Призма
Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.
Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.
Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
$С_1Н$ — высота
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$P_{осн}$ — периметр основания;
$S_{осн}$ — площадь основания;
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;
$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;
$h$ — высота призмы.
$S_{бок}=P_{осн}·h$
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$
$V=S_{осн}·h$
В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник.
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
В основании лежит четырехугольник
1. Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
2. Ромб
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
3. Трапеция
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.
Рассмотрим площади правильных многоугольников:
1. Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
2. Квадрат
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
$S=6·S_{треугольника}={6·a^2√3}/{4}={3·a^2√3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.
Пример:
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.
Решение:
Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.
Распишем формулу площади полной поверхности:
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=P_{осн}·h+2S_{ромба}$
В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$
Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.
$АВ=√{5^2+12^2}=√{25+144}=√{169}=13$
$Р=13·4=52$
Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
$S_{основания}={d_1·d_2}/{2}={10·24}/{2}=120$
Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:
$S_{п.п}=P_{осн}·h+2S_{ромба}=52·20+2·120=1040+240=1280$
Ответ: $1280$
Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.
$S_{бок}=P_{осн}·h=2πRh$
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=2πRh+2πR^2=2πR(h+R)$
$V=S_{осн}·h=πR^2 h$
Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.
$MN {//} AC, MN = {AC}/{2}$
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Прямоугольный треугольник и его свойства:
В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
- Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
- Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$AC^2+BC^2=AB^2$
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
- Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
| $cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
| $tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
${a}/{sinα}={b}/{sinβ}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$
$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosβ;$
$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$
|
Пусть (displaystyle ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1) – прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник (displaystyle ABCDEF ) со стороной(displaystyle AB=4 small.) Боковое ребро призмы (displaystyle AA_1=sqrt{3}small. ) В прямой призме высота совпадает с боковым ребром и равна (displaystyle h= sqrt{3} small. ) |
По условию задачи требуется найти объём призмы.
Воспользуемся формулой для вычисления объема прямой призмы.
Правило
Объём прямой призмы
Объём прямой призмы (displaystyle V)равен произведению площади основания на высоту.
(displaystyle V=S_{осн} cdot h { small ,} )
где (displaystyle S_{осн} ) – площадь основания,
(displaystyle h) – высота призмы.
(displaystyle S_{осн}=24sqrt{3} small. )
Подставим (displaystyle S_{осн}=24sqrt{3}) и (displaystyle h=sqrt{3}) в формулу объёма прямой призмы:
(displaystyle begin{aligned}V&=S_{осн} cdot h { small ,} \V&=24sqrt{3} cdot sqrt{3}{ small ,} \V&=24 cdot 3{ small ,} \V&=72{ small .}end{aligned})
Ответ: (displaystyle 72 small. )
Площадь поверхности – это суммарная площадь всех поверхностей, которые составляют объемную фигуру.
Призма
1. Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) — равные (n)-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, остальные (n) граней (боковые) — параллелограммы. Призмы подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего.
2. Призма, у которой боковое ребро перпендикулярно основанию, называется прямой. Ее боковые грани — прямоугольники, и высота равна боковому ребру.
Прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, называется правильной. Ее боковые грани, равные прямоугольники.
3. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований: (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}).
4. Объем произвольной призмы равен произведению площади основания на высоту: (V_{призмы}=S_{осн}cdot h).
Параллелепипед
5. Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм. Противоположные боковые грани параллелепипеда равны.
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно основанию.
Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда выражается через его измерения (ширину, длину и высоту) формулой (d^2=a^2+b^2+c^2).
Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты. Диагональ куба с ребром (a): (d=asqrt{3}).
Пирамида
6. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань (основание) — (n)—угольник, а остальные (n) граней (боковые) — треугольники с общей вершиной. Пирамиды подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Тетраэдер – другое название треугольной пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание.
7. Пирамида называется правильной, если ее боковые ребра равны, а в основании лежит правильный многоугольник.
Основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром ее основания, углы наклона боковых ребер к основанию равны, двугранные углы при основании равны, все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины к ребру основания.
8. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: (S_{полн} = S_{бок}+ S_{осн}).
9. Объем произвольной пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту: (V=frac{1}{3} S_{осн}cdot h).
Сфера и шар
10. Сфера — это множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы.
Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с точкой на сфере, или длина этого отрезка.
Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки на сфере.
Диаметр сферы — это хорда, которая проходит через центр сферы. Диаметр сферы равен двум радиусам сферы.
11. Площадь сферы находится по формуле: (S_{сф}=4πR^2).
12. Шаром называется часть пространства, ограниченная сферой, вместе с самой сферой и ее центром. Данная сфера называется поверхностью шара.
Сечение шара с радиусом (R) плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом шара. Радиус, хорда, диаметр шара те же, что и его сферы.
13. Объем шара находится по формуле (V_{шара}=frac{4}{3} πR^2).
Цилиндр
14. Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг прямой, проходящей через одну из его сторон.
Прямая вращения называется осью цилиндра.
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами (2r) и (l), где (r) — радиус основания цилиндра, (l) — его образующая.
Образующая цилиндра — отрезок (обозначается (l) или (L)), перпендикулярный основаниям цилиндра и соединяющий точку окружности верхнего основания с точкой окружности нижнего основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (обозначается (h) или (H)).
15. Площадь боковой поверхности цилиндра: (S_{бок}=2πrh); (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}=2πrh+2πr^2).
16. Объем цилиндра (V_{цил}=S_{осн} h=πr^2 h).
Конус
17. Конусом называется тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.
Прямая вращения называется осью конуса.
Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым сечением. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник со стороной основания (2r) боковой стороной (l), где (r) — радиус основания конуса, (l) — его образующая.
Вершина осевого сечения является вершиной конуса.
Образующая конуса (обозначается (l) или (L)) — отрезок, соединяющий вершину конуса и точку окружности основания.
Высотой конуса называется расстояние от вершины конуса до плоскости основания (обозначается (h) или (H)). Высота конуса равна высоте осевого сечения, опущенной на основание.
18. Площадь боковой поверхности конуса: (S_{бок кон}=πrl), (S_{кон}=S_{бок}+S_{осн}=πrl+2πr^2).
19. Объем конуса: (V_{кон}=frac{1}{3}S_{осн}h=frac{1}{3}πr^2 h).
Факт 1. Про произвольную призму (A_1…A_nB_1…B_n)
(bullet) Многоугольники (A_1…A_n, B_1…B_n) – основания;
отрезки (A_1B_1, A_2B_2) и т.д. – боковые ребра;
четырехугольники (A_1B_1B_2A_2) и т.д. – боковые грани, представляющие собой параллелограммы.
(bullet) Высота призмы – расстояние между ее основаниями, или, что то же самое, – перпендикуляр, опущенный из вершины одного основания к плоскости другого основания.
(bullet) ({color{red}{{small{Объем призмы}}}}) [{Large{color{red}{V=S_{text{осн}}cdot h}}}] где (S_{text{осн}}) – площадь основания, (h) – высота призмы.
(bullet) Площадь боковой поверхности – сумма площадей ее боковых граней.
(bullet) Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площадей оснований.
Факт 2. Про прямую призму
(bullet) Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
(bullet) Тогда:
1) боковые грани представляют собой прямоугольники;
2) боковое ребро является высотой призмы.
Факт 3. Про правильную призму
(bullet) Призма называется правильной, если она прямая и ее основания – правильные многоугольники.
(bullet) Тогда:
все боковые грани представляют собой равные прямоугольники.
Задача 1. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 
а площадь поверхности равна 
Решение: + показать
Задача 2. В правильной четырёхугольной призме 
известно, что 
Найдите угол между диагоналями 
и 
Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 
и 
боковое ребро равно 
Найдите объем призмы.
Решение: + показать
Задача 4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 
и 
высота призмы равна 
Найдите площадь ее поверхности.
Решение: + показать
Задача 5. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами и 
Площадь ее поверхности равна 
. Найдите высоту призмы.
Решение: + показать
Задача 6. Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в два раза?
Решение: + показать
Задача 7. В правильной треугольной призме 
, все ребра которой равны 
найдите угол между прямыми 
и 
. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 8. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 
и 
и боковым ребром, равным 
Решение: + показать
Задача 9. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 
и острым углом 
Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 
и равно 
Найдите объем параллелепипеда.
Решение: + показать
Задача 10. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 
а высота —
Решение: + показать
Задача 11. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны а боковые ребра равны 
Решение: + показать
Задача 12. В правильной шестиугольной призме 
все ребра равны 
. Найдите расстояние между точками 
и 
.
Решение: + показать
Задача 13. В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 14. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны найдите угол между прямыми 
и 
. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 15. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 
Найдите тангенс угла 
Решение: + показать
Задача 16. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 
см
воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки см до отметки 
см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см
Решение: + показать
Задача 17. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 
см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 
раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Решение: + показать
Задача 18. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 26, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.
Решение: + показать
Задача 19. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 
Найдите объем исходной призмы.
Решение: + показать
Задача 20. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 12. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
Задача 21. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами а боковые ребра равны 
и наклонены к плоскости основания под углом 
Решение: + показать
Задача 22. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 
и отстоит от других боковых ребер на 
и Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.
Решение: + показать
Задача 23. В правильной треугольной призме стороны оснований равны 
боковые рёбра равны Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер , и 
и точку 
Решение: + показать
Задача 24. В правильной треугольной призме стороны оснований равны 
боковые рёбра равны 
Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер 
и 
Решение: + показать
Задача 25. Объём куба равен 
Построено сечение 
проходящее через середины рёбер 
и и параллельное ребру 
Найдите объём треугольной призмы 
Решение: + показать
Задача 26. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки 
правильной треугольной призмы 
площадь основания которой равна а боковое ребро равно 
Решение: + показать
Задача 27. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки 
правильной треугольной призмы площадь основания которой равна 
а боковое ребро равно 
Решение: + показать
Задача 28. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки 
правильной шестиугольной призмы 
площадь основания которой равна а боковое ребро равно
Решение: + показать
Задача 29. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 
правильной шестиугольной призмы площадь основания которой равна 
а боковое ребро равно 
Решение: + показать
Вы можете пройти тест «Призма»
Призма, подготовка к ЕГЭ по математике
- 22.12.2017
Таблицы с теорией на тему: «Призма» для подготовки к ЕГЭ по математике. В кратком содержании изложена вся необходимая теория для этой темы.
Смотреть в PDF:
Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.
Сохранить ссылку:
Комментарии (0)
Добавить комментарий
Добавить комментарий
Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.
Имя (обязательное)
E-Mail
Подписаться на уведомления о новых комментариях
Отправить
Объем призмы и другие ее характеристики
Перед вами иллюстрированный гид о призме.
В картинках. С пояснениями к формулам. С примерами.
Определение, виды призм, высота, площадь, объем призмы – все, все, все!
Читайте и делитесь впечатлениями в комментариях!
Призма – коротко о главном
Определение призмы:
Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.
Виды призм:
Параллелепипед – это призма, основанием которой является параллелограмм.
Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.
Объем призмы
Главная формула объема призмы:
( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H}),
где ( {{text{S}}_{основания}}) – площадь основания,
( H) – высота.
Необычная формула объема призмы:
( text{V}={{text{S}}_{bot }}cdot l),
где ( {{text{S}}_{bot }}) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
( l) – длина бокового ребра.
Площадь призмы
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
( displaystyle {{text{S}}_{полн. пов.}}={{text{S}}_{боков.пов.}}+2cdot {{text{S}}_{text{основания}.}})
А теперь чуть подробнее…
Что такое призма
Давай ответим сперва картинками:
Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.
Остальные грани называются боковыми.
Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.
Рисуем еще раз.
А теперь рёбра.
Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.
Важно знать, что:
Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
А еще:
- Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной и т.д.;
- Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но, к счастью, не в твоих задачах;
- А тебе будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.
Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.
Определение призмы
Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.
Виды призм
Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.
Другие призмы называются наклонными.
Высота призмы
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.
И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.
Согласен?
Объем призмы
Главная формула объема призмы
( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H}),где ( {{text{S}}_{основания}}) — площадь основания,
( H) — высота.
Необычная формула объема призмы
( text{V}={{text{S}}_{bot }}cdot l),
где ( {{text{S}}_{bot }}) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
( l) – длина бокового ребра.
Площадь призмы
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
( displaystyle {{text{S}}_{полн. пов.}}={{text{S}}_{боков.пов.}}+2cdot {{text{S}}_{text{основания}.}})
Прямая призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.
Свойства прямой призмы:
- Все боковые грани прямоугольники;
- Все сечения, проходящие через боковые рёбра, – прямоугольники;
- Даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро, – прямоугольники;
- У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.
Правильная призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.
То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.
Тебе, скорее всего, может встретиться:
Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.
Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.
Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.
Главная формула объема призмы
( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H})
( {{text{S}}_{основания}}) – площадь основания
( H) – высота
Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то ( H) «превращается» в боковое ребро. И тогда
( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H})
– то же самое, что
( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot боковое ребро)
Необычная формула объёма призмы
Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы:
( Large text{V}={{text{S}}_{bot }}cdot l)
( {{text{S}}_{bot }}) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
( l) – длина бокового ребра
Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.
Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.
Объем правильной треугольной призмы
Пусть дано, что сторона основания равна ( a), а боковое ребро равно ( b).
Найдем объем:
( text{V}={{text{S}}_{Основания}}cdot text{H}={{text{S}}_{text{ABC}}}cdot text{b})
Вспомним, как находить площадь правильного треугольника:
( {{text{S}}_{text{ABC}}}=frac{1}{2}text{a}cdot text{h})
( text{h}=sqrt{{{text{a}}^{2}}-frac{{{text{a}}^{2}}}{4}}=frac{sqrt{3}}{2}text{a})
( {{text{S}}_{text{ABC}}}=frac{1}{2}text{a}cdot frac{sqrt{3}}{2}text{a}=frac{{{text{a}}^{2}}sqrt{3}}{4})
Подставляем в формулу объёма:
( text{V}={{text{S}}_{text{ABC}}}cdot text{b}=frac{{{text{a}}^{2}}text{b}sqrt{3}}{4}).
Объем правильной четырёхугольной призмы
Опять дано: сторона основания равна ( a), боковое ребро равно ( b).
( text{V}={{text{S}}_{text{основания}}}cdot text{H}={{text{S}}_{text{ABC}}}cdot text{b})
Ну, площадь квадрата долго искать не надо:
( displaystyle {{text{S}}_{text{ABCD}}}={{text{a}}^{2}})
Значит, ( displaystyle text{V}={{text{S}}_{text{ABCD}}}cdot text{b}={{text{a}}^{2}}text{b}).
Объем правильной шестиугольной призмы
Площадь поверхности призмы
Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.
Есть ли общая формула?
Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
( displaystyle {{text{S}}_{полн. пов.}}={{text{S}}_{боков.пов.}}+2cdot {{text{S}}_{text{основания}.}})
Формулу можно написать для прямой призмы:
( displaystyle {{text{S}}_{боков.}}=text{H}cdot text{P}), где ( displaystyle P) – периметр основания.
( displaystyle {{text{S}}_{text{полной}}}=text{H}cdot text{P}+2{{text{S}}_{основания}}).
Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.
Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы
Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b).
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук – ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж – c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.