Прямоугольный треугольник теория для егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tgB={AC}/{BC};$

$ctgB={BC}/{AC}.$

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA=-cos BOC;$

$tg BOA=-tg BOC;$

$ctg BOA=-ctg BOC.$

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$tgα$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

$S={AC∙BC}/{2}$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√{91}$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Решение:

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

$cosABD=-cosABC$

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

$cosABC={ВС}/{АВ}$

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

$ВС=√{10^2-√{91}^2}=√{100-91}=√9=3$

Подставим найденное значение в формулу косинуса

$cos ABC = {3}/{10}=0,3$

$cos ABD = — 0,3$

Ответ: $-0,3$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A={4}/{5}, AC=9$. Найдите $АВ$.

Решение:

Распишем синус угла $А$ по определению:

$sin⁡A={ВС}/{АВ}={4}/{5}$

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

$9^2+(4х)^2=(5х)^2$

$81+16х^2=25х^2$

$81=25х^2-16х^2$

$81=9х^2$

$9=х^2$

$х=3$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

Ответ: $15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB∙AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB∙DB$

$AC^2=AB∙AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC∙CB=AB∙CD$

Источник

31
Июл 2013

Категория: Справочные материалы

Прямоугольный треугольник

2013-07-31
2019-09-30

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по двум катетам).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по катету и острому углу).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и острому углу).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и катету).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

$S=frac{1}{2}ab$

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

$h=frac{ab}{c}$

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

$R=frac{c}{2}$

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

$r=frac{a+b-c}{2}$

cvb

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

И, думаю, будет полезна таблица формул для треугольника

Автор: egeMax |

комментария 3

Печать страницы

Источник

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В буквах это так:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

или так:

( {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}})

Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?

Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.

teorema Pifagora i kvadraty na storonah pryamougolnogo treugolnika

Правда, похоже на какие-то шорты? Ну и на какие стороны и где они равны? Почему и откуда возникла шутка? М-да… Кажется, у людей в античности с юмором явно проблемы.

Вовсе нет! А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:

«Сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе».

Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.

teorema Pifagora i kvadraty na storonah pryamougolnogo treugolnika 1

На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.

Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора так:

( {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}),

а Пифагор мучился и рассуждал про площади?

Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений ( displaystyle a,text{ }b,text{ }c,text{ }x) и так далее. Не было надписей ( displaystyle {{a}^{2}},text{ }{{b}^{2}},text{ }{{c}^{2}}).

Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами?! А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора

Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

или

( {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}})

Теперь уже должно быть легко:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, то… сейчас мы ее докажем)

Нарисуем квадрат со стороной ( a+b).

Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин ( a) и ( b)!

А теперь соединим отмеченные точки:

Тут мы, правда, ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.

Чему же равна площадь большего квадрата?

Правильно, ( {{left( a+b right)}^{2}}).

А площадь меньшего?

Конечно, ( c^2).

Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами.

Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна ( displaystyle 2ab).

Давай теперь соберем всё вместе.

( displaystyle underbrace{{{left( a+b right)}^{2}}}_{{{S}_{большого квадрата}}}=underbrace{2ab}_{{{S}_{“обрезков”}}}+underbrace{{{c}^{2}}}_{{{S}_{малого квадрата}} })

Преобразуем: ( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}=2ab+{{c}^{2}})

то есть ( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}})

Вот и побывали мы Пифагором – доказали его теорему древним способом

Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

( sin angle A=frac{a}{c});
( cos angle A=frac{b}{c});
( tg~angle A=frac{a}{b});
( ctg~angle A=frac{b}{a}).

А почему же всё только про угол ( A)? Где же угол ( B)?

Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 – 4 записываются словами.

Смотри, понимай и запоминай!

( displaystyle sin angle A=frac{a}{c})

Вообще-то звучит это так:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе.

А что же угол ( displaystyle B)?

Есть ли катет, который находится напротив угла ( displaystyle B), то есть противолежащий (для угла ( displaystyle B)) катет?

Конечно, есть! Это катет ( displaystyle b)!

Значит, ( displaystyle sin angle B=frac{b}{c})

protivolezhashij katet v pryamougolnom treugolnike

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

( displaystyle cos angle A=frac{b}{c})

Значит, ( displaystyle sin angle B=frac{b}{c})

prilezhashij katet i kosinus ugla v pryamougolnom treugolnike

А как же угол ( displaystyle B)?

Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу ( displaystyle B)? Конечно же, катет ( displaystyle a).

Значит, для угла ( displaystyle B) катет ( displaystyle a) – прилежащий, и

( displaystyle cos angle B=frac{a}{c}).

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

( displaystyle begin{array}{l}sin angle A=frac{a}{c} sin angle B=frac{b}{c} \cos angle A=frac{b}{c} cos angle B=frac{a}{c}end{array})

Видишь, как здорово:

( displaystyle sin angle A=cos angle B) и ( displaystyle sin angle B=cos angle A)

Это очень удобно – если тебе дан в задаче синус одного угла прямоугольного треугольника, то ты знаешь и косинус другого!

Итак, запомни очень твёрдо:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого и наоборот.

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

( displaystyle tg~angle A=frac{a}{b})

Как это теперь записать словами?

Катет ( displaystyle a) каким является по отношению к углу ( displaystyle A)? Противолежащим, конечно – он «лежит» напротив угла ( displaystyle A).

А катет ( displaystyle b)? Прилегает к углу ( displaystyle A).

Значит, что у нас получилось?

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

prilezhashij i protivolezhashij katety v pryamougolnom treugolnike

( displaystyle ctg~angle A=frac{b}{a})

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

Вспомним теперь про угол ( displaystyle angle B). Что будет для него? Правильно:

( displaystyle tg~angle B=frac{b}{a})( displaystyle ctg~angle B=frac{a}{b})

И теперь снова углы ( displaystyle A) и ( displaystyle B) совершили обмен:

( displaystyle begin{array}{l}tg~angle A=frac{a}{b} tg~angle B=frac{b}{a}\ctg~angle A=frac{b}{a} ctg~angle B=frac{a}{b}end{array})

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого.

Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

I. По двум катетам

Прямоугольные треугольники равны, если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника.

II. По катету и гипотенузе

Прямоугольные треугольники равны, если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого.

III. По гипотенузе и острому углу

Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.

IV. По катету и острому углу

Прямоугольные треугольники равны, если катет и острый угол одного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого треугольника.

Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:

То треугольники не равны, несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.

Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих – противолежащим.

Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников?

Загляни в тему «Треугольник» и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны.

А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?

Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.

Почему это так?

Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.

Что видим?

Треугольник ( displaystyle ABC) – половина прямоугольника.

mediana v pryamougolnim treugolnike dokazatelstvo 1

Проведём диагональ ( displaystyle CD) и рассмотрим точку ( displaystyle O) – точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?

Точкой пересечения диагонали делятся пополам
Диагонали равны

mediana v pryamougolnim treugolnike dokazatelstvo 2

И что из этого следует?

Точкой пересечения диагонали делятся пополам

Запомни этот факт! Очень помогает!

А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.

Если медиана, проведенная к какой-нибудь стороне треугольника, оказалась равна половине этой стороны, то треугольник – прямоугольный.

Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы?

А давай посмотрим на картинку.

Здесь( displaystyle CO) – медиана и равна( frac{AB}{2}).

Что же это получилось за точка ( displaystyle O)?

Посмотри внимательно. У нас есть: ( OA=OB=OC), то есть расстояния от точки ( displaystyle O) до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это – ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Посмотрим на ( Delta ABC) и ( Delta ACH).

У них общий ( angle A), и они оба – прямоугольные. Значит (вспоминаем только что прочитанные признаки подобия прямоугольных треугольников) – они подобны!

Еще раз. ( displaystyle begin{array}{l}Delta ABC, Delta ACH:\left{ begin{array}{l}angle CAB=angle CAH\angle C=90{}^circ ; angle H=90{}^circ end{array} right.Rightarrow \Rightarrow Delta ABCsim Delta ACHend{array})

Но у подобных треугольников все углы равны!

( angle HCA=angle CBA) (Посмотри на рисунок)

pryamougolnyj treugolnik vysota podobnye treugolniki

То же самое можно сказать и про ( Delta CBH) и ( Delta ABC)

А теперь нарисуем это вместе:

( displaystyle begin{array}{l}Delta ABC, Delta CBH:\left{ begin{array}{l}angle ABC=angle CBH\angle C=90{}^circ ; angle H=90{}^circ end{array} right.Rightarrow \Rightarrow Delta ABCsim Delta CBHRightarrow \Rightarrow angle BAC=angle BCHend{array})

Что видим?

У ( Delta BCH) и ( Delta CHA) одинаковые острые углы!( displaystyle Rightarrow Delta BCHsim Delta CHA)

pryamougolnyj treugolnik vysota delit podobnye

Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.

Ну, например – две формулы для высоты прямоугольного треугольника.

Чтобы писать меньше букв, обозначим:

( displaystyle AC=b);
( displaystyle BC=a );
( displaystyle AB=c);
( displaystyle CH=h) (посмотри на рисунке).

Применяем подобие:( Delta ABCsim Delta ACH).

pryamougolnyj treugolnik vysota podobnye treugolniki 2

Запишем отношения соответствующих сторон:

Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу “Высота в прямоугольном треугольнике”:

( displaystyle h=frac{ab}{c})

Как же получить вторую?

А теперь применим подобие треугольников ( BCH) и ( CAH).

Но сначала обозначим ( BH={{c}_{a}}) и ( CH={{c}_{b}}) ( смотри на рисунок)

pryamougolnyj treugolnik vysota proportsiya

Итак, применим подобие: ( displaystyle Delta BCHsim Delta CAH).

Значит,

Что теперь получится?

Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу “Высота в прямоугольном треугольнике”:

( displaystyle {{h}^{2}}={{c}_{a}}{{c}_{b}}) ,то есть ( displaystyle h=sqrt{{{c}_{a}}{{c}_{b}}})

Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее.

Запишем их ещё раз:

( displaystyle h=frac{ab}{c})

( displaystyle h=sqrt{{{c}_{a}}{{c}_{b}}})

Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!

Источник

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$<1>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<√3>/<2>$
$cosα$	$<√3>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<1>/<2>$
$tgα$	$<√3>/<3>$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$<√3>/<3>$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√<91>$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=<4>/<5>, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Прямоугольный треугольник егэ теория

Прямоугольный треугольник — треугольник, имеющий прямой угол. Стороны, образующие прямой угол, называют катетами, а сторону, противолежащую к прямому углу, называют гипотенузой.

Свойства прямоугольного треугольника:
1. Катет меньше гипотенузы.
2. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора): с 2 = а 2 + b 2 .
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
4. Медиана,проведенная к гипотенузе,равна половине гипотенузы (радиусу окружности, описанной около треугольника).
5. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ,можно вычислить по формуле: r = (a + b — c)/2.
6. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
7. Если катет прямоугольного треугольника равен 1/2 гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны если:
• два катета одного треугольника равны двум катетам другого;
• катет и острый угол одного треугольника равны катету и острому углу другого треугольника;
• гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника;
• гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника.

Это конспект по теме «Прямоугольные треугольники». Выберите дальнейшие действия:

источники:

http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/pryamougolnie_treugolniki

http://uchitel.pro/%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA/

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник – это треугольник, один из углов которого равен (90^circ) (прямой).
Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой ((AB)), а две другие стороны — катетами ((AC) и (BC)).

(bullet) Катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы.
Следовательно, если, например, (angle A=30^circ), то (BC=dfrac12AB).

(bullet) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна (90^circ): (angle A+angle B=90^circ).
Следовательно, если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен (45^circ), то такой треугольник является равнобедренным.

(bullet) Если в прямоугольном треугольнике (ABC) провести высоту (CH) из прямого угла, то (angle BAC=angle BCH) и (angle
ABC=angle
ACH):

(bullet) Теорема Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: [AB^2=AC^2+BC^2]

(bullet) (triangle ABCsim triangle AHCsim triangle BHC)

(bullet) Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой: [CH=sqrt{AHcdot HB}]

Задание
1

#3770

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) угол (C) равен (90^circ), угол (A) равен (30^circ), (AB=2sqrt3). Найдите высоту (CH).

Так как катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, то (BC=0,5AB=sqrt3).
По свойству прямоугольного треугольника (angle BCH=angle
A=30^circ), следовательно, из (triangle BCH): (HB=0,5
BC=sqrt3:2).
Тогда по теореме Пифагора из (triangle BCH): [CH=sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{dfrac94}=1,5]

Ответ: 1,5

Задание
2

#3771

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) угол (C) равен (90^circ), (CH) – высота, угол (A) равен (30^circ). Найдите (AH), если (AB=2).

Так как катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, то (BC=0,5AB=1).
Тогда по теореме Пифагора из (triangle ABC): [AC=sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt3] Из прямоугольного (triangle AHC): (HC=0,5AC=sqrt3:2). Тогда по теореме Пифагора [AH=sqrt{AC^2-HC^2}=1,5]

Ответ: 1,5

Задание
3

#3772

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) угол (C) равен (90^circ), (CH) – высота, угол (A) равен (30^circ). Найдите (BH), если (AB=4).

Так как катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, то (BC=0,5AB=2).
По свойству прямоугольного треугольника (angle BCH=angle
A=30^circ), следовательно, из (triangle BCH): (HB=0,5
BC=1).

Ответ: 1

Задание
4

#3773

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) ( AB=BC=AC=2sqrt3). Найдите высоту (CH).

Так как (AC=BC), то (CH) также является медианой, следовательно, (AH=0,5 AB=sqrt3). Тогда по теореме Пифагора из (triangle ACH): [CH=sqrt{AC^2-AH^2}=3]

Ответ: 3

Задание
5

#3774

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равностороннем треугольнике (ABC) высота (CH) равна (2sqrt3). Найдите (AB).

Так как (AC=BC), то (CH) также является медианой. Следовательно, если (AH=a), то (AB=AC=2a). Тогда по теореме Пифагора из (triangle
ACH): [AC^2=AH^2+CH^2quadRightarrowquad 4a^2=a^2+12quadRightarrowquad
a=2quadRightarrowquad AB=2a=4]

Ответ: 4

Задание
6

#3775

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) (AC=BC=4), (angle C=30^circ). Найдите высоту (AH).

Рассмотрим прямоугольный (triangle ACH). Катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, следовательно, (AH=0,5AC=2).

Заметим, что условие (BC=4) в данной задаче является лишним.

Ответ: 2

Задание
7

#3776

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) (AC=BC), высота (AH) равна (4), угол (C) равен (30^circ). Найдите (BC).

Рассмотрим прямоугольный (triangle ACH). Катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, следовательно, (4=AH=0,5AC), откуда (8=AC=BC).

Ответ: 8

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Следующие соотношения позволяют найти стороны и углы прямоугольного треугольника по любым двум элементам (сторонам или стороне и углу).

Рис. (1). Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора:c2=a2+b2;a2=c2−b2;b2=c2−a2.

sinα=ac;cosα=bc;tgα=ab;ctgα=ba.

cos2α+sin2α=1;tgα⋅ctgα=1.

Очень важные соотношения можно получить, заметив, что

∠DCB=∠CAD;∠DBC=∠ACD.

Мы получаем три пары подобных треугольников:

ΔACD∼ΔCBD;ΔACD∼ΔABC;ΔCBD∼ΔABC.

Из подобий:

ΔACD∼ΔCBD:ACCB=CDBD=ADCD;ba=hac=bch⇒h2=ac⋅bc.

ΔACD∼ΔABC:ACAB=CDBC=ADAC;bc=ha=bcb⇒b2=c⋅bc.

ΔCBD∼ΔABC:CBAB=BDBC=CDAC;ac=aca=hb⇒a2=c⋅ac.

Из последних соотношений можно получить ещё одно важное соотношение:

ac=hb⇒h=abc.

Это же равенство можно получить, используя две формулы для вычисления площади прямоугольного треугольника:

S=12ab=12hc⇒ab=hc⇒h=abc.

Отметим ещё одно важное свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённого к гипотенузе.

Рис. (2). Дополнительные построения

Как видно из рисунка, если мы достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника, то окажется, что медиана (CO) — это половина диагонали прямоугольника, а следовательно, и гипотенузы.

mc=c2.

Источники:

Источник