соотношения чисел

Есть случаи, когда найти процент от числа проще, если представить проценты в виде простых дробей. В таком случае будем искать часть числа.

10% — десятая часть целого. Чтобы найти десять %, понадобится известное разделить на 10.
20% — пятая часть целого. Чтобы вычислить двадцать % от известного, его нужно разделить на 5.
25% — четверть целого. Чтобы вычислить двадцать пять %, понадобится известное разделить на 4.
50% — половина целого. Чтобы вычислить половину, нужно известное разделить на 2.
75% — три четверти целого. Чтобы вычислить семьдесят пять %, нужно известное значение разделить на 4 и умножить на 3.

Задача для тренировки. В черную пятницу вы нашли отличный пиджак со скидкой 25%. В обычный день он стоит 8500 рублей, но сейчас с собой есть только 6400 рублей. Хватит ли средств для покупки?

Как решаем:

100 — 25 = 75,

значит нужно заплатить 75% от первоначальной цены.
Используем правило соотношения чисел:

8500 : 4 * 3 = 6375.

Ответ: средств хватит, так как пиджак стоит 6375 рублей.

Задачи на проценты с решением

Как мы уже убедились, решать задачи на проценты совсем несложно. Для закрепления материала рассмотрим реальные примеры на проценты из учебников и несколько заданий для подготовки к ЕГЭ.

Задача 1. Организм взрослого человека на 70% состоит из воды. Какова масса воды в теле человека, который весит 76 кг?

Как решаем:

76 · 0,7 = 53,2 кг

Ответ: масса воды 53,2 кг

Задача 2. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

Как решаем:

Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной.

х — 0,4х = 0,6x

Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения получим:

0,6х — 0,25 * 0,6x = 0,45x

После двух понижений изменение цены составит:

х — 0,45x = 0,55х

Так как величина 0,55x составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.

Ответ: 55%.

Задача 3. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. На сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто?

Как решаем:

По условиям задачи стоимость четырех пар брюк — это 92% от стоимости пальто

100 — 8 = 92

Получается, что стоимость одной пары брюк — это 23% стоимости пальто.

92 : 4 = 23

Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто.

23 * 5 = 115

Ответ: пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 4. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

Как решаем:

По условиям задачи общий доход семьи напрямую зависит от доходов мужа. Благодаря увеличению зарплаты общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз 67% от общего дохода.

Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 — это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход.

Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии — это 4% дохода, то вся стипендия — это 6%.

А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100 – 67 – 6 = 27.

Ответ: заработок жены составляет 27%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в сухофрукте кураге только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Как решаем:

Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге в концентрированном виде — 95%.

Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества.

Значит, 19 килограммов питательного вещества в абрикосах — это 10% веса свежих абрикосов. Найдем число по проценту.

19 : 0,1 = 190

Ответ: 190 кг свежих абрикосов потребуется для изготовления 20 кг кураги.

Источник