Производная с экспонентой примеры решу егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 675 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …

Добавить в вариант

Найдите точку максимума функции

Найдите точку минимума функции

Найдите точку максимума функции

Найдите точку минимума функции

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите точку минимума функции

Найдите точку максимума функции

Найдите точку минимума функции

Найдите точку максимума функции

Найдите точку минимума функции

Найдите точку максимума функции

Найдите точку минимума функции

Найдите точку максимума функции

Найдите точку минимума функции

Найдите точку максимума функции

Найдите точку минимума функции

Всего: 675 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …

Источник

Производная экспоненты

Определение

Производная экспоненты равна самой же себе: $$ (e^x)’ = e^x $$

Если вместо $ x $ в экспоненте стоит сложная функция, то тогда производная экспоненты сложной функции находится по формуле: $$ (e^{f(x)})’ = e^{f(x)} cdot (f(x))’ = e^{f(x)} cdot f'(x) $$

То есть оставляем изначальную функцию неизменной и умножаем на производную степени, стоящей в экспоненте.

Примеры решения

Пример 1

Найти производную экпоненты в степени $ 2x $: $$ y = e^{2x} $$

Решение

Так как дана сложная функция, то находим производную по правилу:

$$ (e^{f(x)})’ = e^{f(x)} cdot $$(x))’ = e^{f(x)} cdot f'(x) $$

Для этого считаем $ f(x) = 2x $ и $ f'(x) = (2x)’ = 2 $.

Подставляем всё в формулу:

$$ y’=(e^{2x})’ = e^{2x} cdot (2x)’ = e^{2x} cdot 2 = 2e^{2x} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = 2e^{2x} $$

Пример 2

Найти производную экспоненты сложной функции: $$ y = cos e^x $$

Решение

Такая функция является сложной и взять от неё производную нужно по соответствующему правилу: $$ y’ = ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Записываем: $$ y’ = (cos e^x)’ = -sin e^x cdot (e^x)’ = -sin e^x cdot e^x = -e^x sin e^x $$

Ответ

$$ y’ = -e^x sin e^x $$

Обратите внимание на то, что экспонента является единственной функцией на которую не оказывает влияния производная!

Источник

По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.

Производная на ЕГЭ по математике. Как решать задание № 11?

Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?

Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.

Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.

Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.

Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике

В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.

Два прототипа

Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.

Поиск точек экстремума

Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:

Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.

Поиск наибольшего / наименьшего значения функции

Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.

Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!

Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.

Разбираем лайфхак на примере

Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.

Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.

Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.

При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.

В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!

Учите производную
Пользуйтесь алгоритмами
Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!

Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!

Источник

Алгоритм решения производных

Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, при условии существования данного предела.

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

Таблица простых производных

Формулы сложных производных

– производная суммы (разницы).

– производная произведения.

$(frac{u(x)}{v(x)})' = frac{u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)}{v^2(x)}$ – производная частного.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решений производных

Задача

Найти производную функции

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

Ответ

Задание

Найти производную функции

Решение

Обозначим , где . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:

Ответ

Задача

Найти производную функции при .

Решение

$y' = x^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}x^{frac{1}{2}-1} = frac{1}{2}x^{-frac{1}{2}} = frac{1}{2sqrt{x}}$ .
$y'(4) = frac{1}{2sqrt{4}} = frac{1}{4}$ .

Ответ

$y'(4) = frac{1}{4}$ .

Задача

Найти производную функции .

Решение

.
После приведения подобных членов получаем:
.

Ответ

y’=x^3·cos(x)+6·x·cos(x)-6·cos(x)+6·sin(x).

Задача

Найти производную функции $y = sqrt{{sin}^2 x + 3{cos}^3 4x}$ .

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы ${sin}^2 x + 3{cos}^3 4x$ . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
$y' = frac{1}{2sqrt{{sin}^2 x + 3{cos}^3 4x}}[2sin xcos x + 3cdot3{cos}^2 4xcdot(-sin 4x)cdot4]$ .

Ответ

$y' = frac{1}{2sqrt{{sin}^2 x + 3{cos}^3 4x}}[2sin xcos x + 3cdot3{cos}^2 4xcdot(-sin 4x)cdot4]$ .

Задача

Найти производную функции $y = frac{3cosec x - 2sin x}{5{cos}^5 x} - frac{16}{5}ctg{2x}$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$(frac{3cosec x - 2sin x}{5{cos}^5 x})' = frac{1}{5}frac{(3cosec x - 2sin x)'{cos}^5 x - ({cos}^5 x)'(3cosec x - 2sin x)}{{cos}^{10} x} =$
$frac{(-3cosec xctg x - 2cos x)cdot{cos}^5 x - (-5{cos}^4 x)sin x)cdot(3cosec-2sin x)}{{cos}^{10} x}$ .
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
$(frac{16}{5}ctg{2x})' = -frac{16}{5}(-frac{1}{{sin}^2 2x}cdot2) = frac{32}{5}frac{1}{{sin}^2 2x}$ .
Учитывая, что $cosec x = frac{1}{sin x}$ и $ctg x = frac{cos x}{sin x}$ , после упрощения получим:
$y' = frac{1}{{sin}^2 xcdot{cos}^6 x}$ .

Ответ

$y' = frac{1}{{sin}^2 xcdot{cos}^6 x}$ .

Задача

Найти производную функции $y = frac{a^2 - x^2}{a^2 + x^2}, a = const$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$y' = frac{(a^2 - x^2)'(a^2 + x^2) - (a^2 + x^2)'(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = frac{-2x(a^2 + x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = -frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}$ .

Ответ

$y' = -frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}$ .

Задача

Найти производную функции $y = frac{1}{sqrt{1 + x^2}}$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$y' = frac{x'sqrt{1 + x^2} - (sqrt{1 + x^2})'x}{(sqrt{1 + x^2})^2} = frac{1cdotsqrt{1 + x^2} - frac{1}{2sqrt{1 + x^2}}cdot2xcdot x}{1 + x^2} = frac{1}{sqrt{(1 + x^2)^3}}$ .

Ответ

$y' = frac{1}{sqrt{(1 + x^2)^3}}$ .

Задача

Найти производную функции .

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
$y' = 2arcsin xcdotfrac{1}{sqrt{1 - x^2}}$ .

Ответ

$y' = 2arcsin xcdotfrac{1}{sqrt{1 - x^2}}$ .

Задача

Найти производную функции $y = e^{sqrt{sin x}}$ .

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
$y' = e^{sqrt{sin x}}cdotfrac{1}{2sqrt{sin x}}cdotcos x$ .

Ответ

$y' = e^{sqrt{sin x}}cdotfrac{1}{2sqrt{sin x}}cdotcos x$ .

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления производной экспоненты

Формула

$$left(e^{x}right)^{prime}=e^{x}$$

Производная от экспоненты равна этой же экспоненте.

Заметим, что если степень экспоненты есть сложная функция, то
при нахождении производной экспоненту надо еще умножить на производную степени, то есть

$$left(e^{u}right)^{prime}=e^{u} cdot u^{prime}$$

Примеры вычисления производной экспоненты

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=2 e^{x}$

Решение. Искомая производная

$$y^{prime}(x)=left(2 e^{x}right)^{prime}$$

По правилу дифференцирования константу можно выносить за знак производной, тогда будем иметь:

$$y^{prime}(x)=2 cdotleft(e^{x}right)^{prime}=2 cdot e^{x}=2 e^{x}$$

Ответ. $y^{prime}(x)=2 e^{x}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=e^{2x}$

Решение. Искомая производная

$$y^{prime}(x)=left(e^{2 x}right)^{prime}$$

Так как степень у экспоненты есть сложная функция, то производную от экспоненты умножим на производную от степени:

$$y^{prime}(x)=e^{2 x} cdot(2 x)^{prime}$$

Константу выносим за знак производной:

$$y^{prime}(x)=e^{2 x} cdot 2 cdot(x)^{prime}=2 e^{2 x} cdot 1=2 e^{2 x}$$

Ответ. $y^{prime}(x)=2 e^{2 x}$

Читать дальше: производная показательной функции (a^x)’.

Источник

Найдем производную функции f(x)=exf(x)=e^x и приведем некоторые ее свойства и практические примеры использования.

Производная экспоненты

Как известно, производной функции f(x)f(x), определенной в точке x0x_0 и в некотором интервале, содержащем x0x_0, называют предел следующего вида:

f′(x0)=dfdx∣x=x0=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf^{‘}(x_0)=dfrac{df}{dx}Bigr|_{x=x_0}=limlimits_{Delta x to 0}dfrac{ f(x_0+ Delta x)-f(x_0 )}{ Delta x},

если только такой предел существует.

Таким образом, для вычисления производной функции f(x)f(x) необходимо последовательно:

Записать выражение для приращения функции:

Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)Delta f(x_0 )=f(x_0+Delta x)-f(x_0 )

Упростить, по возможности, дробь

Δf(x0)Δx=f(x0+Δx)−f(x0)Δxdfrac {Delta f(x_0)}{Delta x}=dfrac {f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}

Вычислить предел дроби при Δx→0Delta x to 0 и записать полученное выражение для производной.

Применим этот алгоритм к вычислению производной экспоненты:

Записываем приращение функции:

Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)=ex0+Δx−ex0=ex0(eΔx−1)Delta f(x_0)= f(x_0+Delta x)-f(x_0)= e^{x_0+Delta x}-e^{x_0}=e^{x_0} (e^{Delta x}-1)

Получаем дробь:

Δf(x0)Δx=ex0eΔx−1Δxdfrac {Delta f(x_0)}{Delta x}= e^{x_0} dfrac {e^{Delta x}-1}{Delta x}

Вычисляем производную:

f′(x0)=lim⁡Δx→0ex0eΔx−1Δx=ex0lim⁡Δx→0eΔx−1Δxf'(x_0 )= limlimits_{Delta x to 0} {e^{x_0} dfrac {e^{Delta x}-1}{Delta x}}= e^{x_0}limlimits_{Delta x to 0} {dfrac {e^{Delta x}-1}{Delta x}}

Для преобразования eΔxe^{Delta x} используем представление числа e≈2,71828e approx2,71828 (числа Непера или числа Эйлера) в виде предела:

e=lim⁡n→∞(1+1n)ne=limlimits_{ntoinfty} Bigl( {1+dfrac {1}{n}} Bigr) ^n

Следовательно:

eΔx=lim⁡n→∞(1+Δxn)ne^{Delta x} =limlimits_{ntoinfty} Bigl( {1+dfrac {Delta x }{n}} Bigr) ^n

Используем для выражения под знаком предела бином Ньютона:

(1+Δxn)n=1+Cn1Δxn+Cn2(Δxn)2+…+Cnn(Δxn)nBigl( {1+dfrac {Delta x }{n}} Bigr) ^n=1+C_n^1 dfrac{Delta x }{n}+ C_n^2 Bigl( {dfrac{Delta x }{n}}Bigr)^2+ ldots + C_n^n Bigl( {dfrac{Delta x }{n}}Bigr)^n

Тогда:

f′(x0)=ex0lim⁡Δx→0lim⁡n→∞(1+Cn1Δxn+Cn2(Δxn)2+…+Cnn(Δxn)n)−1Δx=f'(x_0 )= e^{x_0}limlimits_{Delta x to 0}dfrac {limlimits_{ntoinfty} Bigl( {1+C_n^1 dfrac{Delta x }{n}+ C_n^2 Bigl( {dfrac{Delta x }{n}}Bigr)^2+ ldots + C_n^n Bigl( {dfrac{Delta x }{n}}Bigr)^n }Bigr)-1}{Delta x } =

=ex0lim⁡Δx→0(lim⁡n→∞Cn1Δxn+Cn2(Δxn)2+…+Cnn(Δxn)nΔx)==e^{x_0}limlimits_{Delta x to 0}Bigl( limlimits_{ntoinfty} dfrac {C_n^1 dfrac{Delta x }{n}+ C_n^2 Bigl( {dfrac{Delta x }{n}}Bigr)^2+ ldots + C_n^n Bigl( {dfrac{Delta x }{n}}Bigr)^n }{Delta x } Bigr)=

=ex0lim⁡Δx→0lim⁡n→∞(Cn11n+Cn2(Δx)2−1n2+…+Cnn(Δx)n−1nn)==e^{x_0}limlimits_{Delta x to 0} limlimits_{ntoinfty} Bigl( {C_n^1 dfrac{1}{n}+ C_n^2 dfrac{(Delta x)^{2-1} }{n^2}+ ldots + C_n^n dfrac{(Delta x)^{n-1} }{n^n}}Bigr)=

=ex0lim⁡n→∞lim⁡Δx→0(n1n+Cn2(Δx)2−1n2+…+Cnn(Δx)n−1nn)== e^{x_0}limlimits_{ ntoinfty } limlimits_{Delta x to 0} Bigl( {n dfrac{1}{n}+ C_n^2 dfrac{(Delta x)^{2-1} }{n^2}+ ldots + C_n^n dfrac{(Delta x)^{n-1} }{n^n}}Bigr)=

=ex0(1+lim⁡n→∞lim⁡Δx→0(Cn2(Δx)2−1n2+…+Cnn(Δx)n−1nn))= e^{x_0} Bigl( 1+ limlimits_{ ntoinfty } limlimits_{Delta x to 0} Bigl( { C_n^2 dfrac{(Delta x)^{2-1} }{n^2}+ ldots + C_n^n dfrac{(Delta x)^{n-1} }{n^n}}Bigr) Bigr)

Учитывая, что:

lim⁡Δx→0(Cn2(Δx)2−1n2+…+Cnn(Δx)n−1nn)=0limlimits_{Delta x to 0} Bigl( { C_n^2 dfrac{(Delta x)^{2-1} }{n^2}+ ldots + C_n^n dfrac{(Delta x)^{n-1} }{n^n}}Bigr)=0,

получаем:

f′(x0)=ex0(1+0)f'(x_0 )= e^{x_0}(1+0)

Таким образом:

f′(x)=(ex)′=exf'(x)= (e^{x})^{‘}=e^{x}

Как видно, производная экспоненциальной функции f(x)=exf(x)=e^x равна этой же функции.

Некоторые свойства и практические примеры

Угол наклона αalpha касательной к графику функции y=exy=e^x в точке x=x0x=x_0 определяется соотношением:

tg⁡α=y′(x0)=ex0tg alpha =y^{‘} (x_0 )=e^{x_0}

Здесь угол αalpha это угол между касательной и осью OxOx, отсчитываемый от положительного направления OxOx против часовой стрелки.

Производная функции f(x)=exf(x)=e^x в точке x=0x=0 равна 11:

f′(0)=(ex)x=0′=e0=1f^{‘}(0)=(e^x )_{x=0}^{‘}=e^0=1

Это означает, что касательная к графику в точке M(0;1)M(0;1) с координатами: x0=0,y0=e0=1x_0=0, y_0=e^0=1 составляют с осью OxOx угол 45∘(tg⁡45∘=1)45^{circ} (tg {45^{circ}}=1)

Производная сложной функции y=eg(x)y=e^{g(x)} согласно правил дифференцирования, равна:

y′=g′(x)eg(x)y’=g'(x) e^{g(x)}

Производная сложной функции y=u(v)y=u(v), где v=exv=e^x равна:

y′=uv′⋅v′=uv′⋅exy’=u’_v cdot v’=u’_v cdot e^x

Пример 1

Найти производную функции

f(x)=ex2+2xf(x)=e^{x^2+2x}

Решение
f′(x)=(ex2+2x)′=(x2+2x)′⋅ex2+2x=(2x+2)ex2+2xf'(x)= Bigl( e^{x^2+2x} Bigr)’=(x^2+2x)’ cdot e^{x^2+2x}=(2x+2) e^{x^2+2x}

Пример 2

Найти производную функции

f(x)=sin⁡e2xf(x)=sin{e^{2x}}

Решение

Полагаем: e2x=ve^{2x}=v

Тогда:

f′(x)=(sin⁡v)v′⋅v′=cos⁡v⋅(e2x)′=cos⁡(e2x)⋅(2x)′e2x=2e2xcos⁡(e2x)f'(x) = (sin v)_v’ cdot v’ = cos v cdot (e^{2x} )’ = cos (e^{2x}) cdot (2x)’ e^{2x}= 2e^{2x} cos(e^{2x})

Пример 3

Найти точку M(x0;y0)M(x_0; y_0) на графике функции y=exy=e^x в которой касательная к этому графику составляет с осью OxOx угол в 60∘60^{circ}.

Решение

Используя соотношение для угла наклона αalpha касательной:

tg⁡α=f′(x)tg alpha =f’ (x)

для α=60∘alpha =60^{circ} получаем:

tg⁡60∘=f′(x)=ex0tg 60^{circ}= f’ (x)=e^{x_0}

Отсюда находим координату x0x_0 точки MM:

ex0=3⇒x0=ln⁡3e^{x_0}= sqrt 3 Rightarrow x_0=ln sqrt 3

y0=ex0=eln⁡3=3y_0=e^{x_0}=e^{ln sqrt 3}=sqrt 3

Искомая точка: M(ln⁡3;3)M(ln sqrt 3; sqrt 3)

Тест по теме «Производная экспоненты»

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же x_0 , что и точка максимума функции А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при x=-4 . В точке x = -4 производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x) . Поскольку при функция y(x) убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=1. Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции y(x) . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

если e^x=4. Тогда x=ln4.

При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x).

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции y(x) . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при x=0.

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Производная экспоненты

Примеры решения

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?

Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике

Поиск точек экстремума

Поиск наибольшего / наименьшего значения функции

Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Разбираем лайфхак на примере

Алгоритм решения производных

Примеры решений производных

Формула

Примеры вычисления производной экспоненты

Производная экспоненты

Некоторые свойства и практические примеры

Тест по теме «Производная экспоненты»

Новое и интересное на сайте: