Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня
Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.
Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.
«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.
Чему нужно научиться, решая задачи с параметром
В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.
Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.
Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.
Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:
Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром
Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.
На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.
В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.
Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.
Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:
- Начать заниматься бесплатно.
Купить доступ к этой задаче в составе
экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.
Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.
Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.
Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Разбор задач с параметрами из ЕГЭ по математике, по теме задачи с параметром ЕГЭ, как решать задание 18 в экзамене ЕГЭ, задачи с параметром ЕГЭ, задания с параметром ЕГЭ, задача 18 ЕГЭ, модуль и окружности, решение параметров ЕГЭ, решение задачи 18, система уравнений с параметром, научиться решать задачи с параметрами, сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, начертить графики функций, ЕГЭ по математике профильного уровня, методы решения уравнений и неравенств, выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение на интервале 
2
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение на отрезке 
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть C).
3
Определите, при каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно два решения.
Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.
4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].
Пройти тестирование по этим заданиям
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи с параметром
Задание
1
#1220
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите уравнение (ax+3=0) при всех значениях параметра (a).
Уравнение можно переписать в виде (ax=-3). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае левая часть равна (0), а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.
2) (ane 0). Тогда (x=-dfrac{3}{a}).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin varnothing; \
ane 0 Rightarrow
x=-dfrac{3}{a}).
Задание
2
#1221
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите уравнение (ax+a^2=0) при всех значениях параметра (a).
Уравнение можно переписать в виде (ax=-a^2). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае левая и правая части равны (0), следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной (x).
2) (ane 0). Тогда (x=-a).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
ane 0 Rightarrow x=-a).
Задание
3
#1222
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите неравенство (2ax+5cosdfrac{pi}{3}geqslant 0) при всех значениях параметра (a).
Неравенство можно переписать в виде (axgeqslant -dfrac{5}{4}). Рассмотрим три случая:
1) (a=0). Тогда неравенство принимает вид (0geqslant
-dfrac{5}{4}), что верно при любых значениях переменной (x).
2) (a>0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, (xgeqslant
-dfrac{5}{4a}).
3) (a<0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, (xleqslant -dfrac{5}{4a}).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
a>0 Rightarrow xgeqslant -dfrac{5}{4a}; \
a<0 Rightarrow xleqslant -dfrac{5}{4a}).
Задание
4
#1223
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите неравенство (a(x^2-6) geqslant (2-3a^2)x) при всех значениях параметра (a).
Преобразуем неравенство к виду: (ax^2+(3a^2-2)x-6a geqslant 0). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: (-2x geqslant 0 Rightarrow xleqslant 0).
2) (ane 0). Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:
(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2).
Т.к. (a^2 geqslant 0 Rightarrow D>0) при любых значениях параметра.
Следовательно, уравнение (ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0) всегда имеет два корня (x_1=-3a, x_2=dfrac{2}{a}). Таким образом, неравенство примет вид:
[(ax-2)(x+3a) geqslant 0]
Если (a>0), то (x_1<x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вверх, значит, решением являются (xin (-infty; -3a]cup
big[dfrac{2}{a}; +infty)).
Если (a<0), то (x_1>x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вниз, значит, решением являются (xin big[dfrac{2}{a};
-3a]).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xleqslant 0; \
a>0 Rightarrow xin (-infty; -3a]cup big[dfrac{2}{a}; +infty);
\
a<0 Rightarrow xin big[dfrac{2}{a}; -3abig]).
Задание
5
#1851
Уровень задания: Легче ЕГЭ
При каких (a) множество решений неравенства ((a^2-3a+2)x
-a+2geqslant 0) содержит полуинтервал ([2;3)) ?
Преобразуем неравенство: ((a-1)(a-2)x geqslant a-2). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:
1) (a=2). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant 0), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).
2) (a=1). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant -1), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).
3) ((a-1)(a-2)>0 Leftrightarrow ain (-infty;1)cup (2;+infty)). Тогда:
(xgeqslant dfrac{1}{a-1}). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал ([2;3)), необходимо, чтобы
(dfrac{1}{a-1} leqslant 2 Leftrightarrow dfrac{3-2a}{a-1}
leqslant 0
Rightarrow ain (-infty; 1)cup [1,5; +infty)).
Учитывая условие (ain (-infty;1)cup (2;+infty)), получаем (ain
(-infty;1)cup (2;+infty)).
4) ((a-1)(a-2)<0 Leftrightarrow ain (1;2)). Тогда:
(xleqslant dfrac{1}{a-1} Rightarrow dfrac{1}{a-1} geqslant 3).
Действуя аналогично случаю 3), получаем (ain (1;
dfrac{4}{3}big]).
Ответ:
(ain (-infty;dfrac{4}{3}big]cup [2;+infty)).
Задание
6
#1361
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Определить количество корней уравнения (ax^2+(3a+1)x+2=0) при всех значениях параметра (a).
Рассмотрим два случая:
1) (a=0). Тогда уравнение является линейным: (x+2=0 Rightarrow
x=-2). То есть уравнение имеет один корень.
2) (ane 0). Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: (D=9a^2-2a+1).
Рассмотрим уравнение (9a^2-2a+1=0): (D’=4-36<0), следовательно, уравнение (9a^2-2a+1=0) не имеет корней. Значит, выражение ((9a^2-2a+1)) принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых (a) (в этом можно убедиться, подставив вместо (a) любое число).
Таким образом, (D=9a^2-2a+1>0) при всех (ane 0). Значит, уравнение (ax^2+(3a+1)x+2=0) всегда имеет два корня: (x_{1,2}=dfrac{-3a-1pm
sqrt D}{2a})
Ответ:
(a=0Rightarrow) один корень
(ane 0 Rightarrow) два корня.
Задание
7
#1363
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решить уравнение (sqrt{x+2a}cdot (3-ax-x)=0) при всех значениях параметра (a).
Данное уравнение равносильно системе:
[begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x=-2a \
&3-(a+1)x=0 qquad (*)
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]
Рассмотрим два случая:
1) (a+1=0 Rightarrow a=-1). В этом случае уравнение ((*)) равносильно (3=0), то есть не имеет решений.
Тогда вся система равносильна (
begin{cases}
xgeqslant 2\
x=2
end{cases} Leftrightarrow x=2)
2) (a+1ne 0 Rightarrow ane -1). В этом случае система равносильна: [begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x_1=-2a \
&x_2=dfrac3{a+1}
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]
Данная система будет иметь одно решение, если (x_2leqslant -2a), и два решения, если (x_2>-2a):
2.1) (dfrac3{a+1}leqslant -2a Rightarrow a<-1 Rightarrow ) имеем один корень (x=-2a).
2.2) (dfrac3{a+1}>-2a Rightarrow a>-1 Rightarrow ) имеем два корня (x_1=-2a, x_2=dfrac3{a+1}).
Ответ:
(ain(-infty;-1) Rightarrow x=-2a\
a=-1 Rightarrow x=2\
ain(-1;+infty) Rightarrow xin{-2a;frac3{a+1}})
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Сразу оговорюсь — для того, чтобы научиться решать задачи с параметром, не выйдет просто прочитать краткую инструкцию с указаниями, что вам делать. Нужно потратить некоторое время, чтобы научиться решать такие задачи. Здесь необходимо развитое аналитическое мышление (задачи бывают совершенно разные и нужно уметь анализировать разные функции), отличное умение решать все типы уравнений и неравенств (если вы не можете решить любое задание С1 или С3, то для вас будет очень сложно решить и С6), знание, как ведут себя различные функции и умение строить их графики. Как видите, все не так уж просто, но и 4 первичных балла дают не просто так. Тем не менее, решить С6 более чем реально, нужно набраться терпения. На самом деле, не так уж и много материала, да и раз вы задумались о С6, скорее всего, большинство необходимых знаний у вас есть, в основном придется потратить время на отработку практических навыков и разбор различных методов решения. Материал разбит на несколько частей, и я рекомендую внимательно их изучить, разбирая представленные примеры.
Решение уравнения или неравенства с параметром обычно предполагает несколько случаев, и ни один из них нельзя потерять.
Для того, чтобы решить задачу с параметром, необходимо для начала преобразовать заданное выражение к более простому виду, если это, конечно, возможно. При этом необходимо понимать, какие преобразования являются равносильными, а какие нет. В противном случае могут появиться посторонние корни, которые будет нужно проверить (это не всегда просто, поэтому рекомендую стараться использовать равносильные преобразования).
Рекомендации к выполнению задания 18 ЕГЭ:
- Надо избавиться от логарифмов, модулей, показательных степеней и т.д.
- Еще раз внимательно прочитать задание. Понять, что от вас требуется.
- Попытаться проанализировать получившееся после преобразований выражение на наличие каких-либо специальных свойств функции (периодичность, возрастание/убывание, четность/нечетность и т.д.)
- Часто решить задачу с параметром можно и удобно при помощи графиков. Иногда удобно выполнять построения на обычной координатной плоскости (Х, У), а иногда удобно построить графики в плоскости (Х, а), где а – параметр. Данный способ решения возможен, если вы видите знакомые функции (параболы, прямые, гиперболы, окружности и т.д.). Разумеется, бывает несколько способов решения поставленной задачи, но графический, как правило, наименее громоздок и прост для понимания. Ведь графики показывают поведение функций, и весь необходимый анализ появится у вас перед глазами.
- Важно помнить, что методы решения уравнения или неравенства зависят от степени многочлена. Для этого необходимо рассматривать те значения параметра, при которых (если это возможно) обращается в нуль коэффициент при старшей степени. Пример: (a*x^2-3*x+1=0), при (a=0) выражение принимает вид (-3*x+1=0), т.е. превращается в линейную функцию, а способы решения квадратного и линейного уравнений различны.
Задачи с параметром, ЕГЭ №17 (бывшая №18) считаются чуть ли не самыми сложными на ЕГЭ и за них дают целых 4 первичных балла!
В этой статье вы найдете несколько вебинаров на решение задач с параметром. Посмотрите их и вы поймете, что это не такая уж и сложная штука.
Мы будем добавлять сюда новые вебинары на задачу с параметром по мере их поступления. Заходите сюда и делитесь этой статьей с друзьями.
Или смотрите наши бесплатные вебинары на нашем YouTube канале:
Задачи с параметром. Исследование уравнений и неравенств при всех значениях параметра. ЕГЭ №17 (18)
Это первый вебинар по теме “Параметры” нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике. А всего по этой теме у нас 9 вебинаров, где мы научим вас решать любую задачу с параметром.
А сейчас мы научимся решать “обычные” уравнения с параметром, то есть такие, в которых мы забываем про параметр, считаем его как бы известным числом.
А потом научимся анализировать ответ – определять, при каких значениях параметра у нашего ответа появляются особенности (типа деления на 0).
Поехали!
Задача с параметром. Мартовский статград 2021. ЕГЭ №17 (18)
Почему задача с параметром ЕГЭ17 по математике самая важная для ЕГЭ? В чем ее особенность?
Мы привыкли, что задача с параметром на ЕГЭ – это какое-то уравнение окружности, которую надо нарисовать и смотреть, где она пересекается с другими фигурами или осями координат. Но иногда задача №17 бывает совсем другой – никаких графиков и геометрии, чистая алгебра: нужно решать уравнение или неравенство (или их систему).
И такие задачи мы уже научились решать на нашем курсе.
Далеко не всегда это уравнение или неравенство решается “по-обычному”: иногда нам приходится включать анализ функций, вспоминать их свойства (такие как непрерывность, монотонность, чётность, периодичность), либо применять особые методы (например, менять параметр и переменную ролями).
Все эти методы и свойства мы разберем на этом вебинаре.
А важная она потому, что задача с параметром включает в себя практически все математические навыки. И научившись решать любую задачу с параметром, вы очень хорошо подготовитесь к ЕГЭ!
Этот такая лакмусовая бумажка, готовы ли вы к ЕГЭ, умеете ли вы решать задачу с параметром?
Что скажите? Как вам задача с параметром?
Мы собрали на этой странице некоторые вебинары по 17-й задаче.
Возьмите ручку и бумагу и решайте задачи вместе с Алексеем Шевчуком – так вы получите от вебинара максимум.
Как вам эта задачи и эти вебинары? Напишите в комментариях.
Удачи на экзамене!
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
Алексей Шевчук – ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж – c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.
23 апреля 2017
В закладки
Обсудить
Жалоба
Параметры. От простого к сложному. Практикум по решению задач
Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики и требует большого количества времени на их изучение.
Теоретическое изучение физических процессов, решение экономических задач часто приводит к различным уравнениям или неравенствам, содержащим параметры, и необходимой частью их решения является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров. Таким образом, задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи.
Автор: Агашкова Надежда Анатольевна.
pr-sl-p.pdf