Простейшие тригонометрические уравнения в егэ профильный уровень

Сайты, меню, вход, новости

В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Квадратные уравнения

Арифметический квадратный корень

Корни и степени

Показательная функция

Показательные уравнения

Логарифмическая функция

Логарифмические уравнения

Тригонометрический круг

Формулы приведения

Формулы тригонометрии

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Получим:

или

Выбираем меньший корень.

Ответ: -6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Ответ: -6.

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Ответ: -2.

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Решим пропорцию:

Условие  при этом выполняется.

Ответ: 87.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

.

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

.

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

Ответ: 8.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов:

.

Ответ: 9.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

откуда

Ответ: 4.

8. Решите уравнение

Представим как

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

Ответ: 7,5.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Ответ: 12,5.

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел.

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит, 

Представим 2 в правой части уравнения как , чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом 

Ответ: 21.

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

.

Ответ: -4.

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

.

Ответ: 19.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Получим систему:

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Ответ: 12.

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

Ответ: -2.

15. Решите уравнение: В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на .

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Ответ: 2.

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $={180}/{π}≈57$  градусов

$1$ градус $={π}/{180}$ радиан

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$	$ 0$	${π}/{6}$	${π}/{4}$	${π}/{3}$	${π}/{2}$	$π$
$sinα$	$ 0$	$ {1}/{2}$	$ {√2}/{2}$	$ {√3}/{2}$	$ 1$	$ 0$
$cosα$	$ 1$	$ {√3}/{2}$	$ {√2}/{2}$	$ {1}/{2}$	$ 0$	$ -1$
$tgα$	$ 0$	$ {√3}/{3}$	$ 1$	$ √3$	$ -$	$ 0$
$ctgα$	$ -$	$ √3$	$ 1$	$ {√3}/{3}$	$ 0$	$ -$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^2α}$

$cosα=±√{1-sin^2α}$

1. $tgα·ctgα=1$
2. $1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
3. $1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$

Формулы двойного угла

1. $sin2α=2sinα·cosα$
2. $cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$
3. $tg2α={2tgα}/{1-tg^2α}$

Формулы суммы и разности

$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$

Формулы произведения

$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$

$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$

$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$

Формулы сложения

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$

$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ {table cos (t)=a; ≤t≤π;$

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$t=±arccos ⁡ a+2πk; k∈Z$

Частные случаи

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ {table sint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$2. t=(-1)^n arcsin ⁡ a+πn; n∈Z$

$3.$ Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$

$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.

$arctg a = t ⇔ {table tgt=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arctg(-a)= — arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «НЕКЛИНОВСКАЯ ШКОЛА —  ИНТЕРНАТ С
ПЕРВОНАЧАЛЬНООЙ ЛЁТНОЙ ПОДГОТОВКОЙ ИМ. ЧЕТВЁРТОЙ КРАСНОЗНАМЁННОЙ ВОЗДУШНОЙ
АРМИИ»

ПОСОБИЕ
ПО ПОДГОТВКЕ К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОФИЛЬНЫЙ
УРОВЕНЬ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ

В
ЗАДАНИЯХ ЕГЭ

                                        
Выполнил: Кузнецов Виктор Игоревич

                                                             
11 «Ж» класс

     
                       Руководитель:  Франк М.В.

с.
Николаевка

2022
г.

Тригонометрические
уравнения

Тригонометрическое уравнение — алгебраическое
уравнение относительно тригонометрической функции неизвестного аргумента. Для
решения тригонометрического уравнения, пользуясь различными соотношениями между
тригонометрическими функциями, преобразуют уравнение  к такому виду, чтобы
можно было определить значения одной из тригонометрических функций искомого
аргумента. После этого корни тригонометрического уравнения получаются с помощью
обратных тригонометрических функций.

Под решением тригонометрического уравнения понимается
такой набор чисел х, который при подстановке в уравнение обращает его в
тождество.

Тригонометрические уравнения, в отличие от
алгебраических, или имеют бесконечное множество решений (число n служит
для обозначения этой «бесконечности»), или совсем не имеют решений.

Решение тригонометрических уравнений любой сложности
сводится к решению простейших тригонометрических уравнений, решение которых
записываются с помощью формул.

Простейшие
тригонометрические уравнения — это уравнения вида: sin x = a, cos x= a,

tg x = a, ctg x = a.  Каждое
из таких уравнений решается по формулам:

Вид уравнения	Общий вид решения	Частные случаи
а = -1	а = 0	а = 1
sinx = a, |a | ≤ 1	x = (-1)k arcsina + πk,
|a| > 1	корней нет
cos x= a |a | ≤ 1	x= + arccos a+2πk,
|a| > 1	корней нет
tg x = a а	x = arctg a + πk,
ctgx=a a	х = arcctga+kπ,

Для синуса существует две равнозначные формы записи
решения:

sinx = a,    |a | ≤ 1                  x
= (-1)^k arcsina + πk,

или

С помощью приставки «arc» в формулах
записываются обратные тригонометрические функции:

·                  
arcsinα
– угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, синус которого равен α;

·                  
arccosα
– угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, косинус которого равен α;

·                  
arctgα
– угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, тангенс которого равен α;

·                  
arcctgα
– угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, котангенс которого равен α.

arcsin(-α) = — arcsinα;

arccos(-α) = π –
arccosα;

arctg(-α)
= — arctgα;

arcсtg(-α)
= π –
arсctgα.

Для
решения простейших тригонометрических уравнений пользуются тригонометрическим
кругом и определениями тригонометрических функций.

Уравнение
вида  решается по формуле: х =

Уравнение
вида  решается по формуле: х=

Уравнение
вида  решается по формуле: х =

Уравнение
вида  решается по формуле: х=

Для тригонометрических уравнений не существует единого
метода решения. В каждом конкретном случае успех определяется, в частности,
знанием тригонометрических формул и навыками решения задач.

Лист
– помощник

Методы
решения тригонометрических уравнений.

Основные
методы решения тригонометрических уравнений.

I.
Метод – алгебраический.

Алгоритм
применения метода:

1)
Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических
функций. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести
ограничения на t).

2)
Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

3)
Сделать обратную замену.

4)
Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

5)
Записать
ответ.

Решить
уравнения:

1)
Решение:

	Раскроем скобки
	Сделаем замену: ,  |t| ≤ 1, получим уравнение:
3t2 + 7 t + 4 =0
t1 = — 1    t2 = — 4/3 – не явл. корнем
	Вернёмся к замене:
х =  Z

2) tg² x + 2tg x – 3 = 0

Решение:

tg2 x + 2tg x – 3 = 0	Сделаем замену: ,  , получим уравнение:
t2 + 2 t — 3 = 0
t1 = 1    t2 = -3	Вернёмся к замене:
Ответ: ;

Задания
для самостоятельного решения.

а)
Решите уравнение;

б)
Найдите все корни принадлежащие промежутку.

1
а) ;                                 б)
[0;2π]

2.
а)                              б) [-π;π]

3.
а) ;                               б) [0;π]

4.
а) ;                        б) [-π ;0]

5.
а) ;                     б) [0;π]

6.
а)                       б) [π;]

7.
а) ;                                  б)
[0;2π]

8.
а) ;                           б) [-π;]

9.
а)                           б) [0;]

10.
а) ;                б) [π;3π]

11.
а) ;                       б) [- ;-2π]

12.
а) ;               б) [; 4π]

13.
а)                         б) [-2π; -π]

Ответы

1.            

2.     

3.
;

4.;

5.
 

б) 

6.
     7.     

8. 
          9. .

10.
    11..

12.

13.

II.
Метод — разложение на множители.

Алгоритм:

1)
С помощью формул, преобразовать уравнение.

2)
Вынести за скобки общий множитель.

3)
Решить простейшие тригонометрические уравнения.

4)
Записать ответ.

При
решении уравнений такого типа необходимо пользоваться известным правилом: произведение
нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а
остальные при этом имеют смысл.

Решить
уравнения:

1)4sin хcos х – 2cos х + 2sin х — 1 = 0

Решение:

4sin хcos х – 2cos х + 2sin х — 1 = 0
	Разложим на множители:
или
,   ,   х =  Z,  x =	Решим первое уравнение:
	Решим второе уравнение:
Ответ:  Z,   ,

2)
3tg² х – 2tg х =
0

Решение:

3tg2х – 2tg х = 0
tg х (3tg х – 2) = 0
tg х = 0      или     3 tg х – 2 = 0
Ответ: ;  .

Задания
для самостоятельного решения.

а)
Решите уравнение;

б)
Найдите все корни принадлежащие промежутку.

14.
а)                б) [- ;- π]

15.
а)                      б) [ ; 3π]

16.
а)                  б) [2π;]

17.
а) ;                       б) [2π;]

18.
а) ;             б) [-2π;]

19.
а)                           б) [0;]

20.
                        б) [2π;3π]

21.                                                    б)
[3π;4π]

Ответы

14.

15.

16.;    17.

18.

19.
.

20. 
.

21.

III.
Метод — приведение к однородному уравнению.

Уравнения
вида: a sin x + b cos x = 0;  a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0 называются
однородными относительно sin x и cos x.

Алгоритм
применения метода:

1)
Разделить обе части уравнения на: cos x ≠ 0;  или  cos²x ≠ 0.

2)
Получить уравнение относительно tgx: tgx +а = 0 или atg²x+btgx+c=0

3)
Решить уравнение известными способами.

Решить
уравнения:

1) sin² x + 2
sin(π– x) cos x – 3cos²
(2π – x) = 0

Решение:

sin2 x + 2 sin(π– x) cos x – 3cos2 (2π – x) = 0	Преобразуем уравнение, применяя формулы приведения;
sin2 x + 2 sinx cos x – 3cos2 x = 0	Разделим уравнение на cos2 x, cos2x ≠ 0
tg2 x + 2tg x – 3 = 0	Введём новую переменную и решим квадратное уравнение:
t2 + 2 t — 3 = 0
t1 = 1    t2 = -3	Вернёмся к замене:
Ответ: ;

2) 3sin
² 3x —   3 sin3xcos3x + 5cos² 3x = 2

Решение:

3sin 2 3x —    sin3xcos3x + 5cos2 3x = 2	Преобразуем правую часть уравнения:
3sin 2 3x —    sin3xcos3x + 5cos2 3x =  = 2sin 2 3x + 2 cos2 3x	Привести подобные и получится уравнение:
sin 2 3x — sin3xcos3x + 3cos2 3x = 0	Разделим уравнение на cos2 x,  cos2x ≠ 0 и получим уравнение:
tg2 3x – 2tg3x + 3 = 0	Введём новую переменную и решим квадратное уравнение
tg 3x =
3х =
х =

Задания
для самостоятельного решения.

а)
Решите уравнение;

б)
Найдите все корни принадлежащие промежутку.

22.a)
                                                  б) [ ;6π]

23.
a)                                         б) [- ;0]

24.
а)                                       б)
[-3π;-2π].

25.
а)                   б) [-3π;-2π].

26.
а)  ;                  б) [3π;4π].

27.
а)                                                  б)
[0;π].

28.
а)              б) [-3π;-2π].

29.
а)                                  б) [2π;3
π]

30.
а)               б) [ ; -2π]

31.а)
                          б) [π;

Ответы

22.

23.
.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31..

IV.
Метод — переход к половинному углу.

Решение
уравнений основано на применении формул удвоенного аргумента.

Решить
уравнение:  .

Решение:

	Преобразуем левую и правую части уравнения, используя формулы синуса и косинуса двойного угла и приём с приписыванием единичного множителя:
	Привести подобные и получится уравнение:
	Разделим уравнение на cos2 x, cos2x ≠ 0  и получим уравнение:
tg2 x – 6 tgx + 9 = 0	Введём новую переменную и решим квадратное уравнение:
tg x =
х =
Ответ:

Задания
для самостоятельного решения.

а)
Решите уравнение;

б)
Найдите все корни принадлежащие промежутку.

32. а) sin2x +2cosx
=0;                                              б) [-π;

33. а) 2sin⁴
x +3cos2x + 1 = 0;                                   б) [π;

34. а) cos² x
– 0,5sin2x +cosx =sinx;                          б) [;2π]

35. а) 0,5sin2x+sin²
x-sinx =cosx;                              б) [- ;]

36.
а)
cos2x -3cosx +2
=0;                                          б) [- ;-]

Ответы

32.
        33.

34.

35.
.

36..

V.
Метод — введение вспомогательного угла.

Одним
из способов решения уравнений вида  является введение вспомогательного угла.
Разделим обе части уравнения на . Полученное уравнение решить известными
способами.

Решите
уравнение:   12cos x – 5sin x + 13 = 0.

Решение:

12cos x – 5sin x + 13 = 0.	.
cos x – sin x + 1 = 0.	Пусть , тогда  записываем уравнение:
	Применяем формулу косинус суммы:
=
= x =	Где  =
Ответ:

Задания
для самостоятельного решения.

а)
Решите уравнение;

б)
Найдите все корни принадлежащие промежутку.

37.
a)                              б) [- ;]

38.
a)                                   б) [;π]

39.а)
                                 б) [π;

40.
а)                             б) [π;

Ответы

37.

38.

39.

40.

VI.
Метод — преобразование произведения в сумму.

С
помощью формул (приложение 1) уравнение преобразовывается из произведения в
сумму. Решить  полученное уравнение известными способами.

Решите
уравнение:

Решение:

	С помощью формул уравнение преобразовывается из произведения в сумму:
2
;  5х =
Ответ: ;

Задания
для самостоятельного решения.

Решите
уравнение:

41. 
     (Ответ:  )

VII.
Метод — универсальная подстановка.

Используется
универсальная тригонометрическая подстановка:

, которая позволяет все тригонометрические
функции аргумента х выразить рационально относительно . Получим следующие формулы:

С
помощью универсальной подстановки можно любое уравнение вида  свести к алгебраическому уравнению.

Важно
при этом помнить, что, делая замену, можно потерять те корни исходного
уравнения, для которых  не определён, то есть значения  их нужно проверять отдельно.

Необходимо
подчеркнуть, данные методы могут быть ещё значительно расширены. При этом, как
правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится
использовать не один, а несколько из указанных выше методов, их комбинацию.

Решите
уравнение:

Решение:

sin x+ cos x=1	С помощью универсальной подстановки можно уравнение сведём к алгебраическому  уравнению.
+ 1 —  =
=
Ответ: ;

Задания
для самостоятельного решения.

Решите
уравнение:

42. 
5sin x – 5 cos x = 7       

(Ответ: 
2 arcсtg 3 + 2πn, n Є Z;  2arctg 2 + 2πk, k Є Z)

Образец оформления решения заданий по материалам  ЕГЭ

1.   а). 
Решите уравнение    cos2x + 3sin²x=1,25.

2.  б).  Найдите
корни, принадлежащие отрезку [π;].

а).
Решение:

cos2x + 3sin²x=1,25.

Используя
формулу cos2x =  cos²x – sin²x, получим:

cos²x
– sin²x+3sin²x=1,25;      cos²x +2sin²x=1,25;    
(cos²x +sin²x) + sin²x =1,25;

Используя
основное тригонометрическое тождество, получим:

1 +
sin²x = 1,25,       sin²x = 0,25,   sinx = .  

Если sinx = 0,5 то  x=(-1)ⁿ+πn, nZ.    Если sinx =, то x=(-1)^к+1+πк, кZ.

б). 
Проведём отбор корней  на интервале [π;] с  помощью числовой окружностью.

х₁=    , 

х₂=
 

х₃
=  

Ответ:   а) (-1)ⁿ+πn, nZ;

(-1)^к+1+πк, кZ;    

б) 
,     

2.   a) Решите
уравнение    sin2x = sin (+x).

     
б)  Найдите корни, принадлежащие отрезку      [-; -2,5π]

Решение:

a)    
Используя
формулу sin2x =2sinxcosx, за­пи­шем
ис­ход­ное урав­не­ние в виде: 

 2sinxcosx = cosx,     
 sinxcosx —  cosx  = 0 ,   cosx (2sinx – 1) =
0.  Значит,   cosx = 0,
откуда    х =      или   2sinx -1 = 0, sinx = 0,5, 
откуда

х
=  =(-1)^к  +πк, кZ.

б).  
Отберём корни из отрезка  [-; -2,5π].

Для
уравнения cosx = 0  — это 
 —;.  -2,5π

Для
уравнения sinx = :   

1.   Найдём k из
формулы .

,    ,    ,

,          .

На
данном промежутке целых значений k  нет.

1.   Найдём  k из
формулы    .

,     ,    ,    ,      k = -2,  x =   .

Ответ: а).        б). —;. —;

3.  а) 
Решите уравнение

б)
Найдите все корни этого уравнения,

Решение.

a)   Запишем исходное
уравнение в виде:

;

б)
Отберём корни, принадлежащие
отрезку [- ;]

1.
Найдём к из формулы  .

  

На
данном промежутке два целых значений к:  к = -3 и к = -2. Следовательно, х₁
 = -3π,

х₂
 = -2π.

2.
Найдём n из
формулы 

а)

       

На
данном промежутке целых значений   нет.

б)

     

На
данном промежутке  n = -1.
Следовательно, х  = ,

Ответ:
а) ;    ;   б)   -3π,  -2π; .

Задания
для самостоятельного решения.

1.
а) Решите уравнение  . 

 б)
Укажите корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

2. 
а) Решите уравнение .

     
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

3. 
а) Решить уравнение: 6cos²x – 7cosx – 5 = 0.

    
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

Ответ:

4.  
а) Решить уравнение . 

     
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:  

5.    
а) Решить уравнение . 

       
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ: 

6. 
а) Решить уравнение . 

    
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ: 

7. 
а) Решить уравнение . 

     
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ: 

8.
  а) Решить уравнение . 

      
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку

Ответ: 

9.
 а) Решить уравнение .

     
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

10.
  а)  Решить уравнение .

       
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ: 

11.
  а) Решить уравнение.

        
б)  Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ: 

12.
   а) Решить уравнение .

        
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ: 

13. 
 а) Решить уравнение .

        
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ: 

14.
    а) Решить уравнение .

         
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

15.
   а) Решить уравнение .

        
б)  Укажите его корни, принадлежащие отрезку

Ответ: 

 

ЛИТЕРАТУРА

1.    
С.А.
Шестаков, П.И. Захаров. ЕГЭ. Математика. Уравнения и системы. М. : МНЦМО, 2011
– 120 с.

2.    
Демонстрационный
вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2020 года по математике.
Профильный уровень.

3.    
Демонстрационный
вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2021 года по математике.
Профильный уровень.

4.    
Демонстрационный
вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2022 года по математике.
Профильный уровень.

5.    
ЕГЭ.
Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/
под. Редакцией И.В. Ященко. – М. «Национальное образование», 2022 – 224 с. –
(ЕГЭ. ФИПИ — школе).

6.    
ЕГЭ.
Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/
под. Редакцией И.В. Ященко. – М. «Национальное образование», 2021 – 224 с. –
(ЕГЭ. ФИПИ — школе).

7.    
https://math100.ru/ege-profil2022

8.    
http://www.webmath.ru/poleznoe/trig_formules.php