Новое видео + Теория по всем заданиям Профильного ЕГЭ по математике!
Приветствуем старшеклассников и учителей!
В этой рассылке новое видео про определение расстояния до горизонта. И в нем же обсудили теорию плоской Земли. Может ли наша Планета быть плоской, сплюснутой или это все-таки шар. Что школьная программа говорит на этот счет? Смотрите новое видео Анны Малковой!
Такие задачи встречаются в Задании 10 профильного ЕГЭ по математике. Часто десятую задачу еще называют «Физика на ЕГЭ по математике» и поэтому считают сложной. Но это не так. Подробнее про Задание 10 в этой статье. В ней разобрали все встречающиеся типы задач в этом задании.
Кстати, про физику! Если вы еще не прошли наш онлайн-пробный — поторопитесь это сделать. Полный видеоразбор смотрите здесь.
А еще напоминаем, что сегодня последний день распродажи курса для нынешних десятиклассников «Физика 10+11». Завтра курс станет дороже. Но вы можете создать заказ сейчас и оплатить его позже, чтобы успеть зафиксировать цену. Торопитесь!
ПОДРОБНЕЕ ПРО 10+11
Теория математика профиль Задания 1-19!
Все задания – от №1 до №19.
По каждому – необходимая теория, темы для повторения, примеры решения и оформления задач и полезные лайфхаки.
— Задание 1. Простейшие текстовые задачи.
— Задание 2. Чтение графиков и диаграмм.
— Задание 3. Задачи на клетчатой бумаге или координатной плоскости.
— Задание 4. Теория вероятностей. Основные понятия.
— Задание 5. Простейшие уравнения.
— Задание 6. Планиметрия.
— Задание 7. Производная и первообразная.
— Задание 8. Стереометрия.
— Задание 9. Вычисления и преобразования.
— Задание 10. Задачи с прикладным содержанием.
— Задание 11. Текстовые задачи.
— Задание 12. Исследование функций.
— Задание 13. Уравнения на ЕГЭ по математике.
— Задание 14. Стереометрия на ЕГЭ по математике.
— Задание 15. Неравенства на ЕГЭ по математике.
— Задание 16. Планиметрия на ЕГЭ по математике.
— Задание 17. «Экономические» задачи на ЕГЭ по математике.
— Задание 18. Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике.
— Задание 19. Задачи на числа и их свойства на ЕГЭ по математике Нестандартные задачи.
— Таблица перевода баллов ЕГЭ, Профильный уровень.
Сохрани и прочитай! Здесь очень много полезного материала.
А теперь представь, что к этим материалам добавляется во много раз больше разобранных задач (текст и видеоразбор).
И онлайн-занятия с Анной Малковой 2 раза в неделю по 2 часа.
И домашние задания с проверкой.
И 72 темы, в каждой из которых не менее 14 задач для самостоятельного решения. Пока не решишь задачи – к следующей теме перейти не получится.
И все это вместе – наши Онлайн-курсы подготовки к ЕГЭ для 10 и 11 классов
ЕГЭ по математике – практический экзамен. И проверяется на нем прежде всего умение решать задачи. Прочитать, как решать задачи, можно на нашем сайте.
А вот научиться решать – на нашем Онлайн-курсе.
Онлайн-курсы
Есть вы будете писать на ЕГЭ 1 часть + уравнения (№13) и неравенства (№15) — т.е. максимум на 65-70 баллов — вам нужен этот курс.
Если пишите задачи 1-13, 15, 17 (экономическая) и хотите познакомиться с параметрами (вдруг, на ЕГЭ повезет и будет легкий параметр) — вот курс до 80 баллов.
Полный курс по всем темам и заданиям ЕГЭ — здесь. Все, включая экономические, параметры, нестандартные задачи. Конечно же, тригонометрия, стереометрия, планиметрия. Все это уже ждет вас в курсе на 100 баллов.
Отдельный курс для преподавателей математики. Все темы + методические материалы и занятия для преподавателей. Ссылка на курс здесь.
Онлайн-курс по информатике Лады Есаковой очень плотный, информации и домашней работы будет много. Онлайн-курс на 100 баллов включает все изменения ЕГЭ-2021. При этом изложен простым понятным языком.
Для преподавателей будет полезен онлайн-курс по информатике. Он содержит множество методических материалов и, по сути, программу для ваших занятий.
Курс по физике на 100 баллов: все, что есть на ЕГЭ доступным языком. С нуля до самых сложных тем. Разберем все по полочкам и подготовимся к ЕГЭ на 100 баллов.
Наш онлайн-курс по русскому языку включает все 27 заданий на ЕГЭ + подготовку к Итоговому сочинению. Вот здесь разобрали одно из направлений. Ссылка на Онлайн-курс для учеников на 100 баллов.
Онлайн-курс для преподавателей русского языка. В нем открытые методические материалы и содержатся онлайн-занятия за оба учебных полугодия.
Плохо пишешь сочинение? Тренируйся!
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Теория по всем задачам математики профиль!» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из Рубрики: Новости.
Публикация обновлена:
08.03.2023
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.
7 июня 2021
В закладки
Обсудить
Жалоба
Запись стрима.
Подборка задач: ege2021real_2.pdf
0:15 Обсуждаем, как оно было
15:25 Задача 13
21:10 Задача 15 из чата
30:00 Полезное неравенство
33:00 Задача 13 из чата
39:14 Задача 14
40:44 Задача 19
50:40 Задача 18
59:25 Задача 18
1:09:15 Задача 17
1:16:22 Задача 16
Источник: vk.com/mathstudy.online
В данном разделе мы занимаемся подготовкой к ЕГЭ по математике как базового, профильного уровня — у нас представлены разборы задач, тесты, описание экзамена и полезные рекомендации. Пользуясь нашим ресурсом, вы как минимум разберетесь в решении задач и сможете успешно сдать ЕГЭ по математике в 2020 году. Начинаем!
ЕГЭ по математике является обязательным экзаменом любого школьника в 11 классе, поэтому информация, представленная в данном разделе актуальна для всех. Экзамен по математике делится на два вида — базовый и профильный. В данном разделе я приведен разбор каждого вида заданий с подробным объяснением для двух вариантов. Задания ЕГЭ строго тематические, поэтому для каждого номера можно дать точные рекомендации и привести теорию, необходимую именно для решения данного вида задания. Ниже вы найдете ссылки на задания, перейдя по которым можно изучить теорию и разобрать примеры. Примеры постоянно пополняются и актуализируются.
Структура базового уровня ЕГЭ по математике
Экзаменационная работа по математике базового уровня состоит из одной части, включающей 20 заданий с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.
Ответом к каждому из заданий 1–20 является целое число, конечная десятичная дробь, или последовательность цифр.
Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов №1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания.
Разбор заданий ЕГЭ по математике (база)
Наверх
Образцы реальный заданий с ЕГЭ 2021 по математике профильный уровень с решениями и критериями.
Образцы задания №13 ЕГЭ 2021: задания | решения
Образцы задания №14 ЕГЭ 2021: задания и решения
Образцы задания №15 ЕГЭ 2021: задания и решения
Образцы задания №16 ЕГЭ 2021: задания и решения
Образцы задания №17 ЕГЭ 2021: задания и решения
Образцы задания №18 ЕГЭ 2021: задания и решения
Образцы задания №19 ЕГЭ 2021: задания | решения
Смотрите также на нашем сайте:
Задание №15 показательное неравенство на реальном ЕГЭ 2021
Образцы заданий 13-19 реального ЕГЭ 2021 по математике профильный уровень
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
В
данной
работе
предлагаются
решения
сложных
заданий
(№13
—
№19)
ЕГЭ-2021
по
математике.
Представленный
здесь
материал
предназначен
для
подготовки
к
ЕГЭ
учащихся,
имеющих
навыки
в
решении
заданий
подобного
уровня
сложности.
Задания
№13,
№15,
№17
могут
быть
предложены
сильным
учащимся
обычных
классов,
а
вот
задания
№14,
№16,
№18,
№19
целесообразно
решать
с
учащимися
физико-
математических
классов,
причем
задание
№19
под
буквой
«в»
под
силу
только
тем,
кто
имеет
определенную
подготовку
в
решении
олимпиадных
задач.
Для
оформления
всех
решений
использована
мультимедиа
презентация,
где
материал
представлен
наглядно
в
ярком,
интересном
и
доступном
виде,
что
для
учителя
и
учащихся
будет
ценно
и
полезно.
Эту
презентацию
можно
применять
как
на
уроке,
так
и
для
индивидуальной
работы.
Условия
заданий
и
методические
рекомендации
по
их
решению.
№13.
а)
Решите
уравнение
Решите
уравнение
б)
Укажите
корни
этого
уравнения,
принадлежащие
отрезку
Это
задание
считается
одним
из
самых
решаемых
среди
заданий
второй
части
ЕГЭ.
Применяя
основное
тригонометрическое
тождество,
получаем
в
левой
части
данного
уравнения
тригонометрическое
выражение
относительно,
которое
можно
способом
группировки
разложить
на
множители.
Решить
получившиеся
простейшие
тригонометрические
уравнения
предлагается
с
помощью
числовой
окружности.
Важно,
чтобы
учащиеся
имели
хорошие
навыки
в
работе
с
этой
математической
моделью.
Тогда
и
отбор
корней
лучше
всего
сделать
на
числовой
окружности.
№14.
В
правильной
четырёхугольной
пирамиде
SABCD
сторона
основания
AD
равна
14,
высота
SН
равна
6.
Точка
К
—
середина
бокового
ребра
SD.
Плоскость
AKB
пересекает
боковое
ребро
SC
в
точке
P.
а)
Докажите,
что
площадь
четырёхугольника
CDKP
составляет
¾
площади
треугольника
SCD.
б)
Найдите
объем
пирамиды
ACDKP.
Стереометрическая
задача
является
для
учащихся
одной
из
сложных.
В
лучшем
случае
учащимися
выполняется
только
первая
часть
на
доказательство,
тогда,
как
вторая
часть
задачи
под
силу
лишь
не
многим.
Решение
второй
части
задачи
предлагается
тремя
способами:
-
применением
классического
определения
расстояния
от
точки
до
плоскости; -
методом
координат; -
методом
объёмов.
№15.
Решите
неравенство
Данное
неравенство
достаточно
хорошего
уровня
сложности.
Его
решение
возможно:
-
методом
замены
переменной,
причем
эту
замену
приходится
выполнять
дважды,
что
в
целом
усложняет
решение; -
методом
замены
множителей,
которому
желательно
обучать
учащихся,
так
как
в
некоторых
случаях,
а
именно
в
этом
неравенстве
он
приводит
к
более
простому
решению.
№16.
Точки
A,
B,
C,
D
и
Е
лежат
на
окружности
в
указанном
порядке,
причем
AE
=
ED
=
CD,
а
прямые
AC
и
BE
перпендикулярны.
Отрезки
AC
и
BD
пересекаются
в
точке
T.
а)
Докажите,
что
прямая
EC
пересекает
отрезок
TD
в
его
середине.
б)
Найдите
площадь
треугольника
ABT,
если
BD
=
6,
AE
=
.
Данная
планиметрическая
задача
решается
здесь
двумя
разными
способами.
Здесь
важно
увидеть
свойства
различных
геометрических
фигур,
которые
позволяют
выбрать
то
или
иное
решение
задачи.
№17.
В
июле
2025
года
планируется
взять
кредит
в
банке
на
сумму
600
тысяч
рублей
на
6
лет.
Условия
его
возврата
таковы:
—
в
январе
2026,
2027,
2028
годов
долг
возрастает
на
20%
по
сравнению
с
концом
предыдущего
года;
—
в
январе
2029,
2030,
2031
годов
долг
возрастает
на
r%
по
сравнению
с
концом
предыдущего
года;
—
с
февраля
по
июнь
каждого
года
необходимо
выплатить
часть
долга;
—
в
июле
каждого
года
долг
должен
быть
на
одну
и
ту
же
величину
меньше
долга
на
июль
предыдущего
года;
Известно,
что
общая
сумма
выплат
после
полного
погашения
кредита
составит
984
тысячи
рублей.
Найдите
r.
Эта
задача
на
дифференцированный
платеж.
В
работе
предлагается
табличный
способ
решения
задачи.
Все
величины
и
данные,
и
искомые
обозначаются
переменными,
устанавливается
между
ними
связь,
а
числовые
значения
подставляются
в
самом
конце,
чтобы
получить
уравнение
с
одной
переменной
и
решить
его.
№18
Найдите
все
значения
а,
при
каждом
из
которых
имеет
ровно
два
различных
корня
уравнение
.
Это
самое
сложное
задание
данной
работы.
Его
решение
предлагается
двумя
способами:
-
аналитическим,
где
находятся
корни
данного
уравнения,
содержащие
параметр,
и
проверяются
условия
их
принадлежности
ОДЗ
и
совпадения; -
координатно-параметрическим
в
системе
xOa.
№19.
Отношение
трёхзначного
натурального
числа
к
сумме
его
цифр
—
целое
число.
а)
Может
ли
это
отношение
быть
равным
55?
б)
Может
ли
это
отношение
быть
равным
87?
в)
Какое
наименьшее
значение
может
принимать
это
отношение,
если
первая
цифра
трёхзначного
числа
равна
7?
В
этой
задаче
вполне
можно
решить
первые
два
пункта.
В
пункте
а)
достаточно
привести
пример,
то
есть
можно
просто
подобрать
числа,
удовлетворяющие
условию
задачи.
В
пункте
б)
необходимо
обоснованное
доказательство
того,
что
такого
отношения
не
может
быть.
Решение
в
пункте
в)
сложное,
здесь
применяется
метод:
оценка
плюс
пример.
- О сайте
- Карта сайта
- Пользовательское соглашение
- Политика конфиденциальности
© 2020-2023, ege314.ru, ОГЭ и ЕГЭ по математике | Генератор вариантов ЕГЭ 2023.
Частичное или полное копирование решений (включая графические элементы) с данного сайта для распространения на других ресурсах, в том числе и бумажных, строго запрещено. Все решения являются собственностью сайта.
Задание 1
Диагональ экрана смартфона равна 5,7 дюйма. Выразите диагональ экрана в сантиметрах. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до десятых.
Ответ: 14,5
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Т.к. 1 дюйм это 2,54 см, то 5,7 дюйма: $$5,7cdot 2,54approx 14,5$$ см.
Задание 2
На диаграмме показан уровень инфляции в России в 2019 году на конец каждого месяца. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — уровень инфляции (в процентах) с начала года на конец указанного месяца. Сколько месяцев в 2019 году инфляция в России была отрицательной?
Ответ: 2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Т.к. указано с начала года на конец текущего месяца, то отрицательная будет в те месяцы, где значение стало меньше, чем в предыдущем, т.е. в августе и сентябре $$to $$ 2 месяца.
Задание 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус вписанной в него окружности.
Ответ: 2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Т.к. дан равносторонний, то центр вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан (т.к. это биссектрисы тоже), а ей медианы делятся как 2:1, считая от вершины $$to frac{6}{3}=2$$ — радиус (на рисунке (MD))
Задание 4
В классе 26 учащихся, среди них три подружки — Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе.
Ответ: 0,22
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
В одной группе 13 человек. Вероятность, что Оля попадет в какую-то группу из двух $$frac{13}{26}$$ (13 мест, 26 претендентов), что туда попадет Аня $$frac{12}{25}$$ (12 осталось мест и 25 человек), Юля: $$frac{11}{24}$$. Что три девочки в одну из двух групп: $$frac{13}{26}cdot frac{11}{24}cdot frac{12}{25}=frac{11}{100}$$. Группы две, поэтому вероятность, что в одну в целом $$2cdot frac{11}{100}=0,22$$.
Задание 5
Найдите корень уравнения $$frac{1}{5x-14}=frac{1}{4x-3}$$.
Ответ: 11
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$frac{1}{5x-14}=frac{1}{4x-3}leftrightarrow 5x-14=4x-3leftrightarrow 5x-5x=-3+14leftrightarrow x=11.$$
Задание 6
В треугольнике АВС высота СН равна 6, АВ = ВС, АС = 8. Найдите синус угла АСВ.
Ответ: 0,75
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Т.к. $$AB=BC$$, то $$angle HAC=angle BAC=angle ACBto {sin ACB }={sin HAC }=frac{HC}{AC}=frac{6}{8}=0,75$$.
Аналоги к этому заданию:
Задание 7
На рисунке изображён график функции $$у = f(x)$$, определённой на интервале (-5; 9). Найдите количество решений уравнения $$f'(x) = 0$$ на отрезке [-2; 8].
Решение 1
Предложить свое решение / сообщить об ошибке
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$f'(x) = 0$$ там, где точки перегиба (отмечены на рисунке) $$to $$ 8 точек, но на интервале [-2; 8] их 7 штук.
Задание 8
В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра которой равны 2, найдите угол между прямыми $$ВB_1$$ и $$AC_1$$. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 45
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$BB_1parallel CC_1to $$ угол м/у $$AC_1$$ и $$CC_1$$, т.е. $$angle ACC_1$$. $$triangle ACC_1$$ — прямоугольный и равнобедренный $$to angle ACC_1=45{}^circ $$.
Задание 9
Найдите значение выражения $$frac{{{log }_9 32 }}{{{log }_{27} 0,5 }}$$
Ответ: -7,5
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$frac{{{log }_9 32 }}{{{log }_{27} 0,5 }}=frac{{{log }_{3^2} 2^5 }}{{{log }_{3^3} 2^{-1} }}=frac{frac{5}{2}{{log }_3 2 }}{-frac{1}{3}{{log }_3 2 }}=-frac{5}{2}cdot frac{3}{1}=-7,5$$
Задание 10
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $$а = 6500$$ км/ч$${}^{2}$$. Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле $$v=sqrt{2la}$$, где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 130 км/ч.
Ответ: 1,3
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Подставим известные в формулу: $$130=sqrt{2lcdot 6500}leftrightarrow 16900=13000lto l=frac{16900}{13000}=1,3$$ км.
Задание 11
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 416 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 21 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 50 часов. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 5
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Пусть $$x$$ км/ч — скорость течения реки. В пути теплоход был $$50-8=42$$ часа. Тогда: $$frac{416}{21+x}+frac{416}{21-x}=42leftrightarrow 416cdot 21-416x+416cdot 21+416x=42(441-x^2)leftrightarrow $$ $$leftrightarrow 42cdot 416=left(441-x^2right)cdot 42leftrightarrow 416=441-x^2leftrightarrow x^2=25to x=5$$ км/ч (отрицательной быть не может)
Задание 12
Найдите точку максимума функции $$y=left(5x-6right){cos x }-5{sin x }-8$$, принадлежащую промежутку $$(0;frac{pi }{2})$$
Ответ: 1,2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Найдем производную $$y’=(5x-6)’ {cos x }+(5x-6)({cos x })’-5{cos x }to $$ $$to 5{cos x }-5x{sin x }+6{sin x }-5{cos x }=0to {sin x }left(6-5xright)=0leftrightarrow $$ $$leftrightarrow left[ begin{array}{c}
{sin x }=0 \
6-5x=0 end{array}
to left[ begin{array}{c}
x=pi n,nin Z \
x=1,2 end{array}
right.right.$$.
На $$(0;frac{pi }{2})$$ точка максимума $$x=1,2$$
Задание 13
а) Решите уравнение $${cos 2x }-sqrt{2}{cos left(frac{3pi }{2}+xright) }-1=0$$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[frac{3pi }{2};3pi ]$$
Ответ: а)$$pi n,nin Z; -frac{pi }{4}+2pi k,kin Z; -frac{3pi }{4}+2pi k,kin Z$$ б)$$1) 2pi -frac{pi }{4}=frac{3pi }{4};2pi ;3pi $$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
а) $${cos 2x }-sqrt{2}{cos left(frac{3pi }{2}+xright) }-1=0leftrightarrow 1-2{{sin }^2 x }-sqrt{2}{sin x }-1=0leftrightarrow $$ $$leftrightarrow {rm -2}{sin x }left({sin x }+frac{sqrt{2}}{2}right)=0leftrightarrow left[ begin{array}{c} {sin x }=0 \ {sin x }=-frac{sqrt{2}}{2} end{array} leftrightarrow right.left[ begin{array}{c} x=pi n,nin Z \ x=-frac{pi }{4}+2pi k,kin Z \ x=-frac{3pi }{4}+2pi k,kin Z end{array} right.$$.
б) С помощью единичной окружности отберем корни: $$1) 2pi -frac{pi }{4}=frac{3pi }{4};2pi ;3pi $$
Задание 14
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды $$SA=sqrt{21}, SB=sqrt{85}, SD=sqrt{57}$$.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Ответ: $$arccosfrac{14}{55}$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
а) Заметим, что $$SA^2+AB^2=21+64=85=SA^2to SAbot AB$$. $$SA^2+AD^2=21+36=57=SD^2to SAbot ADto SAbot left(ABCDright).$$
б) Пусть $$ACcap DB=H$$. Т.к. $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AH=HC$$. $$AC=sqrt{AB^2+AD^2}=10to AH=5$$. Из $$H$$ проведем среднюю линию $$triangle SACto HKparallel SCto SCwedge BD=HKwedge BD$$. $$SC=sqrt{SA^2+AC^2}=sqrt{21+100}=sqrt{121}to KH=frac{sqrt{121}}{2}=frac{11}{2}.$$ $$DH=frac{DB}{2}=frac{AC}{2}=5. DK=sqrt{DA^2+AK^2}=sqrt{36+frac{21}{4}}=frac{sqrt{165}}{2}. $$ $${cos KHD }=frac{KH^2+DH^2-DK^2}{2cdot KHcdot DH}=frac{frac{121}{4}+25-frac{165}{4}}{2cdot frac{11}{2}cdot 5}=frac{221-165}{4cdot 11cdot 5}=frac{14}{55}to $$ $$to angle KHD=arccosfrac{14}{55}.$$
Задание 15
Решите неравенство $$x^2{{log }_{243} (-x-3) }ge {{log }_3 (x^2+6x+9) }$$
Ответ: $$x<-3$$: $$xin left(-infty ;-4right]cup [-sqrt{10};-3)$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$x^2{{log }_{243} (-x-3) }ge {{log }_3 (x^2+6x+9) }leftrightarrow left{ begin{array}{c}
-x-3>0 \
x^2+6x+9>0 \
x^2{{log }_{3^5} (-x-3) }-{{log }_3 {left(x+3right)}^2 }ge 0 end{array}
right.to$$ $$to left{ begin{array}{c}
x<-3 \
frac{x^2}{5}{{log }_3 (-x-3) }-2{{log }_3 left|x+3right| }ge 0(1) end{array}
right.$$
$$(1) frac{x^2}{5}{{log }_3 (-x-3) }-2{{log }_3 left(-x-3right) }ge 0leftrightarrow {{log }_3 left(-x-3right) }(frac{x^2}{5}-2)ge 0leftrightarrow$$ $$leftrightarrow (-x-3-1)(3-1)(x^2-10)ge 0leftrightarrow (x+4)(x-sqrt{10})(x+sqrt{10})le 0. $$
С учетом, что $$x<-3$$: $$xin left(-infty ;-4right]cup [-sqrt{10};-3)$$
Задание 16
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите ВС, если радиусы окружностей равны $$sqrt{15}$$ и 15.
Ответ: 7,5
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
а) $$angle ACD=angle BCE$$ — вертикальные, $$angle ACD=180{}^circ -angle ACB=90{}^circ to AD$$ и $$BE$$ — диаметры. Пусть LC — общая касательная: $$angle LCB=alpha to angle CEB=alpha $$ (вписанный и м/у хордой и касательной, опирающиеся на одну дугу). $$angle ACL=90-alpha =angle ADCto angle DAC=alpha =angle CEBto ADparallel BE$$ и $$triangle ADCsim triangle CEB$$.
б) $$frac{AD}{BE}=frac{2sqrt{15}}{2cdot 15}=frac{1}{sqrt{15}}=frac{AC}{CE}$$, но $$AC=CBto frac{CB}{CE}=frac{1}{sqrt{15}}$$. Пусть $$CB=xto CE=sqrt{15}xto $$ по теореме Пифагора: $$CB^2+CE^2=BE^2leftrightarrow x^2+15x^2={left(15cdot 2right)}^2to x^2=frac{{15}^2cdot 2^2}{16}to x=7,5$$.
Задание 17
В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 220 тыс. рублей;
— выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
— к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тыс. рублей.
Ответ: 20
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Т.к. в первые три года долг не меняется, то выплачивали только проценты.
Т.е. $$frac{220}{100}cdot r$$ тыс. р. Пусть платежи в последние два года по $$x$$ тыс. руб. Тогда: $$left{ begin{array}{c} left(220left(1+frac{r}{100}right)-xright)left(1+frac{r}{100}right)-x=0 \ frac{220}{100}rcdot 3+2x=420 end{array} right.leftrightarrow$$ $$leftrightarrow left{ begin{array}{c} left(left(220+frac{22r}{10}right)-210+frac{33r}{10}right)left(1+frac{r}{100}right)-210+frac{33r}{10}=0 \ x=210-frac{33r}{10} end{array} right.$$. Пусть $$frac{r}{10}=a:left(220+22a-210+33aright)left(1+frac{a}{10}right)-210+33a=0$$. $$left(10+55aright)left(1+frac{a}{10}right)-210+33a=0leftrightarrow 10+a+55a+5,5a^2-210+33a=0leftrightarrow $$ $$leftrightarrow 5,5a^2+89a-200=0to D=111to left[ begin{array}{c} a_1=frac{-89+111}{11}=2 \ a_2<0 end{array} right.leftrightarrow r=20$$.
Задание 18
Найдите все значения $$а$$, при каждом из которых система уравнений $$left{ begin{array}{c} sqrt{a-y^2}=sqrt{a-x^2} \ x^2+y^2=2x+4y end{array} right.$$ имеет ровно два различных решения.
Ответ: $$to ain [1^2;3^2)$$ или $$[1;9)$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$left{ begin{array}{c}
sqrt{a-y^2}=sqrt{a-x^2} \
x^2+y^2=2x+4y end{array}
right.leftrightarrow left{ begin{array}{c}
a-y^2=a-x^2 \
x^2le a \
x^2+y^2=2x+4y end{array}
right.leftrightarrow left{ begin{array}{c}
y=x \
y=-x \
-sqrt{a}le xle sqrt{a} \
x^2+y^2=2x+4y end{array}
right.leftrightarrow$$ $$leftrightarrow left{ begin{array}{c}
-sqrt{a}le xle sqrt{a} \
y=x \
y=-x \
{left(x-1right)}^2+{left(y-2right)}^2={left(sqrt{5}right)}^2 end{array}
right..$$
$$y=x$$ и $$y=-x$$ — прямые — биссектрисы углов 1-4 четвертей. $${left(x-1right)}^2+{left(y-2right)}^2={left(sqrt{5}right)}^2$$ — окружность с центром (1;2) и $$r=sqrt{5}$$. При этом будет 3 точки пересечения (0;0); (-1;1) и (3;3). Чтобы было ровно 2 решения (-1;1) или (3;3) должны не удовлетворять условию $$-sqrt{a}le xle sqrt{a}to $$ При $$sqrt{a}ge 1$$ точка (-1;1) входит всегда, но пока $$sqrt{a}<3$$, точка (3;3) не входит $$to ain [1^2;3^2)$$ или $$[1;9)$$.
Задание 19
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
Ответ: а) да б) нет в) 10
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
а) Пусть в первой группе $$x$$ чисел суммой $$A$$, во второй: $$y$$ суммой $$B$$ и в третьей $$Z$$ суммой $$C$$. Тогда: $$Ato 10a+xcdot 1;Bto 10B+8y;Cto C. 10A+x+10B+8y+C=4(A+B+C)$$ $$to x+8y=3C-6A-6B$$. $$frac{x+8y}{3}=C-2A-2B$$. Пусть $$x=1;y=4$$. (1 и 2;3;4;5) тогда: $$frac{1+32}{3}=C-2-2cdot 14leftrightarrow 11=C-30to C=41$$, т.е. в третьей одно число 41 $$to $$ может.
б) Аналогично, $$10A+x+10B+8y+C=18A+18B+18Cto x+8y=8A+8B+17C$$. Но $$xle A$$ и $$yle Bto x+8yle A+8Bto $$ т.к. $$A,B,Cin N$$, то не может.
в) Аналогично, $$10A+x+10B+8y+C=11A+11B+11Cto x+8y=A+B+10Cto $$ Необходимо, чтобы $$x+y+zto max$$. Сумма справа больше при $$yto max$$. Тогда $$x=z=1$$.
И: 1) $$x=z=1;A=1;C=2$$. Тогда: $$1+8yle 1+B+20to 8yle B+20$$. При этом минимальная сумма справа при $$Bto min$$, то есть сумма $$y$$ — последовательных натуральных чисел с 3. $$8yle frac{2cdot 3+1left(y-1right)}{2}cdot y+20leftrightarrow y^2-11y+40le 0to D<0to $$ решений нет.
2) $$x=z=1:A=2;C=1$$. Тогда: $$1+8yle 2+B+10to 8yle B+11leftrightarrow 8yle frac{2cdot 3+1left(y-1right)}{2}cdot y+11leftrightarrow $$ $$leftrightarrow y^2-11y+22le 0:D=33to left[ begin{array}{c} y_1=frac{11+sqrt{33}}{2}in (8;9) \ y_2=frac{11-sqrt{33}}{2} end{array} right.$$.
Тогда $$yle 8to y=8$$. Тогда всего чисел 10. Приведем пример: Пусть 1-ая группа: 2, третья: 1; вторая: 3,4,5,6,7,8,9,m. Получим: $$1+8cdot 8=2+42+m+10leftrightarrow m=65-54=11$$.