Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:
Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники допускают множество элементарных ошибок. Цель данной статьи — уберечь вас от нелепых и досадных потерь баллов в подобной ситуации на едином госэкзамене.
Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрёжки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы забраковываем этот подход раз и навсегда.
Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.
Данный подход требует понимания, осмысленных действий и ясного видения тригонометрического круга. Не беспокойтесь, эти трудности преодолеваются быстро. Усилия, потраченные на этом пути, будут щедро вознаграждены: вы начнёте безошибочно решать тригонометрические уравнения.
Уравнения cosx = a и sinx = a
Напомним, что cos x — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а sin x — её ордината.
Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cosx = a и sinx = a имеют решения только при условии . Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или cosx = −7 решений не имеют!
Начнём с самых простых уравнений.
1. cosx = 1.
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2π, −2π, 4π, −4π, 6π, −6π, . . . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2π (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).
Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:
Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.
2. cosx = -1.
Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой −1:
Эта точка соответствует углу π и всем углам, отличающихся от π на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:
3. sinx = 1.
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1:
И записываем ответ:
4. sinx = -1.
Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 
Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:
Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2πn.
5. sinx = 0.
На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:
Эти точки соответствуют углам 0, ±π, ±2π, ±3π, . . . Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов π (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,
Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.
6. cosx = 0.
Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:
Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из прибавлением целого числа углов π (полуоборотов):
Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить πn.
Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ±1). Начинаем с косинуса.
7.
Имеем вертикальную пару точек с абсциссой
Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):
Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:
Обе серии решений можно описать одной формулой:
Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.
8.
9.
10.
11.
12.
Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.
13.
Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :
Углы, отвечающие правой точке:
Углы, отвечающие левой точке:
Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:
Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:
На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она даёт обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = 2n, то
Мы получили первую серию решений x1. А если k нечётно, k = 2n + 1, то
Это вторая серия x2.
Обратим внимание, что в качестве множителя при (−1)k обычно ставится правая точка, в данном случае .
Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.
14.
15.
16.
17.
18.
На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.
Линия тангенсов
Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная AB к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).
Из подобия треугольников OAB и ONM имеем:
Но поэтому
Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.
Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM, соединяющей точку x с началом координат.
Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.
Уравнение tg x = a
Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.
19.
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:
Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:
20.
Имеем диаметральную пару:
Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:
Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.
21.
22.
23.
24.
25.
На этом заканчиваем пока и с тангенсом.
Уравнение ctg x = a нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
• уравнение ctg x = 0 равносильно уравнению cos x = 0;
• при уравнение равносильно уравнению
Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях
Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.
А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
СДАМ ГИА:
РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
≡ Математика
Базовый уровень
Профильный уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
Сайты, меню, вход, новости
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об экзамене
Каталог заданий
Варианты
Ученику
Учителю
Школа
Эксперту
Справочник
Карточки
Теория
Сказать спасибо
Вопрос — ответ
Чужой компьютер
Зарегистрироваться
Восстановить пароль
Войти через ВКонтакте
Играть в ЕГЭ-игрушку
Новости
10 марта
Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней
6 марта
Изменения ВПР 2023
3 марта
Разместили утвержденное расписание ЕГЭ
27 января
Вариант экзамена блокадного Ленинграда
23 января
ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.
6 января
Открываем новый сервис: «папки в избранном»
22 декабря
Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!
4 ноября
Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023
31 октября
Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР
21 марта
Новый сервис: рисование
31 января
Внедрили тёмную тему!
НАШИ БОТЫ
|
|
Все новости
ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!
Экзамер из Таганрога
10 апреля
Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ
Наша группа
Каталог заданий
Задания 12. Уравнения. Тригонометрические уравнения
Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 12 № 507595 
а) Решите уравнение 
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Аналоги к заданию № 507595: 500917 501709 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
2
Тип 12 № 510018
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень.
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь
3
Тип 12 № 504543
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Аналоги к заданию № 504543: 504564 507292 510671 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
2 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь
4
Тип 12 № 500366
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Аналоги к заданию № 500366: 500587 501482 514505 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
4 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь
5
Тип 12 № 509579
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Аналоги к заданию № 509579: 509926 509947 509968 515762 519665 Все
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
$1$ радиан $={180}/{π}≈57$ градусов
$1$ градус$={π}/{180}$ радиана
Значения тригонометрических функций некоторых углов
| $α$ | $0$ | ${π}/{6}$ | ${π}/{4}$ | ${π}/{3}$ | ${π}/{2}$ | $π$ |
| $sinα$ | $0$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ | $1$ | $0$ |
| $cosα$ | $1$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ | $0$ | $-1$ |
| $tgα$ | $0$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ | $-$ | $0$ |
| $ctgα$ | $-$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ | $0$ | $-$ |
- Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
- Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($π/2$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Пример:
Преобразовать $сos (90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
$сos (90° + α)=sinα$
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos (90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования
Пример:
Вычислить $cos 840°$
У косинуса период повторения $2π$ или $360°$, мы можем из угла вычитать количество градусов кратное периоду.
$cos 840°=cos(720°+120°)=cos 120°$
По формуле приведения представим $120°$ как $90°+30°$
$cos(90°+30°) = -sin30= — 0.5$
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс, нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$
Тригонометрические тождества
1. $tgα={sinα}/{cosα}$
2. $ctgα={cosα}/{sinα}$
3. $sin^{2} α+cos^{2} α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
$sinα=±√{1-cos^{2}α}$
$cosα=±√{1-sin^{2} α}$
4. $tgα·ctgα=1$
5. $1+tg^{2} α={1}/{cos^{2} α}$
6. $1+ctg^{2}α={1}/{sin^{2} α}$
Пример:
Вычислить $sin t$, если $cos t = {5}/{13} ; t ∈({3π}/{2};2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈({3π}/{2};2π)$ — это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус.
$sint=-√{1-cos^{2} t}=-√{1-{25}/{169}}=-√{{144}/{169}}=-{12}/{13}$
Ответ: $-{12}/{13}$
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.
Арккосинус
Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t {⇔}↙{∷} {tablecost=a; ≤t≤π;$
$arcos(-a) = π-arccosa$, где $0≤а≤1$
Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение
$t=±arccosa+2πk;k∈Z$
Частные случаи
$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$
$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$
$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$
Пример:
Найдите наименьший положительный корень уравнения сos ${2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$
${2πx}/{3}=±arccos(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-arccos ({√3}/{2}))+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$
${2πx}/{3}=±{5π}/{6}+2πk;kϵZ$
Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$
$x=±{5π·3}/{6·2π}+{2π·3}/{2π}k$
$x=±1.25+3k$
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо к целые значения
$k=0$
$x_1= -1.25$
$x_2=1.25$
$k=1$
$х_1=3-1.25=1.75$
$х_2=3+1.25=4.25$
Нам подходит $1.25$ – это и есть результат
Ответ: $1.25$
Арксинус
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.
Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t {⇔}↙{∷} {tablesint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$
Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:
1. $t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$
$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$
2. $t=(-1)^{n}arcsina+πn; n∈Z$
Частные случаи
$sin t = 0, t=πk;k∈Z$
$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$
$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$
Арктангенс
$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а.$
$arctg a = t {⇔}↙{∷} {tabletg t=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$
$arctg(-a)= — arctg a$
Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$
17
Июн 2013
Категория: 05 Простейшие уравнения
2013-06-17
2022-09-11
смешное видео по теме 
и еще
Задача 1. Найдите корень уравнения 
. В ответе укажите наибольший отрицательный корень.
Решение: + показать
Задача 2. Найдите корень уравнения 
. В ответе укажите наименьший положительный корень.
Решение: + показать
Задача 3. Найдите корень уравнения 
. В ответе укажите наибольший отрицательный корень.
Решение: + показать
Вы можете пройти тест по теме «Тригонометрические уравнения»
Автор: egeMax |
Нет комментариев
ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения
Нашли ошибку в заданиях? Оставьте, пожалуйста, отзыв.
13 задания профильного ЕГЭ по математике представляет собой уравнение с отбором корней принадлежащих заданному промежутку. Одним из видов уравнений которое может оказаться в 13 задание является тригонометрическое уравнение. Как правило, это достаточно простое тригонометрическое уравнение для решения которого потребуется знания основных тригонометрических формул, и умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Отбор корней тригонометрического уравнения принадлежащих заданному промежутку можно производить одним из четырех способов: методом перебора, с помощью тригонометрической окружности, с помощью двойного неравенства и графическим способом. В данном разделе представлены тригонометрические уравнения (всего 226) разбитые на три уровня сложности. Уровень А — это простейшие тригонометрические уравнения, которые являются подготовительными для решения реальных тригонометрических уравнений предлагаемых на экзамене. Уровень В — состоит из уравнений, которые предлагали на реальных ЕГЭ и диагностических работах прошлых лет. Уровень С — задачи повышенной сложности.
Привет, самый лучший ученик во Вселенной!
Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические. Мы решим 39(!) примеров, от самых простых, до самых сложных.
И станем на шаг ближе к заветной цели – сдать ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!
Поехали!
Тригонометрические уравнения – коротко о главном
Тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.
Существует два способа решения тригонометрических уравнений:
Первый способ – с использованием формул.
Второй способ – через тригонометрическую окружность.
Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.
Чтобы уметь решать тригонометрические уравнения необходимо знать как минимум следующее:
- что такое синус, косинус, тангенс, котангенс;
- какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности;
- какие из этих функций нечётные, а какие – чётные;
- знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти.
Если ты что-то не знаешь, повтори следующие разделы:
- Синус, косинус, тангенс и котангенс угла и числа
- Тригонометрическая окружность
- Формулы тригонометрии
Этого будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.
Простейшие тригонометрические уравнения
Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение
( displaystyle frac{2}{2{x}-11}=frac{1}{3})
тригонометрическим?
Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции ( displaystyle left( sin x,cos x,tg x,ctg x right)) в нём и в помине нет!
А что насчёт вот такого уравнения?
( displaystyle sin2x+3x=2)
И опять ответ отрицательный!
Это так называемое уравнение смешанного типа.
Оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную (( displaystyle 3x)).
Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих раздела этой статьи.
Но вернёмся к вопросу: “Что же такое тригонометрические уравнения?”
Тригонометрические уравнения –это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!
Например:
- ( displaystyle 6co{{s}^{2}}x+5sin{x}-7=0)
- ( displaystyle sinpi sqrt{x}=-1)
- ( displaystyle frac{3}{5}sinx+frac{4}{5}cosx=1) и т.д.
Однако для начала мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:
- ( displaystyle sinfleft( x right)=a)
- ( displaystyle cosfleft( x right)=a)
- ( displaystyle tgfleft( x right)=a)
- ( displaystyle ctgfleft( x right)=a)
Где ( displaystyle a) – некоторое постоянное число.
Например: ( displaystyle 0,5;~1;~-1;pi ; ~1-sqrt{3};~1000) и т. д.
( displaystyle fleft( x right)) – некоторая функция, зависящая от искомой переменной ( displaystyle x), например ( displaystyle fleft( x right)=x,~fleft( x right)=2-x,~fleft( x right)=frac{pi x}{7}) и т. д.
Такие уравнения называются простейшими!
Основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!
Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе “Формулы тригонометрии“
Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров.
Как часто тригонометрические уравнения встречаются на ЕГЭ?
Тригонометрические уравнения могут встретиться до четырех раз в заданиях ЕГЭ. Это может быть:
- Задача №5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени);
- Задача №10 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка);
- Задача №12 (она на производную, но в конечном счёте сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ)
- Задача №13 – даёт 2 первичных балла – (решение тригонометрического уравнения средней или высокой сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!)
Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 первичных баллов из 32!
Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу
В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы.
Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.
Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:
- ( displaystyle text{sinx}=text{a}),
- ( displaystyle text{cosx}=text{a}),
- ( displaystyle text{tgx}=text{a}),
- ( displaystyle text{ctgx}=text{a}).
Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:
Уравнения вида: ( displaystyle sinfleft( x right)=a), ( displaystyle cosfleft( x right)=a) имеют смысл только тогда, когда ( displaystyle -1le text{a}le 1)
Уравнения вида: ( displaystyle text{tgx}=text{a}), ( displaystyle text{ctgx}=text{a}) имеют смысл уже при всех значениях ( displaystyle text{a}).
То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:
( displaystyle sinx=1000)
( displaystyle cosleft( 3{x}-sinleft( x right) right)=2)
( displaystyle sinleft( 2{{x}^{2}}-2x+1 right)=-3)
Корней не имеют!!!
Почему?
Потому что они “не попадают” в промежуток от минус единицы до плюс единицы.
Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок!!!
Для остальных же случаев тригонометрические формулы такие как в этой таблице.
| ( displaystyle A) | ( displaystyle a) | ( displaystyle -1) | ( displaystyle 0) | ( displaystyle 1) |
|---|---|---|---|---|
| ( displaystyle sin x=A) | ( displaystyle {{left( -1 right)}^{n}}arcsin alpha +pi n) | ( displaystyle -frac{pi }{2}+2pi n) | ( displaystyle pi n) | ( displaystyle frac{pi }{2}+2pi n) |
| ( displaystyle cos x=A) | ( displaystyle pm arccos alpha +2pi n) | ( displaystyle pi +2pi n) | ( displaystyle frac{pi }{2}+pi n) | ( displaystyle 2pi n) |
| ( displaystyle tgx=A) | ( displaystyle arctgalpha +pi n) | ( displaystyle -frac{pi }{4}+pi n) | ( displaystyle pi n) | ( displaystyle frac{pi }{4}+pi n) |
| ( displaystyle ctgx=A) | ( displaystyle arcctgalpha +pi n) | ( displaystyle frac{3pi }{4}+pi n) | ( displaystyle frac{pi }{2}+pi n) | ( displaystyle frac{pi }{4}+pi n) |
На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.
Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.
Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.
Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов?
У меня бы возникли вот какие:
Что такое ( displaystyle n) и что такое, например ( displaystyle arcsinalpha ~left( arccosalpha ,~arctgalpha ,~arcctgalpha right))?
Отвечаю на все по порядку:
( displaystyle n) – это любое целое число ( displaystyle left( 0,text{ }1,text{ }-1,text{ }2,text{ }-2,text{ }ldots .text{ } right)).
В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал?
ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ!!!
И число ( displaystyle n) и служит для обозначения этой «бесконечности».
Конечно, вместо ( displaystyle n) можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе: ( displaystyle nin Z) – что означает, что ( displaystyle n) – есть любое целое число.
Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем, ( displaystyle arcsinalpha ) надо как “угол, синус которого равен ( displaystyle alpha )“
- ( displaystyle arcsinalpha)– угол, синус которого равен ( displaystyle alpha)
- ( displaystyle arccosalpha)– угол, косинус которого равен ( displaystyle alpha)
- ( displaystyle alpha)( displaystyle arctgalpha)– угол, тангенс которого равен ( displaystyle alpha)
- ( displaystyle alpha)( displaystyle arcctgalpha) – угол, котангенс которого равен ( displaystyle alpha)
Например,
- ( displaystyle arcsin left( 0 right)=0,)
- ( displaystyle arccos left( frac{sqrt{2}}{2} right)=frac{pi }{4},)
- ( displaystyle arctgleft( 1 right)=frac{pi }{4},)
- ( displaystyle arcsin left( 0,5 right)=frac{pi }{6},)
- ( displaystyle arccos left( frac{sqrt{3}}{2} right)=frac{pi }{6},)
- ( displaystyle arctgleft( sqrt{3} right)=frac{pi }{3})
то есть,
Алгоритм вычисления арксинусов и других “арок”
- Смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число
- Смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса или котангенса
- Смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус, косинус, тангенс, котангенс равен числу, стоящему под аркой
- Записываем ответ
Вот простой пример вычисления аркосинуса:
( displaystyle arccos left( frac{sqrt{3}}{2} right))
Решение:
- Под аркой число ( displaystyle frac{sqrt{3}}{2})
- Арка для функции – косинус!
- Косинус какого угла равен ( displaystyle frac{sqrt{3}}{2})? Угла ( displaystyle frac{pi }{6}) (или ( displaystyle 30) градусов!)
- Тогда ( displaystyle arccos left( frac{sqrt{3}}{2} right)=frac{pi }{6})
Сам посчитай:
- ( displaystyle arctgleft( frac{1}{sqrt{3}} right))
- ( displaystyle arcsin left( frac{sqrt{3}}{2} right))
Ответы:
( displaystyle frac{pi }{6}) и ( displaystyle frac{pi }{3}).
Если “арка” берется от отрицательного числа?
Всё ли я сказал про “арки”? Почти что да! Остался вот какой момент.
Что делать, если “арка” берётся от отрицательного числа?
Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:
- ( displaystyle text{arcsin}left( -alpha right)=-text{arcsin}alpha )
- ( displaystyle text{arctg}left( -alpha right)=-text{arctg}alpha )
И внимание!!!
- ( displaystyle text{arcctg}left( -alpha right)=text{ }!!pi!!text{ }-text{arcctg}alpha )
- ( displaystyle text{arccos}left( -alpha right)=text{ }!!pi!!text{ }-text{arccos}alpha )
Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.
Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.
В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.
Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!
Решение 11-ти простейших тригонометрических уравнений
Уравнение 1. ( displaystyle sinleft( x right)=0,5)
Запишу по определению:
( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}arcsin left( 0,5 right)+pi n,~nin Z)
Всё готово, осталось только упростить, посчитав значение арксинуса.
Уравнение 2. ( displaystyle sinleft( x right)=-frac{sqrt{3}}{2})
Снова по определению:
Тогда запишу
( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}arcsin left( -frac{sqrt{3}}{2} right)+pi n,~nin Z)
Так оставлять нельзя! Вначале вынесу «минус» из арксинуса!
Уравнение 3. ( displaystyle sinleft( x right)=frac{pi }{2})
Пример-ловушка! Невнимательный ученик бы записал ответ в лоб:
( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}arcsin left( frac{pi }{2} right)+pi n,~nin Z)
Или того хуже:
( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}cdot 1+pi n,~nin Z)
Так как ( displaystyle sin left( frac{pi }{2} right)=1)
Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох?
А подвох вот в чем:
Уравнение 4. ( displaystyle sinleft( x right)=-0,1)
По определению:
( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}arcsin left( -0,1 right)+pi n,~nin Z)
Или вынесем минус (как в примере 2):
( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n+1}}arcsin left( 0,1 right)+pi n,~nin Z)
На этом стоп! Такого числа как 0,1 нет в таблице значений тригонометрических функций, поэтому оставим всё как есть:
Ответ: ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n+1}}arcsin left( 0,1 right)+pi n,~nin Z)
Уравнение 5. ( displaystyle cosleft( x right)=1)
И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)
( displaystyle x=pm arccos1+2pi n,~nin Z)
Чему равен угол, косинус которого равен ( displaystyle 1)?
Этот угол равен( displaystyle 0)!
( displaystyle x=pm 0+2pi n,~nin Z)
Тогда нет смысла прибавлять или вычитать ноль, всё равно это ноль.
( displaystyle x=2pi n,~nin Z)
Получили формулу, которая есть в таблице решений тригонометрических уравнений!
Ответ: ( displaystyle x=2pi n,~nin Z)
Уравнение 6. ( displaystyle cosleft( x right)=-frac{1}{sqrt{2}})
По определению:
( displaystyle x=pm arccos left( -frac{1}{sqrt{2}} right)+2pi n,~nin Z)
Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:
( displaystyle x=pm left( pi -arccos left( frac{1}{sqrt{2}} right) right)+2pi n,~nin Z)
Вот так и никак иначе выносится минус, запомни это!
Теперь арккосинус.
Не во всех таблицах есть значение ( displaystyle frac{1}{sqrt{2}}), но во всех есть ( displaystyle frac{sqrt{2}}{2})!!!
А теперь, внимание, ловкость рук и никакого мошенничества!
Уравнение 7. ( displaystyle cosleft( x right)=frac{pi }{4})
( displaystyle cosleft( x right)=frac{pi }{4})
Ещё один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:
( displaystyle frac{pi }{4}=frac{3,14}{4}<1)
Тогда по определению:
( displaystyle x=pm arccos left( frac{pi }{4} right)+2pi n,~nin Z)
Но из этого никак не следует, что ( displaystyle arccos left( frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4} right)=frac{sqrt{2}}{2})!!!!!!
Запомни, арккосинус – это угол, его аргумент (начинка) – это число, а выход – угол!!!
Ты когда-нибудь встречал в своей практике такой странный угол как ( displaystyle frac{sqrt{2}}{2})?!
Вот и я нет. Поэтому оставим как есть!
Ответ: ( displaystyle x=pm arccos left( frac{pi }{4} right)+2pi n,~nin Z)
Уравнение 8. ( displaystyle cosleft( x right)=-sqrt{2})
Всё просто: ( displaystyle -sqrt{2}<-1)
… и решений данное уравнение не имеет.
Уравнение 9. ( displaystyle tgleft( x right)=sqrt{2})
Запишем по определению:
( displaystyle x=arctgsqrt{2}+pi n,~nin Z)
( displaystyle arctgsqrt{2}) – не табличное значение, поэтому ответ сохраняем неизменным.
Обрати внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь мне не уже важно, какое у меня число стоит в правой части уравнения.
Уравнение 10. ( displaystyle ctgleft( x right)=-sqrt{3})
Снова по определению:
( displaystyle x=arсctgleft( -sqrt{3} right)+pi n,~nin Z)
Без проблем выносим минус из арккотангенса:
Уравнение 11. ( displaystyle ctgleft( x right)=1)
По формуле: ( displaystyle x=arcctg1+pi n,~nin Z).
Котангенс какого угла равен ( displaystyle 1)?
Это угол ( displaystyle frac{pi }{4}).
Ответ: ( displaystyle x=frac{pi }{4}+pi n,~nin Z).
Ну как, материал не кажется тебе слишком сложным? Я надеюсь, что нет. Теперь давай порешаем для закрепления чуть более сложные задачки.
Решение 3-х более сложных уравнений
Уравнение 12. Найдите корни уравнения: ( displaystyle cosfrac{8pi x}{6}=frac{sqrt{3}}{2}). В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!
Если бы мы решали уравнение вида:
( displaystyle cost=frac{sqrt{3}}{2})
То мы бы записали вот такой ответ:
( displaystyle t=pm arccosfrac{sqrt{3}}{2}+2pi n,~nin Z)
Или (так как ( displaystyle arccosfrac{sqrt{3}}{2}=frac{pi }{6}))
( displaystyle t=pm frac{pi }{6}+2pi n,~nin Z)
Но теперь в роли ( displaystyle t) у нас выступаем вот такое выражение: ( displaystyle t=frac{8pi x}{6})
Тогда можно записать:
( displaystyle frac{8pi x}{6}=pm frac{pi }{6}+2pi n)
Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто ( displaystyle x), без всяких «примесей»!
Давай постепенно от них избавляться!
Вначале уберём знаменатель при ( displaystyle x): для этого домножим наше равенство на ( displaystyle 6):
( displaystyle frac{6cdot 8pi x}{6}=6cdot left( pm frac{pi }{6}+2pi n right))
( displaystyle 8pi x=pm frac{6pi }{6}+12pi n)
( displaystyle 8pi x=pm pi +12pi n)
Теперь избавимся от ( displaystyle pi ), разделив на него обе части:
( displaystyle 8x=pm 1+12n)
Теперь избавимся от восьмёрки:
( displaystyle frac{8x}{8}=pm frac{1}{8}+frac{12n}{8})
( displaystyle x=pm frac{1}{8}+frac{3n}{2})
Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)
( displaystyle x=frac{1}{8}+frac{3n}{2})
или
( displaystyle x=-frac{1}{8}+frac{3n}{2})
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать ( displaystyle n).
Рассмотрим вначале первую серию:
Уравнение 13. Найдите корни уравнения: ( displaystyle cosfrac{pi left( {x}-7 right)}{3}=frac{1}{2}). В ответ запишите наибольший отрицательный корень.
Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:
( displaystyle frac{pi left( {x}-7 right)}{3}=pm arccosfrac{1}{2}+2pi n,~nin Z)
( displaystyle frac{pi left( {x}-7 right)}{3}=pm frac{pi }{3}+2pi n,~nin Z)
Теперь снова выражаем ( displaystyle x) слева:
Умножаем обе стороны на ( displaystyle 3)
( displaystyle frac{3pi left( {x}-7 right)}{3}=pm frac{3pi }{3}+2cdot 3pi n,~nin Z)
( displaystyle pi left( {x}-7 right)=pm pi +6pi n,~nin Z)
Делим обе стороны на ( displaystyle pi)
( displaystyle frac{pi left( {x}-7 right)}{pi }=pm frac{pi }{pi }+frac{6pi n}{pi },~nin Z)
( displaystyle ~{x}-7=pm 1+6n,~nin Z)
Всё, что осталось, – это перенести ( displaystyle 7) вправо, изменив её знак с минуса на плюс.
( displaystyle x=7pm 1+6n,~nin Z)
У нас опять получается 2 серии корней, одна с ( displaystyle +1), а другая с ( displaystyle -1).
( displaystyle x=8+6n,~nin Z)
или
( displaystyle x=6+6n,~nin Z)
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:
Уравнение 14. Решите уравнение ( displaystyle tgfrac{pi x}{4}=-1). В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.
Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?
( displaystyle frac{pi x}{4}=arctgleft( -1 right)+pi n)
( displaystyle frac{pi x}{4}=-arctgleft( 1 right)+pi n)
( displaystyle frac{pi x}{4}=-frac{pi }{4}+pi n)
Как и раньше, выражаем ( displaystyle x) в левой части:
( displaystyle frac{4pi x}{4}=-frac{4pi }{4}+4pi n)
( displaystyle pi x=-pi +4pi n)
( displaystyle frac{pi x}{pi }=-frac{pi }{pi }+frac{4pi n}{pi })
( displaystyle x=-1+4n)
Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдём наибольший отрицательный.
Ясно, что он получается, если положить ( displaystyle n=0). И корень этот равен ( displaystyle -1).
Ответ: ( displaystyle -1)
Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.
Решение 3-х примеров для самостоятельной работы
- Решите уравнение ( displaystyle sinfrac{pi x}{3}=0,5). В ответе напишите наименьший положительный корень.
- Решите уравнение ( displaystyle tgfrac{pi left( {x}-6 right)}{6}=frac{1}{sqrt{3}}). В ответе напишите наименьший положительный корень.
- Решите уравнение ( displaystyle sinfrac{pi left( 2{x}-3 right)}{6}=-0,5). В ответе напишите наименьший положительный корень.
Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.
Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения! Сверься с решениями и ответами:
Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!
Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.
Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений.
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ СЛОЖНОСТИ
В этой части статьи я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и объясню, как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:
- Тригонометрические уравнения для начального уровня (см. выше)
- Формулы тригонометрии
Рекомендую тебе прежде ознакомиться с ними, прежде чем приступать к чтению и разбору этого чтива. Итак, все готово? Прекрасно. Тогда вперед.
Более сложные тригонометрические уравнения – это основа задач повышенной сложности. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.
Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:
- Решение уравнения
- Отбор корней
Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать – это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.
Мой опыт разбора задач повышенной сложности показывает, что они как правило делятся на вот такие 4 категории.
Четыре категории задач повышенной сложности
- Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
- Уравнения, сводящиеся к виду ( displaystyle tgx=a).
- Уравнения, решаемые заменой переменной.
- Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.
Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов, то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.
Если же тебе попалось уравнение 4 типа, то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни.
Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в разделе для продвинутых, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.
Уравнения, сводящихся к разложению на множители
Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа, это:
- Формулы приведения
- Синус, косинус двойного угла
Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам.
Уравнения, сводящиеся к разложению с помощью синуса двойного угла:
Уравнение 18. Решите уравнение ( displaystyle sin2x=text{sin}left( frac{pi }{2}+x right)). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ( displaystyle left[ -frac{7pi }{2},-frac{5pi }{2} right])
Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:
( displaystyle sin left( frac{pi }{2}+x right)=cosx)
Тогда мое уравнение примет вот такой вид:
( displaystyle sin2x=cosx)
Что дальше? А дальше обещанный мною второй пункт программы – синус двойного угла:
( displaystyle sin2x=2sinxcosx)
Тогда мое уравнение примет следующую форму:
( displaystyle 2sinxcosx=cosx)
Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на ( displaystyle cosx), получаю простейшее уравнение ( displaystyle 2sinx=1) и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!
Запомни!
Никогда нельзя сокращать обе части тригонометрического уравнения на функцию, содержащую неизвестную! Таки образом ты теряешь корни!
Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:
( displaystyle 2sinxcosx-cosx=0)
( displaystyle cosxleft( 2sinx-1 right)=0)
Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:
( displaystyle cosx=0) или ( displaystyle 2sinx=1)
Первое уравнение имеет корни:
( displaystyle x=frac{pi }{2}+pi n).
А второе:
( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{6}+pi n)
На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни.
Уравнения, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения
Уравнение 19. Решите уравнение ( displaystyle 2si{{n}^{2}}x=cos left( frac{3pi }{2}-x right)). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ( displaystyle left[ -frac{5pi }{2},-pi right]).
Решение:
Опять пресловутые формулы приведения:
( displaystyle cos left( frac{3pi }{2}-x right)=-sinx)
( displaystyle 2si{{n}^{2}}x=-sinx)
Опять не вздумай сокращать!
( displaystyle 2si{{n}^{2}}x+sinx=0)
( displaystyle sinxleft( 2sinx+1 right)=0)
Откуда:
( displaystyle sinx=0) или ( displaystyle 2sinx+1=0,~sinx=-frac{1}{2})
Первое уравнение имеет корни:
( displaystyle x=pi n)
А второе:
( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n+1}}frac{pi }{6}+pi n)
Теперь снова поиск корней.
Уравнение 20. Решите уравнение ( displaystyle sqrt{2}sin left( frac{3pi }{2}-x right)cdot sinx=cosx)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ( displaystyle left[ frac{pi }{2},frac{3pi }{2} right]).
И снова формула приведения:
( displaystyle ~sin left( frac{3pi }{2}-x right)=-cosx)
( displaystyle -sqrt{2}cosxsinx=cosx)
( displaystyle -sqrt{2}cosxsinx-cosx=0)
( displaystyle sqrt{2}cosxsinx+cosx=0)
( displaystyle cosxleft( sqrt{2}sinx+1 right)=0)
( displaystyle cosx=0) или ( displaystyle sqrt{2}sinx+1=0)
( displaystyle sinx=-frac{1}{sqrt{2}})
Первая серия корней:
( displaystyle x=frac{pi }{2}+pi n).
Вторая серия корней:
Уравнение 20. Решите уравнение ( displaystyle 2sin2x=4cosx-sinx+1)
Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку ( displaystyle left[ -5pi ,-4pi right])
Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):
( displaystyle 2cdot 2sinxcosx=4cosx-sinx+1)
( displaystyle 4sinxcosx-4cosx+sinx-1=0)
( displaystyle 4cosxleft( sinx-1 right)+left( sinx-1 right)=0)
( displaystyle left( 4cosx+1 right)left( sinx-1 right)=0)
тогда ( displaystyle 4cosx+1=0) или ( displaystyle left( sinx-1 right)=0)
( displaystyle cosx=-frac{1}{4}) или ( displaystyle sinx=1)
( displaystyle x=pm left( pi -arccosfrac{1}{4} right)+2pi n) или ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{2}+pi n)
Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса – вот такая досада!
Что я могу сделать?
Я могу прикинуть, что так как ( displaystyle frac{1}{4}<0,5), то ( displaystyle arccosfrac{1}{4}>frac{pi }{3}).
( displaystyle frac{pi }{2}>arccosfrac{1}{4}>frac{pi }{3})
Составим таблицу: промежуток: ( displaystyle left[ -5pi ;~-4pi right])
Уравнение 21. Решите уравнение ( displaystyle sin2x-2sqrt{3}si{{n}^{2}}x+4cosx-4sqrt{3}sinx=0). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ( displaystyle ~left[ -frac{pi }{2},pi right]).
Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:
( displaystyle 2sinxcosx-2sqrt{3}si{{n}^{2}}x+4cosx-4sqrt{3}sinx=0)
Сократим на 2:
( displaystyle sinxcosx-sqrt{3}si{{n}^{2}}x+2cosx-2sqrt{3}sinx=0)
Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:
( displaystyle sinxleft( cosx-sqrt{3}sinx right)+2left( cosx-sqrt{3}sinx right)=0)
( displaystyle left( sinx+2 right)left( cosx-sqrt{3}sinx right)=0)
( displaystyle sinx+2=0) или ( displaystyle cosx-sqrt{3}sinx=0)
Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:
( displaystyle cosx-sqrt{3}sinx=0)
Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать…
Уравнения, сводящиеся к виду tgx=a
Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа.
Но не лишним будет повторить, что уравнение вида
( displaystyle text{acosx}+text{bsinx}=0text{ }!!~!!text{ }left( text{a},text{b}ne 0 right))
Решается делением обеих частей на косинус:
( displaystyle text{a}frac{text{cosx}}{text{cosx}}+text{b}frac{text{sinx}}{text{cosx}}=0)
( displaystyle text{a}+text{btgx}=0)
( displaystyle text{tgx}=-frac{text{a}}{text{b}})
Таким образом, решить уравнение вида
( displaystyle text{acosx}+text{bsinx}=0 )
все равно, что решить
( displaystyle text{tgx}=-frac{text{a}}{text{b}})
Мы только что рассмотрели, как это происходит на практике. Однако давай решим еще и вот такие примеры.
Разбор 3-х примеров для закрепления материала
Уравнение 22. Решите уравнение ( displaystyle sinx+si{{n}^{2}}frac{x}{2}=co{{s}^{2}}frac{x}{2}). Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку ( displaystyle left[ -2pi ,-frac{pi }{2} right]).
Решение:
Ну совсем простое. Перенесем ( displaystyle si{{n}^{2}}frac{x}{2}) вправо и применим формулу косинуса двойного угла:
( displaystyle sinx=co{{s}^{2}}frac{x}{2}-si{{n}^{2}}frac{x}{2})
( displaystyle sinx=cosx)
Ага! Уравнение вида:
( displaystyle acosx+bsinx=0).
Делю обе части на ( displaystyle cosx)
( displaystyle frac{sinx}{cosx}=frac{cosx}{cosx})
( displaystyle tgx=1)
( displaystyle x=frac{pi }{4}+pi n)
Делаем отсев корней:
Уравнение 23. Решите уравнение ( displaystyle cosx={{left( cosfrac{x}{2}-sinfrac{x}{2} right)}^{2}}-1). Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку ( displaystyle left[ frac{pi }{2},2pi right]).
Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:
( displaystyle cosx=co{{s}^{2}}frac{x}{2}-2sinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}+si{{n}^{2}}frac{x}{2}-1)
Основное тригонометрическое тождество:
( displaystyle co{{s}^{2}}frac{x}{2}+si{{n}^{2}}frac{x}{2}=1)
Синус двойного угла:
( displaystyle 2sinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}=sinx)
Окончательно получим:
Уравнение 24. Решите уравнение ( displaystyle sqrt{3}sin2x+3cos2x=0). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ( displaystyle left[ frac{3pi }{2},3pi right]).
Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на ( displaystyle cos2x):
( displaystyle sqrt{3}tg2x+3=0)
( displaystyle sqrt{3}tg2x=-3)
( displaystyle tg2x=-frac{3}{sqrt{3}})
( displaystyle 2x=-frac{pi }{3}+pi n)
( displaystyle x=-frac{pi }{6}+frac{pi n}{2})
Отсев корней:
| ( displaystyle n) | ( displaystyle x=-frac{pi }{6}+frac{pi n}{2}) |
|---|---|
| ( displaystyle 3) | ( displaystyle -frac{pi }{6}+frac{3pi }{2}) – маленький недолет на ( displaystyle frac{pi }{6}) |
| ( displaystyle 4) | ( displaystyle -frac{pi }{6}+2pi =frac{11pi }{6}) – попал! |
| ( displaystyle 5) | ( displaystyle -frac{pi }{6}+frac{5pi }{2}=frac{7pi }{3}) – снова в яблочко! |
| ( displaystyle 6) | ( displaystyle -frac{pi }{6}+3pi =frac{17pi }{6}) – и снова удача на нашей стороне! |
| ( displaystyle 7) | ( displaystyle -frac{pi }{12}+frac{7pi }{2}) – на сей раз уже перелет! |
Ответ: ( displaystyle frac{11pi }{6};frac{14pi }{6};frac{17pi }{6}).
Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:
Решение тригонометрических уравнений заменой переменной
Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену!
На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:
Уравнение 25. Решить уравнение: ( displaystyle 4co{{s}^{4}}x-4co{{s}^{2}}x+1=0). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ( displaystyle left[ -2pi ,-pi right]).
Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!
( displaystyle t=co{{s}^{2}}x)
Тогда наше уравнение превратится вот в такое:
Уравнение 26. Решите уравнение ( displaystyle 6si{{n}^{2}}x+sin2x=2). Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку ( displaystyle left[ frac{3pi }{2},frac{5pi }{2} right]).
Решение:
Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?
Можем, например, представить
( displaystyle sin2x=2sinxcosx)
А заодно и
( displaystyle 2=2si{{n}^{2}}x+2co{{s}^{2}}x)
Тогда мое уравнение примет вид:
( displaystyle 6si{{n}^{2}}x+2sinxcosx=2si{{n}^{2}}x+2co{{s}^{2}}x)
( displaystyle 4si{{n}^{2}}x+2sinxcosx-2co{{s}^{2}}x=0)
( displaystyle 2si{{n}^{2}}x+sinxcosx-co{{s}^{2}}x=0)
А теперь внимание, фокус:
Давай разделим обе части уравнения на ( displaystyle co{{s}^{2}}x):
( displaystyle 2frac{si{{n}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x}+frac{sinxcosx}{co{{s}^{2}}x}-frac{co{{s}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x}=0)
( displaystyle 2t{{g}^{2}}x+tgx-1=0)
Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно ( displaystyle tgx)!
Сделаем замену ( displaystyle t=tgx), тогда получим:
( displaystyle 2{{t}^{2}}+t-1=0)
Уравнение имеет следующие корни:
( displaystyle {{t}_{1}}=-1,{{t}_{2}}=frac{1}{2})
Отсюда:
( displaystyle tgx=-1).
( displaystyle x=-frac{pi }{4}+pi n)
Или
( displaystyle tgx=frac{1}{2}).
( displaystyle x=arctgfrac{1}{2}+pi n)
Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь!
Производим отбор корней на промежутке ( displaystyle left[ frac{3pi }{2},frac{5pi }{2} right]).
Нам также нужно учитывать, что:
Уравнение 27. Решите уравнение ( displaystyle frac{1}{t{{g}^{2}}x}+frac{3}{sinx}+3=0). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ( displaystyle left[ 2pi ,frac{7pi }{2} right]).
Решение:
Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!
Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:
( displaystyle t{{g}^{2}}x=frac{si{{n}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x})
( displaystyle frac{co{{s}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+frac{3}{sinx}+3=0)
Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:
( displaystyle frac{1-si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+frac{3}{sinx}+3=0)
И, наконец, приведу все к общему знаменателю:
( displaystyle frac{1-si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+frac{3sinx}{si{{n}^{2}}x}+frac{3si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}=0)
( displaystyle frac{1-si{{n}^{2}}x+3sinx+3si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}=0)
( displaystyle frac{2si{{n}^{2}}x+3sinx+1}{si{{n}^{2}}x}=0)
Теперь я могу перейти к уравнению:
( displaystyle 2si{{n}^{2}}x+3sinx+1=0)
Но при ( displaystyle si{{n}^{2}}xne 0) (то есть при ( displaystyle xne pi n)).
Теперь все готово для замены: ( displaystyle t=sin x)
Уравнение 28. Решите уравнение ( displaystyle 4si{{n}^{2}}x+8sin left( frac{3pi }{2}+x right)+1=0)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ( displaystyle left[ -3pi ,-frac{3pi }{2} right]).
Работаем по формулам приведения:
( displaystyle sin left( frac{3pi }{2}+x right)=-cosx)
Подставляем в уравнение:
( displaystyle 4si{{n}^{2}}x+8left( -cosx right)+1=0)
Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:
( displaystyle 4left( 1-co{{s}^{2}}x right)-8cosx+1=0)
( displaystyle -4co{{s}^{2}}x-8cosx+5=0)
( displaystyle 4co{{s}^{2}}x+8cosx-5=0)
Теперь легко сделать замену:
( displaystyle t=cosx)
( displaystyle 4{{t}^{2}}+8t-5=0)
( displaystyle {{t}_{1}}=-frac{5}{2},{{t}_{2}}=frac{1}{2})
Ясно, что ( displaystyle {{t}_{1}}=-frac{5}{2}) – посторонний корень, так как уравнение ( displaystyle cosx=-frac{5}{2}) решений не имеет.
Уравнение 30. Решите уравнение ( displaystyle t{{g}^{2}}x+left( 1+sqrt{3} right)tgx+sqrt{3}=0)
Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ( displaystyle left[ frac{5pi }{2},4pi right]).
Здесь замена видна сразу: ( displaystyle t=tgx)
( displaystyle {{t}^{2}}+left( 1+sqrt{3} right)t+sqrt{3}=0)
( displaystyle {{t}_{1}}=-1,~{{t}_{2}}=-sqrt{3})
Тогда ( displaystyle tgx=-1) или ( displaystyle tgx=-sqrt{3})
( displaystyle x=-frac{pi }{4}+pi n)
или
( displaystyle x=-frac{pi }{3}+pi n)
Отбор корней на промежутке ( displaystyle left[ frac{5pi }{2},4pi right]):
( displaystyle n)
( displaystyle x=-frac{pi }{4}+pi n)
( displaystyle x=-frac{pi }{3}+pi n)
( displaystyle 3)
( displaystyle x=frac{11pi }{4}) – подходит!
( displaystyle x=frac{8pi }{3}) – подходит!
( displaystyle 4)
( displaystyle x=frac{15pi }{4}) – подходит!
( displaystyle x=frac{11pi }{3}) – подходит!
( displaystyle 5)
( displaystyle x=frac{19pi }{4}) – много!
( displaystyle x=frac{14pi }{3}) – тоже много!
Ответ: ( displaystyle frac{11pi }{4}; frac{8pi }{3}; frac{15pi }{4}; frac{11pi }{3})
Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели».
Как решать подобные задания мы рассмотрим далее в разделе для продвинутого уровня.
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ СЛОЖНОСТИ
Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности и знаменателя
В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа.
Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным.
Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями на ЕГЭ (и получить за них максимальное количество баллов!).
Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку.
Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.
Уравниние 31. Решить уравнение ( displaystyle frac{2si{{n}^{2}}x+sinx}{2cosx-sqrt{3}}=0~) и найти те корни, которые принадлежат отрезку ( displaystyle left[ -frac{3pi }{2},0 right]).
Решение:
У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение – это все равно, что решить систему
( displaystyle left{ begin{array}{l}2si{{n}^{2}}x+sinx=0\2cosx-sqrt{3}ne 0end{array} right.)
Решим каждое из уравнений:
( displaystyle 2si{{n}^{2}}x+sinx=0)
( displaystyle sinxleft( 2sinx+1 right)=0)
( displaystyle sinx=0) или ( displaystyle sinx=-frac{1}{2})
( displaystyle x=pi n) или ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n+1}}frac{pi }{6}+pi n)
А теперь второе:
( displaystyle 2cosx-sqrt{3}ne 0)
( displaystyle xne pm frac{pi }{6}+2pi n)
или ( displaystyle xne frac{pi }{6}+2pi n), ( displaystyle xne -frac{pi }{6}+2pi n)
Теперь давай посмотрим на серию:
Уравнение 32. Решите уравнение: ( displaystyle left( sinx-frac{sqrt{3}}{2} right)sqrt{3{{x}^{2}}-7x+4}=0)
Решение:
Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:
( displaystyle sinx=frac{sqrt{3}}{2})
( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{3}+pi n)
( displaystyle 3{{x}^{2}}-7x+4=0)
( displaystyle {{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=frac{4}{3})
И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:
( displaystyle 3{{x}^{2}}-7x+4ge 0)
Решение этого неравенства:
Уравнение 33. ( displaystyle left( 2{{x}^{2}}-5x+2 right)sqrt{cosx-sqrt{3}sinx}=0)
Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.
( displaystyle 2{{x}^{2}}-5x+2=0)
( displaystyle {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=0,5)
Теперь второе уравнение:
( displaystyle cosx-sqrt{3}sinx=0)
( displaystyle tgx=frac{1}{sqrt{3}})
( displaystyle x=frac{pi }{6}+pi n)
Теперь самое сложное – выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:
( displaystyle cos2-sqrt{3}sin2)
Число ( displaystyle 2) надо понимать как ( displaystyle 2) радианы.
Так как ( displaystyle 1) радиана – это примерно ( displaystyle 57) градусов, то ( displaystyle 2) радианы – порядка ( displaystyle 114) градусов. Это угол второй четверти.
Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение
( displaystyle cos2-sqrt{3}sin2)?
Оно меньше нуля!
( displaystyle cos2-sqrt{3}sin2<0)
А значит ( displaystyle 2) – не является корнем уравнения.
Теперь черед ( displaystyle frac{1}{2}).
( displaystyle cosfrac{1}{2}-sqrt{3}sinfrac{1}{2})
Сравним это число с нулем.
Уравнение 34. ( displaystyle left( 4co{{s}^{2}}x-4cosx-3 right)sqrt{-6sinx}=0)
Решение:
( displaystyle 4co{{s}^{2}}x-4cosx-3=0)
( displaystyle t=cosx)
( displaystyle 4{{t}^{2}}-4t-3=0)
( displaystyle {{t}_{1}}=-0,5;{{t}_{2}}=1,5) – корень ( displaystyle {{t}_{2}}) не годится, ввиду ограниченности косинуса
( displaystyle cosx=-0,5)
( displaystyle x=pm frac{2pi }{3}+2pi n)
Теперь второе:
Уравнение 35. ( displaystyle frac{cos2x+sinx}{sqrt{text{sin}left( x-frac{pi }{4} right)}}=0)
Ну, ничего не поделаешь – поступаем так, как и раньше.
( displaystyle cos2x+sinx=0)
( displaystyle 1-2si{{n}^{2}}x+sinx=0)
( displaystyle 2si{{n}^{2}}x-sinx-1=0)
( displaystyle t=sinx)
( displaystyle 2{{t}^{2}}-t-1=0)
( displaystyle {{t}_{1}}=-0,5,{{t}_{2}}=1)
( displaystyle sinx=-0,5) или ( displaystyle sinx=1)
( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n+1}}frac{pi }{6}+pi n) или ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{2}+pi n)
Теперь работаем со знаменателем:
( displaystyle text{sin}left( x-frac{pi }{4} right)ge 0)
Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:
Уравнение 36. ( displaystyle sqrt{9-{{x}^{2}}}cosx=0)
Первое уравнение: ( displaystyle 9-{{x}^{2}}=0)
( displaystyle x=3) или ( displaystyle x=-3)
ОДЗ корня:
( displaystyle 9-{{x}^{2}}ge 0)
( displaystyle xin left[ -3;3 right])
Второе уравнение:
Уравнение 37. ( displaystyle frac{2si{{n}^{2}}x-sinx}{2cosx-sqrt{3}}=0)
( displaystyle 2si{{n}^{2}}x-sinx=0)
( displaystyle sinxleft( 2sinx-1 right)=0)
( displaystyle sinx=0) или ( displaystyle sinx=0,5)
( displaystyle x=pi n) или ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{6}+pi n)
Но ( displaystyle 2cosx-sqrt{3}ne 0)
( displaystyle cosxne frac{sqrt{3}}{2})
( displaystyle xne pm frac{pi }{6}+2pi n)
Рассмотрим ( displaystyle x={{left( -1 right)}^{n}}frac{pi }{6}+pi n).
Если ( displaystyle n) – четное, то
( displaystyle x=frac{pi }{6}+2pi k) – не подходит!
Если ( displaystyle n) – нечетное, ( displaystyle n=2k+1):
( displaystyle x=-frac{pi }{6}+2pi k+pi =frac{5pi }{6}+2pi k) – подходит!
Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
( displaystyle x=pi n) или ( displaystyle x=frac{5pi }{6}+2pi n)
Отбор корней на промежутке ( displaystyle left[ frac{3pi }{2},3pi right]):
| ( displaystyle n) | ( displaystyle 1) | ( displaystyle 2) | ( displaystyle 3) |
|---|---|---|---|
| ( displaystyle x=pi n) | ( displaystyle pi )– не подходит | ( displaystyle 2pi ) – подходит | ( displaystyle 3pi ) – подходит |
| ( displaystyle x=frac{5pi }{6}+2pi n) | ( displaystyle frac{5pi }{6}+2pi =frac{17pi }{6}) – подходит | ( displaystyle frac{5pi }{6}+4pi ) – много | много |
Ответ: ( displaystyle 3pi ), ( displaystyle 2pi ), ( displaystyle frac{17pi }{6}).
Уравнение 38. ( displaystyle left( 2co{{s}^{2}}x-cosx right)sqrt{-11tgx}=0)
( displaystyle 2co{{s}^{2}}x-cosx=0)
( displaystyle cosxleft( 2cosx-1 right)=0)
( displaystyle cosx=0~)или ( displaystyle 2cosx-1=0)
Так как ( displaystyle tgx=frac{sinx}{cosx}), то при ( displaystyle cosx=0~) тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!
( displaystyle 2cosx-1=0)
( displaystyle cosx=0,5)
( displaystyle x=pm frac{pi }{3}+2pi n)
Вторая часть:
( displaystyle -11tgx=0)
( displaystyle x=pi n)
В то же время по ОДЗ требуется, чтобы
( displaystyle tgxle 0)
Проверяем найденные в первом уравнении корни:
( displaystyle tgleft( pm frac{pi }{3}+2pi n right)le 0)
Если знак ( displaystyle +):
( displaystyle tgleft( frac{pi }{3}+2pi n right)le 0)
( displaystyle frac{pi }{3}+2pi n) – углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!
Если знак ( displaystyle –):
( displaystyle tgleft( -frac{pi }{3}+2pi n right)le 0)
( displaystyle -frac{pi }{3}+2pi n) – угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:
Ответ: ( displaystyle x=pi n), ( displaystyle x=-frac{pi }{3}+2pi n).
Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук – ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж – c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.
Методический центр сектора
дошкольного, общего и дополнительного образования
Муниципального бюджетного
учреждения
«Городское управление народного
образования»
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ДЛЯ
УЧАЩИХСЯ
10-11
КЛАССОВ
Составитель:
Колобова С.А.,
учитель математики
МБОУ «Гимназия №2»
Инта
2014
Данная работа может быть
использована в качестве учебного материала при подготовке учащихся к экзамену.
В данной работе рассмотрены решения простейших тригонометрических уравнений. Рассмотрены
основные методы решения тригонометрических уравнений, показаны способы отбора
корней.
I.
Важные моменты при решении тригонометрических уравнений.
При решении
тригонометрических уравнений необходимо уметь вычислять значения арксинуса,
арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Это возможно вычислять с помощью
таблицы или единичной окружности.
Примеры использования единичной
окружности.
|
arcsin |
arcsin( arctg (-1) = |
|
аrcsin(- |
аrcsin 0 = 0 arccos arcctg 0 = не существует |
Тренировку по нахождению значений
арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса можно провести, используя
следующую таблицу.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
arcsin |
|
|
arcsin |
|
arccos |
|
|
arcos |
|
arctg |
|
arctg |
|
|
|
arcctg |
|
arcctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
arcctg |
|
Для успешного решения
тригонометрических уравнений необходимо знать основные формулы.
При решении
тригонометрических уравнений (для упрощения тригонометрических выражений) иногда
приходится использовать формулы приведения.
Тренировку можно
произвести с помощью следующей таблицы.
|
Упростить |
Вычислить |
Упростить |
Вычислить |
|
|
sin |
tg |
cos |
|
sin |
cos |
ctg |
tg |
|
cos |
sin |
sin |
ctg |
|
|
cos |
|
tg |
|
sin |
tg |
cos |
cos |
|
cos |
sin |
cos |
cos |
|
|
cos |
tg |
sin |
|
tg |
cos |
ctg |
cos |
II.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Для удобства запоминания формул можно
использовать следующую таблицу.
Частные случаи решения тригонометрических
уравнений.
Примеры решения простейших
тригонометрических уравнений.
|
или x=(-1)n |
или х = х = |
|
|
|
III.
Методы решения тригонометрических уравнений.
Решение
тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения
для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного
простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов
решения тригонометрических уравнений.
1.Приведение к квадратному уравнению.
Ответ: 
+
; =
+
.
2.Приведение к однородному уравнению.
Уравнение
называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той
же степени относительно sin и cos одного и того же угла.
Чтобы
решить однородное уравнение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени,
которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно тангенса или
котангенса.
3sin2 x
+ 4 sin x · cos x + 5 cos2 x = 2.
3sin2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos2
x = 2sin2 x + 2cos2 x ,
sin2
x
+ 4 sin x
· cos x
+ 3 cos2
x
= 0 , разделим обе части уравнения на cos2x
tg2x+4tgx+3=0,
пусть tgx=t,
тогда t2+4t+3=0.
Корнями этого уравнения являются числа
-1 и -3.
Если t=-1,
то tgx=-1,
x=
х =
+
.
Если t=-3,
то tgx=-3,
x=
х =arctg(-3)+
.
Ответ: +; arctg(-3)+.
3. Разложение на множители.
a)
sin2x—cosx=0,
2sinxcosx-cosx=0,
cosx(2sinx-1)=0,
cosx=0 или
2sinx-1=0
x=
+
sinx=
x=(-1)karcsin+
x=(-1)k 
Ответ: +;
(-1)k
.
b)
sinx+cosx=sinxcosx+1,
sinx+cosx—sinxcosx-1=0,
sinx(1- cosx)+( cosx-1)=0,
( cosx-1)( sinx-1)=0
cosx-1=0 или
sinх-1=0
cosx=1 sinx=1
x=2 x=
+
Ответ: 
;
+ .
4. Введение
вспомогательного угла.
sinx+
cosx=2
разделим обе части уравнения на 2, получим
так
как cos
= и
sin=
sinx cos+
cosx sin=1 воспользуемся
формулой sinx cosy+
cosx siny=
sin(x+y)
sin(x+
)=1, x+= +
, x=
+ +
, x=
+.
Ответ: +.
IV.
Отбор корней тригонометрического уравнения.
При
выполнении задания С-1 необходимо найти те корни уравнения, которые принадлежат
заданному промежутку. Это можно сделать с помощью перебора или решения
неравенства.
1.Решить уравнение:
2,5sin2x = 7 cos2 x – 1,
Найти все корни
уравнения, принадлежащие отрезку х
.
В данном уравнении
отбор корней проведем перебором.
Для решения
уравнения воспользуемся основным тригонометрическим формулой двойного угла для
синуса и основным тригонометрическим тождеством. Получим уравнение
5sinxcosx = 7cos2 x – sin2 x –
cos2 x, т.е.
sin2 x – 6cos2 x+ 5sinxcosx = 0
Разделим обе части уравнения на cos2
x. Получим tg2 x+ 5tgx – 6 = 0.
Пусть tgx = t, тогда t2+ 5t – 6
= 0, t = 1 или t = –6.
tgx = 1 или tg = –6;
x=
+ или
x=arctg(-6)+.
Проведём
отбор корней, принадлежащих отрезку 
.
Если
n=0, то x=
. Этот корень принадлежит рассматриваемому
промежутку.
Если
n=1, то x=
. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому
промежутку.
Если
n=2, то x=
. Ясно, что данный корень не принадлежит
промежутку.
Если
n = –1, то x=
– не принадлежит промежутку .
Если
k=0, то x=
arctg(-6), x=- arctg6– не
принадлежит промежутку .
Если
k=1, то x=
arctg(-6)+
. Этот корень
принадлежит рассматриваемому промежутку.
Аналогично предыдущему случаю убедимся,
что при k
= 0 и k
= 2, а, следовательно, при k
= –1, –2,…k = 3,4,… мы получим
корни, не принадлежащие промежутку .
Ответ: a)
x=+ или
x=arctg(-6)+.
б)
;
; arctg(-6)+
.
2. Решить
уравнение sin2x-2
cos2x=2
и указать корни, принадлежащие промежутку 
.
Используя формулу
двойного угла косинуса и основное тригонометрическое тождеств. Получим
уравнение sin2x=1.
Тогда sinx=1
или sinx=-1.
х=
+ х=
+
Проведём отбор корней, принадлежащих
отрезку .
Составим и решим неравенства:
+
1
+
1+
целых значений m
удовлетворяющих неравенству нет.
+
1
+
n=1 удовлетворяет неравенству.
Если
n=1, то х=
Ответ:
a) 
+
,k
б) .
3.Необходимо
обратить внимание на уравнения, содержащие деление.
Решите уравнение: а)
. б) Найдите все корни этого уравнения
принадлежащие отрезку 
.
a) 
, 
,
. k
б
) Если k=0, то х=
. Данный корень не принадлежит
промежутку.
Если
k=-1, то х=
. Данный корень не принадлежит
промежутку.
Если k=-2,
то х=
. Данный
корень принадлежит промежутку.
Если
k=-3,
то х=
. Данный
корень принадлежит промежутку.
Ответ: a)
k. б)
, 
.