Разбор неравенств егэ профиль - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

^New

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Квадратичные неравенства

Метод интервалов

Уравнения и неравенства с модулем

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства

1. Решите неравенство:

$frac{{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 1}}{ +}frac{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 3}} geq { 2.}$

Сделаем замену

Тогда , а

Получим:

$frac{{ 2}}{{ t+1}}{ +}frac{{ t}}{{ t-1}} geq { 2};$

$frac{{ 2}{ t}{ -}{ 2+}{{ t}}^{{ 2}}{ +}{ t}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}}{ -}{ 2} geq{ 0};$

$frac{{{ t}}^{{ 2}}{ +3}{ t}{ -}{ 2-2}{{ t}}^{{ 2}}{ +2}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};$

$frac{{ 3}{ t}{ -}{{ t}}^{{ 2}}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};$

$frac{{ t}left({ t}{ -}{ 3}right)}{left({ t}{ -}{ 1}right)left({ t}{ +1}right)}le { 0}.$

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

$left[ begin{array}{c}{ -}{ 1 textless t}le { 0} \{ 1 textless t}le { 3} end{array}right..$

Вернемся к переменной x: $left[ begin{array}{c} -1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq0 \ 1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq 3 end{array} right. .$

$left[ begin{array}{c} {{2}over{sqrt{5}}} textless xleq {{4}over{sqrt{5}}}\ {{6}over{sqrt{5}}} textless xleq {{10}over{sqrt{5}}} end{array} right. .$

Ответ: $xin left(frac{{ 2}}{sqrt{{ 5}}};frac{{ 4}}{sqrt{{ 5}}}right]cup left(frac{{ 6}}{sqrt{{ 5}}};{ 2}sqrt{{ 5}}right].$

Показательные неравенства

2. Решите неравенство $2^x+17cdot 2^{3-x}le 25.$

$2^x+17cdot frac{8}{2^x}le 25.$

Сделаем замену Получим:

$t+17cdot frac{8}{t}-25le 0.$ Умножим неравенство на

Дискриминант квадратного уравнения

$D={left(-25right)}^2-4cdot 136=625-544=81.$ Значит, корни этого уравнения: $left[ begin{array}{c}t_1=17 \t_2=8 end{array}.right.$

Разложим квадратный трехчлен на множители.

. Вернемся к переменной x.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

$2^3le 2^xle 2^{{{log }_2 17}};$

$3le xle {{log }_2 17};$

Ответ: $xin left[3;{{log }_2 17}right].$

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.

3. Решите неравенство $2^{2x-x^2-1}+frac{1}{2^{2x-x^2}-1}le 2.$

Сделаем замену $2^{2x-x^2}=t,t textgreater 0.$ Получим:

$frac{t}{2}+frac{1}{t-1}-2le 0;$

$frac{t^2-t+2-4t+4}{2left(t-1right)}le 0;$

$frac{t^2-5t+6}{t-1}le 0;$

$frac{left(t-2right)left(t-3right)}{t-1}le 0.$

$left[ begin{array}{c}t textless 1 \2le tle 3 end{array} .right.$

Вернемся к переменной $x:left[ begin{array}{c}2^{2x-x^2} textless 1 \{2le 2}^{2x-x^2}le 3 end{array}.right.$

Первое неравенство решим легко: С неравенством ${2le 2}^{2x-x^2}$ тоже все просто. Но что делать с неравенством $2^{2x-x^2}le 3$ ? Ведь $3 = 2^{{{log }_2 3}}.$ Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим $t=2^{2x-x^2}.$ Для этого рассмотрим функцию $tleft(xright)=2^{2x-x^2}.$

Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

Тогда $2^{zleft(xright)}le 2$ , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.

Но если ${2le 2}^{2x-x^2}$ и $2^{2x-x^2}le 2$ , то $2^{2x-x^2}=2.$

Мы получили:

$left[ begin{array}{c} 2x-x^2 textless 0\ 2x-x^2=1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x(x-2) textgreater 0\ x^2-2x+1=0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\(x-1)^2=0end{array} right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\ x=1end{array}. right.$

Ответ:

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство $2{{log}_{frac{1}{2}} left(1-xright) textless {{log}_{frac{1}{2}} left(3x+1right)}}.$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

$2log_{{1}over{2}}(1-x) textless log_{{1}over{2}}(3x+1)Leftrightarrow left{begin{matrix} 1-x textgreater 0\3x+1 textgreater 0 \(1-x)^2 textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater -{{1}over{3}} \ 1+x^2-2x textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x^2-5x textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\ x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x(x-5) textgreater 0 end{matrix} .right.$

Ответ: $xin left(-frac{1}{3};0right).$

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство $2{{{log}_2}^2 {{cos}^2 x+7{{log}_2 {cos x} geq 1}}}.$

$2{{{log }_2}^2 {{cos }^{{ 2}} x+7{{log }_2 {cos x} geq 1}}}.$

ОДЗ:

Замена ${{log }_2 {cos x}=t} Rightarrow {{log }_2 {{cos }^{{ 2}} x}}=2{{log }_2 {cos x=2t}}.$

$2cdot {left(2tright)}^2+7t-1 geq 0;$

$t_1=frac{-7-9}{16}=-1;$

$t_2=frac{-7+9}{16}=frac{1}{8}.$

$(t+1)(t-{{1}over{8}})geq 0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} t leq -1 \ t geq {{1}over{8}} end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} log_2,cosx leq-1 \ log_2,cosx geq {{1}over{8}} end{array} right.$
$Leftrightarrow left{begin{matrix} left[ begin{array}{c} cosxleq{{1}over{2}} \ cosxgeqsqrt[8]{2} end{array} right. \ cosx textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow 0 textless cosxleq{{1}over{2}}.$

Ответ: $xin left(-frac{pi }{2}+2pi k;left.-frac{pi }{3}+2pi kright]right.cup left[frac{pi }{3}+2pi k;left.frac{pi }{2}+2pi kright), kright.in Z.$

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство: ${{log }_{{ 3-x}} frac{{ x+4}}{{left({ x-3}right)}^{{ 2}}}} geq { -2}.$

$log_{3-x}frac{x+4}{(x-3)^2}geq-2Leftrightarrow left{begin{matrix} 3-x textgreater 0\3-xneq1 \ {x+4over (x-3)^2} textgreater 0 \ log_{3-x} {{x+4}over(x-3)^2}+2geq 0 end{matrix} .right.$

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что ${left({ a-b}right)}^{{ 2}}{ =}{left({ b-a}right)}^{{ 2}}{ }$ . Используем также условия

$left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x+4 textgreater 0 \ log_{3-x}(x+4)-log_{3-x}(3-x)^2+2geq0 end{matrix}right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x textgreater -4 \ log_{3-x}(x+4)geq0 end{matrix}.right.$

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, ${{log }_{{ a}} {left({ b}left({ x}right)right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ a}} left|{ b}left({ x}right)right|}}.$

Поскольку ${ 3-}{ x}{ textgreater 0,}{{ log}}_{{ 3-x}}{left({ 3-x}right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ 3-x}} left|{ 3-x}right|{ =}}{ 2}{{log }_{{ 3-x}} left({ 3-x}right){ =2.}}$

Согласно методу замены множителя, выражение ${{ log}}_{{ 3-x}}left({ x+4}right)$ заменим на

Получим систему:

$left{ begin{array}{c}{ x}ne { 2} \{ -}{ 4}{ textless x textless 3} \left({ 2-x}right)left({ x+3}right) geq { 0} end{array}.right.$

Решить ее легко.

Ответ: .

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

${{log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 xleq 4}}.$

ОДЗ: $left{ begin{array}{c}x-5 textgreater 0 \x textgreater 0 end{array}Longleftrightarrow x textgreater 5.right.$

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

${{log }_2 left(9-5right)={{log }_2 4=2}};$

${{log }_3 9=2};$

${{log }_2 left(9-5right)+{{log }_3 9=4}}.$

Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции ${{{ y=}log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 x}}$ равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ: (5; 9].

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Показательные неравенства в ЕГЭ по математике профильного уровня неизменно встречаются из года в год. Безусловно, баллы, которые можно набрать или, наоборот, не получить за данное задание, никак не влияют на итоговую оценку по предмету. Но нельзя забывать, что от них во многом зависит ваш шанс поступить в желаемый вуз.

Научиться решать показательные неравенства важно не только с целью успешной сдачи аттестационного испытания и получения конкурентоспособных баллов по ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшем учебном заведении Москвы или другого города. Кроме того, выполнение данных заданий позволяет развить навыки систематизации и логическое мышление, помогает повысить творческие и умственные способности школьника.

Показательные уравнения и неравенства, которые предстоит решить школьникам из Москвы и других городов в ЕГЭ по математике (профиль), входят в курс 10 класса. На уроках на изучение этой темы отводится мало времени. Для того чтобы верно выполнить решение показательных неравенств в ЕГЭ, рекомендуем воспользоваться при подготовке нашим ресурсом. Мы разработали для вас уникальный инструмент, с помощью которого вы сможете грамотно выстроить подготовку к сдаче экзамена, восполнить пробелы в знаниях и отработать навыки решения задач.

Источник


3662	Решите неравенство (9^x-13*3^x+30)/(3^(x+2)-3^(2x+1)) >= 1/3^x Решение График	Решите неравенство 9^x -13*3^x +30 / 3^x+2 — 3^2x+1 >= 1/3^x ! Статград 28-02-2023 11 класс Вариант МА2210309 Задание 14

3640	Решите неравенство 31^x+33 >= 11(7-sqrt(18))^x+3(7+sqrt(18))^x Решение График	Решите неравенство 31^x + 33 >= 11(7-sqrt(18))^x + 3(7+sqrt(18))^x

3617	Решите неравенство x^3+7x^2+(16x^2+5x-15)/(x-3)<=5 Решение График	Решите неравенство x3 + 7×2 + 16×2+5x-15 / x-3 <= 5 ! Тренировочная работа №1 по математике 10 класс Статград 08-02-2023 Вариант МА2200109 Задание 14

3614	Решите неравенство: log_{2}(32x)/(log_{2}(x) -5)+ (log_{2}(x)-5)/ log_{2}(32x)>= (log_{2}(x^16)+18)/((log_{2}(x))^2-25) Решение График	Решите неравенство: log2 (32x) / log2 x -5+ log2 x-5 / log2 (32x) >= log2 x16+18 / log2 2 x -25

3597	Решите неравенство: x^2*log_{64}(3-2x) >= log_{2}(4x^2-12x+9) Решение График	Решите неравенство: x2 log64 (3-2x) >= log 2 (4×2 — 12x+9) ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 18 Задание 14

3596	Решите неравенство 49^(1-5/x)-9112^(-5/x)+3*4^(2-10/x)>=0 Решение График	Решите неравенство 4 9^(1-5/x)-91 12^(-5/x)+3 4^(2-10/x) >= 0 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 20 Задание 14

3586	Решите неравенство: (log_{5}(x^4))^2-28log_{0.04}(x^2) <= 8 Решение График	Решите неравенство: log2 5 x4 — 28log0,04 x2 <= 8 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 18 Задание 14

3579	Решите неравенство: (log_{2}(x^4))^2-4log_{0.25}(x^2) >= 12 Решение График	Решите неравенство: log2 2 (x4) -4log0.25 (x2) >= 12 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 17 Задание 14

3569	Решите неравенство (3x^3-18x^2+27x)(x-3)^-1-. (6x^3-11x^2-44x-30)(2x+3)^-1<=11 Решение График	Решите неравенство (3x^3 — 18x^2 +27x)(x-3)^-1 -(6x^3 -11x^2 -44x -30) (2x+3)^-1 <=11 ! Тренировочная работа по математике №2 СтатГрад 11 класс 13.12.2022 Задание 14 Вариант МА2210209

3550	Решите неравенство: 8^(lg(-1-x))<=(x^2-1)^(lg2) Решение График	Решите неравенство: 8 lg(-1-x)<=(x2 — 1) lg2 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 14 Задание 14

Источник