Производные шпаргалка егэ математика

Наверх

задания и ответы

Шпаргалка по математике для 11 класса таблица производных, формулы и теория по производным может пригодиться при решении задания №7 ЕГЭ по математике.

Ссылка для скачивания шпаргалки №1 по производным: скачать в PDF

Ссылка для скачивания шпаргалки №2 по производным: скачать в PDF

В данной шпаргалке вы найдёте: формулы и правила дифференцирования, применение производной к исследованию функции, анализ графиков, геометрический и физический смысл производной, задачи на нахождения тангенса, задачи на нахождение коэффициента К, задачи на нахождение значения производной, условие касания функции и прямой.

Смотреть онлайн:

Кому нужно углубиться в данную тему, смотрите бесплатный видеоурок:

Смотреть видеоурок 2019-2020 производная, таблица производных

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ


Источник

Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Для решения задач на исследование функции в вариантах ЕГЭ необходима таблица производных и правила дифференцирования, а также знания о том, как связана производная с поведением функции.

Смотри также, как решаются задачи ЕГЭ на применение производной: задача 7 и задача 11.

Прокомментируем несколько строк из таблицы производных.

1. Производная постоянной величины, то есть константы, равна ей самой. Так и должно быть. Ведь константа не меняется. Это постоянная величина, она всегда принимает одинаковые значения.

А производная функции, как мы знаем, – это скорость изменения функции. Подробнее об этом здесь:
Производная функции.
И поэтому производная константы равна нулю.

2. Производная функции у=х равна 1. Вспомним, что производная функции в точке – это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. График функции у=х образует угол 45 градусов с положительным направлением оси Х. А тангенс 45 градусов равен 1.

3. Производная функции y=e^{x} равна самой этой функции. И действительно, чем больше значение х, тем больше значение функции y=e^{x}… и тем круче вверх идет график по отношению к оси Х. Вот такая это функция, экспонента. Чем дальше, тем быстрее она растет.

4. Производная синуса и косинуса – тоже тригонометрические функции. Например, производная синуса – это косинус. Как это отражается в физике? Если координата тела меняется по закону синуса, то производная координаты, скорость, будет меняться по закону косинуса. Это описание гармонических колебаний: и координата, и скорость, и ускорение тела меняются по законам синуса и косинуса.

5. Производная логарифма в точке x_{0} обратно пропорциональна x_{0}. Чем дальше, тем медленнее растет логарифмическая функция.

Вспомним, как связаны производная и поведение функции.

Если производная {f}  положительна, то функция  f(x) возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

f(x) возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
{f} + 0 — 0 +

Разберем задачи ЕГЭ по теме «Таблица производных, нахождение наибольших и наименьших значений функции, нахождение точек максимума и минимума». Во всех этих примерах мы пользуемся формулами из таблицы производных.

Задача 1. Найдите точки максимумам функции displaystyle y=-frac{x^{2}+25}{x}.

Решение:

Область определения функции: xin (-infty; 0)cup (0;+infty ).

Найдем производную функции, пользуясь формулой производной частного из таблицы.

displaystyle {y}

{y} если x=pm 5.

Точки х = 5 и х = -5, а также точка ноль, разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Это метод интервалов.

Найдем знаки производной на каждом интервале.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Это точка 5 на рисунке.

Ответ: 5.

Задача 2. Найдите точки минимума функции  y=e^{x+10}(8x-3).

Решение:

Применим формулу производной произведения.

{y}

Приравняем производную к нулю:

{y}, если 8x-5=0, displaystyle x=frac{5}{8}=0,625.

Если  xtextless 0,625, то {y}  функция убывает.

Если xtextgreater 0,625, то {y} функция возрастает, значит,  x=0,625 – точка минимума функции y(x).

В этой точке производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Ответ: 0,625.

Задача 3. Найдите значение функции f(x)=x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9 в точке максимума.

Решение:

Найдем производную функции: f

Мы применили формулы производной степени.

Решим уравнение: f

3x^{3}-12x^{2}-4x+12=0Leftrightarrow 3x^{3}(x-3)-4(x-3)=0Leftrightarrow
Leftrightarrow (x-3)cdot 4cdot (x-1)cdot (x+1)=0Leftrightarrow left[begin{array}{c}x=3\x=1\x=-1\end{array}right. .

Получили критические точки, в которых производная равна нулю. Отметим их на оси Х и найдём знаки производной.

x=1 – точка максимума.

Найдём значение функции в этой точке: f(1)=1-4-2+12+9=16.

Ответ: 16.

Рассмотрим задачи ЕГЭ на нахождение наибольших и наименьших значений функций.

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке:

Это значит, что у нас есть алгоритм для нахождения наибольших и наименьших значений функции на интервале.

Пусть функция f(x) определена на некотором интервале. Чтобы найти ее наибольшее или наименьшее значение, действуем следующим образом:

  1. Находим производную функции.
  2. Приравниваем производную к нулю, находим точки, в которых она равна нулю.
  3. Если производная меняет знак с «плюса» на «минус» в точке x_{0}, то x_{0} – точка максимума функции.
  4. Если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» в точке x_{0}, то x_{0} – точка минимума функции.
  5. Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке максимума и концах отрезка.
    Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке минимума и концах отрезка.

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции y=2sqrt{2}(sinx+cosx) на отрезке [0;pi ].

Решение:

y=2sqrt{2}(sinx+cosx), xin [0;pi ].

Найдем производную: y

Приравняем производную к нулю:

displaystyle 2sqrt{2}(cosx-sinx)=0Leftrightarrow cosx=sinxLeftrightarrow tgx=1Leftrightarrow

displaystyle Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+pi n, nin Z.

Если xin [0;pi ], то displaystyle x=frac{pi }{4}.

Так как y

Точка displaystyle x=frac{pi }{4} – точка максимума функции displaystyle y(x); y_{max}(x)=yleft (frac{pi }{4}right )=4.

В этой точке функция принимает наибольшее значение на указанном отрезке.

Ответ: 4.

Задача 5. Найдите наименьшее значение функции y=(x-21)e^{x-20} на отрезке [19; 21].

Решение:

Найдем производную функции:

y

y при x=20.

Найдем знаки производной слева и справа от точки x=20.

Если  xtextless 20, то {y}

Если xtextgreater 20 то {y}

Значит, x=20 – точка минимума. Наименьшее значение функции на отрезке  достигается при x=20.

Это значение равно y(20)=-1.

Ответ: -1.

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции y=3x^{2}-13x+7ln+5 на отрезке displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ].

Решение:

Область  определения  функции: xtextgreater 0.

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

displaystyle y

displaystyle =frac{6(x-1)left ( x-frac{7}{6} right )}{x}.

y если 6x^{2}-13x+7=0.

D=169-168=1; x=1 или displaystyle x=frac{7}{6}. Второй корень не принадлежит отрезку displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ].

Найдем знаки производной на отрезке:

В точке x=1 производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, это точка максимума, и  наибольшее значение функции на отрезке displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ] достигается при  x=1.

Найдем значение функции  при x=1:

y(1)=3-13+7ln1+5=-5.

Ответ: -5.

В следующих задачах наименьшее значение функции достигается на конце отрезка.

Задача 7. Найдите наименьшее значение функции y=3cosx-pi x+pi ^{2} на отрезке [-2pi ; pi ].

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y

displaystyle y

У этого уравнения нет решений, так как displaystyle-frac{pi }{3}textless -1.

Это значит, что y при любых x, то есть y а это означает, что y(x) – убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка [-2pi ; pi ].

y_{min}=y(pi )=-3.

Ответ: -3.

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции y=7x-6sinx+8 на отрезке displaystyle left [ -frac{pi }{2}; 0 right ].

Решение:

Найдем производную функции: y

displaystyle y Производная функции не равна нулю ни при каком x.

Мы знаем, что -1leq cosxleq 1. Тогда -6leq -6cosxleq 6.

Прибавим  7 ко всем частям неравенства:

1leq 7-6cosxleq 13Rightarrow y для всех x.

Значит, производная положительна при любом значении переменной, функция монотонно возрастает. Наибольшее значение функции будет достигаться в правом конце отрезка, то есть при x=0.

y_{naim}=y(0)=7cdot 0-6sin0+8=8.

Ответ: 8.

Задача 9. Найдите наименьшее значение функции displaystyle y=13+frac{sqrt{3}pi }{3}-2sqrt{3}cdot x-4sqrt{3}cdot cosx на отрезке displaystyleleft [ 0; frac{pi }{2} right ].

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

displaystyle y
=2sqrt{3}(2sinx-1).

y тогда displaystyle sinx=frac{1}{2}.

На указанном отрезке это уравнение имеет единственное решение displaystyle x=frac{pi }{6}.

Слева от этой точки Если  2sinx-1textless 0, производная отрицательна.

Справа от этой точки 2sinx-1textgreater 0, производная положительна.

Значит, displaystyle x=frac{pi }{6} – точка минимума функции,  и наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.

Найдем значения функции в этой точке:

displaystyle yleft ( frac{pi }{6} right )=13+frac{sqrt{3}pi }{3}-2sqrt{3}cdot frac{pi }{6}-4sqrt{3}cdot cosfrac{pi }{6}=

displaystyle =13+frac{sqrt{3}pi }{3}-frac{sqrt{3}pi }{3}-4sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}=13-6=7.

Ответ: 7.

В задачах ЕГЭ встречаются сложные функции. И найти нужно их точки максимума или минимума, наибольшие или наименьшие значения. Но производную сложной функции в школьной программе по-настоящему не проходят. Как же быть? Покажем полезные приемы, помогающие решить такие задания ЕГЭ.

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).

Решение:

Рассмотрим функцию y=log_{2}t.

Так как функция y=log_{2}t монотонно возрастает, точка  минимума функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5) будет при том же значении  x, что и точка минимума функции t(x)=x^{2}+x+0,5. А ее найти легко:

t

t при displaystyle x=-frac{1}{2}.

В точке displaystyle x=-frac{1}{2} производная t меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, displaystyle x=-frac{1}{2} – единственная точка минимума функции t(x) и функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).

displaystyle y_{min}=yleft ( -frac{1}{2} right )=log_{2}left ( frac{1}{4}-frac{1}{2}+0,5 right )=log_{2}frac{1}{4}=-2.

Ответ: -2.

Задача 11. Найдите наибольшее значение функции  y=sqrt{x^{2}-4x+13} на отрезке [-0,5; 6].

Решение:

y=sqrt{x^{2}-4x+13}, xin [-0,5; 6].

Так как функция y=sqrt{t} монотонно возрастает при tgeq 0, точка минимума функции y=sqrt{x^{2}-4x+13} соответствует точке минимума подкоренного выражения t(x)={x^{2}-4x+13}.

Заметим, что подкоренное выражение всегда положительно.

Функция t(x)={x^{2}-4x+13}. задает квадратичную параболу с ветвями вверх и точкой минимума в вершине параболы, то есть при displaystyle x=frac{4}{2}=2.

Если xin [-0,5; 2], y=sqrt{x^{2}-4x+13} – монотонно убывает.

Если xin [2; 6], y=sqrt{x^{2}-4x+13} – монотонно возрастает.

Значит, наибольшее значение функции y=sqrt{x^{2}-4x+13} на отрезке [-0,5; 6] достигается в одном из концов этого отрезка.

Сравним y=(-0,5) и y=(6):

y(-0,5)=sqrt{0,25+13-2}=sqrt{11,25}.

y(6)=sqrt{25}=5.

y(-0,5)textless y(6).

y_{max}=6.

Ответ: 6.

Задача 12. Найдите точку максимума функции y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2.

Решение:

Рассмотрим функцию t(x)=2+2x-x^{2}.

Ее график – парабола с ветвями вниз, и точка максимума будет в вершине параболы, при x=1. Функция y(t)=log_{2}t монотонно возрастает, и значит, большему значению t будет соответствовать большее значение y(t).

Точка максимума функции y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2 будет такой же, как у функции t(x)=2+2x-x^{2}, то есть x=1.

Ответ: 1.

Читайте также: Задание 11 на ЕГЭ по математике.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Таблица производных и правила дифференцирования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
  4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
  5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Разложить производную функции на множители.
  4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
  5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция Производная
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n, n∈N$ $nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$ $-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$ $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$ ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$ $cosx$
$cosx$ $-sinx$
$tgx$ ${1}/{cos^2x}$
$ctgx$ $-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$ $-sin2x$
$sin^2x$ $sin2x$
$e^x$ $e^x$
$a^x$ $a^xlna$
$lnx$ ${1}/{x}$
$log_{a}x$ ${1}/{xlna}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Пример:

Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})’=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$

2. Производная произведения.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Пример:

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$

Пример:

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’∙e^x-5x^5∙(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

Пример:

$f(x)= cos(5x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Пример:

Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

Решение:

1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

${2x+21}/{x+11}=0$

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

$2x+21=0; x≠-11$

$2х=-21$

$х=-10,5$

4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$

5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума.

Ответ: $-10,5$

Пример:

Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$

Решение:

1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки

$30x^4-270x^2=0$

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(х-3)(х+3)=0$

Приравняем каждый множитель к нулю

$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$

$х=0;х=3;х=-3$

3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$

Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3

$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$

$y(-3)= 6∙(-3)^5-90∙(-3)^3-5=-1458+2430-5=967$

$y(0)= -5$

$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$

Наибольшее значение равно $967$

Ответ: $967$

Источник

Алгебра — ЕГЭ                Тригонометрия — ЕГЭ                Геометрия — ЕГЭ                Стереометрия — ЕГЭ                Алгебра — ОГЭ                Геометрия — ОГЭ

Таблица всех основных формул ЕГЭ

Таблица всех основных формул ЕГЭ

Шпаргалка по математике для ЕГЭ

Шпаргалка по математике для ЕГЭ

Сборник формул для 11 класса

 Сборник формул для 11 класса

Старая добрая советская шпаргалка

Старая добрая советская шпаргалка

Формулы для производных функций

Формулы для производных функций

Сборник формул по элементарной математике

Сборник формул по элементарной математике

Источник

ФОРМУЛЫ И ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Формулы

Правила

Элементарные функции

Сложные функции

(c∙f(x))=c∙f (x)

(c – постоянная)

Постоянный множитель можно выносить за знак производной

c=0

(c – постоянная)

x=1

(n – постоянная)

Производная суммы (разности)

Производная суммы (разности) функций равна сумме их производных

Частные случаи

Производная произведения

(a0 – постоянная)

Производная частного

Производная сложной функции (функции от функции)

Если y=f(u) и u=u(x), т.е. y=f(u(x)), то

Геометрический смысл производной

Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке, а также тангенсу угла наклона касательной к оси Х.

Физический смысл производной

Скорость –это производная пути по времени, а ускорение – это производная скорости по времени.

S=S(t)

v=S(t)

a=v(t)

Исследование функции y=f(x) на монотонность и экстремумы

  1. Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна.

  2. Найти производную f  (x).

  3. Найти критические точки, т.е. внутренние точки области определения, в которых

f  (x)=0 или не существует.

  1. Отметить критические точки на области определения; найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.

  2. Относительно каждой точки определить, является ли она точкой максимума или минимума или не является точкой экстремума.

  3. Записать результат исследования (промежутки монотонности и экстремумы)

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке

  1. Найти производную f  (x).

  2. Найти критические точки ( f  (x)=0 или не существует).

  3. Выбрать критические точки, принадлежащие данному отрезку.

  4. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка.

  5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Производные финансовые инструменты экзамен
  • Произведения про ответственность для сочинения егэ
  • Произведения про великую отечественную войну для итогового сочинения
  • Произведения про одиночество сочинение егэ
  • Произведения про вдохновение для сочинения

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии