Простейшие уравнения егэ профиль теория

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

Раскроем скобки.

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$

$х=-{17}/{5}$

$х = — 3,4$

Ответ: $- 3,4$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • $a$ — старший коэффициент;
  • $b$ — средний коэффициент;
  • $c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

$4х^2 — 5х = 0$

Вынесем х как общий множитель за скобки:

$х (4х — 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х — 5 = 0$

$х_1 = 0   х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = — c$

$x_2 = {-c}/{a}$

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$

если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

$x^2 — 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x = ±4$

Ответ: $х_1 = 4, х_2 = — 4$

Решение полного квадратного уравнения

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение

$b^2 — 4ac$.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

$3х^2 — 11 = -8х$

Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней

$3х^2 + 8х — 11 = 0$

$a = 3 ,b = 8, c = — 11$

$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$

$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$

$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$

Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$

Устные способы

Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

$4х^2+ 3х — 7 = 0$

$4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$

Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$

$5х^2+ 7х + 2 = 0$

$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$

Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$

Кубические уравнения

Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

$(x — 3)^3 = 27$

Представим обе части как основания в третьей степени

$(x — 3)^3 = $33

Извлечем кубический корень из обеих частей

$х — 3 = 3$

Соберем известные слагаемые в правой части

$x = 6$

Ответ: $х = 6$

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

  1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  3. решить получившееся целое уравнение;
  4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

$4x + 1 — {3}/{x} = 0$

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$

$4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2 + x — 3 = 0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$

${3х-5}/{-2}={1}/{х}$

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

Воспользуемся основным свойством пропорции

$х (3х — 5) = -2$

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

$3х^2- 5х + 2 = 0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

$a + b + c = 0$

$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

Например,

${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение

$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)

Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

  1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
  2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

Решить уравнение: $4x+1-{3}/{x}=0$

Решение:

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x ≠ 0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x+1-{3}/{x}=0|·x$

$4x·x+1·x-{3·x}/{x}=0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2+x-3=0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$

Тогда, $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ — пропорция, то $a·d=b·c$

Решить уравнение ${3x-5}/{-2}={1}/{x}$

Решение:

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

Воспользуемся основным свойством пропорции

$х(3х-5)=-2$

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне

$3х^2-5х+2=0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$

$x_1=1, x_2={2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1=1, x_2={2}/{3}$

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

  1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
  2. Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
  3. Решить полученное рациональное уравнение.
  4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Решите уравнение $√{4х-3}=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.

Решение:

Обе части уравнение возведем в квадрат:

$√{4х-3}^2=х^2$

Получаем квадратное уравнение:

$4х-3=х^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

${-х}^2+4х-3=0$

Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как

$a+b+c=0$

$-1+4-3=0$, следовательно $х_1 = 1; х_2={с}/{а}={-3}/{-1}=3$

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$√{4·1-3}=1$

$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.

$√{4·(3)-3}=3$

$√9=3$

$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит

$х_1=1$ наименьший корень.

Ответ: $1$

Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:

  1. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  2. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Решить уравнение: $х-6=√{8-х}$

Возведем обе части уравнения в квадрат

$(х-6)^2=8-х$

В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение

$х^2-2·6·х+6^2=8-х$

$х^2-12х+36=8-х$

Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.

$х^2-12х+36-8+х=0$

Приводим подобные слагаемые:

$х^2-11х+28=0$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$D=b^2-4ac=121-4·28=121-112=9=3^2$

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}={11±3}/{2}$

$x_1=7; x_2=4$

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$x_1=7$

$7-6=√{8-7}$

$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.

$x_2=4$

$4-6=√{8-4}$

$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.

Ответ: $7$

Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

$a^x=b$

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n⋅a^m=a^{n+m}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

$a^n:a^m=a^{n-m}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n·m}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a·b)^n=a^n·b^n$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

$a^0=1$

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

$a^{-n}={1}/{a^n}$

${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$

Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение $25·5^х=1$

Решение:

В левой части уравнения необходимо сделать одну степень с основанием $5$ и в правой части уравнения представить число $1$ в виде степени с основанием $5$

$5^2·5^х=5^0$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются

$5^{2+х}=5^0$

Далее проговариваем: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели

$2+х=0$

$х=-2$

Ответ: $-2$

Решить уравнение $2^{3х+2}-2^{3х-2}=30$

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель

$2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$

$2^{3x-2}({2^{3x+2}}/{2^{3x-2}}-{2^{3x-2}}/{2^{3x-2}})=30$

$2^{3x-2}(2^{3x+2-(3x-2)}-1)=30$

$2^{3x-2}(2^4-1)=30$

$2^{3x-2}·15=30$

Разделим обе части уравнения на $15$

$2^{3х-2}=2$

$2^{3х-2}=2^1$

$3х-2=1$

$3х=3$

$х=1$

Ответ: $1$

Источник

В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Квадратные уравнения

Арифметический квадратный корень

Корни и степени

Показательная функция

Показательные уравнения

Логарифмическая функция

Логарифмические уравнения

Тригонометрический круг

Формулы приведения

Формулы тригонометрии

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение frac{6}{13}x^2=19frac{1}{2}. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь frac{6}{13} умножается на x^2. А в правой части — смешанное число 19frac{1}{2}. Его целая часть равна 19, а дробная часть равна frac{1}{2}. Запишем это число в виде неправильной дроби:

19frac{1}{2}= frac{19cdot 2+1}{2} = frac{39}{2}.

Получим:

frac{6}{13}x^2=frac{39}{2};

x^2=frac{39cdot 13}{2cdot 6}=frac{13cdot 3cdot 13}{2cdot 6}=frac{{13}^2}{4};

x=pm frac{13}{2};

x_1=-6,5 или x_2=6,5.

Выбираем меньший корень.

Ответ: -6,5.

2. Решите уравнение left ( x-6 right )^2=-24x.

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

left ( x-6 right )^2=-24xLeftrightarrow x^2-12x+36=-24xLeftrightarrow

Leftrightarrow x^2+12x+36=0Leftrightarrow left ( x+6 right )^2=0Leftrightarrow x=-6.

Ответ: -6.

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как frac{4x-5}{4x-5} и приведем дроби к общему знаменателю:

frac{5x-3}{4x-5}-frac{4x-5}{4x-5}=0;

frac{x+2}{4x-5}=0;

x= - 2.

Ответ: -2.

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

sqrt{frac{6}{4{x}-54} } =frac{1}{7}.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

frac{6}{4{x}-{ 54}} =frac{1}{49}.

Решим пропорцию:

4{x}-{ 54}={ 6}cdot { 49};

4{x}=348;

{ x}={ 87}.

Условие  при этом выполняется.

Ответ: 87.

5. Решите уравнение sqrt{72-x}=x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

left{begin{matrix} 72-x=x^2\72-xgeq 0 hfill \xgeq 0 hfill end{matrix}right..

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

sqrt{72-x}=x Leftrightarrow left{begin{matrix} 72-x=x^2\72-x geq 0 \x geq 0 end{matrix}right. Leftrightarrow

.

Мы получили, что x=8. Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

72-xge 0.

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: x^2+x-72=0. Находят его корни: x=8 или x=-9. Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

Ответ: 8.

6. Решите уравнение sqrt{45+4x}=x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов:

.

Ответ: 9.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение 5^{x-7}=frac{1}{125}.

Вспомним, что 125 = 5{}^{3}. Уравнение приобретает вид: 5{}^{x}{}^{-}{}^{7 }= 5{}^{-}{}^{3}. Функция y = 5^x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

x - 7 = -3, откуда x = 4.

Ответ: 4.

8. Решите уравнение {left(frac{1}{49}right)}^{x-8}=7.

Представим {left(frac{1}{49}right)}^{ } как 7^{-2};

{left(7^{-2}right)}^{x-8}=7;

7^{-2x+16}=7.

Функция y = 7^x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

-2x+16=1;

-2x=-15;

x=7,5.

Ответ: 7,5.

9. Решите уравнение left(frac{1}{9} right)^{{ x}-13} =3.

Представим {textstylefrac{1}{9}} в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что left({ a}^{{ m}} right)^{{ n}} ={ a}^{{ mn}}.

left(3^{-2} right)^{{ x}-{ 13}} =3;
3^{-2{ x}+{ 26}} =3^{1} ;

-2{ x}+{ 26}={ 1};

{ x}={ 12,5}.

Ответ: 12,5.

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел.

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

{{log}_5 left(4+xright)=2 }.

Область допустимых значений: . Значит, 

Представим 2 в правой части уравнения как {{log}_5 25 }, чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

{{log}_5 left(4+xright)={{log}_5 25 } }.

Функция y = {{log}_5 x } монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом 

4+x=25;
x=21.

Ответ: 21.

11. Решите уравнение: {{log}_8 left(x^2+xright)={{log}_8 left(x^2-4right) } }.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

.

Ответ: -4.

12. Решите уравнение: 2^{{{log}_4 left(4x+5right) }}=9.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

{{log}_4 b }=frac{{{log}_2 b }}{{{log}_2 4 }}=frac{{{log}_2 b }}{2}.

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

.

Ответ: 19.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

{{log}_{x-5} 49=2 }.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Получим систему:

small left{begin{matrix} left ( x-5 right )^2=49\x-50 \x-5 neq 1 end{matrix}right..

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: x=12 и x=-2.

Очевидно, корень x=-2 является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения: x=12.

Ответ: 12.

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: cos frac{pi (x+1)}{4}=frac{sqrt{2}}{2}. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену frac{pi left(x+1right)}{4}=t. Получим: cos t=frac{sqrt{2}}{2}.

Получаем решения: t=pm frac{pi }{4}+2pi n, nin Z. Вернемся к переменной x.

frac{pi (x+1)}{4}=pm frac{pi }{4}+2pi n, nin Z. Поделим обе части уравнения на pi и умножим на 4.

x+1=pm 1+8n, nin Z;

left[ begin{array}{c}x=8n, nin Z \x=-2+8n end{array}right..

Первой серии принадлежат решения -8; 0; 8dots

Вторая серия включает решения -2; 6; 14dots

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это x = -2.

Ответ: -2.

15. Решите уравнение: tg frac{pi left( x+1right)}{4}= -1. В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

Сделаем замену frac{pi left(x+1right)}{4}=t. Получим:tgt=-1. Решения этого уравнения:

t=-frac{pi }{4}+pi n, nin Z. Вернемся к переменной х:

frac{pi left(x+1right)}{4}=-frac{pi }{4}+pi n, n in Z. Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на pi.

x+1=-1+4n;

x=-2+4n.

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

x=-2 ;2; 6dots Наименьший положительный корень x = 2.

Ответ: 2.

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Тема урока: «Подготовка к ЕГЭ. 1 задание.Простейшие
уравнения. Профиль.»

Цель: подготовить к успешной сдаче экзамена по
профильной математике

Структура №1
задания профиль математика простейшие уравнения

1.  Линейные,
квадратные, кубические уравнения

2. 
Рациональные уравнения

3. Иррациональные
уравнения

4.
Показательные уравнения

5. Логарифмические
уравнения

6. Тригонометрические уравнения

1.Линейные,
квадратные, кубические уравнения

Карточка №1 Линейные
уравнения

1. Найдите корень уравнения:  дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби x=7 дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби .

Решение. Последовательно получаем:

дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби x=7 дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби равносильно дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби x= дробь: числитель: 52, знаменатель: 7 конец дроби равносильно 4x=52 равносильно x=13.

Ответ: 13.

Решить самостоятельно

1.     
Найдите корень
уравнения:  минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби x=1 дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .

2.     
Найдите корень
уравнения: 

3.     
Найдите корень
уравнения: 

4.     
Найдите корень уравнения: 

5.     
Найдите корень
уравнения: 

6.     
Найдите корень
уравнения: 

7.     
Найдите корень
уравнения: 

8.     
Найдите корень
уравнения: 

9.     
Найдите корень
уравнения: 

10. 
Найдите корень
уравнения: 

Карточка №2 Квадратные уравнения

Найдите корень уравнения (x минус 10) в степени 2 =(x плюс 4) в степени 2 .

Решение. Выполним преобразования, используя формулы (a плюс b) в степени 2 =a в степени 2 плюс 2ab плюс b в степени 2  и (a минус b) в степени 2 =a в степени 2 минус 2ab плюс b в степени 2 :

(x минус 10) в степени 2 =(x плюс 4) в степени 2 равносильно
равносильно x в степени 2 минус 20x плюс 100=x в степени 2 плюс 8x плюс 16 равносильно 28x=84 равносильно x=3.

Ответ: 3.

Приведём другое решение:

Выполним преобразования,
используя формулу a в степени 2 минус b в степени 2 =(a плюс b)(a минус b):

(x минус 10) в степени 2 =(x плюс 4) в степени 2 равносильно (x минус 10) в степени 2 минус (x плюс 4) в степени 2 =0 равносильно
равносильно (x минус 10 минус x минус 4)(x минус 10 плюс x плюс 4)=0 равносильно
равносильно 2x минус 6=0 равносильно x=3.

Ответ: 3.

Решить задания
самостоятельно:

1. Решите уравнение (2x плюс 7) в степени 2 =(2x минус 1) в степени 2 .

2. Решите уравнение (x минус 6) в степени 2 = минус 24x.

3. Найдите корень уравнения  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в степени 2 =16 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . Если
уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

4. Найдите корень уравнения: x в степени 2 минус 17x плюс 72=0. Если уравнение имеет более
одного корня, укажите меньший из них.

5. Решите уравнение x в степени 2 плюс 9=(x плюс 9) в степени 2 .

6. Решите уравнение  Если
уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

7. Решите уравнение  Если
уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

8. Решите уравнение  Если
уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них

9. Решите уравнение  Если
уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них

10. Решите уравнение  Если
уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них

Карточка №3 Кубические уравнения

Найдите корень
уравнения (x минус 1) в степени 3 = минус 8.

Решение. Извлекая кубический корень из обеих частей
уравнения, получаем x минус 1= минус 2, откуда x= минус 1.

Ответ: −1.

Решить самостоятельно

1. Найдите корень уравнения (x минус 1) в степени 3 =8.

2. Найдите корень уравнения 

3. Найдите корень уравнения 

4. Найдите корень уравнения 

5. Найдите корень уравнения 

2. Рациональные
уравнения

Карточка №4
Рациональные уравнения

 Найдите корень уравнения:  дробь: числитель: x минус 119, знаменатель: x плюс 7 конец дроби = минус 5

Решение. Избавимся от знаменателя:

дробь: числитель: x минус 119, знаменатель: x плюс 7 конец дроби = минус 5 равносильно
равносильно система выражений x минус 119= минус 5(x плюс 7), новая строка x не равно минус 7 конец системы равносильно система выражений 6x=84, x не равно минус 7 конец системы равносильно x=14.

Ответ: 14.

Решить самостоятельно

1.     
Найдите корень уравнения: x= дробь: числитель: 6x минус 15, знаменатель: x минус 2 конец дроби . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
больший из них.

2.     
Найдите корень уравнения  дробь: числитель: 9, знаменатель: x в степени 2 минус 16 конец дроби =1. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.

3.     
Решите уравнение  дробь: числитель: 13x, знаменатель: 2x в степени 2 минус 7 конец дроби =1. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
меньший из корней.

4.     
Найдите корень уравнения:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 9x минус 7 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

5.     
Найдите корень уравнения:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4x минус 1 конец дроби =5.

6.     
Решите уравнение  дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: 7x плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: x минус 6, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите
больший из корней.

7.     
Найдите корень уравнения  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3x минус 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4x минус 11 конец дроби .

8.     
Найдите корень уравнения

дробь: числитель: 1, знаменатель: 10x плюс 6 конец дроби =1.

9.     
Найдите корень уравнения  дробь: числитель: 1, знаменатель: 7x плюс 3 конец дроби =5.

10. 
Найдите корень уравнения  дробь: числитель: x плюс 89, знаменатель: x минус 7 конец дроби = дробь: числитель: минус 5, знаменатель: x минус 7 конец дроби .

3. Иррациональные
уравнения

Карточка №5 Иррациональные уравнения

 Найдите корень уравнения  корень из 15 минус 2x=3.

Решение. Возведем в квадрат:

корень из 15 минус 2x=3 равносильно 15 минус 2x=9 равносильно минус 2x= минус 6 равносильно x=3.

Ответ: 3.

Решить самостоятельно

1.Найдите корень уравнения  корень из дробь: числитель: 6, знаменатель: 4x минус 54 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

2.Найдите корень уравнения  корень из дробь: числитель: 2x плюс 5, знаменатель: 3 конец дроби =5.

3.Найдите корень уравнения:  корень из минус 72 минус 17x= минус x. Если уравнение имеет
более одного корня, укажите меньший из них.

4.Найдите корень уравнения  корень из 3x минус 8=5.

5.Найдите корень уравнения  корень из [ 3]x минус 4 = 3.

6. Решите уравнение  корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 минус 4x конец дроби =0,2.

7. Решите уравнение  корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 минус 2x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

8. Решите уравнение  корень из 6 плюс 5x=x. Если уравнение имеет более одного корня,
в ответе запишите меньший из корней.

9. Решите
уравнение:  корень из [ 3]x плюс 2= минус 2.

10. Найдите корень уравнения  корень из минус 32 минус x=2.

4.Показательные
уравнения

Карточка №6 Показательные уравнения

Найдите корень
уравнения 2 в степени 4 минус 2x =64.

Решение. Перейдем к одному основанию степени:

2 в степени 4 минус 2x =64 равносильно 2 в степени 4 минус 2x =2 в степени 6 равносильно 4 минус 2x=6 равносильно x= минус 1.

Ответ: −1.

Решить самостоятельно

1. Найдите корень уравнения 5 в степени x минус 7 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби .

2. Найдите корень уравнения  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 8 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .

3.Найдите корень уравнения  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 6 минус 2x =4.

4.Найдите корень уравнения 16 в степени x минус 9 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

5.Найдите корень уравнения  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 13 =3.

6.Найдите корень уравнения: 9 в степени минус 5 плюс x =729.

7.Найдите решение уравнения:  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 8 =2 в степени x .

8. Найдите корень уравнения:  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени минус 3 плюс x =512.

9.Решите уравнение 8 в степени 9 минус x =64 в степени x .

10.Решите уравнение 2 в степени 3 плюс x =0,4 умножить на 5 в степени 3 плюс x .

11.Найдите корень
уравнения 7 в степени 18,5x плюс 0,7 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 343 конец дроби .

12.Найдите корень уравнения 6 в степени 12,5x плюс 2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 216 конец дроби .

5.Логарифмические
уравнения

Карточка №7 Логарифмические
уравнения

1. Найдите корень уравнения  логарифм по основанию 2 (4 минус x)=7.

Решение. Последовательно получаем:

log _2(4 минус x)=7 равносильно 4 минус x=2 в степени 7 равносильно 4 минус x=128 равносильно x= минус 124.

Ответ: −124.

Решить самостоятельно

1.Найдите корень
уравнения  логарифм по основанию 5 }(4 плюс x)=2.

2.Найдите корень уравнения log _5}(5 минус x)=log _53.

3.Найдите корень
уравнения log }_2}(15 плюс x)=log _23.

4.Найдите корень уравнения log _tfrac{17}(7 минус x)= минус 2.

5.Найдите корень уравнения log _5(5 минус x)=2log _53.

6.Решите уравнение  логарифм по основанию 5 (x в степени 2 плюс 2x)= логарифм по основанию 5 (x в степени 2 плюс 10).

7.Решите уравнение  логарифм по основанию 5 (7 минус x)= логарифм по основанию 5 (3 минус x) плюс 1.

8.Решите
уравнение  логарифм по основанию x минус 5 49=2. Если
уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

9.Найдите корень уравнения  логарифм по основанию 8 2 в степени 8x минус 4 = 4.

10.Найдите корень
уравнения 2 в степени логарифм по основанию 8 (5x минус 3) = 4.

11.Решите уравнение  логарифм по основанию x 32=5.

6.Тригонометрические
уравнения

Карточка №8 Тригонометрические уравнения

1. Найдите корни уравнения:  косинус дробь: числитель: Пи (x минус 7), знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . В
ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Решение. Последовательно получаем:

косинус дробь: числитель: Пи (x минус 7), знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: Пи (x минус 7), знаменатель: 3 конец дроби =pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n равносильно
равносильно x минус 7 =pm 1 плюс 6n равносильно совокупность выражений новая строка x=8 плюс 6 n; новая строка x=6 плюс 6 n, n принадлежит mathbb Z. конец совокупности .

Значениям n geqslant 0 соответствуют положительные корни.

Если n= минус 1, то x=2 и x=0.

Если n= минус 2, то x=8 минус 12= минус 4 и x=6 минус 12= минус 6.

Значениям n leqslant минус 3 соответствуют меньшие значения корней.

Следовательно, наибольшим
отрицательным корнем является число  минус 4.

Ответ: −4.

Решить самостоятельно

1. Решите уравнение  тангенс дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби = минус 1. В
ответе напишите наибольший отрицательный корень.

2. Решите
уравнение  синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 3 конец дроби =0,5. В
ответе напишите наименьший положительный корень.

3. Решите уравнение  В
ответе напишите наименьший положительный корень.

Домашнее
задание на сайте Решу ЕГЭ профиль до 25.02.22

№44022425

Источник

Теория по математике (профильной)

ЕГЭ по математике (профиль) сдается по выбору. Этот экзамен нужен тем, кто планирует в дальнейшем изучать эту дисциплину, поступать на экономический, математических факультет, продолжать учебу в технических вузах. Профильный уровень, в отличие от базового, требует углубленных познаний. На экзамене уделяется внимание навыкам практического применения полученных за годы учебы навыков, но не менее важно знание теории для ЕГЭ по математике.

Что нужно знать?

Как и при сдаче ЕГЭ базового уровня потребуются знания, полученные из школьных курсов алгебры и геометрии, умения работать с различными неравенствами и уравнениями, свободно ориентироваться в терминологии и знать алгоритмы решения различных задач. Для успешного выполнения заданий повышенной сложности необходимы знания в следующих областях:

  • планиметрия;
  • неравенства;
  • проценты;
  • прогрессии;
  • стереометрия;
  • уравнения;
  • параметрические системы, уравнения, неравенства;
  • финансовая математика.

Без теории в процессе подготовки не обойтись: не зная правила, аксиомы и теоремы, невозможно решать представленные в экзаменационных билетах задачи. В то же время ошибкой будет изучение теории в ущерб практике. Простое зазубривание правил не поможет на экзамене – важно развивать и совершенствовать умение применять полученные знания при решении задач.

Как готовиться к экзамену?

Начинать готовиться к экзамену лучше в начале учебного года. В таком случае вы сможете спокойно, без спешкипройти все разделы, а затем повторить их, освежив знания непосредственно перед тестированием.

Классический способ подготовки – просто читать учебник подряд, заучивая наизусть правила – неэффективен. Чтобы запомнить информацию, ее необходимо понять. Можно, например, попробовать, прочитав правило, пересказать его своими словами или объяснить самому себе. Такой подход позволяет надолго запомнить прочитанное.

Отдельные формулы и аксиомы придется заучивать наизусть. Чтобы облегчить процесс запоминания, стоит позаботиться о том, чтобы нужные данные все время были на виду – на стене около кровати, в ванной, на холодильнике, над письменным столом. Если таблицы с формулами все время будет перед глазами, они постепенно запомнятся без особых усилий.

Тем, кто готовится к ЕГЭ не в одиночестве, а в компании других выпускников, можно посоветовать объяснять теорию друг другу. Этот метод дисциплинирует и помогает лучше усвоить материал.

При выполнении практических заданий необходимо анализировать наиболее часто встречающиеся ошибки. Если они связаны не с невнимательностью, а с незнанием тех или иных правил, важно внимательно изучить такие темы. Вся теория структурирована, и поиск нужных правил займет минимум времени.

Теория важна, но без практики не обойтись. Во время экзамена проверяется как раз умение применять полученные знания. Необходимо упражняться, раз за разом отрабатывая одни и те же алгоритмы, повторяя одни и те же темы, пока выполнение заданий не перестанет вызывать затруднения. Без практического применения знания бесполезны и легко забываются.

Мы желаем вам успехов в изучении теории и применении полученных знаний на экзамене!

Задание №1. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №1 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Условие при этом выполняется.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

8. Решите уравнение

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Прототипы задания №1 профильного ЕГЭ 2022 по математике

Новые задания №1 ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня — простейшие уравнения.

Для успешного результата необходимо уметь решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.

Задание №1 ЕГЭ 2022 математика профильный уровень Прототипы

Источник: math100.ru → Рациональные уравнения

→ Тригонометрические уравнения
time4math.ru → скачать задания
vk.com/ekaterina_chekmareva → задания

При отработке данного задания будут полезны книги:

источники:

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadanie-1-prostejshie-uravneniya/

http://vpr-ege.ru/ege/matematika/1472-prototipy-zadaniya-1-profilnogo-ege-2022-po-matematike

Источник
1. Линейное уравнение

Сложность:
лёгкое

1

2. Линейное уравнение с дробными коэффициентами

Сложность:
лёгкое

1

3. Наименьший корень

Сложность:
лёгкое

1

4. Наибольший корень

Сложность:
лёгкое

1

5. Полное квадратное уравнение

Сложность:
среднее

2

6. Квадратное уравнение (ФСУ)

Сложность:
среднее

2

7. Квадратное уравнение 2 (ФСУ)

Сложность:
среднее

2

8. Квадратное уравнение (квадрат разности)

Сложность:
среднее

2

9. Квадратное уравнение (неполное)

Сложность:
среднее

2

10. Кубическое уравнение

Сложность:
среднее

2

11. Неполное квадратное уравнение

Сложность:
среднее

2

12. Логарифмическое уравнение 1

Сложность:
среднее

2

13. Логарифмическое уравнение 2

Сложность:
среднее

2

14. Логарифмическое уравнение, сводимое к линейному 1

Сложность:
среднее

2

15. Логарифмическое уравнение, сводимое к линейному 2

Сложность:
среднее

2

16. Сумма логарифмов (потенцирование)

Сложность:
среднее

2

17. Сумма логарифмов

Сложность:
среднее

2

18. Логарифмическое уравнение (определение)

Сложность:
среднее

2

19. Логарифмическое уравнение (логарифм в квадрате)

Сложность:
среднее

2

20. Логарифмическое уравнение

Сложность:
среднее

2

21. Рациональное уравнение

Сложность:
среднее

2

22. Дробно-рациональное уравнение 1

Сложность:
среднее

2

23. Дробно-рациональное уравнение 2

Сложность:
среднее

2

24. Дробно-рациональное уравнение 3

Сложность:
среднее

2

25. Дробно-рациональное уравнение 4

Сложность:
среднее

2

26. Дробно-рациональное уравнение 5

Сложность:
среднее

2

27. Иррациональное уравнение

Сложность:
сложное

3

28. Иррациональное уравнение (дробное)

Сложность:
сложное

3

29. Иррациональное уравнение (линейное)

Сложность:
сложное

3

30. Распадающееся уравнение

Сложность:
сложное

3

31. Разность логарифмов (потенцирование)

Сложность:
сложное

3

32. Логарифмическое уравнение, сводимое к квадратному (обыкновенная дробь)

Сложность:
сложное

3

33. Логарифмическое уравнение (неизвестно основание)

Сложность:
сложное

3

34. Логарифмическое уравнение, разность логарифмов

Сложность:
сложное

3

35. Логарифмическое уравнение, квадрат в основании

Сложность:
сложное

3

36. Логарифмическое уравнение, определение логарифма

Сложность:
сложное

3

37. Логарифмическое уравнение (свойства логарифмов)

Сложность:
сложное

3

38. Показательное уравнение 1

Сложность:
сложное

3

39. Показательное уравнение 2

Сложность:
сложное

3

40. Показательное уравнение 3

Сложность:
сложное

3

41. Показательное уравнение с отрицательным показателем степени

Сложность:
сложное

3

42. Свойства степени в показательном уравнении

Сложность:
сложное

3

43. Тригонометрическое уравнение (тангенс)

Сложность:
сложное

3

44. Тригонометрическое уравнение (синус)

Сложность:
сложное

3

Источник

Задание 745

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: $$frac{4}{7}x=7frac{3}{7}$$ 

Ответ: 13

Скрыть

$$frac{4}{7}x=7frac{3}{7}Leftrightarrow$$ ​$$frac{4}{7}x=frac{52}{7}Leftrightarrow$$$$x=frac{52}{7}*frac{7}{4}Leftrightarrow$$$$x=13$$ ​ ​

Задание 749

Найдите корень уравнения: $$(x-6)^{2}=-24x$$

Ответ: -6

Скрыть

$$(x6)^{2}=-24xLeftrightarrow$$$$x^{2}-12x+36=-24xLeftrightarrow$$$$x^{2}+12x+36=0Leftrightarrow$$$$(x+6)^{2}=0Leftrightarrow$$$$x=-6$$

Задание 758

Найдите корень уравнения: $$frac{x+8}{5x+7}=frac{x+8}{7x+5}$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Ответ: 1

Скрыть

ОДЗ: $$5x+7 neq 0 ; 7x+5 neq 0 Leftrightarrow xneq -1,4 ; x neq -frac{5}{7}$$
$$frac{x+8}{5x+7}=frac{x+8}{7x+5}Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5)=(x+8)(5x+7)Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5)-(x+8)(5x+7)=0 Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5-5x-7)=0 Leftrightarrow$$$$x=-8 ; 2x-2=0 Leftrightarrow$$$$x=-8 ; x=1$$
Наибольший из корней равен 1.

Задание 760

Найдите корень уравнения: $$frac{1}{4x-1}=5$$

Ответ: 0,3

Скрыть

ОДЗ: $$4x-1 neq 0 Leftrightarrow x neq 0,25$$
$$frac{1}{4x-1}=5Leftrightarrow$$$$1=5(4x-1) Leftrightarrow $$$$ 20x-5=1 Leftrightarrow$$$$20x=6 Leftrightarrow $$$$x=0,3$$

Задание 765

Найдите корень уравнения:$$sqrt{3x-8}=5$$ 

Ответ: 11

Скрыть

ОДЗ: $$3x-8 geq 0 Leftrightarrow $$$$x geq frac{8}{3}$$
$$sqrt{3x-8}=5 Leftrightarrow$$$$(sqrt{3x-8})^{2}=5^{2} Leftrightarrow$$$$3x-8=25Leftrightarrow$$$$3x=33Leftrightarrow$$$$x=11$$

Задание 788

Найдите корень уравнения: $$tg frac{pi x}{4}=-1$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наибольший отрицательный

Ответ: -1

Задание 899

Решите уравнение $$ sqrt{-x^{2}}=x-x^{2} $$ .Если корней несколько, то в ответе укажите больший корень.

Ответ: 0

Скрыть

$$ sqrt{-x^2}=x-x^2 $$ $$ -x^2=x^2-2x^3+x^4 $$ $$ 2x^2-2x^3+x^4=0 $$ $$ x^2left(2-2x+x^2right)=0 $$ $$ x=0 $$ или $$ 2-2x+x^2 = 0 $$ у него решений нет

Задание 971

Найдите корень уравнения $$3^{log_9 (5x-5)}=5$$

Ответ: 6

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$3^{log_9 (5x-5)}=5Leftrightarrow 3^{frac{1}{2}log_3 (5x-5)}=5 Leftrightarrow$$ $$ 3^{log_3 sqrt{5x-5}}=5Leftrightarrow sqrt{5x-5}=5 Leftrightarrow$$ $$ 5x-5=25Leftrightarrow x=6$$

Задание 1010

Найдите корень уравнения $$log _{2} (-x) + log _{2} (2-x) = 3$$ .Если корней несколько, то в ответе укажите их сумму.

Ответ: -2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

 $$log _{2} (-x) + log _{2} (2-x) = 3$$

$$-x > 0 ; 2 — x > 0 Leftrightarrow x<0$$

$$log _{2} ((-x) *(2-x)) = log _{2} 8$$

$$-2x+x^2=8$$

$$x^2-2x-8=0$$

$$x_1=4 — не входит в ОДЗ ; x_2 =-2$$

Задание 1173

Найдите корень уравнения $$ arccos x= frac{2pi }{3}$$

Ответ: -0.5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

Для того, чтобы решить данное уравнение $$ arccos x= frac{2pi }{3}$$, нам, фактически, надо указать абсциссу, которой соответствует точка $$frac{2pi }{3}$$ на единичной окружности. У этой точки координаты $$(-frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2})$$ $$ x = — frac{1}{2} $$

Задание 1486

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния $$8(6+x)+2x=8$$.

Ответ: -4

Задание 1723

Най­ди­те корни урав­не­ния $$25x^2-1=0$$.

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ответ: -0,2; 0,2

Скрыть

$$25x^2-1=0 Leftrightarrow$$$$25x^{2}=1 Leftrightarrow $$$$x^{2}=frac{1}{25} Leftrightarrow $$$$x=pm sqrt{frac{1}{25}}=$$$$pmfrac{1}{5}=pm 0,2$$

Задание 1724

Най­ди­те корни урав­не­ния $$2x^2-10x=0$$.

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ответ: 0; 5

Скрыть

$$2x^2-10x=0 Leftrightarrow$$$$2x(x-5)=0 Leftrightarrow$$$$x=0 ; x=5$$

Задание 1727

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций $$y=3-x^2$$ и $$y=-2x$$. Вы­чис­ли­те ко­ор­ди­на­ты точки B.

Ответ: 3; -6

Скрыть

Приравняем функции, и найдем координаты точки, абсцисса которой будет положительна:
$$3-x^{2}=-2x$$
$$x^{2}-2x-3=0$$
По теореме Виета:
$$left{begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2\x_{1}*x_{2}=-3 end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}x_{1}=3\x_{2}=-1end{matrix}right.$$
То есть рассматривать мы будем точку с абсциссой 3. Подставим ее в любую из функций:
$$y(3)=3-3^{2}=-6$$
То есть координаты точки B $$(3;-6)$$

Задание 1728

Урав­не­ние $$x^2+px+q=0$$ имеет корни −6; 4. Най­ди­те p.

Ответ: 2

Скрыть

По теореме Виета: $$x_{1}+x_{2}=-p$$, тогда $$p=-(-6+4)=2$$

Источник

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1: Уметь решать уравнения. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».

ЕГЭ Профиль. Задание № 1.

АЛГОРИТМ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание № 1 рассчитано на умение решать простейшие уравнения. Такие уравнения содержат одну переменную и не требуют значительных алгебраических преобразований. Прежде чем приступить к решению, важно определить тип уравнения — линейное, квадратное, показательное, логарифмическое и т. д. Это позволит выбрать правильный метод решения. В ответе надо записать целое или дробное число. Если в результате получилась обыкновенная дробь, её нужно перевести в десятичную.

План выполнения:

  1. Внимательно прочитайте условие задания.
  2. Решите уравнение.
  3. Проверьте, все ли корни уравнения удовлетворяют области определения.
  4. Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.

Пример задания № 1. Найдите корень уравнения (х – 2)2 = (3 + х)2.

Решение:
ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

Ответ: –0,5.

АНАЛИЗ ТИПИЧНЫХ ОШИБОК

  • При решении уравнений определенного вида следует пользоваться формулами сокращённого умножения.
  • Часто учащиеся опускают чётную степень, что приводит к неправильному решению.
  • Учащиеся иногда неправильно возводят двучлен в квадрат, забывая удвоенное произведение.
  • Кубические уравнения всегда имеют действительные корни.
  • Иногда учащиеся неправильно извлекают кубический корень из числа.

Тренировочные задания с самопроверкой

№ 1.1. Найдите корень уравнения (1/6)x+5 = 6х.

Открыть ОТВЕТ

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

№ 1.2. Найдите корень уравнения x = (4x + 27)/(x – 2). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Открыть ОТВЕТ

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

№ 1.3. Решите уравнение х2 + х – 56 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Открыть ОТВЕТ

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

№ 1.4. Найдите корень уравнения log8(5x – 7) = log8(x + 11).

Открыть ОТВЕТ

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

№ 1.5. Найдите корень уравнения –2 8/9 • х = 4 1/3.

Открыть ОТВЕТ

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Равенство с одной или несколькими переменными называется уравнением. Значение переменной, при котором получается верное решение, называется корнем уравнения. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней.

При решении задания необходимо определить тип уравнения — линейное, квадратное, показательное, логарифмическое и т. д. Это позволит выбрать правильный метод решения.

1. Линейные уравнения

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

2. Квадратные уравнения

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

3. Рациональные уравнения

Задачи такого типа содержат уравнения, в знаменателе которых находится выражение, содержащее переменную.ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

4. Иррациональные уравнения

Задачи этого задания решаются методом возведения обеих частей уравнения в степень, соответствующую степени корня.ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

5. Показательные уравнения

Задание состоит из простейшего показательного уравнения. Ответом к заданию является целое или дробное число.ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

6. Логарифмические уравнения

Уравнения этого типа решаются по определению логарифма, а также с использованием свойств логарифма. Ответом является целое или дробное число. При решении логарифмических уравнений обязательно учитывается область определения логарифма.ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

Методы решения логарифмических уравнений:

ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1

Вы смотрели: ЕГЭ по математике Профиль. Задание 1: Уметь решать уравнения. Материалы для подготовки к итоговой аттестации. Алгоритм выполнения задания. Примеры с объяснением выбора правильного ответа. Анализ типичных ошибок.

Вернуться к Оглавлению раздела «Анализ заданий ЕГЭ по математике».


Просмотров:
11 046

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Простейшие уравнения егэ профиль 2023
  • Простейшие уравнения егэ профиль 2022
  • Простейшие тригонометрические уравнения примеры егэ
  • Простейшие тригонометрические уравнения егэ профиль 5 задание
  • Простейшие тригонометрические уравнения в егэ профильный уровень