Примеры заданий егэ по геометрии

Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2014. Основная волна, резервная волна. Запад. Вариант 1

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а)  Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б)  Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE  =  24.

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC  =  3MB.

а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б)  Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC = 12.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а)  Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б)  Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.

В треугольнике (ABC): (angle B = 81^{circ}), (angle C = 25^{circ}). Найдите внешний угол при вершине (A). Ответ дайте в градусах.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, (angle B + angle C =) внешнему углу при вершине (A), следовательно (A_{text{внеш}}) ( = 81^{circ} + 25^{circ} = 106^{circ}).

Ответ: 106

В треугольнике (ABC): (angle A = 22^{circ}), внешний угол при вершине (C) равен (130^{circ}). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, (angle A + angle B = C_{text{внеш}}), тогда (22^{circ} + angle B = 130^{circ}), откуда находим (angle B = 130^{circ} — 22^{circ} = 108^{circ}).

Ответ: 108

В треугольнике (ABC): (angle C = 35^{circ}), внешний угол при вершине (B) равен (91^{circ}). Найдите (angle A). Ответ дайте в градусах.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, (angle C + angle A = B_{text{внеш}}), тогда (35^{circ} + angle A = 91^{circ}), откуда находим (angle A = 91^{circ} — 35^{circ} = 56^{circ}).

Ответ: 56

В треугольнике (ABC): (angle C = 70^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle A = angle C = 70^{circ}). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (angle B = 180^{circ} — 70^{circ} — 70^{circ} = 40^{circ}).

Ответ: 40

В треугольнике (ABC): (angle A = 47^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle C = angle A = 47^{circ}). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (angle B = 180^{circ} — 47^{circ} — 47^{circ} = 86^{circ}).

Ответ: 86

В треугольнике (ABC): (angle C = 36^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle B). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle A = angle C = 36^{circ}). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (angle B = 180^{circ} — 36^{circ} — 36^{circ} = 108^{circ}).

Ответ: 108

В треугольнике (ABC): (angle B = 38^{circ}), (AB = BC). Найдите (angle C). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle A = angle C). Так как у любого треугольника сумма углов равна (180^{circ}), то (180^{circ} = 38^{circ} + angle A + angle C = 38^{circ} + 2cdot angle A), откуда (2cdot angle A = 142^{circ}), тогда (angle A = 71^{circ}).

Ответ: 71