Признаки делимости на егэ по математике

Памятка

Признаки делимости — особенности
чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое.
Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме
того, умение пользоваться признаками делимости часто пригождается при решении
задач ЕГЭ.

Таблица признаков
делимости чисел

Число n	Число а делится на число n тогда и только тогда, когда
2	Последняя цифра числа а делится на 2
3	Сумма цифр числа а делится на 3
4	Число, составленное из двух последних цифр числа а делится на 4
5	Число а оканчивается цифрой 0 или 5
6	Число а делится на 2 и на 3
7	Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* числа а делится на 7
8	Число, составленное из трёх последних цифр числа а, делится на 8
9	Сумма цифр числа а делится на 9
10	Число а оканчивается цифрой 0
11	Знакочередующаяся сумма цифр числа а делится на 11
12	Число а делится на 3 и на 4
13	Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* а делится на 13
25	Число, составленное из двух последних цифр числа а, делится на 25

Определение.

Двузначные грани числа —
это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа.
Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так:
1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89
являются двузначными гранями числа 123456789.

Трёхзначные грани числа —
это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные
числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит
так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа
1234567890.

Признаки
делимости на 2

Признак делимости на 2: число
делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях — не
делится.

Пример:, число 52
738 делится на 2, так как последняя цифра 8 — четная;

7691 не делится
на 2, так как 1 — цифра нечетная;

1250 делится на
2, так как последняя цифра нуль.

Признаки
делимости на 3

Признак делимости на 3: Число
делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр
делится на 3.

Пример:

75 — делится
на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

471 — делится
на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

532 — не
делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3.

Признаки
делимости на 4

Признак
делимости на 4: число n делится на 4
тогда, когда число, составленное из двух последних цифр числа n, делится
на 4.

Пример:
определить, делятся ли на 4 числа а) 216 б) 530232 в) 1102.

Решение: а) 216.
«Отрезаем» две последние цифры от числа 216 — получаем число 16. Так как 16 делится
на 4, то и 216 делится на 4. Ответ: делится.

б) 530 232. Составляем число из двух последних цифр
числа 530 232 — получаем число 32, которое делится на 4. Следовательно, число
530 232 делится на 4.  Ответ: делится.

в) 1102. Составляем число из двух последних цифр этого
числа — получаем число 2. Число 2 на 4 не делится, поэтому и число 1102 не
делится на 4.  Ответ: не делится.

Признаки
делимости на 5

Признак делимости
на 5:
число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она
0 или 5.

Пример:

375, 5680,
233575
— делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5;

9634, 452,
389753
— не делятся на 5, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.

Признаки
делимости на 6

Признак делимости
на 6:
 число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3,
то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Пример:

462 — делятся
на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2
делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа
делится на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);

3456 — делятся
на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6
делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа
делится на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);

24642 — делятся
на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2
делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа
делится на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);

861 — не
делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2;

3458 — не
делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 3;

34681 — не
делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2.

Признаки
делимости на 7

Признак делимости
на 7:  число
делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из
этого числа без последней цифры делится на 7

Пример:

343 делится
на 7, так как 34-(2·3)=34-6=28 делится на 7;

259 делится на
7, так как 25-(2·9)=7 делится на 7

Признаки
делимости на 9

Признак делимости на 9:  число
делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Пример:

468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять
(4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);

861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять
(8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Признаки
делимости на 10

Признак делимости
на 10:  число
делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нуль.

Пример:

460,
24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих
чисел равна нулю;

234,
25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра
этих чисел не равна нулю.

Признаки
делимости на 11

Всего существует три важных
признака делимости на 11.

1-й
признак делимости на 11: число делится на 11, если
знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11.

Пример:
проверить, делятся ли на 11 числа а) 1234321 б) 10101.

Решение: а) 1234321.
Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 =
0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11. Если не верите —
возьмите калькулятор и проверьте! Вообще говоря, многие красивые числа делятся
на 11. Ответ: делится.

б) 10101.
Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 0 + 1 − 0 + 1 = 3.
Число 3 на 11 не делится, поэтому 10101 не делится на 11. Ответ: не
делится.

2-й
признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма его
двузначных граней делится на 11.

3-й
признак делимости на 11: число делится на 11, если
знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 11.

Пример:
проверить, делится ли на 11 число 1002001.

Решение: а)
применим 2-й признак делимости на 11. Сумма двузначных граней числа
1002001 равна 1 + 20 + 0 + 1 = 22. Число 22 делится на 11, поэтому 1002001
делится на 11.

б) применим 3-й
признак делимости на 11. Разбиваем число 1002001 на трёхзначные грани:
1|002|001. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11.
Поэтому 1002001 делится на 11.

Ответ: делится.

Признаки
делимости на 13

Число делится на 13 тогда, когда
число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13
(например, 104 делится на 13, так как 10+(4·4)=10+16=26 делится на 13; 832
делится на 13, так как 83+(4·2)=83+8=91 делится на 13).

Признаки
делимости на 25

Признак
делимости на 25: число n делится на 25
тогда, когда число, составленное из двух последних цифр числа n, делится
на 25. То есть число делится на 25, если оно оканчивается цифрами 00, 25, 50
или 75.

Например, число 775 делится на 25,
а число 1105 — не делится.

Признаки делимости – это особенности чисел, которые позволяют сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Знание этих признаков может пригодиться при решении различных номеров из ЕГЭ по профильной математике.

Признак делимости на 2: если последняя цифра числа является чётной, то число делится на 2.

758476:2= 379238

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

6255:3=2085 (поскольку 6+2+5+5=18, 18:3=6)

Признак делимости на 4: число делится на 4, если две его последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 4.

300:4=75

5016:4=1254

Признак делимости на 5: число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.

550:5=110

555:5=111

Признак делимости на 6: на 6 делятся те числа, которые могут одновременно делиться на 2 и на 3.

198:6=33 (поскольку 198:2=99 и 198:3=66)

Признак делимости на 8: число делится на 8, если три его последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8.

111000:8=13875

45240:8=5655 (поскольку 240 делится на

Признак делимости на 9: число делится а 9, если сумма его цифр делится на 9.

333:9=37 (поскольку 3+3+3=9, 9:9=1)

Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

150:10=15

Признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

572:11=52 (поскольку 5+2=7)

759:11=69 (поскольку 7+9=16, 16-5=11)

Признак делимости на 12: число делится на 12, если оно одновременно делится на 3 и на 4.

744:12=62 (поскольку 744:3=248 и 744:4=186)

Признак делимости на 25: число делится на 25, если две его последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 25.

200:25=8

575:25=23

Задачи повышенной сложности

Числовые множества

1. Натуральные числа – числа, которые мы используем для счета предметов, счёт начинается с единицы, поэтому ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается $N$.

2. Целые числа – это ноль и «плюс – минус натуральные числа». Множество целых чисел обозначается $Z$.

3. Рациональные числа – это всевозможные дроби ${m}/{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ – натуральное число, т.е. $n≠0$. Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

Делимость

Число $а$ делится на число $с≠0$, если найдется такое число $b$, что $a=c·b$.

Если число $а$ делится на $с$, то число с называется делителем числа $а$.

Если числа $а$ и $b$ делятся на $с$, то их сумма $а + b$ тоже делится на $с$.

Признаки делимости:

Признак делимости на $2$

Число делится на $2$ тогда и только тогда, когда его последняя цифра ноль или делится на $2$, то есть является чётной.

Признак делимости на $3$

Число делится на $3$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на $4$

Число делится на $4$ тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на $4$.

Признак делимости на $5$

Число делится на $5$ тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на $5$ (то есть равна $0$ или $5$).

Признак делимости на $6$

Число делится на $6$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $3$.

Признак делимости на $7$

Число делится на $7$ тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на $7$ (например, $217$ делится на $7$, так как $21 — (2 · 7) = 7$ делится на $7$).

Признак делимости на $8$

Число делится на $8$ тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на $8$.

Признак делимости на $9$

Число делится на $9$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $9$.

Признак делимости на $10$

Число делится на $10$ тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на $11$

Число делится на $11$ тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на $11$ (то есть $182919$ делится на $11$, так как $1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22$ делится на $11$). Следствие факта, что все числа вида $10^n$ при делении на $11$ дают в остатке $(-1)^n$.

Признак делимости на $12$

Число делится на $12$ тогда и только тогда, когда оно делится на $3$ и на $4$.

Признак делимости на $13$

Число делится на $13$ тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно $13$ (например, $949$ делится на $13$, так как $94 + (4 · 9) = 130$ делится на $13$).

Признак делимости на $14$

Число делится на $14$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $7$.

Признак делимости на $15$

Число делится на $15$ тогда и только тогда, когда оно делится на $3$ и на $5.$

Признак делимости на $17$

Число делится на $17$ тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно $17.$

Признак делимости на $19$

Число делится на $19$ тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно $19$ (например, $646$ делится на $19$, так как $64 + (6 · 2) = 76$ делится на $19$).

Четность и нечетность чисел

1. Число называется четным, если оно делится нацело на $2$. Если $а$ четное число, то его вид можно записать $a=2n$.
2. Число называется нечетным, если оно не делится нацело на $2$. Если $а$ нечетное число, то его вид можно записать $a=2n+1$.
3. Сумма любого количества четных слагаемых четна.
4. Сумма четного количества нечетных слагаемых – четное число.
5. Сумма нечетного количества нечетных слагаемых – нечетное число.
6. Если в произведении все множители нечетные числа, то произведение – нечетное число.
7. Если в произведении попадется хотя бы одно четное число, то в результате умножения получится четное число.

Простые и взаимно простые числа

Простые числа – это целые числа, большие единицы, которые имеют только два положительных делителя, а именно самих себя и $1$.

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих делителей, кроме единицы. Например, числа $15$ и $4$ взаимно просты, так как их общий делитель равен $1$.

Свойства взаимно простых чисел.

Пусть $а$ и $b$ – взаимно простые числа, тогда для них справедливы следующие высказывания.

1. Если некоторое число делится на $а$ и $b$, то оно делится и на их произведение $аb$.
2. Если произведение $ас$ делится на $b$, то с делится на $b$.
3. Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то их сумма $(а + b)$ и произведение $(а·b)$ так же являются взаимно простыми числами.
4. Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то НОД (наименьший общий делитель) из суммы $(а + b)$ или разности ($а — b$) равен $1$ или $2$.
5. Любые два последовательных натуральных числа взаимно просты.
6. Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то НОД $(а + b$ или $a^2-ab+b^2)$ равен $1$ или $3$.

Числовые свойства степеней

1. Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами $2, 3, 7, 8,$ а также нечётным количеством нулей.
2. Квадрат натурального числа либо делится на $4$, либо при делении на $8$ даёт остаток $1$.
3. Квадрат натурального числа либо делится на $9$, либо при делении на $3$ даёт остаток $1$.
4. Разность квадратов двух целых чисел одинаковой четности делится на $4$.
5. При делении на $3$ куб целого числа и само число дают одинаковые остатки $(0,1,2)$.
6. При делении на $9$ куб целого числа дает в остатке $0,1$ или $8$.
7. При делении на $4$ куб целого числа дает в остатке $0,1$ или $3$.
8. Число $m^5$ оканчивается на ту же цифру, что и число $m$.

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое нескольких величин — это отношение суммы величин к их количеству.

Чтобы вычислить среднее арифметическое нескольких чисел, нужно взять сумму этих чисел и разделить все на количество слагаемых. Частное и будет средним арифметическим этих чисел.

Среднее геометрическое чисел

Чтобы найти среднее геометрическое чисел надо:

1. Перемножить все числа
2. Из полученного выражения в п.1 надо извлечь корень, степени, равной количеству элементов ряда.

Факториал

Факториал числа — это произведение натуральных чисел от $1$ до самого числа (включая данное число). Обозначается знаком (!).

$n!=1·2·3·….·n$

Факториал нуля равен единице $0!=1$

Последовательности

Последовательность чисел – это набор чисел, в котором каждому числу можно присвоить некоторый номер, причем каждому номеру соответствует единственное число данного набора. Номер числа – это всегда натуральное число, нумерация номеров начинается с единицы. Число с номером $n$ (то есть $n$ — ый член последовательности) обычно обозначается $a_n$.

Большинство последовательностей можно задать аналитическим способом.

Последовательность задана аналитически, если указана формула ее $n$ – го члена. Например, $a_n=4n+3$. В данной формуле указав конкретное число $n$, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если номер $n=5$, то подставим $5$ в формулу последовательности, получим числовое выражение, вычислив которое получим член последовательности с соответствующим номером. $a_5=4·5+3=23$

Прогрессии

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

$а_1$ — первый член арифметической прогрессии

$d$ — разность между последующим и предыдущим членом прогрессии

$d=a_(n+1)-a_n$

$a_n$ — член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте

$n$ — номер места для членов арифметической прогрессии

$S_n$ — сумма первых n членов арифметической прогрессии

Формула, для нахождения n-ого члена прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={(a_1+a_n)·n}/{2}$

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

$b_1$ — первый член геометрической прогрессии

$q$ — знаменатель геометрической прогрессии, показывает во сколько раз последующее число больше предыдущего.

$q={b_{n+1}}/{b_n}$

$b_n$ — $n$-ый член геометрической прогрессии

$S_n$ — сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии

Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$b_n=b_1·q^{n-1}$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={b_1·(q^n-1)}/{q-1},q≠1$

Слайд 1

Числа и их свойства Базовый уровень Задание №19

Слайд 2

№1. Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50 Произведение цифр кратно 5, а значит равно 45 Пусть число имеет вид abcd 40 < a b c <50 Так как число кратно 15, значит кратно 3 и кратно 5 Последняя цифра : d = 0 или d = 5 d = 0 не подходит, иначе произведение цифр =0 a b c a b c =1 3 х 1 0 х В 19 5 1 3 3

Слайд 3

№2.Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число было кратно 35 Вычеркиваем цифру 6, цифру 5 оставляем Т.к. число кратно 35, то кратно 5, оканчивается либо 0, либо 5 Выполним подбор 35·3=105 35·5=175 35·7=245 Вычеркнем цифры 1 и 3 3 х 1 0 х В 19 4 5 2

Слайд 4

№3. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число было кратно 27 Проверим какое из чисел 126 и 135 кратно 27 3 х 1 0 х В 11 5 3 1 Т.к. число кратно 27, то кратно 9, Сумма цифр кратна 9 1+2+6=9 1+3+5=9 не кратно 27 135 кратно 27

Слайд 5

№4. Найдите наименьшее трехзначное число. Которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5 дает остаток 4 и которое записано тремя различными нечетными цифрами Любое нечетное число при делении на 2 даст в остатке 1. Искомое число может состоять из: Суммы цифр 1+5+9=15, 5+7+9=21 исключаем, как кратные 3 1+3+9 =13 13 – 2 =11 1+9+7 = 17 17-2=15 3+5+9=17 17-2=15 Группа цифр 1,3,9 также исключается 1, 3,5 1,3,7 1, 3,9 1,5,7 1, 5,9 1,9,7 3, 5,9 3,5,7 5,7,9 Числа, которые при делении на 5 дают в остатке 4, оканчиваются либо на 9, либо на 4, но 4 — четное Рассмотрим числа 179, 359, 719, 539 Наименьшее: 179 3 х 1 0 х В 19 7 9 1

Слайд 6

№5. Найдите наибольшее пятизначное число, которое записывается только цифрами 0, 5 и 7 и делится на 120 Искомое число оканчивается 0. 3 х 1 0 х В 11 5 0 0 0 7 Т.к число делится на 4, то две последние цифры 0. Т .к. число кратно 3, значит сумма цифр кратна 3 7+5+0+0+0 =12 кратно 3

Слайд 7

№6. Найдите четырёхзначное число, кратное 4 , сумма цифр которого равна их произведению Так как а bcd (10с+ d ) и d — четное Пусть число – а bcd , тогда а+ b + c + d = a·b·c·d Среди цифр a , b , с и d Не может быть трех единиц, 1+1+1+ d = d –равенство невозможно Среди цифр a , b , с и d нет нулей иначе произведение равно 0 Среди цифр a , b , с и d Не может быть только одна единица, 1+ b + c + d = b·c·d –равенство невозможно

Слайд 8

Рассмотрим двузначные числа кратные 4: 12; 16; 24 №6Найдите четырёхзначное число, кратное 4, сумма цифр которого равна их произведению Среди цифр a , b , с и d д ве единицы 1+с+1+2=1 ·с·1·2 Из 1 равенства с+4=2с, значит с=4 1+с+1+6=1 ·с·1·6 1+1+2+4=1 ·1·2·4 Из 2 равенства с+8=6с, с – дробное, чего быть не может 3-е равенство верное Искомые числа: 4112, 1412, 1124

Слайд 9

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число. Число кратно 72, значит кратно 9 и кратно 4 и 8 Сумма цифр кратна 9, значит в записи должны быть три двойки и три единицы, т.к. 1+1+1+2+2+2=9 кратно 9 Число из двух последних цифр делится на 4 , значит это 12 Число из трех последних цифр делится на 8 , значит это 112 122112 – одно из чисел 3 х 1 0 х В 19 2 2 1 1 2 1

Слайд 10

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2457. Приведите пример такого числа. Пусть а bcd – dcba =2457 3 х 1 0 х В 19 4 0 8 5 d= 0 или d =5, т.к. число кратно 5 d =0 – не подходит, иначе второе число трехзначное а bc 5 – 5 cba =2457 а=8 8 bc 5 – 5 cb 8=2457 с =0; b =4

Слайд 11

Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Т.к. число кратно 15, то кратно 5 и 3, значит окачивается либо на 5, либо на 0, и сумма цифр кратна 3 Вычеркнем последние две цифры, тогда число оканчивается цифрой 0 5+3+1+6++4+0= 19 . Можно вычеркнуть либо 1, либо 4 3 х 1 0 х В 19 3 0 4 0 5 6

Слайд 12

Автор шаблона презентации: Ермолаева И.А. Название сайта: http://www.nsportal.ru/ermolaeva-irina-alekseevna Для шаблона использовались http://lake.k12.fl.us/cms/cwp/view.asp?A=3&Q=427619

Методическая разработка

Подготовка к ЕГЭ (базовый уровень).
Задачи на признаки делимости

Лобанова Галина Павловна,
учитель математики, методист
ГБОУ СПО «СПб УОР №2 (техникум)»

С этого учебного года в ЕГЭ по математике входят задания на признаки делимости. В связи с тем, что в программе 10 и 11 классов нет задач на эту тему,  и материал изучался давно, необходимо выделить время на повторение признаков делимости и решение типовых задач, предлагаемых в экзаменационных вариантах.

Ученики хорошо помнят признаки делимости на 2, на 5.

Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа 0, 2, 4, 6 или 8.

Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа 0 или 5.

Признаки деления на 3 и на 9 необходимо напомнить.

На 3 или на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9.

Признаки делимости на 4, на 8, на 11 и на 25 практически никто не помнит. Их необходимо записать в тетрадях и показать на примерах, как их можно применять при выполнении различных упражнений.

На 4 или 25 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4 или 25.

Например, число 12675 делится на 25, но не делится на 4; число 5510224 делится на 4, но не делится на 25.

1. В число  4 587 94*  вставьте вместо звездочки цифру так, чтобы число делилось на 4.
2. В число  124 587 9 * *  вставьте вместо звездочек цифры так, чтобы число делилось а) на 4 и на 5; в) на 4 и на 25; с) на 25 и на 3.

Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три его цифры образуют число, делящееся на 8.

1. Из чисел 654560, 54326, 6440, 441216, 567487, 456700.456032 выпишите числа, кратные 8
2. Выпиши все натуральные числа, которые делятся на 8 и расположены между числами 125 100 и 125 120.

Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

Например: число 120 340 528 делится на 11, т.к. 1+0+4+5+8=18, 2+3+0+2=7, а 18-7=11 и 11 делится на 11.

В числа  7 405 *31, 8683*5, 1*8556  вставьте вместо звездочки цифру так, чтобы число делилось на 11.

Для решения заданий, предлагаемых в вариантах ЕГЭ базового уровня необходимо разобрать общий признак делимости на составное число: Пусть a – составное число, являющееся произведением двух взаимно простых чисел b и с: а = bс. Тогда число n делится на а тогда и только тогда, когда n делится и на b, и на с.

Отсюда следует, что на 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 4 (но не на 2 и на 6, так как 2 и 6 не взаимно простые числа).

Примеры заданий на признаки делимости чисел из вариантов, представленных на различных сайтах.

1. Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 24624
2. Вычеркните в числе 191284734 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 191844
3. Вычеркните в числе 51488704 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 54870
4. Вычеркните в числе 58521304 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 58530
5. Вычеркните в числе 58521314 две цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 585211
6. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 5112
7. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 25, но меньше 30. В ответе укажите ровно одно такое число.  Ответ:  7212
8. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 4215
9. Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ:  132
10. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ:221112 (Применить признаки делимости на 9 и на
11. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ:202200 (Применить признаки делимости на 4 и на
12. Приведите пример трёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 6; 2) сумма цифр числа А+3 также делится на 6; 3) число А больше 350 и меньше 400. В ответе укажите ровно одно такое число.  Ответ: 369
13. Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 8; 2) сумма цифр числа А+2 также делится на 8; 3) число А меньше 3000. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 2499