ЕГЭ Профиль №13. Логарифмические уравнения
14 января 2018
В закладки
Обсудить
Жалоба
Логарифмы в заданиях ЕГЭ
Большая часть заданий, включенных в ЕГЭ, представляет собой задания на вычисление значений числовых логарифмических выражений.
При подготовке следует обратить внимание на формулу перехода к новому основанию логарифма и следствия из нее. Задачи на использование этих формул в школьных учебниках практически не встречаются.
Материал для проведения самостоятельных работ. 15 вариантов по 28 заданий. Ответы прилагаются.
log-sm.docx
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Логарифмические уравнения»
Открытый банк заданий по теме логарифмические уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов
Задание №887
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения 5^{log_{25}(10x-8)}=8.
Показать решение
Решение
Найдем ОДЗ: 10x-8>0.
5^{log_{25}(10x-8)}=5^{log_58},
log_{25}(10x-8)=log_58,
log_{5^2}(10x-8)=log_58,
frac12log_5(10x-8)=log_58,
log_5(10x-8)=2log_58,
log_5(10x-8)=log_58^2,
10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.
10x=72,
x=7,2.
Ответ
7,2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №885
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_3(28+4x)=log_3(18-x).
Показать решение
Решение
28+4x=18-x,
5x=-10,
x=-2.
Сделаем проверку.
log_3(28+4cdot(-2))=log_3(18-(-2)),
log_3 20=log_3 20. Верно, значит, x=-2 — корень уравнения.
Ответ
-2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №288
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_{x-7}81=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Показать решение
Решение
Согласно определению логарифма x-7>0 и x-7neq1, тогда x>7 и xneq8.
Так как 2=log_{x-7}(x-7)^2 при x>7 и xneq8, то получаем уравнение log_{x-7}81=log_{x-7}(x-7)^2.
Поэтому (x-7)^2=81,
x-7=pm9,
x_1=16,
x_2=-2.
x_2=-2 решением не является, так как x>7.
Ответ
16
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №287
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_3(12-x)=4.
Показать решение
Решение
Так как 4=log_33^4=log_381, то log_3(12-x)=log_381,
12-x=81,
x=-69.
Ответ
-69
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №286
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_6(5x+27)=log_6(3+x)+1.
Показать решение
Решение
log_6(5x+27)=log_6(3+x)+log_66,
log_6(5x+27)=log_6(6cdot(3+x)),
log_6(5x+27)=log_6(18+6x),
5x+27=18+6x,
x=9.
Проверка:
log_6(5cdot9+27)=log_6(3+9)+1,
log_672=log_612+1,
log_672=log_672.
x=9 — корень уравнения.
Ответ
9
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №284
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_{14}(x-3)=log_{14}(8x-31).
Показать решение
Решение
x-3=8x-31,
7x=28,
x=4.
Проверкой убеждаемся, что x=4 действительно является корнем исходного уравнения.
Ответ
4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №34
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_42^{2x+5}=4.
Показать решение
Решение
Воспользуемся формулой:
log_{a}b=x Leftrightarrow a^x=b
Значит:
log_{4}2^{2x+5}=log_{4}256
2^{2x+5}=256
2^{2x+5}=2^8
2x+5=8
2x=3
x=frac{3}{2}=1,5
Ответ
1,5
Задание №33
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_4(2-x)=log_{16}25.
Показать решение
Решение
Воспользуемся формулой:
log_{a^k}x=frac{1}{k}log_{a}x, kneq 0
Получим:
log_{4}(2-x)=log_{4^2}25
log_{4}(2-x)=frac{1}{2}log_{4}25
2log_{4}(2-x)=log_{4}25
log_{4}(2-x)^2=log_{4}25
(2-x)^2=25
|2-x|=5
2-x=5
x=-3
Ответ
-3
Задание №26
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_7(9-x)=3log_73.
Показать решение
Решение
Выполним преобразования:
log_7(9-x)=log_73^3
Раскроем знак логарифма:
9-x=3^3
9-x=27
-x=27-9
x=-18
Ответ
-18
Задание №25
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_2(7-x)=5.
Показать решение
Решение
Раскроем знак логарифма по формуле
log_ab=c Leftrightarrow b=a^c
и выполним преобразования:
7-x=2^5
7-x=32
-x=32-7
x=-25
Ответ
-25
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
Задание 903
Найдите значение выражения $$log^{3}_{sqrt{3}}{{frac{1}{3}}^3}$$
Ответ: -216
Скрыть
Рассмотрим сам логарифм: $$ log_{sqrt{3}}{{frac{1}{3}}^3}=log_{3^{1/2}}{3^{-3}}=frac{1}{frac{1}{2}}*left(-3right)log_33=-6 $$ Так как он был в третьей степени, то возведем -6 в нее и получим -216
Задание 939
Известно, что $$log_a b *log_b c = -5$$ . Найдите значение выражения $$log_c a$$
Ответ: -0.2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$log_a b *log_b c = frac{1}{log_b a}*log_b c=frac{log_b c}{log_b a}=log_a c=-5$$ $$log_c a=frac{1}{log_a c}=frac{1}{-5}=-0.2$$
Задание 2494
Найдите значение выражения: $$6^{2+log_{6}8}$$
Ответ: 288
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$6^{2+log_{6}8}=$$ $$=36cdot 6^{log_{6}8}=36cdot 8=288$$
Задание 2825
Найдите значение выражения: $$frac{log_{9}10}{log_{9}11}+log_{11}0,1$$
Ответ: 0
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$frac{log_{9}10}{log_{9}11}+log_{11}0,1=$$ $$=log_{11}10+log_{11}0,1=log_{11}(10cdot 0,1)=log_{11}1=0$$
Задание 3030
Найдите значение выражения $$64^{log_{8}sqrt{3}}$$
Ответ: 3
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$64^{log_{8}sqrt{3}}=8^{2log_{8}sqrt{3}}=8^{log_{8}3}=3$$
Задание 3114
Найдите значение выражения $$lg(lgsqrt[10]{10})$$
Ответ: -1
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$lg(lgsqrt[10]{10})=lgfrac{1}{10}cdotlg 10=lgfrac{1}{10}=-1$$
Задание 3285
Найдите значение выражения $$log_5 312,5 — log_5 2,5$$
Ответ: 3
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$log_5 312,5 — log_5 2,5 = log_5 frac{312,5}{2,5}= log_5 125 = 3$$
Задание 3372
Найдите значение выражения: $$(log_{0,5}sqrt{8sqrt[3]{2}})^{-1}$$
Ответ: -0,6
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$(log_{0,5}sqrt{8sqrt[3]{2}})^{-1}=$$ $$=(log_{0,5}(2^{3}cdot2^{frac{1}{3}})^{frac{1}{2}})^{-1}=$$ $$=(-1cdotlog_{2}2^{frac{5}{3}})^{-1}=(-frac{5}{3})^{-1}=-frac{3}{5}=-0,6$$
Задание 4236
Найдите значение выражения $$(log_{2}16)cdot(log_{6}36)$$
Ответ: 8
Задание 4237
Найдите значение выражения $$7cdot5^{log_{5}4}$$
Ответ: 28
Задание 4238
Найдите значение выражения $$36^{log_{6}5}$$
Ответ: 25
Задание 4239
Найдите значение выражения $$log_{0,25}2$$
Ответ: -0,5
Задание 4240
Найдите значение выражения $$log_{4}8$$
Ответ: 1,5
Задание 4241
Найдите значение выражения $$log_{5}60-log_{5}12$$
Ответ: 1
Задание 4242
Найдите значение выражения $$log_{5}0,2+log_{0,5}4$$
Ответ: -3