Программа экзамена по математическому анализу
для 1 курса РФФ (
семестр)
Литература
1. Кудрявцев Л.Д Курс математического анализа, т.т. 1,2
2. Аксёнов А.П. Математический анализ, части 1 и 2.
3. Рыжаков И.Ю. Определенный интеграл. Несобственные интегралы.
4. Рыжаков И.Ю. Ряды. Ряды Фурье.
1. Первообразная: определение, примеры, свойства. Неопределенный интеграл: определение, примеры, свой- ства. Табличные интегралы. Теорема о замене переменной под знаком неопределенного интеграла. Форму- ла интегрирования по частям. Интегрирование элементарных рациональных дробей. Интегрирование рацио
нальных дробей. Метод рационализующих подстановок; подстановки Чебышева.
2. Площадь плоской фигуры: аксиомы, следствия из аксиом.
3. Лемма о точных гранях ограниченный функции.
4. Положительная и отрицательная части функции, их свойства.
5. Интегральные суммы: определения, геометрический смысл для неотрицательных функций, свойства.
6. Интегрируемые функции: определение, пример. Свойства интегрируемых функций.
7. Определенный интеграл: определение, пример, свойства, выражаемые равенствами, свойства, выражаемые неравенствами, теоремы о среднем.
8. Определенный интеграл с переменным верхним пределом: определение, теоремы о непрерывности, о диф- ференцируемости. Интеграл с переменным нижним пределом.
9. Теоремы Ньютона-Лейбница, о замене переменной под знаком определенного интеграла, формула интегри- рования по частям.
10. Несобственные интегралы по [a,b), по (a,b], по (a,b): определения, примеры., свойства. Формулировка тео- ремы о замене переменной под знаком несобственного интеграла.
11. Главное значение несобственного интеграла по интервалу: определение, пример.
12. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой системе координат, пример.
13. Вычислнние площади плоской фигуры полярной системе координат, пример.
14. Формулировка теоремы о вычислении обьёма тела по его поперечным сечениям. Теорема о вычислении обьёма тела вращения, пример
15. Теорема о переменной длине дуги. Вычисление длины кривой, пример.
16. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды: определения, примеры. Общие свойства числовых рядов
17. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши, его применение к исследованию обобщенного гармонического ряда. Первый и второй признаки сравнения. Признак Далам- бера, метод выделения главной части в исследовании ряда. Радикальный признак Коши.
18. Критерий Коши, его применение к исследованию гармонического ряда. Признак Лейбница, его применение к исследованию ряда 
Признак Дирихле, исследование ряда 
.
19. Абсолютная и условная сходимость числового ряда: определения, исследование рядов , 
на абсолютную и условную сходимость. Формулировки теорем о свойствах абсолютно сходящихся рядов: о произведении ряда на число, о сумме рядов. Формулировки теоремы Римана об условно сходящихся рядах. Формулировки теорем о переместительном свойстве абсолютно сходящихся рядов, о произведении абсолютно сходящихся рядов.
20. Степенные ряды: определение, примеры, теорема Абеля. Теоремы о множестве сходимости ряда, о вычислении радиуса сходимости ряда.
21. Последовательность функций: множество её сходимости, её предельная функция, равномерная сходимость на множестве (определения и примеры). Теоремы о непрерывности предельной функции и о предельном переходе под знаком интеграла.
22. Функциональный ряд: множество его сходимости, сумма ряда, равномерная сходимость на множестве (определения и примеры). Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Теоремы о непрерыв -ности суммы ряда, о почленном интегрировании, о почленном дифференцировании функциональных рядов.
23. Вещественный степенной ряд, теоремы о его равномерной сходимости внутри интервала сходимости, о почленном интегрировании, о почленном дифференцировании, о сохранении радиуса сходимости при почленном дифференцировании и почленном интегрировании ряда, о коэффициентах степенного ряда.
24. Коэффициенты Тейлора и ряд Тейлора. Теорема о достаточном условии разложимости функции в ряд Тейлора. Разложения в ряды Маклорена функций 
25. Абсолютно интегрируемые функции: определения для различных случаев, признак Вейерштрасса абсо- лютной интегрируемости функции.
26. Тригонометрический многочлен. Тригонометрический ряд, теорема о коэффициентах равномерно сходящегося тригонометрического ряда.
27. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье абсолютно интегрируемой функции. Формулировки трех теорем о достаточных условиях разложимости функции в ряд Фурье. Теорема о почленном интегрировании ряда Фурье. Ряд Фурье для произвольного промежутка. Функция с интегрируемым квадратом, её абсолютная интегрируемость. Минимальное свойство коэффициентов ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Формулировка теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции тригонометрическими много- членами. Равенство Парсеваля.
|
Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений… |
Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета… |
Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где… |
Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса… |
Программа экзамена
по математическому анализу
для студентов 2 курса
направления ПМиИ 1 семестр 2013-2014 уч. года
-
Частная производная
функции нескольких переменных. -
Связь частных
производных с непрерывностью функции
в точке. -
Дифференцируемая
в точке функция. -
Теорема (о связи
дифференцируемости функции с частными
производными). -
Следствие 1, 2 .
-
Геометрический
смысл дифференцируемости функции. -
Теорема (достаточное
условие дифференцируемости функции) -
Дифференциал
функции, дифференциал независимой
переменной. -
Теорема (о
дифференцируемости сложной функции). -
Однородные функции.
Теорема (Эйлера об однородных функциях) -
Инвариантность
формы первого дифференциала. -
Производная по
направлению, градиент; связь между
ними. Свойства градиента -
Частные производные
высших порядков, свойства. -
Функция, n
раз дифференцируемая в точке. -
Теорема (о дважды
дифференцируемой функции и порядке
дифференцирования) -
Теорема (о непрерывных
вторых смешанных частных производных) -
Теорема (о n
раз дифференцируемой функции и порядке
дифференцирования) -
Дифференциалы
высших порядков, свойства -
Теорема (Формула
Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа) -
Локальный экстремум
функции нескольких переменных.
Стационарные точки. -
Теорема (необходимое
условие экстремума). -
Квадратичные формы,
знакоопределенность квадратичной
формы. Критерий Сильвестра -
Теорема (достаточные
условия экстремума функции в точке).
Примеры. -
Теорема (д. у.
экстремума, случай функции двух
переменных). -
Неявно заданная
функция. Теорема (о неявной функции). -
Частные производные
функции, заданной неявно. -
Теорема (о неявной
функции, заданной системой функциональных
уравнений). -
Условный экстремум
функции нескольких переменных, нахождение
у. э. ф. н. п. -
Функция Лагранжа,
метод неопределенных множителей
Лагранжа. -
Достаточные условия
у. э. ф. н. п. -
Числовые ряды,
сходящийся числовой ряд. -
Критерий Коши
сходимости ряда. Следствие 1, 2. -
Ряды с неотрицательными
членами. Теорема (Признак сравнения
1). Замечания. Следствие -
Теорема (Признак
сравнения 2). Замечание. -
Теорема (Признак
Даламбера сходимости ряда). Замечания
1, 2. -
Теорема (Признак
Коши сходимости ряда). Замечания 1, 2. -
Теорема (сравнение
признаков Даламбера и Коши) -
Теорема (Признак
Коши-Маклорена сходимости ряда). -
Теорема (Признак
Раабе сходимости ряда). -
Теорема (об отсутствии
универсального ряда сравнения). -
Абсолютно сходящийся
ряд. Условно сходящийся ряд. Примеры. -
Перестановка членов
ряда. Теорема (Римана). -
Перестановка членов
абсолютно сходящегося ряда. Теорема
(Коши). -
Тождество Абеля.
Последовательность с ограниченным
изменением, свойства. -
Теорема (1-ый признак
Абеля). Следствие (признак Дирихле-Абеля). -
Теорема (2-ой признак
Абеля) -
Знакочередующийся
ряд; Теорема (признак Лейбница). Примеры. -
Арифметические
операции над сходящимися рядами. Теорема
(о сумме двух сходящихся рядов).
Произведение рядов; Теорема (Мертенса). -
Регулярные методы
суммирования числовых рядов. Метод
Чезаро -
Метод суммирования
Пуассона – Абеля.
Составил
Плешаков М.Г.
Программы экзамена по математическому анализуЛектор — Т. П. Лукашенко1–4 семестры, 2003–2004 г.1 семестр1. Множества и операции над ними. Свойства операций. Законы Моргана. Декартово произведение множестви его свойства.2. Натуральные, целые и рациональные числа, их свойства. Аксиоматика действительных чисел. Бесконечные десятичные дроби как модель действительных чисел.3. Принципы полноты действительных чисел. Их эквивалентность.4. Эквивалентные множества.
Счетные множества и их свойства. Несчётные множества. Сравнение мощностей. Теорема Кантора – Бернштейна.5. Открытые и замкнутые множества и их свойства.6. Теоремы о конечных подпокрытиях и о существовании предельной точки.7. Предел последовательности и его свойства.8. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e. Критерий Коши сходимости последовательности.9.
Частичные пределы последовательности, их свойства. Числовые ряды.10. Два определения предела функции, их эквивалентность. Свойства предела функции.11. Критерий Коши существования предела функции. Односторонние пределы и их свойства.12. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.13. Предел функции по базе и его свойства.14. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства (теоремы Больцано – Коши, Вейерштрасса, Кантора).Теорема об обратной функции. Модуль непрерывности.15. Элементарные функции, их свойства. Замечательные пределы.16. Производная, касательная, дифференциал и их связи.17. Правила вычисления производных.
Производные элементарных функций. Производные и дифференциалывысших порядков.18. Теоремы Ферма. Ролля, Лагранжа, Коши и Бонне. Следствия теоремы Лагранжа.19. Свойства производной. Правила Лопиталя.20. Формула Тейлора с различными формами остаточного члена Ряды Тейлора. Разложения некоторых элементарных функций.21. Достаточные условия локального экстремума. Глобальные экстремумы функции на отрезке.22. Выпуклость, точки перегиба. Свойства выпуклых функций. Неравенство Иенсена.23. Свойства односторонних производных выпуклых функций. Условия выпуклости.24.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Основные неопределенные интегралы. Интегрирование рациональных дробей, различных иррациональностей. тригонометрических и некоторых другихвыражений.12 семестр1. Определенные интегралы Римана, Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока. Основная лемма о существовании разбиений. Простейшие свойства интегралов. Критерии Коши интегрируемости. Интегрируемость наподотрезках.2. Необходимое условие интегрируемости по Риману. Аддитивность интегралов по отрезкам. Интегрируемость производных по Курцвейлю – Хенстоку. Формула Ньютона – Лейбница и следствие из нее.3.
Верхняя мера Лебега и ее свойства. Множества меры нуль по Лебегу. Интегрируемость ограниченных инепрерывных почти всюду функций по Риману и по Мак-Шейну.4. Ограниченность и непрерывность почти всюду интегрируемых по Риману функций. Связь интеграловРимана и Мак-Шейна. Критерий Лебега интегрируемости по Риману и следующие из него дополнительныесвойства интеграла Римана.5. Интеграл с переменным верхним пределом. Принадлежность к классу Липшица при условии ограниченности. Дифференцируемость в точке. Существование первообразных.
Интегрируемость по Мак-Шейнуфункции, равной нулю почти всюду.6. Два определения измеримых на отрезке функций, их эквивалентность. Интегрируемость по Мак-Шейнуограниченных измеримых функций.7. Слабая и сильная леммы Хенстока. Непрерывность интеграла Курцвейля-Хенстока с переменным верхнимпределом. Интегрируемость по модулю функций, интегрируемых по Мак-Шейну.8. Покрытие в смысле Витали. Теоремы Витали.
Дифференцируемость почти всюду интеграла Курцвейля-Хенстока с переменным верхним пределом.9. Определенные интегралы Римана – Стилтьеса, Мак-Шейна – Стилтьеса и Курцвейля – Хенстока – Стилтьеса; их простейшие свойства. Критерии Коши интегрируемости. Интегрируемость на подотрезках.10. Аддитивность интегралов Стилтьеса по отрезкам. Функции ограниченной вариации их свойства.
Функцииограниченной вариации, как разность неубывающих функций.11. Интегрируемость в смысле Римана – Стилтьеса непрерывных функций по функциям ограниченной вариации. Интегрирование по частям в интеграле Римана – Стилтьеса.12. Сведение интегралов Римана – Стилтьеса к интегралу Римана. Интегрирование по частям и замена переменной в интеграле Римана. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.13. Первая и вторая теоремы о среднем.14.
Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условнаясходимости. Признаки сходимости.15. Метрические пространства. Нормированные пространства. Пространство Rn , норма и метрика в нем. Открытые и замкнутые множества, их свойства.16. Компакты, их свойства. Критерий компактности в Rn . Теорема Больцано – Вейерштрасса о существованиипредельной точки.17.
Последовательности в метрических, нормированных пространствах и в Rn , их пределы, свойства. Полныеметрические пространства. Принцип вложенных шаров. Полнота Rn .18. Предел функции и его свойства (в метрических и нормированных пространствах).19. Непрерывные функции и их свойства (в метрических и нормированных пространствах). Принцип сжимающих отображений.20. Связные множества в метрических и нормированных пространствах и их свойства.21.
Кривые, длина кривой и ее свойства в метрических, нормированных пространствах и в Rn .22. Дифференцируемость отображений нормированных пространств. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Дифференциал. Частные производные. Достаточные условия дифференцируемости. Геометрический смысл дифференцируемости функций нескольких переменных.23. Производная по направлению.
Градиент. Правила дифференцирования. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных.24. Формула Тейлора функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа, интегральнойи Пеано.25. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие его существования.26.
Теоремы о существовании и дифференцируемости неявной функции.27. Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа его отыскания.23 семестр1. Числовые ряды. Критерий Коши. Операции над рядами. Абсолютная и условная сходимости. Ряды снеотрицательными членами. Признаки сходимости: ограниченность частичных сумм, сравнения.2. Признаки Д’Аламбера, Коши, интегральный Коши – Маклорена, Куммера, Раабе и Гаусса.3. Ряды с членами произвольных знаков и ряды комплексных чисел.
Признак Лейбница. ПреобразованиеАбеля. Последовательности ограниченной вариации и их свойства. Признаки Абеля и Дирихле.4. Теоремы Коши и Римана о перестановках членов ряда. Умножение рядов. Теоремы Коши и Мертенса.5. Бесконечные произведения. Условия сходимости. Разложение функции sin x в бесконечное произведение.6. Метод суммирования Чезаро (средних арифметических), его вполне регулярность и необходимое условиесуммируемости. Метод суммирования Абеля.
Теорема Фробениуса о суммируемости методом Абеля рядов,суммируемых по Чезаро. Вполне регулярность метода Абеля.7. Критерий Маркова – Гордона перестановки предельных переходов. Функциональные последовательностии ряды. Равномерная сходимость и операции с нею. Критерий Коши равномерной сходимости.8. Признаки Вейерштрасса, Дини. Лейбница, Абеля и Дирихле равномерной сходимости.9. Теорема об изменении порядка пределов и следствия из неё. Полнота пространства C(K) непрерывных накомпакте функций.
Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных последовательностей и рядов.10. Критерий компактности Хаусдорфа. Равностепенная непрерывность. Теорема Арцела – Асколи.11. Степенные ряды. Теорема Коши – Адамара. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость суммы степенного ряда.12. Степенной ряд как ряд Тейлора своей суммы. Теорема единственности. Теорема Абеля.
Функции комплексного переменного. Формула Эйлера. Пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции.13. Функции, зависящие от параметра; равномерное стремление к пределу; связь с равномерной сходимостьюпоследовательностей. Критерий Коши. Свойства равномерной сходимости.14. Перестановка пределов, дифференцирование и интегрирование пределов функций, зависящих от параметра.15. Собственные интегралы с параметром. Их свойства: переход к пределу, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость.16.
Несобственные интегралы с параметром, их равномерная сходимость. Критерий Коши. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Дини, Абеля и Дирихле.17. Свойства несобственных интегралов с параметром: переход к пределу, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость (собственная и несобственная).18. Интеграл Дирихле. Интегралы Эйлера и их свойства. Формула Эйлера и формула дополнения для гамма-функции. Интеграл Пуассона.19. Связь функций Эйлера B(x) и Γ(x). Формула Стирлинга.20.