Признаки делимости чисел таблица егэ

Памятка

Признаки делимости — особенности
чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое.
Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме
того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении
задач ЕГЭ.

Таблица признаков
делимости чисел

Число n

Число а делится на
число n тогда
и только тогда, когда

 2

 Последняя
цифра числа а делится на 2

 3

 Сумма
цифр числа а делится на 3

 4

 Число,
составленное из двух последних цифр числа а делится на 4

 5

 Число
а оканчивается цифрой 0 или 5

 6

 Число
а делится на 2 и на 3

 7

 Знакочередующаяся
сумма трёхзначных граней* числа а делится на 7

 8

 Число,
составленное из трёх последних цифр числа а, делится на 8

 9

 Сумма
цифр числа а делится на 9

 10

 Число
а оканчивается цифрой 0

 11

 Знакочередующаяся
сумма цифр числа а делится на 11

 12

 Число
а делится на 3 и на 4

 13

 Знакочередующаяся
сумма трёхзначных граней* а делится на 13

 25

 Число,
составленное из двух последних цифр числа а, делится на 25

Определение.

Двузначные грани числа —
это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа.
Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так:
1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89
являются двузначными гранями числа 123456789.

Трёхзначные грани числа —
это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные
числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит
так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа
1234567890.

Признаки
делимости на 2

Признак делимости на 2: число
делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях — не
делится.

Пример:, число 52
738 делится на 2, так как последняя цифра 8 — четная;

7691 не делится
на 2, так как 1 — цифра нечетная;

1250 делится на
2, так как последняя цифра нуль.

Признаки
делимости на 3

Признак делимости на 3: Число
делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр
делится на 3.

Пример:

75 — делится
на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

471 — делится
на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

532 — не
делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3.

Признаки
делимости на 4

Признак
делимости на 4: число n делится на 4
тогда, когда число, составленное из двух последних цифр числа n, делится
на 4.

Пример:
определить, делятся ли на 4 числа а) 216 б) 530232 в) 1102.

Решение: а) 216.
«Отрезаем» две последние цифры от числа 216 — получаем число 16. Так как 16 делится
на 4, то и 216 делится на 4. Ответ: делится.

б) 530 232. Составляем число из двух последних цифр
числа 530 232 — получаем число 32, которое делится на 4. Следовательно, число
530 232 делится на 4.  Ответ: делится.

в) 1102. Составляем число из двух последних цифр этого
числа — получаем число 2. Число 2 на 4 не делится, поэтому и число 1102 не
делится на 4.  Ответ: не делится.

Признаки
делимости на 5

Признак делимости
на 5:
число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она
0 или 5.

Пример:

375, 5680,
233575
— делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5;

9634, 452,
389753
— не делятся на 5, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.

Признаки
делимости на 6

Признак делимости
на 6:
 число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3,
то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Пример:

462 — делятся
на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2
делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа
делится на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);

3456 — делятся
на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6
делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа
делится на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);

24642 — делятся
на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2
делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа
делится на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);

861 — не
делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2;

3458 — не
делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 3;

34681 — не
делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2.

Признаки
делимости на 7

Признак делимости
на 7:  число
делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из
этого числа без последней цифры делится на 7

Пример:

343 делится
на 7, так как 34-(2·3)=34-6=28 делится на 7;

259 делится на
7, так как 25-(2·9)=7 делится на 7

Признаки
делимости на 9

Признак делимости на 9:  число
делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Пример:

468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять
(4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);

861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять
(8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Признаки
делимости на 10

Признак делимости
на 10:  число
делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нуль.

Пример:

460,
24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих
чисел равна нулю;

234,
25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра
этих чисел не равна нулю.

Признаки
делимости на 11

Всего существует три важных
признака делимости на 11.

1-й
признак делимости на 11: число делится на 11, если
знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11.

Пример:
проверить, делятся ли на 11 числа а) 1234321 б) 10101.

Решение: а) 1234321.
Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 =
0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11. Если не верите —
возьмите калькулятор и проверьте! Вообще говоря, многие красивые числа делятся
на 11. Ответ: делится.

б) 10101.
Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 0 + 1 − 0 + 1 = 3.
Число 3 на 11 не делится, поэтому 10101 не делится на 11. Ответ: не
делится.

2-й
признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма его
двузначных граней делится на 11.

3-й
признак делимости на 11: число делится на 11, если
знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 11.

Пример:
проверить, делится ли на 11 число 1002001.

Решение: а)
применим 2-й признак делимости на 11. Сумма двузначных граней числа
1002001 равна 1 + 20 + 0 + 1 = 22. Число 22 делится на 11, поэтому 1002001
делится на 11.

б) применим 3-й
признак делимости на 11. Разбиваем число 1002001 на трёхзначные грани:
1|002|001. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11.
Поэтому 1002001 делится на 11.

Ответ: делится.

Признаки
делимости на 13

Число делится на 13 тогда, когда
число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13
(например, 104 делится на 13, так как 10+(4·4)=10+16=26 делится на 13; 832
делится на 13, так как 83+(4·2)=83+8=91 делится на 13).

Признаки
делимости на 25

Признак
делимости на 25: число n делится на 25
тогда, когда число, составленное из двух последних цифр числа n, делится
на 25. То есть число делится на 25, если оно оканчивается цифрами 00, 25, 50
или 75.

Например, число 775 делится на 25,
а число 1105 — не делится.

Источник

Признаки делимости – это особенности чисел, которые позволяют сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Знание этих признаков может пригодиться при решении различных номеров из ЕГЭ по профильной математике.

Признак делимости на 2: если последняя цифра числа является чётной, то число делится на 2.

758476:2= 379238

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

6255:3=2085 (поскольку 6+2+5+5=18, 18:3=6)

Признак делимости на 4: число делится на 4, если две его последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 4.

300:4=75

5016:4=1254

Признак делимости на 5: число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.

550:5=110

555:5=111

Признак делимости на 6: на 6 делятся те числа, которые могут одновременно делиться на 2 и на 3.

198:6=33 (поскольку 198:2=99 и 198:3=66)

Признак делимости на 8: число делится на 8, если три его последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8.

111000:8=13875

45240:8=5655 (поскольку 240 делится на 8)

Признак делимости на 9: число делится а 9, если сумма его цифр делится на 9.

333:9=37 (поскольку 3+3+3=9, 9:9=1)

Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

150:10=15

Признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

572:11=52 (поскольку 5+2=7)

759:11=69 (поскольку 7+9=16, 16-5=11)

Признак делимости на 12: число делится на 12, если оно одновременно делится на 3 и на 4.

744:12=62 (поскольку 744:3=248 и 744:4=186)

Признак делимости на 25: число делится на 25, если две его последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 25.

200:25=8

575:25=23

Источник

Признаки делимости — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач.

Кроме того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении задач ЕГЭ, особенно задания С6.

Таблица признаков делимости чисел

Признаки делимости чисел

 Число  Число делится на число тогда и только тогда, когда
 2  Последняя цифра числа делится на 2
 3  Сумма цифр числа делится на 3
 4  Число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 4
 5  Число оканчивается цифрой 0 или 5
 6  Число делится на 2 и на 3
 7  Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* числа делится на 7
 8  Число, составленное из трёх последних цифр числа , делится на 8
 9  Сумма цифр числа делится на 9
 10  Число оканчивается цифрой 0
 11  Знакочередующаяся сумма цифр числа делится на 11
 12  Число делится на 3 и на 4
 13  Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* делится на 13
 25  Число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 25

*Грани числа – числа, полученные при разбиении исходного числа на двузначные или трёхзначные числа, взятые справа налево. Например, разбиение числа 1234567 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67, а на трёхзначные так: 1|234|567.

Признаки делимости чисел и их доказательство

Пусть натуральное число имеет десятичную запись

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел

Разобьём признаки делимости на три группы. Доказательства признаков делимости в каждой группе основаны на одной и той же идее.

Признаки делимости по последним цифрам

 Если  то делится на
 (последняя цифра числа) делится на 2 или 5  2 или 5 соответственно
 (число, составленное из двух последних цифр числа ) делится на 4 или 25  4 или 25 соответственно
 (число, составленное из трёх последних цифр числа ) делится на 8  8
  равно 0  10

Доказательство этих признаков основано на одной и той же идее. Приведём её на примере признака делимости на 25. Распишем число так:

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел

Признаки делимости по сумме цифр

 Если  то делится на
 Сумма цифр числа делится на 3 или 9  3 или 9 соответственно
 Знакочередующаяся сумма цифр числа делится на 11  11

Докажем признаки делимости на 3 и 9.

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел

Докажем признак делимости на 11. Для этого прежде заметим, что все числа вида , то есть числа 11, 1001, 100001 и т.д., делятся на 11. Покажем это на примере числа 100001:

  1. Число распишем следующим образом:
  2. Все слагаемые в первых скобках делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится знакопеременная сумма цифр числа .

Признаки делимости по сумме граней

Определение.

Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.

Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

Перейдём к признакам делимости.

 Если  то делится на
 Сумма двузначных граней делится на 11  11
 Сумма трёхзначных граней делится на 37  37
 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней делится на 7, 11, 13  7, 11, 13 соответственно

Докажем признак делимости на 11 по сумме двузначных граней.

В левых скобках все числа делятся на 11, поэтому число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11. Остальные признаки доказываются аналогично.

Источник: https://umath.ru/theory/priznaki-delimosti-chisel/

Признаки делимости

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Например:

  • 2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел четная;
  • 3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел нечетная.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например:

  • 471 — делится на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3;
  • 532 — не делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3.

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.

Например:

  • 4576 — делится на 4, так как число 76 (7·2+6=20) делится на 4;
  • 9634 — не делится на 4, так как число 34 (3·2+4=10) не делится на 4.

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.

Например:

  • 375, 5680, 233575 — делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5;
  • 9634, 452, 389753 — не делятся на 5, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например:

  • 462, 3456, 24642 — делятся на 6, так как они делятся одновременно и на 2 и на 3;
  • 861, 3458, 34681 — не делятся на 6, так как 861 не делится на 2, 3458 не делится на 3, 34681 не делится на 2.

Число делится на 7, если разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7.

Например:

  • Число 296492. Берем последнюю цифру «2», удваиваем, получаем 4. Вычитаем 29649-4=29645. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
  • Берем последнюю цифру «5», удваиваем, получаем 10. Вычитаем 2964-10=2954. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
  • Берем последнюю цифру «4», удваиваем, получаем 8. Вычитаем 295-8=287. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
  • Берем последнюю цифру «7», удваиваем, получаем 14. Вычитаем 28-14=14. Число 14 делится на 7, значит и исходное число делится на 7

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.

Например:

  • 952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4+5*2+2=48

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например:

  • 468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
  • 861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.

Например:

  • 460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю;
  • 234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.

Признак делимости на 11

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Признак делимости на 13

Признак 1: Число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Признак 2: Число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

  • Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся Признаки делимости чисел

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

  • Например, 221 делится на 17, так как  делится на 17.Признаки делимости чисел

Число делится на 17 тогда, когда модуль суммы числа десятков и числа двенадцать умноженной на кол-во единиц делится на 17.

  • Например, 221 делится на 17, так как  делится на 17.Признаки делимости чисел

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

  • Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся Признаки делимости чисел

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Признаки делимости на 23

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

  • Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

  • Например, 391 делится на 23, так как  делится на 23.

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

  • Например, 391 делится на 23, так как  делится на 23.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 27

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Признак делимости на 29

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

  • Например, 261 делится на 29, так как  делится на 29.

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

  • Например: 510 делится на 30, а 678 — нет.

Признак делимости на 31

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

  • Например, 217 делится на 31, так как  делится на 31.

Признак делимости на 37

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

  • Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.

  • Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Признак делимости на 41

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

  • Например, 369 делится на 41, так как  делится на 41.

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой.

Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 50

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Признак делимости на 59

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся  и

Признак делимости на 79

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся .

Признак делимости на 99

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится

Признак делимости на 101

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101.

  • Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится

Источник: http://ychitelll.ucoz.ru/index/priznaki_delimosti/0-73

Признаки делимости

При решении задач ЕГЭ базового и профильного уровня необходимо знать признаки делимости. Многие признаки делимости чисел нацело вы знаете из начального курса математики. Поэтому такая простая информация могла легко забыться. Сегодня мы с вами повторим основные признаки делимости и решим некоторые задачи.

Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.

Простые и составные числа

Число p называется простым, если оно делится только на себя и на единицу. Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.

Пример.

  • Число 17 простое. Делители 17: 1, 17.
  • Число 9 составное. Делители 9: 1, 3, 9.

Единица не является ни простым, ни составным числом. Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа есть число, которое делится на 2 (последняя цифра – образует четное число).

Признаки делимости чисел

Например, число 124 делится на 2, так как 4 — четное число.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа дают число, которое делится на 4.

Пример: 132 делится на 4, потому что последние две цифры «3» и «2» образуют число 32, которое делится на 4.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры в записи числа образуют число, которое делится на 8.

Пример, число 2192 делится на 8, поскольку последние три цифры «1», «9» и «2» образуют число 192, которое делится на 8. При рассмотрении задач надо иметь в виду, что число делящееся на 8, в свою очередь должно делится и на 4 и на 2 одновременно.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 3.

Пример: число 153 делится на 3, так как сумма чисел 1+3+5=9 делится на 3.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 9.

Пример: число 198 делится на 9, поскольку сумма чисел 1+9+8=18 делится на 9.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа образует число, которое делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).

Пример, число 165 делится на 5, так как заканчивается на 5.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры в записи числа, образуют число, которое делится на 25.

Пример: число 125 делится на 25, так как последние две цифра «2» и «5» образуют число 25, которое делится на 25.

Следует помнить, что цифры не могут суммироваться, делиться и т.д. Цифры это такие значки, которыми записываются числа. И веса у них самих по себе не более чем у любого другого значка, как у смайлика.

Но, если мы цифрой запишем число, то с числом мы уже можем проводить любые операции. Числа могут быть однозначные и двузначные, их бесконечное количество, но цифр для их записи всего 10. Не путайте понятия числа и цифры, не портите отношения с проверяющими ваши работы математиками.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы чисел, стоящих на нечетных местах в записи числа, и суммы чисел, стоящих на четных местах в записи числа, делится на 11. А также если сумма чисел стоящих на четных местах, делится на сумму чисел, стоящих на нечетных местах.

Пример 1

123456789 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 3.

Пример 2

1452 делится на 11, так как (1 + 5) – (4 + 2) делится на 11. Или 1+5=4+2.

Деление с остатком

Пусть a и b ≠ 0 – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:

  • От деления на b могут быть только остатки: 0, 1, 2, 3…, |b|-1.

Пример 1.

  • 19 : 7 = 2 (ост. 5)
  • 19 = 7 ∙ 2 + 5

Пример 2.

  • 22 : (-3) = -7 (ост. 1).
  • 22 = -3 ∙ (-7) + 1

Пример 3.

  • -22 : 3 = -8 (ост. 2)
  • -22 = 3 ∙ (-8) + 2

Теоремы

Признаки делимости чисел
Признаки делимости чисел

Теперь рассмотрим конкретные задания из ЕГЭ на делимость

Задание №1

Найдите четырёхзначное число, которое делится на 33 и состоит только из цифр 1 и 2. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

Решение:

Если число делится на 33 то оно делиться на 11 и 3. Число делится на 11, если сумма цифр стоящих на четных позициях будет равна сумме цифр на нечетных позициях. Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3.

Значит стоит чередовать 1 и 2 по 2 раза, причем если сложим 2 двойки и 2 единицы получим 6, значит, число будет делиться на 3. Получим число 1122.

Ответ: 1122

Задание №2

Найдите трёхзначное число, состоящее только из чётных цифр и кратное 9. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

Решение:

Если число должно делиться на 9, то и сумма цифр должна делиться на 9, наименьшее 9, но его нельзя представить как сумму 3 чётных цифр, рассмотрим 18, первой цифрой поставим 2 ( минимальное четное число), тогда на остальные 2 остается только 8 и 8, получим число 288.

Ответ: 288

Задание №3

Найдите трёхзначное число, которое при делении на 5 и 7 даёт равные ненулевые остатки, а вторая цифра этого числа равна сумме первой и третьей цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Число не должно оканчиваться на 0 или 5, так как в этом случае остаток от деления на 5 равен 0. Пусть вторая цифра в числе будет 4, тогда первая и третья цифры могут быть 1 и 3, получаем число 143. Проверяем:

  1. 143:5=28 (Остаток 3)
  2. 143:7=20 (Остаток 3)

Остатки равны, соответственно условие выполнено. Аналогичными рассуждениями можно найти и другие числа: 176; 352; 561.

Ответ: 176

Задание №4

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 7, если известно, что число содержит цифру 1, и квадрат этого числа делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Если квадрат числа делится на 25, то само число должно делиться на 5. Признак делимости на 5: число делиться на 5, если его последняя цифра 0 или 5. У нас трехзначное число, пусть последняя цифра будет 5, а первая 1, вторая цифра должна быть такой, чтобы сумма цифр была равна 7. Сумма цифр уже 6, то есть вторая цифра должна быть равна 1. Получим число 115.

Аналогичными рассуждениями можно получить числа 160 и 610.

Ответ: 115

Задание №5

Найдите четырёхзначное число, кратное 9, но не кратное 6, произведение цифр которого равно 1960. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число делилось на 9, но не делилось на 6, оно должно быть нечетным. Разложим 1960 на простые множители: 1960=2*2*2*5*7*7=8*5*7*7

Эти цифры обозначают числа, которые в сумме дают 27, значит число будет делиться на 9. Составим из этих цифр нечетное число, например: 7785. Аналогичными рассуждениями (простой перестановкой цифр) можно получить другие числа.

Ответ: 7785

Задание №6

Сумма четырёх последовательных трёхзначных чисел равна 458. Найдите третье число.

Решение:

Все 4 числа приблизительно равны между собой, поэтому разделив 458 на 4 получаем 114 с остатком 2. Начинаем подбирать числа от 114.

  • 114+115+116+117=462, это больше 458, начинаем считать от 113.
  • 113+114+115+116=458, получили необходимую сумму. Третье число в данной последовательности равно 115.

Можно было решить альтернативно.

Пусть первое число равно n. Тогда следующие числа n+1, n+2, n+3.

Составим и решим уравнение:

  • n+n+1+n+2+n+3=458
  • 4n=452
  • n=113

Тогда третье число 115.

Ответ: 115

Задание №7

Найдите трёхзначное число, у которого сумма цифр, стоящих на нечетных местах, кратна 5, а само число кратно 9. В ответе запишите наименьшее такое число.

Решение:

Так как число должно быть наименьшим, то будет подбирать цифры так, чтобы оно начиналось с минимальной цифры (1 и далее), и аналогично будем подбирать для всех разрядов.

Нечетные места это 1 и 3, чтобы сумма цифр на нечетных местах была кратна 5, она должна быть равна, 5, 10 или 15. Пусть она будет равна 5, в сумме 5 составляют числа 1 и 4. Тогда чтобы число делилось на 9 сумма цифр должна делиться на 9, то есть в нашем случае сумма цифр должна равняться 9. То есть, на 2 месте должна стоять цифра 4. Получим число 144.

Ответ: 144

Задание №8

Найдите трёхзначное число, делящееся на 9, если известно, что его цифры являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число делилось на 9, необходимо чтобы сумма его цифр делилась на 9. А, учитывая, что его цифры должны являться членами возрастающей арифметической прогрессии, каждая цифра должна отличаться от предыдущей на одно и то же число.

Если разность прогрессии равна 1, получаем a, a+1, a+2. Сумма равна 3a+3.

  • 3a+3=9,тогда a=2, а число 234
  • 3a+3=18,тогда a=5, а число 567

Если разность прогрессии равна 2, получаем a, a+2, a+4. Сумма равна 3a+6.

  • 3a+6=9,тогда a=1, а число 135
  • 3a+6=18,тогда a=4, а число 468
  • 3a+6=27, тогда а=7, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 3, получаем a, a+3, a+6. Сумма равна 3a+9.

  • 3a+9=9,тогда a=0, не подходит
  • 3a+9=18,тогда a=3, а число 369
  • 3a+9=27,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 4, получаем a, a+4, a+8. Сумма равна 3a+12.

  • 3a+12=18,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Ответ: 234 или 567, или 135, или 468, или 369.

Задание №9

Найдите четырёхзначное число, которое состоит только из цифр 0 и 2 и делится на 12.

Решение:

Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и 4. На 3 число делится, если сумма цифр делится на 3. А на 4 делится, если 2 последние цифры нули или образуют число, которое делится на 4.

Чтобы число делилось на 3, в нем должно быть три двойки (чтобы в сумме давали 6). Значит 0 только один, последние 2 цифры должны быть 20, чтобы полученное число делилось на 4. То есть получаем число 2220.

Ответ: 2220

Итак, мы подробно рассмотрели делимость чисел, признаки делимости чисел и поучились применять полученные знания в задании №19 базового уровня егэ по математике.

Источник: https://novstudent.ru/priznaki-delimosti/

Признаки делимости

Признаки делимости чисел сложно применять, поскольку их достаточно много. Зато знание таких признаков существенно экономит время, поскольку позволяет без деления узнать, делиться одно число на другое или нет. Разберемся в теме подробнее.

Признаки делимости позволяют просто и быстро определить, возможно ли полностью поделить одно число на другое. А делимость это и есть возможность поделить одно число на друге без остатка.

Признаки делимости удобнее изучать, разбив возможные делители на группы. Поступим так же и рассмотрим делимость на каждую из групп в отдельности. Эти числа в рассматриваемом вопросе сгруппированы, так как их признаки очень похожи друг на друга.

  • Число делится на 2 только если является четным.
  • Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4 или последние две цифры 00. Например, число 130 не делится на 4, так как 30 не делится на 4. А вот уже число 1400 можно поделить на 4.
  • Число делится на 8, если последние две цифры числа нули или делятся на 8
  • Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Рассмотрим число: 804. Оно делится на 3, поскольку сумма цифр 8+0+4=12 – делится на 3.
  • Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9. Признак похож на признак делимости на число 3. Интересно: Если число делится на 9, то оно делится и на 3. При этом, число, которое делится на 3 не всегда делится на 9.
  • Число делится на 5, если последняя цифра числа равняется 5 или нулю. Это наиболее известный признак делимости, наряду с делимостью на 2.
  • Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3, так как 2*3=6. Поэтому признак делимости на 6 это объединение признаков деления на 2 и на 3. То есть: число делится на 6, если оно четное и сумма всех его цифр делится на 3

Самые сложные в восприятии признаки делимости на 7 и на 11. Число делится на 7, если разность сумм четных цифр числа и нечетных цифр чисел делится на 7.

Приведем пример: число 469 делится на 7. Почему? Сумма цифр на нечетных позициях 4+9=13. Сумма чисел на четных позициях 6. Разность получившихся сумм: 13-6=7, а это число делится на 7. Поэтому все число 469 делится на 7

  • Число делится на 10 только если последней цифрой числа является 0

По тому же принципу определяют делимость числа на 100, 1000 и так далее. Если у числа два нуля на конце, то оно делится на 100, если три нуля на конце, число делится на 1000 и так далее.

Число делится на 11 только, если разность сумм четных и нечетных цифр числа делится на 11 или равняется нулю

Приведем пример:

Число 2035 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на четных позициях: 2+3=5. Сумма нечетных цифр: 0+5=5. Разность полученных выражений:5-5=0, значит число делится на 11.

Нельзя путать понятия четной позиции и четного числа. Цифра это знак, который используется для записи чисел. Число это набор цифр, каждая из которых стоит на своей позиции. В числе 127 всего три цифры. Цифра 1 стоит на первой позиции, цифра 2 на второй и так далее. На четной позиции находится цифра 2. На нечетных позициях цифры 1 и 7.

Чтобы быстрее запомнить все группы можно свести в таблицу признаков делимости чисел.

Признаки Запомни
Признак делимости на 2 Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 или является нулём.
Признак делимости на 4 Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 8 Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8.
Признак делимости на 3 Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3.
Признак делимости на 6 Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
Признак делимости на 9 Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.
Признак делимости на 5 Число делится на 5, если его последняя цифра 5 или 0.
Признак делимости на 25 Число делится на 25, если его две последние цифры нули или образуют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 10,100 и 1000.
  • 10 делятся нацело только те числа, последняя цифра которых нуль.
  • На 100 делятся нацело только те числа, две последние цифры которых нули.
  • На 1000 делятся нацело только те числа, три последние цифры нули.
Признак делимости на 11 Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.

Мы поговорили о признаках делимости. Расписали все существующие признаки по группам. В особо сложных ситуациях привели примеры.

Источник: https://obrazovaka.ru/matematika/priznaki-delimosti-tablica-s-primerami.html

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел:

  • Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8). Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
  • Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3. Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
  • Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4. Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
  • Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5. Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
  • Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3. Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
  • Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8. Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
  • Признак делимости числа на «9» Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9. Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
  • Признак делимости числа на «10» Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0. Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
  • Признак делимости числа на «11» Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11. Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
  • Признак делимости числа на «25» Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75. Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Признаки делимости на составное число

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители, признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа — это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.

Источник: http://worksbase.ru/matematika/teoriya/5-priznaki-delimosti-chisel.html

Признаки делимости натуральных чисел

Сегодня я хочу поговорить с вами об одном важном инструменте математики. Признаки делимости натуральных чисел – один из полезных навыков для быстрого счета.

Признак делимости на 2

Число делится на два, если оно четное (оканчивается на ноль или четное число – 2,4,6,8).

Например: 172 делится на 2, т.к. оканчивается на цифру 2 (четное число); 436 делится на 2, т.к. оканчивается на цифру 6 (четное число);  39587268 делится на 2,  т.к. оканчивается на цифру 8 (четное число).

Признак делимости на 3

Число делится на три, если сумма его цифр делится на три.

Например: 171 делится на 3, т.к. 1+7+1=9, а 9 делится на 3; 45132 делится на 3, т.к. 4+5+1+3+2=15, а 15 делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на четыре, если две его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4.

Например: 144 делится на 4, т.к. оканчивается на цифру 44, а 44:4=11 ; 6724 делится на 4, т.к. оканчивается на цифру 24, а 24:4=6.

Признак делимости на 5

Число делится на пять, если оно оканчивается на 0 или 5.

Например: 135 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 5; 1760 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 0; 93416295 делится на 5, т.к. оканчивается на цифру 5.

Признак делимости на 6

Число делится на шесть, если оно делится и на 2, и на 3 одновременно (т.е. оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Например: 252 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 2 и сумма его цифр 2+5+2=9 делится на 3; 4512 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 2 и сумма его цифр 4+5+1+2=12 делится на 3; 94834578 делится на 6, т.к. оканчивается на четную цифру 8 и сумма его цифр 9+4+8+3+4+5+7+8=48 делится на 3.

Признак делимости на 7

  • Число делится на 7, если утроенное число его десятков, сложенное с цифрой его единиц, делится на 7.

Например:  84 делится на 7, т.к. 8*3+4=28, а 28 делится на 7; 182 делится на 7, т.к. 18*3+2=56, а 56 делится на 7.

  • Число делится на 7, если  разность удвоения единицы числа и оставшегося числа делится на 7.

Например:  448 делится на 7, т.к. 44-8*2=28, а 28 делится на 7; 658 делится на 7, т.к. 65-8*2=49, а 49 делится на 7.

Признак делимости на 8

  • Число делится на 8, если три его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 8.

Например: 45000 делится на 8, т.к. оканчивается на три нуля; 2136 делится на 8, т.к. 136:8=17.

  • Трёхзначное число делится на 8, если цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой десятков и учетверённой цифрой сотен, делится на 8.

Например: 136 делится на 8, т.к. 6+2*3+4*1=16, а 16 делится на 8; 872 делится на 8, т.к. 2+7*2+8*4=48, а 48 делится на 8.

Признак делимости на 9

  • Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Например: 459 делится на 9, т.к. 4+5+9=18 делится на 9; 123534 делится на 9, т.к. 1+2+3+5+3+4=18 делится на 9.

Признак делимости на 10

  • Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.

Например: 350 делится на 10, т.к. оканчивается на 0; 200 делится на 10, т.к. оканчивается на 0.

Признак делимости на 11

  • Число делится на 11, если группы, образующие по две цифры (начиная с единиц) делятся на 11.

Например: 121 делится на 11, т.к. 01+21=22, а 22 делится на 11; 627 делится на 11, т.к. 06+27=33, а 33 делится на 11; 1859 делится на 11, т.к. 18+59=77, а 77 делится на 11.

Признак делимости на 25

  • Число делится на 25, если две его последние цифры нули или составляют число, которое делится на 25.

Например: 3450 делится на 25, т.к. оканчивается на 50, которое делится на 25; 78475 делится на 25, т.к. оканчивается на 75, которое делится на 25; 4568100 делится на 25, т.к. оканчивается двумя нулями.

Источник: https://mathlove.ru/priznaki-delimosti-chisel.html

Источник

Содержание

  • Таблица признаков делимости чисел
  • Доказательство признаков делимости чисел
    • Признаки делимости по последним цифрам [2, 4, 5, 8, 10, 25]
    • Признаки делимости по сумме цифр [3, 9, 11]
    • Признаки делимости по сумме граней [7, 11, 13, 37]

Признаки делимости — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении задач ЕГЭ, особенно задания С6.

Таблица признаков делимости чисел

 Число n  Число a делится на число n тогда и только тогда, когда
 2  Последняя цифра числа a делится на 2
 3  Сумма цифр числа a делится на 3
 4  Число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4
 5  Число a оканчивается цифрой 0 или 5
 6  Число a делится на 2 и на 3
 7  Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* числа a делится на 7
 8  Число, составленное из трёх последних цифр числа a, делится на 8
 9  Сумма цифр числа a делится на 9
 10  Число a оканчивается цифрой 0
 11  Знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11
 12  Число a делится на 3 и на 4
 13  Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* a делится на 13
 25  Число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25

*Грани числа – числа, полученные при разбиении исходного числа на двузначные или трёхзначные числа, взятые справа налево. Например, разбиение числа 1234567 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67, а на трёхзначные так: 1|234|567.

Признаки делимости чисел и их доказательство

Пусть натуральное число имеет десятичную запись

    [overline{a_{n} a_{n-1}ldots a_{2}a_{1}a_0} = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + ldots + 10^2 a_2 + 10a_1 + a_0, ]

где a_n, a_{n-1},ldots , a_2, a_1, a_0 — цифры этого числа, 0 leq a_i leq 9.

Разобьём признаки делимости на три группы. Доказательства признаков делимости в каждой группе основаны на одной и той же идее.

Признаки делимости по последним цифрам

Доказательство этих признаков основано на одной и той же идее. Приведём её на примере признака делимости на 25. Распишем число так:

    [overline{a_{n} a_{n-1}ldots a_{2}a_{1}a_0} = overline{a_{n} a_{n-1}ldots 00} + overline{a_{1} a_{0}} = 100overline{a_{n} a_{n-1}ldots a_{2}} + overline{a_{1} a_{0}}.]

Число 100 делится на 25, поэтому если число overline{a_{1} a_{0}} делится на 25, то и overline{a_{n} a_{n-1}ldots a_{2}a_{1}a_0} делится на 25. Заметим, что обратное утверждение тоже верно.

Признаки делимости по сумме цифр

Докажем признаки делимости на 3 и 9.

    [overline{a_{n} a_{n-1}ldots a_{2}a_{1}a_0}=10^n a_n+ 10^{n-1} a_{n-1} + ldots + 10^2 a_2 + 10a_1 + a_0=]

    [=left(underbrace{99ldots 9}_n a_n + underbrace{99ldots 9}_{n-1} a_{n-1} + ldots + 99a_2+9a_1right) + ]

    [+left(a_n + a_{n-1} + ldots + a_2 + a_1 + a_0right)=]

    [=9cdotleft(underbrace{11ldots 1}_n a_n + underbrace{11ldots 1}_{n-1} a_{n-1} + ldots + 11a_2+a_1right) + ]

    [+left(a_n + a_{n-1} + ldots + a_2 + a_1 + a_0right).]

Выражение под первыми скобками делится на 9. Поэтому число overline{a_{n} a_{n-1}ldots a_{2}a_{1}a_0} делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда число a_n + a_{n-1} + ldots + a_2 + a_1 + a_0 делится на 3 или 9 соответственно.

Докажем признак делимости на 11. Для этого прежде заметим, что все числа вида 10^{2n-1} + 1, то есть числа 11, 1001, 100001 и т.д., делятся на 11. Покажем это на примере числа 100001:

    [100001 = 99990 + 11=99000 + 990 + 11=11cdot(9000+90+1).]

Число overline{a_n a_{n-1}ldots a_2a_1a_0} распишем следующим образом:

    [overline{a_n a_{n-1}ldots a_2a_1a_0}=a_0 + left(11a_1-a_1right)+ left(99a_2+a_2right)+ left(1001a_3-a_3right)+ldots=]

    [= left(11a_1+99a_2 + 1001a_3 + ldotsright) + left(a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ldotsright).]

Все слагаемые в первых скобках делятся на 11, поэтому число a делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится знакопеременная сумма цифр числа a.

Признаки делимости по сумме граней

Введём следующее определение.

Определение.

Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.

Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

Перейдём к признакам делимости.

 Если  то a делится на
 Сумма двузначных граней делится на 11  11
 Сумма трёхзначных граней делится на 37  37
 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней делится на 7, 11, 13  7, 11, 13 соответственно
Докажем признак делимости на 11 по сумме двузначных граней

    [overline{a_n a_{n-1}ldots a_2a_1a_0}= overline{a_1a_0}+100 overline{a_3a_2} + 10000overline{a_6a_5}+ldots=]

    [=left(99overline{a_3a_2} + 9999overline{a_6a_5} + ldots right) + left(overline{a_1a_0} + overline{a_3a_2} + overline{a_6a_5} + ldotsright). ]

В левых скобках все числа делятся на 11, поэтому число a делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11.

Остальные признаки доказываются аналогично.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

  • Признак делимости на 2

  • Признак делимости на 3

  • Признак делимости на 4

  • Признак делимости на 5

  • Признак делимости на 6

  • Признак делимости на 7

  • Признак делимости на 8

  • Признак делимости на 9

  • Признак делимости на 10

  • Признак делимости на 11

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

  • 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
  • 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

  • 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
  • 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
  • 614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3 (11:3=32/3).

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Примеры:

  • 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
  • 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а 11:4=23/4.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примеры:

  • 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
  • 5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

  • в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
  • в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

  • 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
  • 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

  • 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
  • 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
  • 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Примеры:

  • 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
  • 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
  • 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
  • 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Примеры:

  • 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
  • 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а 36:8=41/2.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Примеры:

  • 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
  • 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

  • 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
  • 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а 12:9=11/3.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

  • 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
  • 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

  • 737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
  • 1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
  • 24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.
Источник

Like this post? Please share to your friends:
  • Признаки девиантного поведения обществознание егэ
  • Признаки гуманизации образования егэ
  • Признавать свои ошибки это сочинение
  • Признаки гражданства егэ
  • Признавать природа серьезный егэ