Производная егэ номер 11 - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.

Производная на ЕГЭ по математике. Как решать задание № 11?

Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?

Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.

Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.

Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.

Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике

В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.

Два прототипа

Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.

Поиск точек экстремума

Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:

Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.

Поиск наибольшего / наименьшего значения функции

Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.

Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!

Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.

Разбираем лайфхак на примере

Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.

Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.

Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.

При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.

В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!

Учите производную
Пользуйтесь алгоритмами
Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!

Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!

Источник

СДАМ ГИА:

РЕШУ ЕГЭ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

≡ Математика

Базовый уровень

Профильный уровень

Информатика

Русский язык

Английский язык

Немецкий язык

Французский язык

Испанский язык

Физика

Химия

Биология

География

Обществознание

Литература

История

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

10 марта

Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней

6 марта

Изменения ВПР 2023

3 марта

Разместили утвержденное расписание ЕГЭ

27 января

Вариант экзамена блокадного Ленинграда

23 января

ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.

6 января

Открываем новый сервис: «папки в избранном»

22 декабря

Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!

4 ноября

Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

21 марта

Новый сервис: рисование

31 января

Внедрили тёмную тему!

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Каталог заданий.
Исследование тригонометрических функций

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 26692

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Аналоги к заданию № 26692: 3401 70043 517179 517217 561728 561769 3403 3405 3407 3409 … Все

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 2., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания, 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 26693

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Аналоги к заданию № 26693: 70087 3417 3419 3421 3423 3425 3427 3429 3431 3433 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 26694

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Аналоги к заданию № 26694: 3437 70133 70137 509642 523374 523399 3439 3441 3443 3445 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 26695

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Аналоги к заданию № 26695: 3457 70187 509500 517158 3459 3461 3463 3465 3467 3469 … Все

Источник: Пробный экзамен по профильной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Вариант 2.

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 26696

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Аналоги к заданию № 26696: 3475 70237 3477 3479 3481 3483 3485 3487 3489 3491 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Источник

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

Найти производную функции $f'(х)$
Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

Найти производную функции $f'(х)$
Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
Разложить производную функции на множители.
Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$	$-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$	${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	${1}/{x}$
$log_{a}x$	${1}/{xlna}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Пример:

Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})’=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$

2. Производная произведения.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Пример:

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$

Пример:

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’∙e^x-5x^5∙(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

Пример:

$f(x)= cos(5x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Пример:

Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

Решение:

1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

${2x+21}/{x+11}=0$

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

$2x+21=0; x≠-11$

$2х=-21$

$х=-10,5$

4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$

5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума.

Ответ: $-10,5$

Пример:

Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$

Решение:

1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки

$30x^4-270x^2=0$

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(х-3)(х+3)=0$

Приравняем каждый множитель к нулю

$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$

$х=0;х=3;х=-3$

3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$

Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3

$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$

$y(-3)= 6∙(-3)^5-90∙(-3)^3-5=-1458+2430-5=967$

$y(0)= -5$

$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$

Наибольшее значение равно $967$

Ответ: $967$

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же x_0 , что и точка максимума функции А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при x=-4 . В точке x = -4 производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x) . Поскольку при функция y(x) убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=1. Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции y(x) . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

если e^x=4. Тогда x=ln4.

При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x).

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции y(x) . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при x=0.

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ Профиль №11. Показательные функции

ЕГЭ Профиль №11. Показательные функцииadmin2023-02-12T23:54:40+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Если функция (fleft( x right)) определена и непрерывна на промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет положительную производную (left( {f’left( x right) > 0} right)), то функция возрастает на X.

Если функция (fleft( x right)) определена и непрерывна на промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет отрицательную производную (left( {f’left( x right) < 0} right)), то функция убывает на X.

Говорят, что функция (y = fleft( x right)) имеет максимум (минимум) в точке (x = a), если у этой точки существует окрестность, в которой (fleft( x right) < fleft( a right)quad left( {fleft( x right) > fleft( a right)} right)) для (x ne a).

Точки максимума и минимума объединяются общим термином – точки экстремума.

Правило исследования функции (y = fleft( x right)) на экстремум:

1. найти область определения функции;

2. найти (f’left( x right));

3. найти точки, в которых выполняется равенство (f’left( x right) = 0);

4. найти точки, в которых (f’left( x right)) не существует;

5. отметить на координатной прямой все точки в которых производная равна 0 или не существует и область определения функции (y = fleft( x right)); получатся промежутки области определения функции, на каждом из которых производная функции (y = fleft( x right)) сохраняет постоянный знак;

6. определить знак (f’left( x right)) на каждом из промежутков;

7. если при переходе через точку производная (f’left( x right)) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума функции, а если с «-» на «+», то точкой минимума. На приведенном рисунке точка x₁ является точкой максимума, а x₂ точкой минимума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции (y = fleft( x right)) на отрезке :

1. найти (f’left( x right));

2. найти точки, в которых (f’left( x right) = 0) или (f’left( x right)) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;

3. вычислить значение функции (y = fleft( x right)) в точках, полученных в пункте 2, и на концах отрезка (в точках a и b) и далее выбрать из них наибольшее и наименьшее, которые будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции (y = fleft( x right)) на отрезке . Эти значения обозначаются ({y_{наим}},;{y_{наиб}}).

ЕГЭ Профиль №11. Показательные функции

Задача 1. Найдите наименьшее значение функции (y = left( {x — 63} right){e^{x — 62}}) на отрезке (left[ {61;63} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 1.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {x — 63} right)^prime }{e^{x — 62}} + left( {x — 63} right){left( {{e^{x — 62}}} right)^prime } = {e^{x — 62}} + left( {x — 63} right){e^{x — 62}} = {e^{x — 62}}left( {1 + x — 63} right) = {e^{x — 62}}left( {x — 62} right).)

Найдем нули производной:

({e^{x — 62}}left( {x — 62} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x — 62 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 62.)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ {61;63} right]) и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке (left[ {61;63} right]) будет в точке (x = 62.)

(yleft( {62} right) = left( {62 — 63} right){e^{62 — 62}} = — 1.)

Ответ: – 1.

Задача 2. Найдите точку минимума функции (y = left( {x + 16} right){e^{x — 16}})

Ответ

ОТВЕТ: — 17.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {x + 16} right)^prime }{e^{x — 16}} + left( {x + 16} right){left( {{e^{x — 16}}} right)^prime } = {e^{x — 16}} + left( {x + 16} right){e^{x — 16}} = )( {e^{x — 16}}left( {1 + x + 16} right) = {e^{x — 16}}left( {x + 17} right).)

Найдем нули производной:

({e^{x — 16}}left( {x + 17} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x + 17 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = — 17.)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = — 17.)

Ответ: – 17.

Задача 3. Найдите точку максимума функции (y = left( {9 — x} right){e^{x + 9}})

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {9 — x} right)^prime }{e^{x + 9}} + left( {9 — x} right){left( {{e^{x + 9}}} right)^prime } = — {e^{x + 9}} + left( {9 — x} right){e^{x + 9}} = {e^{x + 9}}left( { — 1 + 9 — x} right) = {e^{x + 9}}left( {8 — x} right).)

Найдем нули производной:

({e^{x + 9}}left( {8 — x} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,8 — x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 8.)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 8.)

Ответ: 8.

Задача 4. Найдите точку минимума функции (y = left( {25 — x} right){e^{25 — x}})

Ответ

ОТВЕТ: 26.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {25 — x} right)^prime }{e^{25 — x}} + left( {25 — x} right){left( {{e^{25 — x}}} right)^prime } = — {e^{25 — x}} + left( {25 — x} right){e^{25 — x}} cdot {left( {25 — x} right)^prime } = )

( = — {e^{25 — x}}-left( {25 — x} right){e^{25 — x}} = {e^{25 — x}}left( { — 1 — 25 + x} right) = {e^{25 — x}}left( {x — 26} right).)

Найдем нули производной:

({e^{25 — x}}left( {x — 26} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x — 26 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 26.)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 26.)

Ответ: 26.

Задача 5. Найдите точку максимума функции (y = left( {x + 9} right){e^{9 — x}})

Ответ

ОТВЕТ: — 8.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {x + 9} right)^prime }{e^{9 — x}} + left( {x + 9} right){left( {{e^{9 — x}}} right)^prime } = {e^{9 — x}} + left( {x + 9} right){e^{9 — x}} cdot {left( {9 — x} right)^prime } = )

( = {e^{9 — x}} — left( {x + 9} right){e^{9 — x}} = {e^{9 — x}}left( {1 — x — 9} right) = {e^{9 — x}}left( { — x — 8} right).)

Найдем нули производной:

({e^{9 — x}}left( { — x — 8} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left( { — x — 8} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = — 8.)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = — 8.)

Ответ: – 8.

Задача 6. Найдите точку минимума функции (y = left( {4{x^2} — 16x + 16} right){e^{x — 9}})

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {4{x^2} — 16x + 16} right)^prime }{e^{x — 9}} + left( {4{x^2} — 16x + 16} right){left( {{e^{x — 9}}} right)^prime } = left( {8x — 16} right){e^{x — 9}} + left( {4{x^2} — 16x + 16} right){e^{x — 9}} = )

( = {e^{x — 9}}left( {8x — 16 + 4{x^2} — 16x + 16} right) = {e^{x — 9}}left( {4{x^2} — 8x} right).)

Найдем нули производной:

({e^{x — 9}}left( {4{x^2} — 8x} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,4{x^2} — 8x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 0,,,,,,,,{x_2} = 2.)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 2.)

Ответ: 2.

Задача 7. Найдите точку максимума функции (y = left( {2{x^2} — 30x + 30} right){e^{x + 9}})

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {2{x^2} — 30x + 30} right)^prime }{e^{x + 9}} + left( {2{x^2} — 30x + 30} right){left( {{e^{x + 9}}} right)^prime } = left( {4x — 30} right){e^{x + 9}} + left( {2{x^2} — 30x + 30} right){e^{x + 9}} = )

( = {e^{x + 9}}left( {4x — 30 + 2{x^2} — 30x + 30} right) = {e^{x + 9}}left( {2{x^2} — 26x} right).)

Найдем нули производной:

({e^{x + 9}}left( {2{x^2} — 26x} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,2{x^2} — 26x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 0,,,,,,,{x_2} = 13.)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 0.)

Ответ: 0.

Задача 8. Найдите точку максимума функции (y = left( {2{x^2} — 10x + 10} right){e^{36 — x}})

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {2{x^2} — 10x + 10} right)^prime }{e^{36 — x}} + left( {2{x^2} — 10x + 10} right){left( {{e^{36 — x}}} right)^prime } = )

( = left( {4x — 10} right){e^{36 — x}} + left( {2{x^2} — 10x + 10} right){e^{36 — x}} cdot {left( {36 — x} right)^prime } = left( {4x — 10} right){e^{36 — x}} — left( {2{x^2} — 10x + 10} right){e^{36 — x}} = )

( = {e^{36 — x}}left( {4x — 10 — 2{x^2} + 10x — 10} right) = {e^{36 — x}}left( { — 2{x^2} + 14x — 20} right).)

Найдем нули производной:

({e^{36 — x}}left( { — 2{x^2} + 14x — 20} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,, — 2{x^2} + 14x — 20 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 2,,,,,,,{x_2} = 5.)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 5.)

Ответ: 5.

Задача 9. Найдите точку максимума функции (y = {left( {x — 7} right)^2}{e^{x — 8}})

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {{{left( {x — 7} right)}^2}} right)^prime }{e^{x — 8}} + {left( {x — 7} right)^2}{left( {{e^{x — 8}}} right)^prime } = 2left( {x — 7} right){e^{x — 8}} + {left( {x — 7} right)^2}{e^{x — 8}} = )

( = {e^{x — 8}}left( {x — 7} right)left( {2 + x — 7} right) = {e^{x — 8}}left( {x — 7} right)left( {x — 5} right).)

Найдем нули производной:

({e^{x — 8}}left( {x — 7} right)left( {x — 5} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left( {x — 7} right)left( {x — 5} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 5,,,,,,,{x_2} = 7.)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 5.)

Ответ: 5.

Задача 10. Найдите точку минимума функции (y = {left( {x — 2} right)^2}{e^{x — 5}})

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {{{left( {x — 2} right)}^2}} right)^prime }{e^{x — 5}} + {left( {x — 2} right)^2}{left( {{e^{x — 5}}} right)^prime } = 2left( {x — 2} right){e^{x — 5}} + {left( {x — 2} right)^2}{e^{x — 5}} = )

( = {e^{x — 5}}left( {x — 2} right)left( {2 + x — 2} right) = {e^{x — 5}}left( {x — 2} right)x.)

Найдем нули производной:

({e^{x — 5}}left( {x — 2} right)x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,,{x_1} = 0,,,,,,,{x_2} = 2.)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 2.)

Ответ: 2.

Задача 11. Найдите точку максимума функции (y = {left( {x — 9} right)^2}{e^{9 — x}})

Ответ

ОТВЕТ: 11.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {{{left( {x — 9} right)}^2}} right)^prime }{e^{9 — x}} + {left( {x — 9} right)^2}{left( {{e^{9 — x}}} right)^prime } = 2left( {x — 9} right){e^{9 — x}} + {left( {x — 9} right)^2}{e^{9 — x}}{left( {9 — x} right)^prime } = )

( = 2left( {x — 9} right){e^{9 — x}} — {left( {x — 9} right)^2}{e^{9 — x}} = {e^{9 — x}}left( {x — 9} right)left( {2 — x + 9} right) = {e^{9 — x}}left( {x — 9} right)left( {11 — x} right).)

Найдем нули производной:

({e^{9 — x}}left( {x — 9} right)left( {11 — x} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left( {x — 9} right)left( {11 — x} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 9,,,,,,,{x_2} = 11.)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 11.)

Ответ: 11.

Задача 12. Найдите точку минимума функции (y = {left( {x — 11} right)^2}{e^{17 — x}})

Ответ

ОТВЕТ: 11.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {{{left( {x — 11} right)}^2}} right)^prime }{e^{17 — x}} + {left( {x — 11} right)^2}{left( {{e^{17 — x}}} right)^prime } = 2left( {x — 11} right){e^{17 — x}} + {left( {x — 11} right)^2}{e^{17 — x}}{left( {17 — x} right)^prime } = )

( = 2left( {x — 11} right){e^{17 — x}} — {left( {x — 11} right)^2}{e^{17 — x}} = {e^{17 — x}}left( {x — 11} right)left( {2 — x + 11} right) = {e^{17 — x}}left( {x — 11} right)left( {13 — x} right).)

Найдем нули производной:

({e^{17 — x}}left( {x — 11} right)left( {13 — x} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left( {x — 11} right)left( {13 — x} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 11,,,,,,,{x_2} = 13.)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 11.)

Ответ: 11.

Задача 13. Найдите наименьшее значение функции (y = left( {8 — x} right){e^{9 — x}}) на отрезке (left[ {3;10} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 1.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {8 — x} right)^prime }{e^{9 — x}} + left( {8 — x} right){left( {{e^{9 — x}}} right)^prime } = — {e^{9 — x}} + left( {8 — x} right){e^{9 — x}}{left( {9 — x} right)^prime } = )

( = -{e^{9 — x}} — left( {8 — x} right){e^{9 — x}} = {e^{9 — x}}left( { — 1 — 8 + x} right) = {e^{9 — x}}left( {x — 9} right).)

Найдем нули производной:

({e^{9 — x}}left( {x — 9} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x — 9 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 9.)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ {3;10} right]) и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке (left[ {3;10} right]) будет в точке (x = 9.)

(yleft( 9 right) = left( {8 — 9} right){e^{9 — 9}} = — 1.)

Ответ: – 1.

Задача 14. Найдите наибольшее значение функции (y = left( {8 — x} right){e^{x — 7}}) на отрезке (left[ {3;10} right])

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {8 — x} right)^prime }{e^{x — 7}} + left( {8 — x} right){left( {{e^{x — 7}}} right)^prime } = — {e^{x — 7}} + left( {8 — x} right){e^{x — 7}} = {e^{x — 7}}left( { — 1 + 8 — x} right) = {e^{x — 7}}left( {7 — x} right) = 0.)

Найдем нули производной:

({e^{x — 7}}left( {7 — x} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,7 — x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 7.)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ {3;10} right]) и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке (left[ {3;10} right]) будет в точке (x = 7.)

(yleft( 7 right) = left( {8 — 7} right){e^{7 — 7}} = 1.)

Ответ: 1.

Задача 15. Найдите наибольшее значение функции (y = left( {x — 9} right){e^{10 — x}}) на отрезке (left[ { — 11;11} right])

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {x — 9} right)^prime }{e^{10 — x}} + left( {x — 9} right){left( {{e^{10 — x}}} right)^prime } = {e^{10 — x}} + left( {x — 9} right){e^{10 — x}}{left( {10 — x} right)^prime } = )

( = {e^{10 — x}} — left( {x — 9} right){e^{10 — x}} = {e^{10 — x}}left( {1 — x + 9} right) = {e^{10 — x}}left( {10 — x} right).)

Найдем нули производной:

({e^{10 — x}}left( {10 — x} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,10 — x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 10.)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ { — 11;11} right]) и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке (left[ { — 11;11} right]) будет в точке (x = 10.)

(yleft( {10} right) = left( {10 — 9} right){e^{10 — 10}} = 1.)

Ответ: 1.

Задача 16. Найдите наименьшее значение функции (y = left( {3{x^2} — 36x + 36} right){e^{x — 10}}) на отрезке (left[ {8;11} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 24.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {3{x^2} — 36x + 36} right)^prime }{e^{x — 10}} + left( {3{x^2} — 36x + 36} right){left( {{e^{x — 10}}} right)^prime } = left( {6x — 36} right){e^{x — 10}} + left( {3{x^2} — 36x + 36} right){e^{x — 10}} = )

( = {e^{x — 10}}left( {6x — 36 + 3{x^2} — 36x + 36} right) = {e^{x — 10}}left( {3{x^2} — 30x} right).)

Найдем нули производной:

({e^{x — 10}}left( {3{x^2} — 30x} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,3{x^2} — 30x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 0,,,,,,,,{x_2} = 10.)

Значение ({x_1} = 0 notin left[ {8;11} right].)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ {8;11} right]) и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке (left[ {8;11} right]) будет в точке (x = 10.)

(yleft( {10} right) = left( {3 cdot {{10}^2} — 36 cdot 10 + 36} right){e^{10 — 10}} = — 24.)

Ответ: – 24.

Задача 17. Найдите наибольшее значение функции (y = left( {3{x^2} — 36x + 36} right){e^x}) на отрезке (left[ { — 1;4} right])

Ответ

ОТВЕТ: 36.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {3{x^2} — 36x + 36} right)^prime }{e^x} + left( {3{x^2} — 36x + 36} right){left( {{e^x}} right)^prime } = left( {6x — 36} right){e^x} + left( {3{x^2} — 36x + 36} right){e^x} = )

( = {e^x}left( {6x — 36 + 3{x^2} — 36x + 36} right) = {e^x}left( {3{x^2} — 30x} right).)

Найдем нули производной:

({e^x}left( {3{x^2} — 30x} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,3{x^2} — 30x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 0,,,,,,,,{x_2} = 10.)

Значение ({x_2} = 10 notin left[ { — 1;4} right].)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ { — 1;4} right]) и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке (left[ { — 1;4} right]) будет в точке (x = 0.)

(yleft( 0 right) = left( {3 cdot {0^2} — 36 cdot 0 + 36} right){e^0} = 36.)

Ответ: 36.

Задача 18. Найдите наименьшее значение функции (y = left( {{x^2} — 8x + 8} right){e^{2 — x}}) на отрезке (left[ {1;7} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 4.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {{x^2} — 8x + 8} right)^prime }{e^{2 — x}} + left( {{x^2} — 8x + 8} right){left( {{e^{2 — x}}} right)^prime } = left( {2x — 8} right){e^{2 — x}} + left( {{x^2} — 8x + 8} right){e^{2 — x}} cdot {left( {2 — x} right)^prime } = )

( = left( {2x — 8} right){e^{2 — x}} — left( {{x^2} — 8x + 8} right){e^{2 — x}} = {e^{2 — x}}left( {2x — 8 — {x^2} + 8x — 8} right) = {e^{2 — x}}left( { — {x^2} + 10x — 16} right).)

Найдем нули производной:

({e^{2 — x}}left( { — {x^2} + 10x — 16} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,, — {x^2} + 10x — 16 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 2,,,,,,,,{x_2} = 8.)

Значение ({x_2} = 8 notin left[ {1;7} right].)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ {1;7} right]) и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке (left[ {1;7} right]) будет в точке (x = 2.)

(yleft( 2 right) = left( {{2^2} — 8 cdot 2 + 8} right){e^{2 — 2}} = — 4.)

Ответ: – 4.

Задача 19. Найдите наибольшее значение функции (y = left( {{x^2} — 10x + 10} right){e^{10 — x}}) на отрезке (left[ {5;11} right])

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {{x^2} — 10x + 10} right)^prime }{e^{10 — x}} + left( {{x^2} — 10x + 10} right){left( {{e^{10 — x}}} right)^prime } = )

( = left( {2x — 10} right){e^{10 — x}} + left( {{x^2} — 10x + 10} right){e^{10 — x}} cdot {left( {10 — x} right)^prime } = left( {2x — 10} right){e^{10 — x}} — left( {{x^2} — 10x + 10} right){e^{10 — x}} = )

( = {e^{10 — x}}left( {2x — 10 — {x^2} + 10x — 10} right) = {e^{10 — x}}left( { — {x^2} + 12x — 20} right).)

Найдем нули производной:

({e^{10 — x}}left( { — {x^2} + 12x — 20} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 2,,,,,,,,{x_2} = 10.)

Значение ({x_2} = 2 notin left[ {5;11} right].)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ {5;11} right]) и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке (left[ {5;11} right]) будет в точке (x = 10.)

(yleft( {10} right) = left( {{{10}^2} — 10 cdot 10 + 10} right){e^{10 — 10}} = 10.)

Ответ: 10.

Задача 20. Найдите наименьшее значение функции (y = {left( {x — 2} right)^2}{e^{x — 2}}) на отрезке (left[ {1;4} right])

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {{{left( {x — 2} right)}^2}} right)^prime }{e^{x — 2}} + {left( {x — 2} right)^2}{left( {{e^{x — 2}}} right)^prime } = 2left( {x — 2} right){e^{x — 2}} + {left( {x — 2} right)^2}{e^{x — 2}} = )

( = {e^{x — 2}}left( {x — 2} right)left( {2 + x — 2} right) = {e^{x — 2}}left( {x — 2} right)x.)

Найдем нули производной:

({e^{x — 2}}left( {x — 2} right)x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 0,,,,,,,,{x_2} = 2.)

Значение ({x_1} = 0 notin left[ {1;4} right].)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ {1;4} right]) и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке (left[ {1;4} right]) будет в точке (x = 2.)

(yleft( 2 right) = {left( {2 — 2} right)^2}{e^{2 — 2}} = 0.)

Ответ: 0.

Задача 21. Найдите наибольшее значение функции (y = {left( {x — 2} right)^2}{e^x}) на отрезке (left[ { — 5;1} right])

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {{{left( {x — 2} right)}^2}} right)^prime }{e^x} + {left( {x — 2} right)^2}{left( {{e^x}} right)^prime } = 2left( {x — 2} right){e^x} + {left( {x — 2} right)^2}{e^x} = {e^x}left( {x — 2} right)left( {2 + x — 2} right) = {e^x}left( {x — 2} right)x.)

Найдем нули производной:

({e^x}left( {x — 2} right)x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = 0,,,,,,,,{x_2} = 2.)

Значение ({x_2} = 2 notin left[ { — 5;1} right].)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ { — 5;1} right]) и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке (left[ { — 5;1} right]) будет в точке (x = 0.)

(yleft( 0 right) = {left( {0 — 2} right)^2}{e^0} = 4.)

Ответ: 4.

Задача 22. Найдите наименьшее значение функции (y = {left( {x + 3} right)^2}{e^{ — 3 — x}}) на отрезке (left[ { — 5;, — 1} right])

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {{{left( {x + 3} right)}^2}} right)^prime }{e^{ — 3 — x}} + {left( {x + 3} right)^2}{left( {{e^{ — 3 — x}}} right)^prime } = 2left( {x + 3} right){e^{ — 3 — x}} + {left( {x + 3} right)^2}{e^{ — 3 — x}} cdot {left( { — 3 — x} right)^prime } = )

( = 2left( {x + 3} right){e^{ — 3 — x}} — {left( {x + 3} right)^2}{e^{ — 3 — x}} = {e^{ — 3 — x}}left( {x + 3} right)left( {2 — x — 3} right) = {e^{ — 3 — x}}left( {x + 3} right)left( { — x — 1} right).)

Найдем нули производной:

({e^{ — 3 — x}}left( {x + 3} right)left( { — x — 1} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = — 3,,,,,,,,{x_2} = — 1.)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ { — 5; — 1} right]) и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке (left[ { — 5; — 1} right]) будет в точке (x = — 3.)

(yleft( { — 3} right) = {left( { — 3 + 3} right)^2}{e^{ — 3 + 3}} = 0.)

Ответ: 0.

Задача 23. Найдите наибольшее значение функции (y = {left( {x + 6} right)^2}{e^{ — 4 — x}}) на отрезке (left[ { — 6; — 1} right])

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {{{left( {x + 6} right)}^2}} right)^prime }{e^{ — 4 — x}} + {left( {x + 6} right)^2}{left( {{e^{ — 4 — x}}} right)^prime } = 2left( {x + 6} right){e^{ — 4 — x}} + {left( {x + 6} right)^2}{e^{ — 4 — x}} cdot {left( { — 4 — x} right)^prime } = )

( = 2left( {x + 6} right){e^{ — 4 — x}} — {left( {x + 6} right)^2}{e^{ — 4 — x}} = {e^{ — 4 — x}}left( {x + 6} right)left( {2 — x — 6} right) = {e^{ — 4 — x}}left( {x + 6} right)left( { — x — 4} right).)

Найдем нули производной:

({e^{ — 4 — x}}left( {x + 6} right)left( { — x — 4} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x_1} = — 6,,,,,,,,{x_2} = — 4.)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ { — 6; — 1} right]) и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке (left[ { — 6; — 1} right]) будет в точке (x = — 4.)

(yleft( { — 4} right) = {left( { — 4 + 6} right)^2}{e^{ — 4 + 4}} = 4.)

Ответ: 4.

Задача 24. Найдите наименьшее значение функции ({e^{2x}} — 6{e^x} + 3) на отрезке (left[ {1;2} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 6.

Решение

Область определения функции: (x, in ,R.)

Найдем производную заданной функции:

(y’ = {left( {{e^{2x}}} right)^prime } — {left( {6{e^x}} right)^prime } + 3 = {e^{2x}} cdot {left( {2x} right)^prime } — 6{e^x} = 2{e^{2x}} — 6{e^x}.)

Найдем нули производной:

(2{e^{2x}} — 6{e^x} = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{e^x}left( {2{e^x} — 6} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,2{e^x} — 6 = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = {log _e}3.)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ {1;2} right]) и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке (left[ {1;2} right]) будет в точке (x = {log _e}3.)

(yleft( {{{log }_e}3} right) = {e^{2{{log }_e}3}} — 6 cdot {e^{{{log }_e}3}} + 3 = {e^{{{log }_e}9}} — 6 cdot 3 + 3 = 9 — 18 + 3 = — 6.)

Ответ: – 6.

Источник

Выпускники, прошедшие через ЕГЭ по математике, отмечают, что задание под номером 11 – самое сложное в первой части профильного варианта. Весь сыр-бор из-за производной.

Переживать из-за производной не стоит, пользуясь всего лишь двумя алгоритмами, можно решить абсолютно любое задание с ней, эта статья посвящена им. Также в материале будут представлены интересные хитрости, позволяющие быстро решать задачи из ЕГЭ на производную, без каких-либо алгоритмов.

В этом материале:

Почему только 40 процентов сдающих успешно справляются с производной в ЕГЭ
Как выглядят два прототипа 11 задания из первой части профильной математики ЕГЭ
Как найти две точки экстремума функции
Как найти наибольшее или наименьшее значение функции
Хитрость, помогающая быстро разобраться с производной в ЕГЭ

Все, кто хоть немного знаком с темой выпускного госэкзамена (например, те, кто ходят на онлайн занятия по математике к репетитору), в курсе, что профильный вариант математики содержит две части: с кратким ответом и подробным ответом. Краткая часть содержит 11 заданий, последнее связано с производной, вот на нем следует остановиться подробнее.

Задача задания: выяснить, знают ли сдающие школьники понятие производной и умеют ли они вычислять ее. Статистика показывает, что 60% из них не в состоянии успешно выполнить это задание, это большая цифра.

В оправдание сдающих можно сказать то, что тема производной впервые рассматривается на уроках математики в выпускном классе, в середине года, у школьников просто не хватает времени хорошо проработать тему.

Как выглядят два прототипа 11 задания из первой части профильной математики ЕГЭ?

Для упрощения задачи выпускникам составители придумали сделать два вида задания, каждое из них решается по одному и тому же алгоритму, отличаются только числа и буквы. Чтобы успешно справиться с одним из прототипов, требуется только запомнить таблицу производных, также стоит походить на онлайн занятия математикой.

Прежде чем приступить к решению, стоит разобраться в сути задания. Существует небольшая хитрость для этого. Выпускники плохо ориентируются в понятиях, они не могут отличить «точку максимума» от «точки минимума», «наибольшее» или «наименьшее значение» функции.

Точку экстремума (максимума или минимума) функции принято обозначать буквой x, а наибольшее или наименьшее значение принято обозначать буквой y. Здесь легко растеряться и ошибиться. Чтобы этого избежать, нужно обратить внимание на слово «точка экстремума». Слово «точка» – маркер, если оно есть в задании, значит требуется найти x, в противном случае – y.

Для работы в Учи.Дома мы тщательно отбираем онлайн репетиторов по математике, которые зажигают в детях интерес к предмету. Их профессионализм и энергичность дают потрясающий результат: ученики с нетерпением ждут новых занятий и без напоминаний выполняют домашние задания.

Как найти две точки экстремума функции?

Если ученик понял разницу между x и y, нужно перейти к следующей части – поиску точек экстремума. Математическая функция содержит две точки, в которых производная равняется нулю. Чтобы понять, где точка минимума, а где максимума – нужно обратить внимание на то, какой знак у производной до и после точки. Если до знак был «+», а стал «-», то это точка максимума, и наоборот, если знак до точки был «-» – это точка минимума. Алгоритм работает следующим образом:

Он универсален для каждого прототипа 11 задания, где требуется найти точки максимума или минимума. Такой метод часто репетиторы разбирают на онлайн занятиях математикой.

Как найти наибольшее или наименьшее значение функции?

Второй тип задания отличается от первого даже своим видом, а не только формулировкой. Сдающему представляется не только сама функция, но и ее отдельный промежуток вида [a, b]. Изначально про точки этого промежутка нет никакой информации, но на них следует обратить внимание.

Начало алгоритма похоже на предыдущий: нужно найти точки максимума и минимума, определить изменение функций в этих точках. После этого нужно приступить к данному в задании промежутку – определить поведение функции в его точках.

Хитрость, помогающая быстро разобраться с производной в ЕГЭ

Для части заданий можно проигнорировать указанные выше алгоритмы, сделать все проще и быстрее с помощью маленькой хитрости. Стоит быть внимательным при ее использовании чтобы не ошибиться, она не работает для всех заданий.

Хитрость относится к формату ЕГЭ, задание номер 11 требует краткого ответа. Это значит, что в бланк ответов нельзя вписать бесконечную дробь, некоторые математические знаки, обозначающие числа (например, число Пи или число Е), знаки для синуса, логарифма и т.д. Для подкованного выпускника – это упрощение решения.

Хотите, чтобы ваш ребенок полюбил математику с младших классов? Запишите его на бесплатный вводный урок, где мы покажем, каким увлекательным может быть этот «сложный» предмет.

Пример использования хитрости

Для успешного выполнения ученик должен наизусть помнить таблицу производных, далее – простая логика.

Другие хитрости можно изучить на онлайн занятиях по математике в онлайн-школе Учи.Дома

В задании есть число Е, значит, придется брать производную от него, причем ответ будет тем же самым числом. Поскольку в бланке ответов число Е вписать нельзя, становится понятно, что основная задача – это избавиться от него. Но возможно ли это сделать? Да, если вспомнить свойства степеней и одну хитрость.

В указанном примере нужно превратить число в единицу, поскольку Е – это основание степени, нужно, чтобы его показатель был равен нулю. Получается – (x — 9) = 0. При таком раскладе даже второклассник сможет найти икс, он равен 9.

Можно по-другому избавиться от числа. Скобки в примере – тоже своего рода множитель. Если представить, что результат действий в скобках равен нулю, то получается, что 10 – x = 0. Икс находится так же просто, он равен уменьшаемому – десяти.

На этом решение не заканчивается. В задании потребовалось найти наименьшее значение функции – нужно подставить икс в данную функцию.

В первом примере, когда икс равен 9 – значение функции игрек равно 1, в другом примере, где икс равен 10, игрек равен 0. Второе значение меньше первого, значит нужно именно его вписать в ответ.

Чтобы вписать правильный ответ, нужно применить оба метода для того, чтобы найти именно наименьшее или наибольшее значение.

Применяя оба метода, довольно легко можно решить любое 11 задание в ЕГЭ. Не стоит забывать и про хитрости формата, для упрощения задачи. Но лучше все же ходить и на онлайн занятия математикой к репетиторам, чтобы быть уверенным в успешной сдаче экзамена.

Что следует запомнить:

Нужно учить таблицы производных;
Алгоритмы – удобный и верный способ решения;
При использовании хитростей нужно обращать внимание на производную.

Источник

В задаче 11 предлагается исследовать функцию с помощью производной. Это стандартная задача по математическому анализу, и ее сложность сильно меняется в зависимости от рассматриваемой функции: некоторые решаются буквально устно, другие требуют серьезных размышлений.

Все задачи 11 делятся на два класса, каждому из них будет посвящен отдельный цикл уроков и тестов:

Найти точку максимума или минимума — значение переменной, при которой функция достигает наибольшего (наименьшего) значения. Такие точки еще называются точками экстремума;
Найти наибольшее или наименьшее значение самой функции на отрезке. Если отрезок не указан, работаем на всей числовой прямой. Другое название таких значений — глобальные экстремумы.

Большинство задач 11 решаются через производную. Но есть такие, которые считаются «напролом», без всяких производных — достаточно внимательно читать условие. Это замечание настолько важно, что ему будет посвящен отдельный урок.

§ 1.: Разбор нестандартных задач 12 с логарифмами и тригонометрией из пробников ЕГЭ-2016.
Глава 1.: Общая схема решения
§ 1.: Общая схема решения задач B15
§ 2.: Задача B15 — исследование функции с помощью производной
§ 3.: Задача B15: Решение сложных задач и производная частного
§ 4.: B15: Линейные функции и производная частного
§ 5.: Задача B15: что делать с квадратичной функцией
§ 6.: Задача B15: Когда без производной сложной функции не обойтись?
Глава 2.: Производная логарифма и экспоненты
§ 1.: Специфика работы с логарифмами в задаче B15
§ 2.: Показательные функции в задаче B15
§ 3.: Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией
§ 4.: Сводный тест по задачам B15 (1 вариант)
§ 5.: Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
Глава 3.: Производная в тригонометрии и корнях
§ 1.: Тригонометрические функции
§ 2.: Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции
§ 3.: Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов
§ 4.: Иррациональные функции в задаче B15: показательная функция и линейная замена
Глава 4.: Хитрости и нестандартные методы
§ 1.: Как решать задачи B15 без производных
§ 2.: Показательные функции в задаче B15: хитрости решения
§ 3.: Задача B15: работаем с показательной функцией без производной
§ 4.: Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
§ 5.: Как считать логарифмы еще быстрее