Разбор заданий егэ по математике профильный уровень 2 часть

7 июня 2021

В закладки

Обсудить

Жалоба

Запись стрима.

Подборка задач: ege2021real_2.pdf

0:15 Обсуждаем, как оно было
15:25 Задача 13
21:10 Задача 15 из чата
30:00 Полезное неравенство
33:00 Задача 13 из чата
39:14 Задача 14
40:44 Задача 19
50:40 Задача 18
59:25 Задача 18
1:09:15 Задача 17
1:16:22 Задача 16

Источник: vk.com/mathstudy.online

В данной статье представлен разбор заданий 9-12 части 2 ЕГЭ по математике профильного уровня от репетитора по математике и физике. Видеоурок репетитора с разбором предложенных заданий содержит подробные и понятные комментарии по каждому из них. Если вы только начали подготовку к ЕГЭ по математике, данная статья может оказаться для вас очень полезной.

Используя свойства логарифмов, с которыми вы можете подробно ознакомиться в данной статье или в предлагаемом выше видеоуроке, преобразуем выражение:

   

   

   

Скорость движения груза через 10 с после начала колебательного движения будет равна:

м/с.

Тогда кинетическая энергия в этот момент времени будет равна:

Дж.

11. Известно, что 6 леденцов стоят дешевле шоколадки на 2%. На сколько процентов 9 таких леденцов стоят дороже шоколадки?

Пусть x — цена одного леденца, а y — цена шоколадки. Тогда 6 леденцов стоят 6x, а 2% от стоимости шоколадки равны 0,02y. Поскольку известно, что 6 леденцов стоят дешевле шоколадки на 2%, то имеет место первое уравнение: 6x + 0,02y = y, из которого получаем, что x = 0,98/6 y = 98/600 y = 49/300 y. В свою очередь 9 леденцов стоят 9x, то есть 9·49/300 y = 49/300 y = 1,47 y. Задача сводится к тому, чтобы определить на сколько процентов 1,47y больше, чем y. Если y составляет 100%, то 1,47y составляет 1,47·100% = 147%. То есть 1,47y большем, чем y на 47%.

12. Найдите точку минимума функции .

Используем алгоритм нахождения точек экстремума (минимума и максимума) функции:

1) ОДЗ задаётся неравенством: (так выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше нуля), откуда получаем, что .

2) Ищем производную функции. Подробный рассказ о том, как вычисляется производная данной функции, смотрите в видео выше. Производная функции равна:

   

3) Ищем значения x, при которых производная равна 0 или не существует. Она не существует при , так как в этом случае знаменатель обращается в нуль. Производная обнуляется, когда:

   

Последняя дробь равна 0 при .

4) Наносим на числовую прямую ОДЗ, точки в которых производная не существует, а также точки, в которых она равна нулю. Далее определяем, какова по знаку производная (положительная или отрицательная) на каждом из полученных промежутков:

Как видно, производная меняет свой знак с отрицательного на положительный в точке . Значит это и есть точка минимума.

Материал подготовил репетитор по математике и физике, Сергей Валерьевич

Смотрите также:

• разбор заданий части 1 ЕГЭ по математике
• разбор задания 13 из ЕГЭ по математике профильного уровня
• задача 15 из ЕГЭ по математике (профиль)
• задача с параметром (номер 18) их профильного ЕГЭ по математике

Профильная математика — один из самых сложных экзаменов для большинства выпускников, от которого зависит аттестат. Именно стоит узнать, как решается вторая часть профильной математики ЕГЭ, так как именно за нее даются баллы, необходимые для результата 85+.

Что из себя представляет вторая часть в 2021

В 2021 году вторая часть профильной математики ЕГЭ состоит из одиннадцати номеров (четыре с кратким ответом, семь — с развернутым). Для их решения необходимо приобрести определенные знания и навыки:

• умение решать задачи (текстовые, прикладные, экономические, олимпиадные),
• умение анализировать функции,
• умение составлять и решать выражения,
• умение решать уравнения,
• умение решать неравенства,
• умение работать с параметром,
• знание стереометрии,
• знание планиметрии.

Критерии оценивания

Вторая часть профильной математики ЕГЭ весит 24 первичных балла из 32 возможных:

• № 9-12 — 1б,
• № 13-15 — 2б,
• № 16-17 — 3б,
• № 18-19 — 4б.

Для получения балла за № 9-12 необходимо записать правильный ответ в бланк, решение номера не рассматривается, однако по сложности это все же вторая часть профильной математики ЕГЭ.

В №13 балл могут дать за написание верного ответа или верного хода решения при неверном ответе.

В №14 балл дадут за решение одного из двух пунктов.

В №15 балл дадут за вычислительную ошибку или неверное исключение точки.

В №16 можно получить баллы за решение одного из пунктов: более сложного (2 балла) или более простого (1 балл).

В №17 баллы дают за верную математическую модель: два — за доведенное до конца решение с вычислительной ошибкой или недостаточным обоснованием, один — за не доведенное до конца решение.

В №18 три балла можно получить, если назвать два верных решения (и два неверных или недостаточно их обосновать), два балла за одно верное решение и один балл за верный ход мысли.

В №19 три балла дадут за три верных ответа, два — за два, один — за один (с обоснованием, если решение легкое).

Как решать вторую часть ЕГЭ по профильной математике

Вторая часть профильной математики ЕГЭ требует углубленных знаний в области дисциплины. При этом, каждый номер направлен на отработку каких-то конкретных знаний и навыков. Поэтому готовиться стоит к каждому номеру отдельно.

Задание 9

Задание №9 — это проверка простейших вычислений, для которых необходимо знать свойства логарифмов, тригонометрических функций, корней и степеней. Чтобы решить этот номер, можно воспользоваться приложенным к КИМ списком формул. Заранее стоит научиться выводить из них другие полезные формулы, это избавит от лишнего заучивания и поможет подготовиться к решению более сложных задач.

Задание 10

Вторая часть профильной математики ЕГЭ включает также задачу прикладного характера с формулой для ее решения. Нужно проследить, чтобы все значения измерялись однотипно (все время в секундах, например), а переменные представлялись в общем виде. Также лучше попробовать сократить выражение, если это возможно: так можно исключить вычислительную ошибку при подставлении.

Обязательно следует перепроверять свое решение.

Задание 11

В №11 может встретиться задача на один из шести типов. Решение любой из этих типов задач начинается с составления уравнения: искомая величина — Х. Оно чаще всего выходит линейным или квадратным. Для составления уравнения стоит пользоваться основными формулами: пути, работы и концентрации.

Задание 12

Для подготовки к заданию на точки экстремумов необходимо изучить таблицу основных производных и их графики, а также их свойства. Помимо этого, стоит попрактиковаться в нахождении нулей производных. Они помогут определить все точки экстремумов, из которых можно будет найти наибольшее и наименьшее значения функций.

Задание 13

Задание № 13, с которого начинается настоящая (с проверкой решения) вторая часть профильной математики ЕГЭ, проверяет умение выпускников ориентироваться  в тригонометрии. Чтобы выполнить этот номер на максимум, необходимо, во-первых, найти ОДЗ, а  во-вторых, с ее учетом решить полученное уравнение. Для этого может пригодится огромное количество формул и свойств, запомнить которые поможет мнемотехника. Так, одним из полезный упражнений на запоминание будет правило лошади: если она качает головой по вертикали, получается кивок — «да», поэтому вдоль оси ординат функция меняется; а вот качание головой по горизонтали, это «нет», функция не меняется.

Задание 14

№14 содержит два задания: на доказательство и вычисление. С первым могут помочь теорема Фалеса и подобие треугольников, а в последнем очень выручают теоремы синусов и косинусов, Пифагора, о трех перпендикулярах и тригонометрические функции в частности.

Задание 15

Неравенства задания №15 решаются благодаря постоянности логарифмической функции. От изменчивого основания можно избавиться, если перейти к новому постоянному основанию. Отдельное внимание стоит уделить ОДЗ, которое может меняться.

При решении важно помнить про методы интервалов и рационализации, правила замены тригонометрических функций.

Задание 16

Лучше запомнить все теоремы, свойства и аксиомы, связанные с треугольниками, так как они содержатся в любой фигуре и, соответственно, будут полезны при решении любого номера, который содержит вторая часть профильной математики ЕГЭ. Также особое внимание в №16 следует уделить рисунку: он должен быть наглядным, содержать необходимые пометки. Это поможет в решении любой задачи по планиметрии.

Задание 17

Вторая часть профильной математики ЕГЭ под видом №17 может предложить три типа задач:

• вклад,
• кредит,
• оптимизация.

Для их решения следует постепенно преобразовывать каждое условие задачи в уравнение или его часть. При подготовке следует заранее ознакомиться со схемами кредитования (дифференцированные и аннуитетные платежи), к задаче на оптимизацию нужно будет попрактиковаться в работе с целевыми функциями с точками экстремумов.

Задание 18

Этот номер проверяет умение мыслить логически и составлять схему рассуждений. Каждая из задач под этим номером нестандартна, поэтому помочь в их решении может только регулярная практика по вариантам прошлых лет. Однако стоит отметить, что в задании допустимо и графическое решение: так, в уравнениях с двумя переменными часто прячутся фигуры, которые могут оказаться ответом на задание.

Задание 19

№19 — последний, который включает вторая часть профильной математики ЕГЭ. Это задание олимпиадного уровня, поэтому оно требует нестандартного мышления. Для подготовки к нему можно изучить признаки делимости чисел (четное окончание как признак деления на «2» — это недостаточно для экзамена), а также формулы арифметической и геометрической прогрессий. Отлично помогут также решение заданий из вариантов прошлых лет, разборы олимпиадных заданий похожего типа.

Таким образом, видно, что вторая часть профильной математики ЕГЭ — это действительно сложные задачи, решить которые под силу не каждому выпускнику. Поэтому для того, чтобы сдать экзамен на 85+ баллов, необходимо усердно готовиться.

В данном разделе мы занимаемся подготовкой к ЕГЭ по математике как базового, профильного уровня — у нас представлены разборы задач, тесты, описание экзамена и полезные рекомендации. Пользуясь нашим ресурсом, вы как минимум разберетесь в решении задач и сможете успешно сдать ЕГЭ по математике в 2020 году. Начинаем!

ЕГЭ по математике является обязательным экзаменом любого школьника в 11 классе, поэтому информация, представленная в данном разделе актуальна для всех. Экзамен по математике делится на два вида — базовый и профильный. В данном разделе я приведен разбор каждого вида заданий с подробным объяснением для двух вариантов. Задания ЕГЭ строго тематические, поэтому для каждого номера можно дать точные рекомендации и привести теорию, необходимую именно для решения данного вида задания. Ниже вы найдете ссылки на задания, перейдя по которым можно изучить теорию и разобрать примеры. Примеры постоянно пополняются и актуализируются.

---

Структура базового уровня ЕГЭ по математике

---

Экзаменационная работа по математике базового уровня состоит из одной части, включающей 20 заданий с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Ответом к каждому из заданий 1–20 является целое число, конечная десятичная дробь, или последовательность цифр.

Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов №1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания.

---

Разбор заданий ЕГЭ по математике (база)

---

3662	Решите неравенство (9^x-13*3^x+30)/(3^(x+2)-3^(2x+1)) >= 1/3^x Решение     График	Решите неравенство 9^x -13*3^x +30 / 3^x+2 — 3^2x+1 >= 1/3^x ! Статград 28-02-2023 11 класс Вариант МА2210309 Задание 14
3661	а) Решите уравнение 2cos^3(x)=-sin((3pi)/2+x) б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3pi; 4pi]. Решение     График	а) Решите уравнение 2cos3 x = -sin(3/2pi+x) ! Статград 28-02-2023 11 класс Вариант МА2210309 Задание 12
3659	Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярна AC, пересекает AD в точке K, BK=KD. а) Доказать, что лучи BK и BD делят угол ABC на три равные части. б) Найти расстояние от центра прямоугольника до прямой CK, если AB=6sqrt7 Решение	Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярна AC, пересекает AD в точке K, BK=KD ! Доказать, что лучи BK и BD делят угол ABC на три равные части
3655	Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р – середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD=3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q , AD=2BC. a) Докажите, что точка Q – середина отрезка AR б) Найдите площадь треугольника APQ Решение	Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р – середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD=3RD ! Тренировочный вариант 221 от Ларина Задание 16 # Решение пункта Б
3644	При каких значениях параметра a уравнение (a^2-6a+8)x^2+. (a^2-4)x+10-3a-a^2=0. имеет более двух корней Решение     График	При каких значениях параметра a уравнение (a2-6a+8)x2 +(a2-4)x + 10-3a-a2 =0 имеет более двух корней
3640	Решите неравенство 31^x+33 >= 11*(7-sqrt(18))^x+3*(7+sqrt(18))^x Решение     График	Решите неравенство 31^x + 33 >= 11(7-sqrt(18))^x + 3(7+sqrt(18))^x
3631	В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, а угол BDC равен 75°. Точка P лежит вне прямоугольника, а угол APB равен 150°. а) Докажите, что углы BAP и POB равны. б) Прямая PO пересекает сторону CD в точке F. Найдите CF, если AP=6sqrt3 и BP=4 Решение	В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, а угол BDC равен 75° ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 25 Задание 16 # Задача-аналог   2559
3626	а) Решите уравнение (x^2+4x-2)*(4^(3x+1)+8^(2x-1)-11)=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-0,5; 0,5] Решение     График	а) Решите уравнение (x2+4x-2)(4^3x+1+8^2x-1-11) = 0 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 24 Задание 12
3625	В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O. а) Докажите, что около в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC=12, BD=13 Решение	Докажите, что около в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 24 Задание 16 # Задача — аналог   2530
3619	а) Решите уравнение 5sin(2x)-5cos(x)+14sin(x)-7=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(3pi)/2; 3pi]. Решение     График	а) Решите уравнение 5sin2x — 5cosx + 14sinx — 7 = 0 ! Тренировочная работа №1 по математике 10 класс Статград 08-02-2023 Вариант МА2200109 Задание 12

Показана страница 1 из 229

Второе задание профильного ЕГЭ по математике проверяет умение учащихся работать с графической информацией.
 
Тип задания: с кратким ответом
Уровень сложности: базовый
Количество баллов: 1
Примерное время на выполнение: 2 минуты

Экзаменующемуся предстоит извлечь информацию из графика функции или диаграммы, и затем обработать её в соответствии с условием задачи. В большинстве случаев даже задание в несколько действий можно выполнить устно.

Для успешного выполнения задания необходимо усвоить следующие понятия:
— функция;
— ось абсцисс;
— ось ординат;
— возрастание и убывание функции;
— график функции;
— область определения функции;
— область значения функции;
— максимум и минимум функции;
— наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке;
— столбчатая диаграмма;
— круговая диаграмма.

Необходимые умения:
— определять цену деления;
— определять значение функции по заданному аргументу;
— определять аргумент по известному значению функции;
— выделять на графике функции указанный отрезок;
— определять по графику наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке;
— находить на графике максимумы и минимумы, определять соответствующие им аргументы и значения функции;
— находить промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1

На графике дана зависимость высоты тела над поверхностью земли от времени. По оси абсцисс отложено время в минутах, по оси ординат – высота в метрах. Определите высоту, на которой находилось тело через 7 минут после начала движения.

Решение:

1) На горизонтальной оси находим точку, соответствующую 7-ми минутам.

2) От найденной точки вверх проводим вертикальную прямую. Находим точку пересечения прямой с графиком.

3) Проводим горизонтальную прямую к оси ординат.

4) Находим точку пересечения прямой с осью ординат.

5) Полученная точка находится посередине между отметками 15м и 20м. Найдем ее значение (15+20):2=17,5

Ответ: 17,5.

Пример №2

С 18 по 20 апреля проводилось измерение температуры воздуха. Результаты измерений представлены в виде графика. Какого максимального значения достигала температура воздуха 19 апреля?

Решение:

1) На горизонтальной оси выделяем отрезок, соответствующий 19-му апреля.

2) Находим на этом участке самую высокую точку графика.

3) Проводим из этой точки горизонтальную прямую до оси ординат и получаем искомую температуру.

Ответ: 14.

Пример №3

В помещении имеется кондиционер с датчиком температуры воздуха. Зависимость температуры воздуха в помещении с кондиционером от времени показана на графике. Температура указана в градусах Цельсия. Кондиционер включается, когда температура воздуха превышает максимально допустимое значение, и выключается, когда воздух охлаждается до необходимой температуры.  Определите по графику, сколько минут был отключен кондиционер.

Решение:

1) Когда кондиционер отключен, температура воздуха повышается. График возрастает.

2) Находим на графике возрастающий участок.

3) Из крайних точек этого отрезка проводим вертикальные прямые на горизонтальную ось и находим моменты включения (6 минут) и выключения (9 минут) кондиционера.

4) Находим время работы кондиционера: 9-6=3 минуты.

Ответ: 3.

Пример №4

Крутящий момент двигателя зависит от числа оборотов. На графике по горизонтальной оси отложено число оборотов в минуту. По вертикальной – крутящий момент в Н*м. Какое минимальное число оборотов должен совершать двигатель, чтобы его крутящий момент составил 90Н*м?

Решение:

В этой задаче полезно определить цену деления по обеим осям. Для этого берем наименьшее отмеченное число и делим его на число делений до этого числа.

По оси абсцисс получаем 1000/4=250.
По оси ординат 20/2=10.

1) На оси ординат находим точку, соответствующую 90 Н*м. Это значение на оси не отмечено. Оно находится на одно деление выше точки 80.

2) От найденной точки проводим горизонтальную линию.

3) Линия пересекает график в двух точках.

4) Т.к. по условию задачи нужно определить наименьшее число оборотов, то выбираем левую точку.

5) Опускаем от нее вертикальную линию на ось ординат, находим точку пересечения.

6) Найденная точка расположена на три деления правее отметки 1000. Найдем ее значение, пользуясь известной ценой деления. 1000+3*250=1750.

Ответ: 1750.

Пример №5

С 5 по 18 апреля измерялось суточное количество осадков. Результаты измерения указаны точками на графике. По горизонтальной оси отложены даты, по вертикальной – количество осадков в мм. Для удобства чтения графика точки соединены отрезками. Сколько дней с 5 по 18 апреля суточное количество осадков составляло менее 3мм?

Решение:

Для решения данной задачи надо уметь различать понятия «более» и «не менее». Разница в том, учитывается или нет пограничное значение. «Более 3мм» – это 4, 5, и так далее. Т.е. дни, когда выпадало 3мм осадков, не считаем, потому что нас интересуют числа больше 3. «Не менее 3 мм» – считать начинаем от 3, т.к. в этом случае оно соответствует условию.

1) На вертикальной оси находим точку, обозначенную числом 3.

2) Проводим горизонтальную прямую.

3) Считаем точки, расположенные на прямой и выше её.

Ответ: 8.

Пример №6

В течение 2016 года в населенном пункте проводилось измерение температуры воздуха. На диаграмме указана среднемесячная температура воздуха в градусах Цельсия.  Сколько месяцев в 2016 году среднемесячная температура в населенном пункте была выше 15 градусов?

Решение:

1) Число, соответствующее 15 градусам на вертикальной оси не отмечено.
Выясним, какому количеству делений соответствует 1 градус.
Определим цену деления 4/2=2. Т.е. одно деление соответствует двум градусам, значит, одному градусу соответствует половина деления. Точка, соответствующая 15 градусам находится на половину деления ниже 16.

2) От найденной точки проводим горизонтальную линию.

3) Определяем, сколько столбиков диаграммы оказались выше линии.

Ответ: 3.

Практика показывает, что большинство ошибок во втором задании вызвано попытками решить его устно. При подготовке такие задания действительно легко решаются. Но от волнения взгляд экзаменующегося легко перескакивает с одной строчки на другую. Задание расположено в самом начале билета, поэтому многие учащиеся не успевают успокоиться к моменту его решения. Поэтому все необходимые вспомогательные линии и точки нужно рисовать прямо на графиках в бланке заданий. На это не уйдет много времени, а вероятность ошибки снизится в несколько раз.

Читайте также разбор 1 задания по математике профильного уровня.

Задание 2 Профильного ЕГЭ по математике – это основы стереометрии. Это задачи на вычисление объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.

Ничего сложного здесь нет. Все эти задачи доступны даже десятикласснику. И даже гуманитарию.

Как решать задания по стереометрии из первой части Профильного ЕГЭ?

Повторим формулы для вычисления объемов и площадей поверхности многогранников (призмы, пирамиды… ) и тел вращения (цилиндра, конуса и шара)

Проверим себя – умеем ли мы рисовать чертежи?

Посмотрим, как решаются простые задачи по стереометрии и задачи с секретами.

Запоминаем один из главных лайфхаков решения задач по стереометрии:

И решаем задачи. У нас все получится!

1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности и объем куба, если его ребро увеличить в два раза?

Отношение площадей поверхности подобных тел равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия. При увеличении ребра в 2 раза площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объем – в 8 раз.

2. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший конус, все линейные размеры которого в 3 раза меньше, чем у большого. Поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Она равна 2.

3. Объем пирамиды равен 10. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.

 

Меньшая пирамида подобна большой, коэффициент подобия Отношение объемов  подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Поэтому объем меньшей пирамиды в 8 раз меньше объема исходной пирамиды. Он равен 

4. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

Площадь основания пирамиды ЕАВС в 2 раза меньше, чем у пирамиды ABCDS. Высота пирамиды ЕАВС равна половине высоты пирамиды ABCDS. Значит, объем пирамиды ЕАВС в 4 раза меньше объема пирамиды ABCDS. Он равен

5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка E – середина ребра AB, боковое ребро SC равно 4, длина отрезка SE равна   Найти объем пирамиды SABCD .

Найдем сторону основания пирамиды. По теореме Пифагора, для треугольника  SAE получаем, что Соответственно, сторона основания пирамиды равна Если обозначить центр основания за H, то высоту пирамиды  найдем по теореме Пифагора, для треугольника SHE – она равна 2.

Применяя формулу для объема пирамиды , получаем ответ: 16.

Многие задания №2 Профильного ЕГЭ по математике можно считать подготовительными – для того, чтобы научиться решать задачу 14 из второй части ЕГЭ.

Для решения некоторых из них стоит выучить основные определения и теоремы стереометрии. В общем, то, что входит в программу по стереометрии.

6. Стороны основания треугольной пирамиды равны 15, 16 и 17. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами 45°. Найдите объем пирамиды.

Пусть точка О – проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Прямоугольные треугольники АОS, ВОS, СОS равны (по общему катету ОS и острому углу). Значит, АО = ВО = СО. Точка О, равноудаленная от вершин основания, – это центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Тогда АО = ВО = СО = OS = R, где R – радиус этой окружности.

Радиус описанной окружности найдем по формуле

Площадь найдем по формуле Герона:

, где   – полупериметр.

Заметим, что если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то вершина проецируется в центр основания.

7. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми и  . Ответ дайте в градусах.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Поскольку  и  параллельны, найдем угол между  и . Он равен 45 градусов, так как грань   –  квадрат.

Ответ: 45.