Пробный егэ по математике профиль 2022 декабрь

Вариант и ответы с пробника ЕГЭ 2023 по математике профиль, который прошёл 3 декабря 2022 года у 11 класса школьников Москвы. Единая городская контрольная работа в формате ЕГЭ по математике профильный уровень.

скачать вариант №1

скачать вариант №2

пробник-егэ2023-профиль-математика

Видео разбор заданий варианта ЕГЭ

1. Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐶 и боковой стороной длины 7. Точка 𝐾 на стороне 𝐵𝐶 такая, что 𝐾𝐶 = 3, 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 14. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐾.

2. Имеется банка в форме цилиндра. Из неё перелили сок в 40 цилиндрических стаканов. Диаметр одного стакана в 4 раза меньше диаметра банки. При этом уровень сока в каждом стакане оказался 8 см. Какой была высота уровня сока в банке? Ответ дайте в сантиметрах.

3. В сборнике 4 билета по теме «Механические колебания». Вероятность того, что ученику попадётся билет не по данной теме равна 0,9. Сколько всего билетов в сборнике?

4. Стрелок стреляет по мишеням 5 раз. Вероятность попадания каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события, что стрелок попадёт в цель 4 раза больше вероятности события, что он попадёт в цель 3 раза?

5. Найдите корень уравнения √3 34 − 3𝑥 = 4.

8. Полная энергия падающего тела вычисляется по формуле 𝐸пол = 𝑚𝑣2 2 +𝑚𝑔ℎ. С какой скоростью двигалось тело массой 3 кг в момент, когда оно находилось на высоте 1,5 м, если его полная энергия в этот момент составляла 68,1 Дж? Ускорение свободного падения 𝑔 = 9,8 м/c2 .

9. Из двух городов, расстояние между которыми 720 км, выехали навстречу друг другу два поезда. Второй поезд выехал на час позже первого и едет со скоростью на 4 км/ч больше скорости первого. Поезда встретились ровно в середине пути. Найдите скорость первого поезда.

10. Дан график 𝑓(𝑥) = ⃒ ⃒𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ⃒ ⃒ , где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – целые числа. Найдите 𝑓(4).

13. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 на ребре 𝐴𝐴1 отмечена точка 𝐸 так, что 𝐴1𝐸 : 𝐸𝐴 = 3 : 2. Точка 𝑇 — середина ребра 𝐵1𝐶1, 𝐴𝐴1 = 10 и 𝐴𝐷 = 6. а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью 𝐸𝑇 𝐷1 – равнобедренная трапеция. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью 𝐸𝑇 𝐷1, если 𝐴𝐵 = 2√ 10.

15. В банке можно открыть один из двух вкладов. По вкладу А в конце каждого из трёх лет начисляется по 20% от суммы вклада в начале года. По вкладу Б в конце каждого из первых двух лет начисляется по 22% от суммы вклада в начале года. При каком наименьшем целом количестве начисляемых за третий год процентов по вкладу Б, вклад Б будет выгоднее вклада А?

16. Дан прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Квадрат 𝐶𝐾𝑁𝑀, такой, что точки 𝐾 и 𝑀 лежат на катетах 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 соответственно, а 𝑁 лежит на гипотенузе 𝐴𝐵. Квадрат 𝑃 𝑄𝑅𝑇 такой, что вершины 𝑃 и 𝑄 лежат на 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶, а вершины 𝑇 и 𝑅 лежат на гипотенузе. а) Докажите, что точки 𝐶, 𝑁 и центры квадратов лежат на одной прямой. б) Найти сторону квадрата 𝑃 𝑄𝑅𝑇, если 𝐴𝐶 = 12 и 𝐵𝐶 = 5.

17. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство 𝑎(𝑎 − 7,5) − 2(𝑎 − 7,5) (2𝑥 + 2) 6 (︀ 2𝑥 2 − 3𝑥 )︀ (2𝑥 + 2) − 𝑎𝑥2 + 1,5𝑎𝑥 имеет хотя бы 1 решение на промежутке [−1; 0).

18. Пусть {𝑎𝑛} – последовательность натуральных чисел. Обозначим 𝑀<𝐶(𝑎𝑛) – среднее арифметическое всех членов последовательности {𝑎𝑛}, которые меньше некоторого числа 𝐶. Число 𝐶 лежит между наибольшим и наименьшим членами последовательности. Обозначим 𝑀>𝐶(𝑎𝑛) – среднее арифметическое всех членов последовательности {𝑎𝑛}, которые больше или равны 𝐶. Среднее арифметическое одного числа равно самому числу. Затем к каждому члену последовательности {𝑎𝑛} прибавили 4 и получили новую последовательность, которую обозначили {𝑎𝑛 + 4}.

• a) Существует ли последовательность {𝑎𝑛}, состоящая из трех членов, для которой 𝑀<79 (𝑎𝑛 + 4) < 𝑀<79 (𝑎𝑛)?
• б) Существует ли последовательность {𝑎𝑛}, состоящая из трех членов, для которой 𝑀<79 (𝑎𝑛 + 4) < 𝑀<79 (𝑎𝑛) и 𝑀>79 (𝑎𝑛 + 4) < 𝑀>79 (𝑎𝑛)?
• в) Известно, что среднее арифметическое всех членов последовательности {𝑎𝑛} равняется 84, 𝑀>79 (𝑎𝑎) = 94, 𝑀<79 (𝑎𝑛) = 70, 𝑀>79 (𝑎𝑛 + 4) = 96 и 𝑀<79 (𝑎𝑛 + 4) = 72. Какое наименьшее число членов может быть в последовательности {𝑎𝑛} ?

2 версия варианта

03122022

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Диагностический вариант СтатГрад ЕГЭ Профиль по математике 2210212-13.12.2022 с ответами и критериямиadmin2022-12-14T13:19:58+03:00

Пробные и тренировочные варианты по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2022 из различных источников.

 Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике (профиль)

egemath.ru
Вариант 1	скачать
Вариант 2	скачать
Вариант 3	скачать
Вариант 4	скачать
Вариант 5	скачать
Вариант 6	скачать
Вариант 7	скачать
variant 8	скачать
variant 9	скачать
variant 10	скачать
variant 11	скачать
variant 12	скачать
variant 13	скачать
variant 14	скачать
variant 15	скачать
variant 16	скачать
variant 17	скачать
variant 18	скачать
variant 19	скачать
variant 20	скачать
yagubov.ru
вариант 21	ege2022-yagubov-prof-var21
вариант 22	ege2022-yagubov-prof-var22
вариант 23	ege2022-yagubov-prof-var23
вариант 24	ege2022-yagubov-prof-var24
вариант 25	ege2022-yagubov-prof-var25
вариант 26	ege2022-yagubov-prof-var26
вариант 27	ege2022-yagubov-prof-var27
вариант 28	ege2022-yagubov-prof-var28
Досрочный Москва 28.03.2022	скачать
egemathschool.ru
вариант 1	ответ
вариант 2	ответ
вариант 3	ответ
вариант 4	ответ
ЕГЭ 100 баллов (с решениями)
Вариант 1	скачать
Вариант 2	скачать
Вариант 3	скачать
Вариант 4	скачать
Вариант 5	скачать
Вариант 6	скачать
Вариант 7	скачать
Вариант 8	скачать
Вариант 9	скачать
Вариант 10	скачать
variant 11	скачать
variant 12	скачать
variant 13	скачать
variant 14	скачать
variant 15	скачать
variant 16	скачать
variant 17	скачать
variant 18	скачать
variant 20	скачать
variant 21	скачать
variant 23	скачать
variant 24	скачать
variant 25	скачать
variant 26	скачать
variant 29	скачать
variant 30	скачать
math100.ru (с ответами)
Вариант 140	скачать
Вариант 141	скачать
Вариант 142	скачать
Вариант 143	math100-ege22-v143
Вариант 144	math100-ege22-v144
Вариант 145	math100-ege22-v145
Вариант 146	math100-ege22-v146
variant 147	math100-ege22-v147
variant 148	math100-ege22-v148
variant 149	math100-ege22-v149
variant 150	math100-ege22-v150
variant 151	math100-ege22-v151
variant 152	math100-ege22-v152
variant 153	math100-ege22-v153
variant 154	math100-ege22-v154
variant 155	math100-ege22-v155
variant 156	math100-ege22-v156
variant 157	math100-ege22-v157
variant 158	math100-ege22-v158
variant 159	math100-ege22-v159
variant 160	math100-ege22-v160
variant 161	math100-ege22-v161
variant 162	math100-ege22-v162
variant 163	math100-ege22-v163
variant 164	math100-ege22-v164
variant 165	math100-ege22-v165
variant 166	math100-ege22-v166
variant 167	math100-ege22-v167
variant 168	math100-ege22-v168
variant 169	math100-ege22-v169
variant 170	math100-ege22-v170
variant 171	math100-ege22-v171
variant 172	math100-ege22-v172
variant 173	math100-ege22-v173
variant 174	math100-ege22-v174
alexlarin.net
Вариант 358	скачать
Вариант 359	скачать
Вариант 360	скачать
Вариант 361	скачать
Вариант 362	проверить ответы
Вариант 363	проверить ответы
Вариант 364	проверить ответы
Вариант 365	проверить ответы
Вариант 366	проверить ответы
Вариант 367	проверить ответы
Вариант 368	проверить ответы
Вариант 369	проверить ответы
Вариант 370	проверить ответы
Вариант 371	проверить ответы
Вариант 372	проверить ответы
Вариант 373	проверить ответы
Вариант 374	проверить ответы
Вариант 375	проверить ответы
Вариант 376	проверить ответы
Вариант 377	проверить ответы
Вариант 378	проверить ответы
Вариант 379	проверить ответы
Вариант 380	проверить ответы
Вариант 381	проверить ответы
Вариант 382	проверить ответы
Вариант 383	проверить ответы
Вариант 384	проверить ответы
Вариант 385	проверить ответы
Вариант 386	проверить ответы
Вариант 387	проверить ответы
Вариант 388	проверить ответы
vk.com/ekaterina_chekmareva (задания 1-12)
Вариант 1	ответы
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7	ответы
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
vk.com/matematicalate
Вариант 1	matematikaLite-prof-ege22-var1
Вариант 2	matematikaLite-prof-ege22-var2
Вариант 3	matematikaLite-prof-ege22-var3
Вариант 4	matematikaLite-prof-ege22-var4
Вариант 5	matematikaLite-prof-ege22-var5
Вариант 6	matematikaLite-prof-ege22-var6
Вариант 7	matematikaLite-prof-ege22-var7
Вариант 8	matematikaLite-prof-ege22-var8
vk.com/pro_matem
variant 1	pro_matem-prof-ege22-var1
variant 2	pro_matem-prof-ege22-var2
variant 3	pro_matem-prof-ege22-var3
variant 4	разбор
variant 5	разбор
vk.com/murmurmash
variant 1	otvet
variant 2	otvet
→  Купить сборники тренировочных вариантов ЕГЭ 2022 по математике

Структура варианта КИМ ЕГЭ

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:

– часть 1 содержит 11 заданий (задания 1–11) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;

– часть 2 содержит 7 заданий (задания 12–18) с развёрнутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Задания части 1 направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Посредством заданий части 2 осуществляется проверка освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения математики в профессиональной деятельности и на творческом уровне.

Связанные страницы:

14 декабря 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Решение тестовой части (№1-11) тренировочной работы по математике, 11 класс, вариант МА2210210, от 13 декабря 2022 года.

Тренировочный вариант соответствует демоверсии ЕГЭ-2023.

Задание №1 — 0:31
Задание №2 — 1:58
Задание №3 — 3:15
Задание №4 — 4:39
Задание №5 — 10:34
Задание №6 — 17:27
Задание №7 — 22:36
Задание №8 — 23:23
Задание №9 — 27:07
Задание №10 — 28:57
Задание №11 — 34:15

→ Другие варианты этой работы.

Автор: Matesha Plus — Колесникова Татьяна.

Источник: rutube.ru/channel/23492689/

12
вариант

Единый
государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Профильный уровень

Инструкция
по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из
двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:
– часть 1 содержит 11 заданий (задания 1–11) с кратким ответом в виде целого
числа или конечной десятичной дроби; – часть 2 содержит 7 заданий (задания
12–18) с развёрнутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных
действий)

На
выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235
минут).

Задание с кратким ответом (1–11) считается
выполненным, если в бланке ответов № 1 зафиксирован верный ответ в виде целого
числа или конечной десятичной дроби. Задания 12–18 с развёрнутым ответом, в
числе которых 5 заданий повышенного уровня и 2 задания высокого уровня
сложности, предназначены для более точной дифференциации абитуриентов вузов..

 Все
бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование
гелевой или капиллярной ручки. При выполнении заданий можно пользоваться
черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных
материалов не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за
выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше
заданий и набрать наибольшее количество баллов. После завершения работы
проверьте, что ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 записан под
правильным номером.

Желаем успеха!

Справочные
материалы

sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼

sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 ⋅ cos 𝛽 + cos 𝛼 ⋅ sin 𝛽

 

Ответом
к заданиям 1–11 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите
число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1
справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую
цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с
приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть
1

1.      
Решите уравнение  В ответе
напишите наибольший отрицательный корень.

2.      
У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых
и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите
вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

3.      
 Найдите площадь
треугольника, две стороны которого равны 50 и 20, а угол между ними равен 30°.

4.      
Найдите значение выражения

  при 

5.      

От треугольной
пирамиды, объем которой равен 70, отсечена треугольная пирамида плоскостью,
проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем
отсеченной треугольной пирамиды.

6.      

На рисунке
изображен график функции y = f(x),
определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или
совпадает с ней.

7.      
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально
была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы:  где t —
время в минутах,  К,  К/мин  К/мин. Известно, что
при температуре нагревателя свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его
нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы
нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

8.      
 Расстояние между пристанями A и B равно
198 км. Из A в B по течению реки отправился
плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в
пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К
этому времени плот прошел 46 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если
скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

9.      
 На рисунке
изображён график функции вида  где
числа a, b, c и d — целые. Найдите
корень уравнения 

10.   В Волшебной
стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись
утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода
завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране
хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная
погода.

11.   Найдите
наименьшее значение функции  на
отрезке 

12.    а) Решите
уравнение 

б) Укажите корни
этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13.    В правильной
треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона
основания равна 12. Точки G и F делят стороны
основания AB и AC соответственно так,
что AG : GB = AF : FC = 1 : 5.

      а) Докажите, что
сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным
треугольником.

б) Найдите
площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.

14.    Решите
неравенство: 

15.   1 января 2015
года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита
следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на
оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич
переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Павел
Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс.
рублей?

16.    Дан
квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены
точки Р и К соответственно, причем ВР : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3 : 13.

а) Докажите,
что углы РDK и РСК равны.

б) Пусть М —
точка пересечения CP и DK. Найдите отношение длин
отрезков СM и PM.

17.  Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух
решений.

18. Для набора 30 различных натуральных чисел выполнено, что сумма
любых трёх чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого
набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число 999?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 66?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого
набора?

Система оценивания экзаменационной работы
по математике (профильный уровень) Каждое из заданий 1–11 считается
выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или
конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1
баллом

№ п/п	Ответы
1	-2
2	0,72
3	250
4	-0,5
5	17,5
6	4
7	3
8	20
9	2
10	0,392
11	0
12	а)  б)
13
14
15	9
16
17
18	а) да; б) нет; в) 2805.

6.

На рисунке изображен график функции y = f(x),
определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или
совпадает с ней.

Решение.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или
совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент
касательной равен значению производной в точке касания. У данной функции
производная равна нулю только в точках экстремума функции. На заданном
интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким
образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или
совпадает с ней в 4 точках.

Ответ: 4.

7. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально
была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы:  где t — время
в минутах,  К,  К/мин  К/мин. Известно, что при
температуре нагревателя свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его
нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы
нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение.

Найдем, в какой момент времени после начала работы температура
станет равной  К. Задача сводится к решению
уравнения  при заданных
значениях параметров a и b:

Через 3 минуты после включения прибор нагреется до 1870 К, и далее
будет нагреваться, и может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить
через 3 минуты.

Ответ: 3.

8. Расстояние между пристанями A и B равно
198 км. Из A в B по течению реки отправился
плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в
пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К
этому времени плот прошел 46 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если
скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Скорость плота равна скорости течения реки 2 км/ч. Пусть  км/ч
– скорость яхты, тогда скорость яхты по течению равна  км/ч,
а скорость яхты против течения равна  км/ч. Яхта,
прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A,
а плоту понадобилось на 3 часа больше времени, чтобы пройти 46 км.

Ответ: 20.

9. На рисунке
изображён график функции вида  где
числа a, b, c и d — целые. Найдите
корень уравнения 

Решение.

Заметим, что  в точке излома, т.е.
при  Значит, корнем уравнения  является
число 2.

10. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная,
причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно,
что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3
июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в
Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО
(здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой
погоды:

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме
вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

Ответ: 0,392.

11. Найдите наименьшее значение функции  на
отрезке 

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке
поведение функции:

В точке  заданная функция имеет
минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это
наименьшее значение: 

Ответ: 0.

12. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Решение.

a) Преобразуем уравнение:

б) При помощи единичной окружности отберём корни, лежащие на
заданном отрезке (см. рис.). В него попадают числа 

Ответ: а)  б) 

13. В правильной треугольной пирамиде MABC боковые
рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят
стороны основания AB и AC соответственно так,
что AG : GB = AF : FC = 1 : 5.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является
равнобедренным треугольником.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.

Решение.

а) Из условия следует, что  Треугольники AMG и AMF равны
по двум сторонам и углу между ними. Поэтому 

б) Проведём высоту MH боковой грани AMB.
Из прямоугольного треугольника AHM находим

В прямоугольном треугольнике MHG катет HG равен
4. Поэтому

Треугольник AGF равносторонний, поэтому  В
равнобедренном треугольнике GMF проведём высоту MK.
Она делит отрезок GF пополам. Из прямоугольного
треугольника MKG получаем

Следовательно, площадь треугольника GMF равна 

Ответ: 

14. Решите неравенство: 

Решение.

Пусть  получаем:

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:  или 

Ответ: 

15. 1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в
кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк
начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%),
затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество
месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не
более 125 тыс. рублей?

Решение.

Ясно, что за 8 месяцев Павел Витальевич не справится с выплатой
долга, так как он вернет банку не более  рублей,
а общий долг будет больше миллиона рублей, поскольку банк еще начисляет
проценты.

Покажем, что на 9 месяцев кредит брать можно. Пусть ежемесячный
платеж будет равен 125000 рублей. Через месяц задолженность Павла Витальевича
перед банком составит 1010000 рублей, затем Павел Витальевич выплачивает 125000
и долг составляет 885000. Затем банк начисляет процент, но 1 процент от
оставшейся суммы будет уже меньше, чем 10000 рублей, и в дальнейшем будет тем
более меньше. Поэтому задолженность через два месяца будет меньше 895000, а
после очередного платежа — меньше 770000 рублей.

Аналогично, через 3 месяца задолженность будет меньше 780000, а
после платежа — меньше 655000 рублей. Через 4 месяца задолженность будет меньше
665000, а после платежа — меньше 540000 рублей. Через 5 месяцев задолженность
будет меньше 550000, а после платежа — меньше 425000 рублей.

Через 6 месяцев задолженность будет меньше 435000, а после платежа
— меньше 310000 рублей. Через 7 месяцев задолженность будет меньше 320000, а
после платежа — меньше 195000 рублей. Через 8 месяцев задолженность будет
меньше 205000, а после платежа — меньше 80000 рублей. Таким образом, через 9
месяцев задолженность заведомо не будет превышать 90000 рублей, и своим
последним платежом Павел Витальевич полностью расплатится с банком.

Ответ: на 9 месяцев

Приведём
другое решение.

За 8 месяцев Павел Витальевич не справится с выплатой долга, так
как он вернет банку не более  рублей,
а общий долг будет больше миллиона рублей, поскольку банк еще начисляет
проценты. За 9 месяцев сумма долга увеличится не более, чем на девять сумм
процентов первого месяца, то есть не более, чем на 90 000 рублей.
Следовательно, выплатить кредит можно за 9 месяцев.

16. Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены
точки Р и К соответственно, причем ВР : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3 : 13.

а) Докажите, что углы РDK и РСК равны.

б) Пусть М — точка пересечения CP и DK.
Найдите отношение длин отрезков СM и PM.

Решение.

Пусть сторона квадрата имеет длину 16. Введем систему координат с
началом в точке  и осями, направленными по  и  Тогда
получим:

   

Уравнения прямых можно выяснить по общей формуле:

Аналогично,   

Вычислим теперь косинусы углов между этими прямыми:

Значит,
углы равны.

б) Решим систему уравнений   Из первого уравнения найдем  и подставим во второе. Получим:  откуда   Тогда

Кроме
того,  поэтому 

Значит, 

Ответ:

17. Найдите все значения a, при каждом из которых система
уравнений

имеет
более двух решений.

Решение.

Изобразим на
координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют
первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем
уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₁(2; 4)
и радиусом 

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем
уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0)
и радиусом 

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1;
3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5 = 0,
поэтому в первом случае получаем дугу ω₁ с концами в
точках A и B, во втором — дугу ω₂ с
концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка  лежит
на дуге ω₂ и прямая OC перпендикулярна
прямой O₁O, поскольку произведение угловых
коэффициентов данных прямых равно −1.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m,
параллельную прямой O₁O или совпадающую с
ней.

При a = −5 прямая m пересекает
каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и
ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система
имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит
через точку B и исходная система имеет три решения.

При  прямая m проходит
через точку C, значит, прямая m касается дуг ω₂ и
ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при  прямая m касается
дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два
решения.

При  или  прямая m пересекает
каждую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точках, отличных
от точек A и B, то есть исходная система имеет
четыре решения.

При −5 < a < 5 прямая m пересекает
каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, отличной от
точек A и B, то есть исходная система имеет два
решения.

При  или  прямая m не пересекает
дуги ω₁ и ω₂, то есть исходная система не имеет
решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при  или 

Ответ: 

18. Для набора 30 различных натуральных чисел выполнено, что сумма
любых трёх чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого
набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число 999?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 66?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого
набора?

Решение.

Упорядочим числа по возрастанию x₁ < x₂ < … < x₃₀.
Заметим сразу, что достаточно проверять условие только для трех самых больших и
четырех самых маленьких чисел.

а) В наборе 999, 1000, …, 1028 выполнено

999 + 1000 + 1001 + 1002 > 1026 + 1027 + 1028.

б) Если там есть число 66, то

получаем
противоречие.

в) Будем говорить, что с набором чисел можно сделать какую-то
операцию, если после ее выполнения условие

не
может нарушиться, числа останутся разными, а сумма чисел во всем наборе не
становится больше.

Если x₃₀ ≠ x₂₉ + 1, то
можно заменить x₃₀ на x₂₉ + 1.
Если после этого x₂₉ ≠ x₂₈ + 1, то
можно заменить x₂₉ на x₂₈ + 1
и x₃₀ на x₂₈ + 2. Продолжая
эти действия (сдвиг больших чисел вниз), мы в итоге получим набор чисел, идущих
подряд (даже все числа от x₂ до x₃₀ можно
синхронно уменьшать, поскольку обе части неравенства

будут
уменьшаться одинаково). Итак, оптимальный набор — это числа x, x + 1, x + 2,
…, x + 29, причем 4x + 6 > 3x + 84, откуда x > 78.
Значит минимальная сумма равна

а
примером могут служить числа от 79 до 108.

Ответ: а) да; б) нет; в) 2805.

14.12.2022

Вариант Статграда по математике профильного уровня для 11 класса в формате ЕГЭ 2023 года

Работа проводилась 13 декабря 2022 года.

• Другие варианты по математике

Вариант полностью соответствует демоверсии ФИПИ и кодификатору. Замечательный материал для самоподготовки.

Мы сделали для вас видеоразбор этого варианта. Смотрите ниже.

Есть вопросы? Задавайте в комментариях ниже!

Часть №1

Разбор части №1

Разбор части №2

Разбор части №2

Вариант №2

Разбор от Анны Малковой

Вариант №3

Добавить комментарий

Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.