Равнобедренный треугольник егэ профиль теория

Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

Свойства:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

6. В равнобедренном треугольнике:

— биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

— высоты, проведенные из вершин при основании, равны;

— медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.

8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.

$∠BCD$ — внешний угол треугольника $АВС$.

$∠BCD=∠A+∠B$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

1. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
2. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
3. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA= — cos BOC;$

$tg BOA= — tg BOC;$

$ctg BOA= — ctg BOC.$

Теорема Менелая:

Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то

${АС_1}/{С_1 В}·{ВА_1}/{А_1 С}·{СВ_1}/{В_1 А}=1$

Теорема синусов.

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sin⁡α}={b}/{sin⁡β}={c}/{sin⁡γ}=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов.

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα.$

22
Июл 2013

Категория: Справочные материалы

Равнобедренный треугольник

2013-07-22
2021-08-08

Автор: egeMax |

Нет комментариев

Доказательство равенства треугольников

Посмотри внимательно, у нас есть:

• ( displaystyle underbrace{AB}_{гипотенуза в Delta ABH}=underbrace{BC}_{гипотенуза в Delta СBH})
• ( displaystyle BHtext{ }=text{ }BH) (ещё говорят, ( displaystyle BH)– общая)

И, значит, ( displaystyle AHtext{ }=text{ }CH)!

Почему? 

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ( displaystyle angle A=angle C);
• Высота, проведенная к основанию ( displaystyle (ВH)), совпадает с медианой и биссектрисой
• ( displaystyle AH=CH)
• ( displaystyle angle 1=angle 2).

Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – делит угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник.

Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать, равнобедренный ли треугольник?

То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним:

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника

Через сторону и высоту

Через две стороны и угол между ними

Через радиус описанной окружности

Через радиус вписанной окружности

, где – полупериметр

, где – полупериметр

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства:

Да, не хватало значка «» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении , то выходим на уравнение Откуда Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть
Применяем теорему синусов: , откуда

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно,
Примите за .
Примените к треугольнику теорему косинусов:

Найдете , далее можно найти угол и из треугольника найти

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

Основные факты о треугольниках

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Градусная мера угла может принимать значения от (0^circ) до (180^circ) включительно.

Угол (alpha) называется острым, если (0^circ , прямым – если (alpha=90^circ) , тупым – если (90^circ , и развернутым – если (alpha=180^circ) .

Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.

Теорема

Смежные углы (alpha) и (beta) в сумме дают (180^circ) .

Вертикальные углы равны: (alpha=gamma) .

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Определение

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ) .

Перпендикуляр из точки к прямой – это отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, проведенный под углом (90^circ) .

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теоремы: признаки параллельности прямых

1. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) накрест лежащие углы равны: (angle 1=angle 2) , то такие прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) сумма односторонних углов (angle 1) и (angle 3) равна (180^circ) , то такие прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) соответственные углы равны: (angle 1=angle 4) , то такие прямые параллельны.

Теоремы: свойства параллельных прямых

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна (180^circ) .

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Определения

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).

Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).

Теорема

Сумма внутренних углов треугольника равна (180^circ) .

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник (ABC) и покажем, что (angle A + angle B + angle C = 180^circ) .

Проведём через вершину (B) прямую (a) , параллельную стороне (AC) .

Углы (1) и (4) являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых (a) и (AC) секущей (AB) , а углы (3) и (5) – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей (BC) . Поэтому [begin &angle 4 = angle 1, angle 5 = angle 3. qquad qquad qquad (1) end]

Очевидно, сумма углов (4, 2) и (5) равна развёрнутому углу с вершиной (B) , то есть (angle 4 + angle 2 + angle 5 = 180^circ) . Отсюда, учитывая равенства ((1)) , получаем: (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ) .

Определение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Теорема

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: (angle BCD=angle BAC+angle ABC) .

Доказательство

Угол (4) – внешний угол треугольника, смежный с углом (3) . Так как (angle 4 + angle 3 = 180^circ) , а по теореме о сумме углов треугольника (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ) , то (angle 4 = angle 1 + angle 2) , что и требовалось доказать.

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона — основанием.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Пусть (ABC) – равнобедренный треугольник, (AB = BC) , (BD) – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники (ABD) и (BCD) : (AB = BC) , (angle ABD = angle CBD) , (BD) – общая. Таким образом, (triangle ABD = triangle BCD) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства этих треугольников следует, что (AD = DC) , следовательно, (BD) – медиана.

Кроме того, в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а (AB = BC) , следовательно, [begin &angle ADB = angle CDB, qquad qquad qquad (2) end] но (angle ADB + angle CDB = angle ADC) – развёрнутый, следовательно, (angle ADB + angle CDB = 180^circ) , откуда при учёте ((2)) : (angle ADB = 90^circ = angle CDB) , то есть (BD) – высота.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Проведем биссектрису (BD) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда (triangle ABD=triangle CBD) по первому признаку, следовательно, (angle A=angle C) .

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Теорема: неравенство треугольника

В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.

Определения

В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.

Теоремы: свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна (90^circ) .

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла (30^circ) , равен половине гипотенузы.

Верно и обратное: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла (30^circ) .

Подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ, как правило, начинается с повторения базовой теории по планиметрии, в том числе и по теме «Треугольники». Знакомство учащихся с этим разделом геометрии начинается еще в средней школе. Неудивительно, что потребность в повторении основных правил и теории по теме «Треугольник» возникает у многих выпускников. При этом решать планиметрические задачи обязательно должны уметь все учащиеся. Подобные задания включены как в базовый, так и в профильный уровень аттестационного испытания. Разобравшись с теорией и практическими упражнениями, в том числе и на вычисление вертикальных углов треугольника, старшеклассники смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска базовой теории по геометрии о треугольниках. Школьных учебников в нужный момент может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда оказывается достаточно сложно даже в Интернете.

Вместе с образовательным порталом «Школково» выпускники смогут качественно подготовиться к сдаче аттестационного испытания. Вся базовая теория о равнобедренных и прямоугольных треугольниках систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом богатого опыта в максимально доступной форме. Изучив представленную информацию, школьники смогут вспомнить материал, который вызывает определенные затруднения.

Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, учащимся, проживающим в Москве и других городах России, необходимо не только повторить теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, но и попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Задачи по данной теме вы можете найти в разделе «Каталог». Для каждого задания наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Последовательно выполняя простые и более сложные упражнения по данной теме, учащиеся смогут научиться применять на практике теоремы равенства треугольников и другую теорию, которую необходимо усвоить при подготовке к ЕГЭ. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Попрактиковаться в решении задач, в которых применяется теория смежных углов и другие теоремы, школьники могут в режиме онлайн.

По желанию учащегося любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, выпускник может в дальнейшем вернуться к заданию, которое вызвало затруднения, и обсудить алгоритм его решения с преподавателем.

Справочный материал по теме «Треугольники»

В помощь при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, которые не лежат на одной прямой и последовательно соединены отрезками.

Задания нового формата ЕГЭ по английскому языку

Фрагмент выступления М.В. Вербицкой на Всероссийской научно-практической конференции «Требование нового ФГОС 2021. Иностранные языки».

Практико-ориентированные задачи. Кухня, №1-5

На занятии рассмотрены задачи №1-5 про кухню из ОГЭ по математике (блок практико-ориентированных задач).

Объём цилиндра

Материал для проведения самостоятельной работы.

[{Large{text{Основные сведения}}}]

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Градусная мера угла может принимать значения от (0^circ) до (180^circ) включительно.

Угол (alpha) называется острым, если (0^circ<alpha<90^circ), прямым – если (alpha=90^circ), тупым – если (90^circ<alpha<180^circ), и развернутым – если (alpha=180^circ).

Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.

Теорема

Смежные углы (alpha) и (beta) в сумме дают (180^circ).

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
 

Определение

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ).

Перпендикуляр из точки к прямой – это отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, проведенный под углом (90^circ).

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

Теорема

[{Large{text{Параллельные прямые}}}]

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теоремы: признаки параллельности прямых

1. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) накрест лежащие углы равны: (angle 1=angle 2), то такие прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) сумма односторонних углов (angle 1) и (angle 3) равна (180^circ), то такие прямые параллельны.

Теоремы: свойства параллельных прямых

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна (180^circ).

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
 

[{Large{text{Углы треугольника}}}]

Определения

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).

Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).

Теорема

Сумма внутренних углов треугольника равна (180^circ).

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник (ABC) и покажем, что (angle A +
angle B + angle C = 180^circ).

Углы (1) и (4) являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых (a) и (AC) секущей (AB), а углы (3) и (5) – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей (BC). Поэтому [begin{aligned}
&angle 4 = angle 1, angle 5 = angle 3. qquad qquad qquad
(1)
end{aligned}]

Очевидно, сумма углов (4, 2) и (5) равна развёрнутому углу с вершиной (B), то есть (angle 4 + angle 2 + angle 5 = 180^circ). Отсюда, учитывая равенства ((1)), получаем: (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ).

Определение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Теорема

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: (angle BCD=angle BAC+angle ABC).

Доказательство

Угол (4) – внешний угол треугольника, смежный с углом (3). Так как (angle 4 + angle 3 = 180^circ), а по теореме о сумме углов треугольника (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ), то (angle 4 = angle 1 + angle 2), что и требовалось доказать.
 

[{Large{text{Равнобедренный треугольник}}}]

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона — основанием.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Пусть (ABC) – равнобедренный треугольник, (AB = BC), (BD) – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники (ABD) и (BCD): (AB = BC), (angle ABD =
angle CBD), (BD) – общая. Таким образом, (triangle ABD =
triangle BCD) по двум сторонам и углу между ними.

Кроме того, в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а (AB = BC), следовательно, [begin{aligned}
&angle ADB = angle CDB, qquad qquad qquad (2)
end{aligned}] но (angle ADB + angle CDB = angle ADC) – развёрнутый, следовательно, (angle ADB + angle CDB = 180^circ), откуда при учёте ((2)): (angle ADB = 90^circ = angle CDB), то есть (BD) – высота.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Проведем биссектрису (BD) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда (triangle ABD=triangle CBD) по первому признаку, следовательно, (angle A=angle C).

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
 

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Теорема: неравенство треугольника

В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.
 

[{Large{text{Прямоугольный треугольник}}}]

Определения

В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.

Теоремы: свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна (90^circ).

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы.

Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две равные стороны. Эти стороны называют боковыми сторонами, третью сторону называют основанием. Если в задаче дан равнобедренный треугольник, то пользуются его свойствами.
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника (между равными сторонами), является медианой и биссектрисой.
Посмотрим на рисунок 1. В треугольнике основание , боковые стороны , угол равен углу , высота делит на равные отрезки и угол на два равных угла.

Рис. 1.

Задача 1. В треугольнике , , . Найдите высоту .
Решение.
В треугольнике стороны , значит, он равнобедренный. Высота , проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит пополам, поэтому . Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом и катетами и . , . Найдём . Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

По теореме Пифагора

Ответ: 16.
Задача 2. В треугольнике , высота равна 6, (см. рис. 2). Найдите тангенс угла .

Рис. 2.

Решение.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном треугольнике , основание , равны углы и . Следовательно, можно вместо тангенса угла найти тангенс угла . Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетами и . Длину катета можно найти по теореме Пифагора.

Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Для нашего треугольника

Ответ: 0,5.
Задача 3. В треугольнике , . Найдите .
Решение.

Рис. 3.

В равнобедренном треугольнике высота является медианой, значит, (см. рис. 3). Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетами и . В данном треугольнике
, тогда
Катет ) можно найти по теореме Пифагора:
в два раза больше , .
Ответ: 12.
Задача 4. В треугольнике , . Найдите .
Решение.

Рис. 4.

Проведём высоту , тогда . Рассмотрим прямоугольный треугольник (см. рис. 4). Катет можно найти по теореме Пифагора.
Ответ: 0,35.

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА:

1. Сумма углов в треугольнике равна α + β + γ = 180°.

2. Против большей стороны находится больший угол; против меньшего угла находится меньшая сторона. Отсюда следует, что если:

a < b < c, то α < β < γ и наоборот.

3. Сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

a + b > c.

Если это правило не выполняется — треугольник не существует.

4. Формулы площади треугольника:

1 (через высоту)	2 (через две стороны и синус угла между ними)	3 (формула Герона)
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.	Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.	Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения его полупериметра на разности полупериметра и каждой из его сторон.

5. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

с² = а² + b² – 2ab · cosγ

6. Теорема синусов: Отношения сторон треугольника к синусам противоположных им углов равны. Это отношение равно 2R, где R — радиус описанной окружности.

7. Внешний угол треугольника — δ, является смежным с одним из внутренних углов (сумма = 180°). Из этого следует, что внешний угол равен сумме двух внутренних, но не смежных с ним, углов треугольника (α + β = δ).

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ:

Треугольники бывают:

• остроугольными (если все его углы острые),
• тупоугольными (если один из его углов тупой),
• прямоугольными (если один из его углов прямой).

Треугольник называется:

• равнобедренным, если две его стороны равны;
• равносторонним, если все три стороны равны;
• разносторонним, если все его стороны разные.

ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА:

БИССЕКТРИСА

Биссектриса ― луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части.

Свойства биссектрисы треугольника:

1. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр вписанной в треугольник окружности.

2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

3. Формулы для биссектрисы треугольника. Если а и b — стороны треугольника, γ — угол между ними, l — биссектриса треугольника, проведённая из вершины этого угла, а а’ и b’ — отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону треугольника, то

МЕДИАНА

Медиана ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медианы треугольника:

1. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
• Формула для медианы треугольника. Если стороны треугольника a и b, m_c — медиана треугольника, проведённая к стороне c, то

ВЫСОТА

Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

• внутри треугольника (для остроугольного треугольника),
• совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника),
• проходить вне треугольника (для тупоугольного треугольника).

Свойства высоты треугольника:

1. Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

3. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

4. Если CC₁ и АА₁ — высоты треугольника АВС, то треугольник ВА₁С₁ подобен треугольнику АВС, причём коэффициент подобия равен cos B.

Сложные теоремы:

5. Если Н — точка пересечения высот треугольника AВС, а О — центр его описанной окружности, то отрезок АН вдвое больше расстояния от точки О до середины стороны ВС. То есть AH = 2OM.

6. Если Н — точка пересечения высот треугольника AВС, М — точка пересечения медиан треугольника AВС, а О — центр его описанной окружности, то точки О, H и М лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точка М лежит на отрезке ОН и ОМ : МН = 1 : 2.

СРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Срединный перпендикуляр треугольника — прямая, перпендикулярная стороне треугольника и проходящая через его середину.

Все три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около треугольника окружности.

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника

Свойства средней линии треугольника:

• Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине:

MN||BC,MN = 1/2 BC

• В любом треугольнике три средних линии, при пересечении которых образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.

ПОДОБИЕ И РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Подобные треугольники	Равные треугольники
Треугольники подобны, если их углы равны. В подобных фигурах сохраняется отношение между соответствующими сторонами и другими линейными величинами (высоты, медианы, биссектрисы и периметры): Также сохраняется внутреннее отношение длин:	Два треугольника равны, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны (треугольники равны, если их можно совместить наложением).
Признаки подобия треугольников: 1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними: 2. 3. По двум равным углам (тогда и третьи тоже будут равны) 4. 5. По трем пропорциональным сторонам:	Признаки равенства треугольников: 1. По двум сторонам и углу между ними: 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам. 3. По трем сторонам.

ОСОБЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И ИХ СВОЙСТВА:

«Особенными», то есть обладающими какими — то дополнительными свойствами, считаются:

• равнобедренный,
• равносторонний
• прямоугольный треугольники.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равнобедренный треугольник ― это треугольник, у которого две стороны равны (АВ = АС).

Равные стороны (АВ и АС) в таком треугольнике называются боковыми, а оставшаяся третья сторона (ВС) ― основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. Углы при основании равны (∠АВС = ∠АСВ).

2. Медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. То есть она не только делит противолежащую сторону пополам (ВМ = МС), но и падает на неё под углом 90°, а кроме того делит угол, из которого выходит, пополам (∠ВАМ = ∠МАС).

Посмотрим на пример конкретной задачи. В равнобедренном треугольнике внешний угол равен 80°, необходимо найти все углы треугольника. Сразу возникает вопрос ― внешний угол при каком угле треугольника? Предположим, что это внешний угол при угле В (с нашего первого рисунка). Но в таком случае выходит, что сам ∠В = 100° (по сумме смежных углов). Значит, и ∠С = 100°, так как треугольник равнобедренный. Но тогда сумма только двух углов получается 200°, чего быть никак не может. Значит, речь идёт о внешнем угле при угле А треугольника. Тогда ∠А = 100°, а ∠В = ∠С = 40°.

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равносторонний треугольник ― треугольник, у которого все три стороны равны

Свойства равностороннего треугольника:

1. Кроме равенства сторон в таком треугольнике равны и все углы (каждый из которых по 60° ― так как 180°/3 = 60°).

2. Медиана, проведённая из любого угла, будет являться биссектрисой и высотой (другими словами, равносторонний треугольник с любой стороны является равнобедренным).

1. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

2. Формулы 2 и 3 для площади треугольника превращаются в одну формулу:

— Через синус (так как все стороны равны и каждый угол равен 60°):

— Формула Герона (так как все стороны равны):

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Прямоугольный треугольник ― треугольник, у которого один угол равен 90° (собственно, это и есть прямой угол, дающий название всему треугольнику). Сторона, лежащая против такого угла, называется гипотенузой (АВ), а две другие стороны ― катетами (АС и ВС).

Свойства прямоугольного треугольника:

1. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета (против большего угла лежит большая сторона, и наоборот).

2. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

АВ² = АС² + ВС²

Теорема, обратная теореме Пифагора: Если для сторон произвольного треугольника выполняется отношение АВ²= АС² + ВС², то треугольник является прямоугольным.

3. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности всегда лежит на середине гипотенузы (доказательство: прямой ∠С становится вписанным, а против вписанного угла в 90° всегда лежит диаметр ― значит, гипотенуза является диаметром).

Высота, проведенная к гипотенузе, разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику

4. Высота, проведенная к гипотенузе, равна:

• Произведению катетов, деленному на гипотенузу

• Среднему геометрическому из произведений отрезков, на которые гипотенуза делится высотой

5. Медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть радиусу описанной около треугольника окружности.

ЗОЛОТОЙ И СЕРЕБРЯНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИКИ:

Серебряный треугольник — треугольник с углами 45°, 45° и 90° (разрубленный по диагонали квадрат) Отношение сторон в серебряном треугольнике:

Золотой треугольник — треугольник с углами 30°, 60° и 90°. Отношение сторон в золотом треугольнике: