Профильная математика егэ 2023 подготовка с нуля

Профильный ЕГЭ по математике сдают не все. Это вариант для тех, кто намерен поступить в технический Вуз или освоить профессию, связанную с экономикой или математикой. Чтобы сдать данный экзамен, вам нужно будет показать глубокие знания предмета.

Основные требования

Во время сдачи базового госэкзамена вам понадобятся познания, которые были получены из школьного курса алгебры и геометрии. Вы должны уметь решать разнообразные неравенства и уравнения, а также знать терминологию и алгоритмы решения разных задач. А вот чтобы выполнить тесты высокой сложности, вы должны знать:

• планиметрию;
• стереометрию;
• прогрессию.

Помимо этого от учащегося потребуется знание финансовой математики и умение работать с параметрическими системами, уравнениями, неравенствами, процентами.

Во время подготовки вам придется повторить теорию. При этом вы должны совмещать ее с практикой, чтобы уметь применять все выученные правила, теоремы, аксиомы.

Принципы подготовительного процесса

С самого начала года необходимо готовиться к ЕГЭ. Благодаря этому можно качественно усвоить весь необходимый материал.

Желательно повторять вслух все прочитанное, чтобы запомнить правила.

Некоторые аксиомы и теоремы нужно будет просто выучить. А после этого применять их при работе с тренировочными упражнениями.

Если вы готовитесь вместе с одноклассниками, контролируйте друг друга. Так материал быстрее усвоится.

Анализируйте ошибки во время решения задач. Благодаря этому вы значительно продвинетесь в подготовке.

Не забывайте про решение практических заданий. Во время сдачи тестирования этот навык вам очень пригодится.

Подготовка к ЕГЭ по математике

Из каких частей состоит ЕГЭ по математике в 2023 году

Математика — один из двух обязательных предметов на ЕГЭ. Но, в отличие от русского языка, эта дисциплина предлагает 2 уровня сложности: профильный и базовый. Какий именно вариант выбрать, зависит от вашей цели. Если вуз, в который вы хотите поступить, требует профильного уровня, нужно сдавать его. Обычно это касается технических специальностей.

Для получения аттестата выпускникам школ хватит и базового. Но финальное решение за вами. Если вы хотите сдать профильный вариант, просто чтобы проверить свои знания и уровень подготовки, — дерзайте!

Структура базового уровня ЕГЭ по математике

Базовый уровень проверяет основные знания школьника по математике. Такой экзамен не делится на части: в него входит только 21 задание с кратким ответом. Ответом может быть целое число, десятичная дробь или ряд цифр. По уровням сложности задания экзамена тоже не делятся — все задачи в нем базового уровня. Чтобы выполнить такую работу, ученику дают 180 минут.

Структура профильного уровня ЕГЭ по математике

Варианты профильного уровня проверяют основные и углубленные знания школьника. В 2023 году ЕГЭ состоит из 2 частей:

• 1-я часть: 11 задач с кратким ответом;

• 2-я часть: 7 задач с развернутым ответом.

В первой части ответом может быть целое число, десятичная дробь или ряд цифр. Во второй части — полное обоснованное решение и ответ. Чтобы выполнить задания экзамена, школьнику дают 235 минут.

Задачи ЕГЭ по математике профильного варианта делятся на категории по уровням сложности. В таблице ниже можно увидеть, как именно.

Как сдать ЕГЭ по математике: разбор сложных задач

Экзамен по математике не зря считают одним из самых трудных. Даже в заданиях базового варианта можно легко ошибиться по невнимательности. Что уж говорить о действительно сложных задачах с полным решением, где много «подводных камней»? Чтобы вы знали, как подготовиться к ЕГЭ по профильной математике, мы разобрали несколько из них.

Задание 16

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Совет

Для этого задания советуем повторить темы:

• Касательные к окружности и их свойства.

• Свойства вписанных углов.

• Взаимное расположение окружностей.

• Свойства прямоугольного треугольника.

• Признаки и свойства параллельных прямых.

• Подобные треугольники, площади подобных фигур.

• Свойство площадей (в частности: отношение площадей треугольников с одинаковой стороной).

• Трапеция, её свойства. Площадь трапеции.

• Теорема Пифагора.

Проследите, чтобы они были в вашем плане подготовки к профилю ЕГЭ по математике.

Решение

а) Выполним построение.

1. Окружности с центрами О₁ и О₂ соответственно касаются друг друга в одной точке К.

2. Прямая АВ касается обеих окружностей в точках А и В соответственно.

3. Прямые АК и ВК пересекают окружности в точках С и D соответственно

4. Пусть общая касательная окружностей в точке К, пересекает прямую АВ в точке М.

   

   Тогда по свойству касательных, проведенных из одной точки, AM = KM и KM = BM.

   

5. Рассмотрим треугольник АВК. Его медиана АМ равна половине стороны, которую она разбивает. Следовательно, делаем вывод, что треугольник АВК прямоугольный, а угол К = 90°.

   

6. Вписанный угол AKD является смежным углом АКВ, а значит, он тоже 90° как прямой. Следовательно, угол AKD опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB, так как радиус, а в данном случае диаметр, перпендикулярен касательной в точке касания.

7. Аналогично рассмотрев угол ВКС, получим, что BC⊥ AB.

   

8. Прямые AD и ВС перпендикулярны третьей прямой АВ, следовательно, прямые AD и BC параллельны. Ч. т. д.

б) Пусть радиус первой окружности равен 4, а радиус второй окружности равен 1. Тогда АD = 8, ВС = 2.

1. Рассмотрим треугольники ADK и СВК. Они подобны, т. к. имеют два равных угла (К – вертикальный, С и А — накрест лежащие). Из подобия треугольников следует, что их площади относятся как коэффициент подобия в квадрате:

2. Обозначим площадь треугольника СВК за S, тогда площадь треугольника ADK будет равна 16S.

   

3. Пусть площади треугольников АВК и CDK будут равны х и у соответственно.

   

4. Вспомним свойство, связывающее высоты треугольников с общим основанием и получим следующие равенства: DB — общая сторона треугольников ADB и СDB, следовательно:

   (равно 4 из подобия треугольников ADK и СВК, см. выше),

   

5. Аналогично, AC — общая сторона треугольников ADС и ABC, следовательно,

   (равно 4 из подобия треугольников ADK и СВК, см. выше),

   

6. Решим полученную систему уравнений:

7. Из первого уравнения

   подставим во второе и найдем y.

   следовательно,

   подставим во второе и найдем y.

8. Площадь ABCD равна 16S + 4S + 4S + S = 25S.

9. Заметим, что ABCD — прямоугольная трапеция (AD||BC, AB — перпендикулярна основаниям). Для вычисления ее площади нужно полусумму оснований умножить на высоту.

   

10. Для того, чтобы найти высоту, рассмотрим меньшую трапецию AO₁O₂B.

    

    Ее основания равны 1 и 4, так как О₂В и О₁А — радиусы. O₁O₂ = 5, так как О₂К и О₁К — радиусы. О₂H — высота трапеции AO₁O₂B.

11. По теореме Пифагора найдём О₂H:

12. Вычислим площадь трапеции ABCD:

13. С другой стороны мы нашли

    Отсюда S = 0,8.

14. Площадь треугольника АКВ = 4S, следовательно,

Ответ: 3,2.

Задание 18

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Совет

Чтобы справиться с этой задачей, нужно повторить темы:

• Понятие натурального и целого числа.

• Среднее арифметическое.

• Делимость чисел.

• Процент. Нахождение процента от числа, уменьшение числа на заданный процент.

• Составление и решение линейных уравнений.

Добавьте их в ваш план подготовки к ЕГЭ по математике, если собираетесь сдавать профиль.

Решение:

а)

1. Допустим, что в школе № 1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал Х баллов и перешёл в другую школу. Тогда средний балл в школе был равен (1 + Х) : 2 = 10, а стал равен 1, т. е. уменьшился в 10 раз.

2. Решим уравнение и получим Х = 19 — натуральное число. Следовательно, наше предположение верно.

3. Или мы можем предположить другой вариант: что один учащийся набрал 2 балла. Тогда средний балл изначально равняется 20, а после ухода второго станет 2, т. е. изменится в 10 раз.

4. Решим уравнение (2 + Х) : 2 = 20, отсюда Х = 38 — натуральное число, что тоже удовлетворяет условию задачи.

Ответ: средний балл в школе № 1 мог уменьшиться в 10 раз.

б)

1. Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, n — сумма баллов m учащихся, средний балл равнялся B, а перешедший в неё учащийся набрал u баллов.

2. Умножим обе части полученного уравнения на 10, получим:

3. По условию B = 7, тогда получим, что 10u кратно 10, а

   не делится на 10, так как ни один из множителей не делится на 10. Это противоречие.

Ответ: Первоначальный средний балл в школе № 2 не мог равняться 7.

в)

1. Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A, общее количество баллов — p, количество писавших работу — (9 – m).

   (из пункта б).

   Следовательно,

2. Попробуем найти средний балл в школе № 2 методом подбора. Пусть:

   В = 1, тогда:

   кратно 10, а

   не делится на 10.

   В = 2, тогда:

   пусть u = 1, тогда m = 4:

   — не является целым числом.

   u = 2 не может быть, т. к. m ≥ 1

   В = 3, тогда:

   кратно 10, а

   не делится на 10.

   В = 4, тогда:

   Чтобы m было натуральным числом u должно быть четным, u = 2, тогда m = 4, что невозможно (доказали при В = 2).

   u = 4, тогда m меньше 0, что невозможно т. к. m ≥ 1.

   В = 5, тогда:

   пусть u = 1, тогда m = 7, что невозможно (доказали в пункте б);

   пусть u = 2, тогда m = 5:

   — не является целым числом;

   пусть u = 3, тогда m = 3:

3. Этот случай реализуется, например, в школе № 2 при m = 3, B = 5. Предположим, что каждый ученик набрал по 5 баллов. Тогда в школе № 1 писали 9 – m = 9 – 3 = 6 учащихся, 3 из них набрали по 1 баллу, а 3 – по 3 балла, тогда средний балл:

4. Переход из школы № 1 в школу № 2 совершил ученик с 3 баллами, тогда
   средний балл в школе № 1 стал равен:

   что на 10% меньше от первоначального значения.

5. Тогда средний балл в школе № 2 стал равен:

   что на 10% меньше от первоначального значения.

Ответ: наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2 равно 5.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

Как выставляют баллы за ЕГЭ по математике

С базовым уровнем сложности все просто: за каждый правильный ответ вашего варианта вы получаете по 1 первичному баллу. То же самое касается и первой части профиля: задания 1–11 тоже оценивают в 1 балл.

Как вы помните, во 2-й части профильного варианта нужны и решение, и ответ. Здесь задания оценивают по нескольким критериям. Они сложнее, но и баллов за них можно получить больше. Давайте же разберемся, как выставляют баллы во второй части профиля. Это поможет вам подготовиться к заданиям ЕГЭ по математике как самостоятельно, так и с учителем.

Узнать больше о структуре экзамена, вариантах и критериях, по которым оценивают работы, можно на официальном сайте ФИПИ, в разделе «Демоверсии, спецификации, кодификаторы». Там же вы найдете методические указания для подготовки.

Сколько баллов нужно набрать, чтобы получить 3, 4 и 5

Теперь, когда мы разобрали критерии, можно посчитать, сколько баллов нужно набрать на конкретную оценку. В этом нам помогут таблицы ниже. Заодно разберемся, как первичные баллы переводятся в тестовые — финальные.

Обратите внимание: с 2008 года официально баллы ЕГЭ не переводят в привычные нам оценки по пятибальной системе. Но если вам хочется это сделать, можно примерно оценить работу по таблице ниже.

6 советов от эксперта, как готовиться к ЕГЭ по математике

Мы занимаемся подготовкой учеников к экзамену каждый год и понимаем, насколько это важно и волнительно. Вам предстоит ответственная работа, от которой многое зависит. Чтобы облегчить ее, мы собрали несколько советов, которые помогут вам как можно лучше подготовиться к ЕГЭ по математике:

• Осознанно выберите уровень сложности и поставьте цель в баллах.

• Составьте план подготовки к ЕГЭ по математике: больше времени уделяйте темам, которые у вас «западают». Чтобы выявить их, ученики Skysmart проходят тест на бесплатном уроке.

• Узнайте все о ЕГЭ: сколько времени длится экзамен, из каких частей состоит, по каким темам будут задания, сколько вариантов, какие дадут справочные материалы и т. д.

• Составьте сбалансированное расписание для подготовки и следите, чтобы в нем было достаточно времени для отдыха.

• Много практикуйтесь: решайте варианты из Открытого банка заданий ЕГЭ и сдавайте тестовые экзамены.

• Систематически консультируйтесь и занимайтесь с наставником, который часто имеет дело с подготовкой к ЕГЭ — преподавателем в школе или репетитором.

Все пункты в этом списке важны для тех, кто хочет набрать 80–100 баллов, но последний — особенно. Преподаватель расскажет о том, что представляет из себя ЕГЭ, и тогда на реальном экзамене не будет неприятных сюрпризов.

На курсах подготовки к ЕГЭ по математике в Skysmart учителя помогают школьникам разобраться в КИМах и прорешать каждый тип задач. Ученики заранее знакомятся с частыми ошибками, что помогает избегать их в работе и сохранять баллы. А еще мы учим готовиться морально, чтобы не допустить ошибок из-за паники и невнимательности. Начните подготовку к ЕГЭ по математике с нуля вместе со Skysmart: первый урок — бесплатно!

Д. Д. Гущин Готовимся к ЕГЭ по профильной математике

Об ошибках сообщайте в раздел Вопрос — ответ.