Рекомендации для подготовки к егэ по математике

Методические рекомендации учителям математики по подготовке к ЕГЭ.

Подготовила учитель математики

 Куликова Е.Г.

Основная подготовка выпускников к ЕГЭ по математике осуществляется не только в течение учебных лет в старшей школе, но и раньше, начиная с 7-9 класса.

Исключительно важным становится целенаправленная и специально планируемая подготовка школьников к ЕГЭ. Безусловно, на последний год обучения в школе приходится максимальная нагрузка на учащихся. При этом возрастает роль и ответственность в подготовительной работе и учителя и самого ученика.

ЕГЭ (единый государственный экзамен) основан на тестовых технологиях. Тестирование как новая форма экзамена накапливает свой опыт и требует предварительной подготовки всех участников образовательного процесса. Учителям следует активнее вводить тестовые технологии в систему обучения, ведь не зря говорят, что «нельзя научиться плавать, стоя на берегу». Особый интерес в этом плане представляют впервые издаваемые Центром тестирования РФ сборники тематических тестов. Эти тесты разработаны для учащихся с 5 по 11 класс, с их помощью можно оценивать уровень усвоения материала и отработать навык их выполнения.

Такие тренировки в выполнении тестовых заданий позволят реально повысить тестовый балл. Зная типовые конструкции тестовых заданий, ученик практически не будет тратить время на понимание инструкции. Во время таких тренировок формируются соответствующие психотехнические навыки саморегуляции и самоконтроля. При этом основную часть работы желательно проводить заранее, отрабатывая отдельные детали при сдаче каких-нибудь зачетов и пр., т.е. в случаях не столь эмоционально напряженных. Ученые считают, что психотехнические навыки сдачи экзаменов не только повышают эффективность подготовки к экзаменам, позволяет более успешно вести себя во время экзамена, но и вообще способствуют развитию навыков мыслительной работы, умению мобилизовать себя в решающей ситуации, овладевать собственными эмоциями.

Как я осуществляю подготовку к экзамену:

1. Знакомлю детей с методикой подготовки к экзаменам. Не имеет смысла зазубривать весь фактический материал, достаточно просмотреть ключевые моменты и уловить смысл и логику материала. Очень полезно делать краткие схематические выписки и таблицы, упорядочивая изучаемый материал по плану. Если они не умеют, показываю ученикам, как это делается на практике. Основные формулы и определения можно выписать на листочках и повесить над письменным столом, над кроватью, в столовой и т.д.
2. Готовлю различные варианты тестовых заданий по предмету (сейчас существует множество различных сборников тестовых заданий). Большое значение имеет тренаж ребенка именно по тестированию, ведь эта форма отличается от привычных ему письменных и устных экзаменов.
3. Помогаю детям распределить темы подготовки по дням.
4. Советую детям во время экзамена обратить внимание на следующее:

• пробежать глазами весь тест, чтобы увидеть, какого типа задания в нем содержатся, это поможет настроиться на работу;
• внимательно прочитать вопрос до конца и понять его смысл (характерная ошибка во время тестирования — не дочитав до конца, по первым словам уже предполагают ответ и торопятся его вписать);
• если не знаешь ответа на вопрос или не уверен, пропусти его и отметь, чтобы потом к нему вернуться;
• если не смог в течение отведенного времени ответить на вопрос, есть смысл положиться на свою интуицию и указать наиболее вероятный вариант.

       5. Подбадриваю детей, хвалю их за то, что они делают хорошо.

Психологическая подготовка к ЕГЭ:

1. Итак, первое, что  можно посоветовать начать делать уже завтра: прекратить пугать учеников предстоящим ЕГЭ, и начать формировать у них твердое убеждение в том, что, если очень постараться, то можно получить вполне приличный балл: время для подготовки еще не полностью потеряно. Конечно, не следует «перегибать палку» и внушать школьникам, что ЕГЭ – это легко и просто. Но не нужно и внушать им мысль о полной безнадежности. Начните с вопроса: «Что каждый из Вас хочет получить на ЕГЭ?» Таким образом, сразу определится планируемый результат обучения. Важно, чтобы школьник сам его честно сформулировал для себя. Этот разговор дает возможность учитывать «актуальный потолок» обучаемого. Это не значит, что следует его занижать, или этот «потолок» неизменен и, однажды его наметив, на него следует постоянно ориентироваться.

В этой связи, уровень сложности заданий в некоторых случаях следует объявлять заранее, а в некоторых – только после его выполнения: «Как вы думаете, из какого раздела было это задание» Из раздела В! (или С!) И вы его сделали! Кому оно показалось невероятно трудным? Никому! Молодцы! Идем дальше: из какого раздела хотите следующее задание?» Понятно, что это психологически продуманная игра, но при спланированном подборе заданий она приводит к очень значительному сдвигу, как в самооценке школьника, так и в его чувстве уверенности в себе, а также к некоторым положительным подвижкам в качестве его знаний и умения их применять. А главное, в умении «технично» сдавать тест, используя всевозможные вспомогательные приемы и соображения.

1. Следует учить школьника технике сдачи теста. Эта техника включает следующие моменты:

1. обучение постоянному жесткому самоконтролю времени;
2. обучение оценки объективной и субъективной трудности заданий и соответственно разумному выбору этих заданий;
3. обучение прикидке границ результатов и минимальной подстановке как проверки, проводимой сразу после решения задания;
4. обучение приему «спирального движения» по тесту.

Прием «спирального движения» находится в полном несоответствии с действующей методикой обучения школьника математике. Но он является первым необходимым приемом для успешного написания задания типа «тест с ограничением времени». Он состоит в следующем: ученик сразу просматривает тест от начала до конца и отмечает для себя то, что кажется ему простым, понятным и легким. Именно эти задания школьник выполняет первыми. Я говорю так: «Начинайте с того, что вы можете выполнить сходу, без особых раздумий. Пробегите глазами по разделу В и отметьте два-три задания, которые поняли сразу.. Просмотрите раздел С – один пример в этом разделе всегда решаем без особого напряжения (это действительно так). Отметьте то, что вы попробуете решить, когда закончите с разделом В. Ученик может сделать так несколько раз (двигаясь по спирали и выбирая то, что «созрело» к данному моменту). Если он ориентируется на тройку, то после того, как решил все, что мог из раздела В, он попробует решить что-то из раздела С.

Педагогическая система подготовки учащихся к ЕГЭ по математике.

I. Подготовительный этап – включает в себя: повторение ранее изученного материала, необходимого для успешной сдачи ЕГЭ; формирование некоторого комплекса умений, навыков и способов деятельности, необходимых на начальном этапе, чтобы приступить к решению той или иной задачи содержания ЕГЭ; рассмотрение основных методов и приемов, применение которых поможет при решении ряда нестандартных и исследовательских задач; изучение внепрограммного материала необходимого для решения задач ЕГЭ рассчитанных на поступление в вуз; накопление знаний в процессе формирования индивидуального справочника учащегося.

Алгебра и начала анализа: 

·        восполнение пустот вычислительной культуры учащихся;

·        отработка основных умений и навыков, необходимых учащимся для выполнения упражнений и задач, связанных с преобразованиями выражений;

·        классификация тестовых задач по темам и методам их решения;

·        формирование индивидуального справочника учащегося по основным разделам алгебры.

Геометрия:

·        выделение основных типажей условий геометрических задач содержания ЕГЭ и приемов работы с каждым типом;

·        выделение для учащихся основных требований к построению чертежа по условию геометрической задачи, с учетом специфики разделов: планиметрии и стереометрии;

·        рассмотрение основных методов, применение которых необходимо при решении геометрических задач части В и С ЕГЭ;

·        поиск и выделение опорных задач по планиметрии и стереометрии двух видов: вспомогательных задач-теорем и задач-методов;

·        формирование индивидуального справочника учащегося по основным разделам геометрии.

II. Практический этап – включает в себя:

·        отработку навыков решения элементарных задач;

·        решение задач по отдельным темам и разделам;

·        отработку навыков применения отдельных методов и приемов при решении задач различных уровней сложности;

·        определение темы разделов алгебры и геометрии и метода решения, применимых к рассматриваемой задаче;

·        решение задач как отдельно по уровням В и С, так и рассмотрение наборов задач, включающих в себя в любом порядке задачи различных уровней сложности;

·        обмен опыта учащихся по применению методов и приемов при решении задач ЕГЭ по математике;

·        формирование навыков нахождения учащимися различных способов решения тех или иных задач, совместно с одноклассниками их рассмотрение и взаимообмен.

III. Диагностический этап включает:

·        в обязательном порядке входящий и итоговый контроль измерителями, составленными на основе КИМов, используемых при сдаче ЕГЭ по математике прошлых лет;

·        тематический контроль;

·        проведение итоговых обобщающих занятий по отдельным разделам алгебры и геометрии;

·        рассмотрение с учащимися ряда исследовательских задач для выявления  у них способностей применения полученных знаний на практике и при решении нестандартных задач;

·        отслеживание учебных достижений учащихся на основе требований к уровню подготовки выпускников в течение всего времени подготовки к ЕГЭ.

          Во время подготовки необходимо уделить особенное внимание изучению таких разделов и тем, как:

Фотографии: Unsplash / АГН «Москва». Иллюстрация: Юлия Замжицкая

Руководитель комиссии по разработке КИМ ЕГЭ по математике кандидат физико-математических наук Иван Ященко дает советы по подготовке, которые помогут успешно сдать экзамен.

Об изменениях в экзамене

В содержании экзамена 2023 года никаких изменений по сравнению с 2022 годом нет.

Единственное отличие — задания первой части экзамена профильного и базового уровня сгруппировали не по сложности, как в прошлом году, а по темам: алгебра и анализ, геометрия, практические задачи и т. д. Исследования показали, что участнику экзамена легче решать однотипные задачи подряд. Такая же группировка применяется в экзамене за 9 класс.

Во второй части экзамена задачи по-прежнему расположены в соответствии с уровнем сложности, а не по темам. Это связано с тем, что во второй части разница в сложности заданий гораздо больше. Первое задание второй части верно решает почти половина всех ребят, а последнее задание решают порядка 1 процента учеников. 

Советы по подготовке

Правильно выбирайте уровень экзамена

Уровень экзамена зависит от вуза, в который выпускник планирует поступать. Профильный уровень нужен только тем, кто будет подавать документы на те специальности, где математика входит в перечень предметов, которые учитываются в конкурсе. Если выпускник планирует подавать документы на любую гуманитарную специальность, где математики нет в списке предметов, удобнее сдать экзамен базового уровня. 

Совет от эксперта:

«Сейчас стоит оценить свои силы: написать тренировочный вариант базового и профильного уровней, чтобы проверить себя. И в зависимости от результатов сделать выбор. Если вы не уверены в своих силах, выбирайте базовый экзамен и специальность без математики, чтобы приложить свои силы к подготовке к другим экзаменам, которые нужны при поступлении».

Сдавайте профильную математику, если уверенно решаете задания базового экзамена

В этом случае на профильном получится набрать 60 баллов. А если немного позаниматься, то и больше.

Если сразу выбрать базовый экзамен, то в феврале уже не получится изменить свой выбор. А вдруг в марте или апреле после посещения дня открытых дверей захочется выбрать специальность, где нужна профильная математика? 

Кроме того, экзамен действует несколько лет. Поэтому иметь в запасе профильный экзамен очень полезно, это расширяет спектр специальностей. 

Начинайте готовиться к экзамену заранее

Чтобы сдать ЕГЭ на балл, близкий к 100, нужно хорошо учить математику в течение нескольких лет. Если одиннадцатиклассник в последний год решил сдавать математику, а по ней у него «троечка», то рассчитывать нужно на реальные баллы. 

Планировать подготовку нужно, исходя из текущего уровня. Если в знаниях большие пробелы, надежнее выбрать базовый экзамен.

Посмотрите прошлогодний проходной балл на желаемую специальность

Если в планах поступить на массовую специальность, стоит проверить, какие были проходные баллы ЕГЭ в прошлом году, оценить свои силы. Если для поступления достаточно 70 баллов, ученику нужно отметить в демоверсии ЕГЭ:

• те задания, которые он решает уверенно;
• задания, к которым нужно еще как следует подготовиться; 
• задания, в которых ничего не понятно. 

Потом просуммировать баллы и оценить: возможно окажется, что самые сложные задания и не нужны, и при подготовке их можно вообще не разбирать, а сосредоточиться на других. Тогда подготовка станет достаточно реалистичной.

Не старайтесь решить все задания из Открытого банка ФИПИ

Самый неэффективный способ подготовки — прорешивать много вариантов. Подготовка должна быть тематической. Возможно, некоторые темы окажутся в стороне. Планируя подготовку, стоит сделать упор на те задания, которые выпускник сможет решить хорошо. 

Совет от эксперта:

«Каждый день решайте несколько простых задач, которые у вас получаются, из базового экзамена и первой части профильного. Это своего рода математическая зарядка. Задачи можно брать из открытого банка ФИПИ».

Даже если ученик хорошо знает материал и уверенно решает те или иные простые задания, их обязательно нужно тренировать. Ведь очень обидно из-за ошибки в простом задании потерять баллы. Кроме того, это придаст уверенности в своих силах и поможет отработать технику. На экзамене важно не волноваться и уверенно решить первые задачи, чтобы иметь достаточно времени на сложные задачи второй части.

Ориентируйтесь на содержание школьной программы

Часто рекламируются курсы при вузах, на которых обещают научить методам из высшей школы, с помощью которых проще решить задания ЕГЭ. 

На самом деле, все методы, факты, понятия, которые нужны для решения всех задач ЕГЭ, есть в обычных школьных учебниках соответствующего уровня. Если  добросовестно изучать школьную программу в течение нескольких лет, проблем не будет.

Иные методы обучения будут только вредны, ученик будет путаться и не сможет качественно подготовиться. Тем более, что в заданиях с развернутым ответом для дополнительных обоснований можно пользоваться только теми фактами, понятиями и методами, которые есть в одном из учебников из перечня Министерства просвещения. 

Используйте проверенные материалы для подготовки

Использовать новый учебник в последний год перед экзаменом неправильно, это может запутать ученика.

Все учебники, рекомендованные Министерством просвещения, проходят экспертизу, материал в них выверенный.

Совет от эксперта: 

«Сейчас есть большое количество материалов, которые не соответствуют стандарту. Я рекомендую использовать материалы с грифом Федерального института педагогических измерений. Тогда вы можете быть уверены, что все, что там приводится, соответствует стандарту ЕГЭ». 

Ссылки на методические рекомендации по подготовке к экзамену можно найти на сайте ФИПИ.

Внимательно читайте задания и перепроверяйте вычисления 

Самая популярная ошибка в ЕГЭ по математике, особенно среди выпускников, которые пишут на невысокие баллы, — это неправильно прочитанное условие. И это ошибка очень обидная, особенно, если она возникает при решении задач второй части.

Вторая по популярности ошибка — это арифметика. Когда кажется, что получится посчитать в уме, лучше сделать расчеты на черновике. Особенно стоит обратить внимание на работу с отрицательными числами. Если в уме одновременно проводить два действия, например, раскрывать скобки и переносить переменную в другую часть, и там будут минусы, высока вероятность где-то потерять знак и ошибиться.

Совет от эксперта: 

«Помните, что хороший результат — это не 100 баллов, а тот реалистичный балл, который вы поставили своей целью. Достижение цели — самый лучший результат».

Полностью посмотреть этот вебинар Рособрнадзора можно по ссылке.

Материалы по теме:

• Что изменится в ЕГЭ по русскому языку в 2023 году

                        Как готовиться к ЕГЭ по
математике.

 Рекомендации 11-классникам по решению заданий на
экзамене.

ЭКЗА́МЕН

1. проверочное испытание чьих-либо знаний по какому-либо учебному
предмету, проводящееся по установленным правилам.

2. такое испытание, при успешном результате которого приобретаются
какие-либо официальные права.

3. перен. любое испытание, проверка.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией
Д. Н. Ушакова (1935-1940).

ЕГЭ не надо бояться, на него надо настроиться,
но не расслабляться. К ЕГЭ необходимо готовиться.

Слова: «Я это никогда не смогу сделать», не ваши слова. Организм человека устроен так, что в самые ответственные моменты он
мобилизует все свои скрытые резервы.

Поскольку
ЕГЭ по математике – обязательный экзамен для всех, нужно решить, какой
уровень сдачи экзамена нужен ученику:

1)
достаточен только минимум для получения аттестата;

2)
средний уровень (ЕГЭ по математике является запасным вариантом для поступления
в ВУЗ «второй очереди»);

3)
высокий уровень (ЕГЭ по математике является необходимым для поступления в ВУЗ).

После
определения уровня сдачи ЕГЭ следует спланировать свою подготовку.

Для варианта 1.

1.
Прорешайте демоверсию (на сайте fipi.ru).

2.
Определите сколько заданий, вы умеете решать, и какие задания вы должны
научиться решать за оставшееся время, чтобы минимум семь заданий вы точно
решили (7 первичных баллов – это минимум, который должны делать все).

3.
Начинайте решать эти 7 заданий, выделяя время ежедневно, можно на сайте fipi.ru,
там же проверите правильность решения.

4.
Никогда не пользуйтесь калькулятором – на ЕГЭ его не будет!

Для варианта 2.

1.
Прорешайте демовесию (на сайте fipi.ru).

2.
Определите список заданий, которые вы решаете уверенно, определите темы, по
которым вы имеете пробелы. Выделите определенное время для подготовки к ЕГЭ по
математике, ежедневно решайте задания ЕГЭ.

3.
Прорешайте все типы заданий, в которых вы уверены (см. открытый сегмент заданий
на сайте fipi.ru). Обязательно найдутся такие, по которым у вас возникнут
вопросы, задайте их учителю. Следует решить аналогичные задания, пока у вас не
будет получаться быстро и правильно.

4.
Темы, по которым у вас есть пробелы, начинайте повторять (или изучать) по
учебнику (по пособию, содержащему теорию – сейчас таких пособий масса) с самого
начала: внимательно прочитайте параграф, выучите правила, теоремы, алгоритмы,
проработайте примеры, которые приведены в учебнике с решением, решите задания,
приведенные в учебнике. Далее следует найти задания открытого сегмента по
данной теме и решить все прототипы заданий. Задать вопросы учителю. Отработать
навык решения таких заданий, выполнив достаточное количество аналогичных
заданий. Не ленитесь! Достаточное количество вы определяете для себя сами, но
это, скорее всего, не менее 7-10 заданий.

5.
Тренируйтесь выполнять задания первой части, чтобы довести до максимума
скорость и правильность решения всех задач.

6.
Аналогично надо работать со 2 частью задач с развернутым решением. Помните, что
эта часть требует хорошей теоретической базы и умения применять знания в
комплексе. Для получения баллов, достаточных для поступления в ВУЗ вам вовсе не
нужно решать всю вторую часть. Определите те задания, с которыми вы будете
работать. Решайте задания части из разных источников, выбирайте пособия для
подготовки к ЕГЭ разных авторов, обязательно рассматривайте авторские решения.
Сравнивайте свои решения с авторскими, которые практически всегда приведены в
пособиях. Критически оцените свои решения, критически подойдите и к авторским
решениям.

7.
Проводите для себя еженедельную диагностическую работу (решайте полный вариант,
опять пользуйтесь разными пособиями, но только рекомендованными ФИПИ). Всегда
участвуйте в диагностических работах, проводимых в школе: выполняйте работу
так, как будто Вы на экзамене.

8.  
Оформляйте решения части, так, как указано в критериях оценки задания, не надо
писать слишком много, но и не следует быть слишком краткими. Полезно будет
оформлять полностью и некоторые задания первой части — это позволит потом легко
оформить задачу второй части.

Для варианта 3.

1.
Выполните все рекомендации для варианта 2).

2.
Изучайте специальные методы решения уравнений, неравенств, систем и т.п.,
представленные в пособиях для углубленного изучения математики.

3.
Решайте задания повышенной сложности из пособий для подготовки к экзаменам, в
том числе прошлых лет (до ЕГЭ)

4.
Решайте олимпиадные задания, они тренируют гибкость ума и позволяют научиться
решать последние задания.

5.
Решайте задания несколькими способами. Анализируйте рациональность, логичность,
простоту в оформлении, «подводные камни» каждого из них. Некоторые способы
могут быть длиннее, зато алгоритмичнее, а, значит, для кого-то проще.

6.
Не забывайте тренировать навыки решения первой части.

                         Рекомендации 11-классникам по решению заданий:

·
Спокойно и внимательно прочитайте задание: не пугайтесь, если вам
кажется, что ранее вы не встречались с таким типом заданий. Начните с ответов
на вопросы, что надо найти, и что дано, какие теоретические сведения вам
известны. Попробуйте разделить задание на части.

·
Не позволяйте себе сразу выполнять задание, не дочитав его до конца, а
после решения обязательно еще раз прочтите задание и дайте ответ именно на
вопрос задачи, а не на тот, который вам пришел в голову. Все время думайте!

·
Выполняя задание первой части, думайте только о том задании, которое
выполняете в данный момент, отвлекитесь от всех других.

·
Составьте схему, план, рисунок, модель: для решения все средства хороши.

·
Вспомните правила и алгоритмы, необходимые для решения данного задания.

·
Избегайте моментальных ошибок: авторы-составители заданий подразумевают
проверку применения вами знаний в знакомой ситуации, в измененной ситуации, в
новой ситуации, вы должны проанализировать ситуацию и выполнить именно то
задание, которое дано.

·
Так же как аппетит приходит во время еды, идеи решения задачи приходят в
процессе решения.

·
Замечайте основные идеи авторов-составителей, они позволят Вам найти
путь к решению задачи.

·
Помните, что задания второй части носят комплексный характер – проявите
все свои знания и накопленный опыт

·
Уравнения можно решать через уравнения-следствия и ОДЗ, а можно через
равносильные системы; можно решать их с помощью графиков и использования
свойств функций. Нельзя допускать потери корней, необходимо отбрасывать
«посторонние» корни, для этого нужно хорошо знать теорию о равносильных
преобразованиях, преобразованиях, приводящих к приобретению «посторонних»
решений и к потере решений.

·
Иногда громоздкость записи задания может напугать: тогда следует
внимательно рассмотреть задание – может быть, найдутся одинаковые части, тогда
следует применить метод замены, а, может быть можно разделить на одно и то же
выражение, не равное нулю.

·
При записи решений на черновике, старайтесь все выкладки записывать,
тогда легче будет заметить ошибку в решении. Некоторые выкладки или вычисления
можно делать устно, но очень осторожно.

·
Решите первую часть один раз. Аккуратно записывайте решения, записывайте
на полях, напротив решений, номера заданий и ответы, можно их обвести.
Приступайте к решению второй части. Примерно через 1,5 часа отвлекитесь,
посмотрите в окно, можно выйти из аудитории. Отдохнув минут 5, на чистом листе
снова решите задачи первой части, сравните с первоначальными ответами. В тех
заданиях, где получились разные ответы, найдите ошибку. Перенесите ответы в
бланк ответов №1. Проверьте соответствие номеров заданий и ответов. Таким
образом, вы сведете к минимуму потерю баллов в первой части. Остальное время используйте
для решения второй части.

Помните, ребята, за оставшееся время вы должны задать учителю все
вопросы, которые у Вас возникают при тренировке, чем больше у вас теоретических
знаний, необходимых для решения заданий, чем больше вы разбираете и анализируете
готовые образцы решений, чем больше собственная натренированность, тем больше
шанс получить высокие баллы на ЕГЭ.

Подготовка к ЕГЭ по математике

Из каких частей состоит ЕГЭ по математике в 2023 году

Математика — один из двух обязательных предметов на ЕГЭ. Но, в отличие от русского языка, эта дисциплина предлагает 2 уровня сложности: профильный и базовый. Какий именно вариант выбрать, зависит от вашей цели. Если вуз, в который вы хотите поступить, требует профильного уровня, нужно сдавать его. Обычно это касается технических специальностей.

Для получения аттестата выпускникам школ хватит и базового. Но финальное решение за вами. Если вы хотите сдать профильный вариант, просто чтобы проверить свои знания и уровень подготовки, — дерзайте!

Структура базового уровня ЕГЭ по математике

Базовый уровень проверяет основные знания школьника по математике. Такой экзамен не делится на части: в него входит только 21 задание с кратким ответом. Ответом может быть целое число, десятичная дробь или ряд цифр. По уровням сложности задания экзамена тоже не делятся — все задачи в нем базового уровня. Чтобы выполнить такую работу, ученику дают 180 минут.

Структура профильного уровня ЕГЭ по математике

Варианты профильного уровня проверяют основные и углубленные знания школьника. В 2023 году ЕГЭ состоит из 2 частей:

• 1-я часть: 11 задач с кратким ответом;

• 2-я часть: 7 задач с развернутым ответом.

В первой части ответом может быть целое число, десятичная дробь или ряд цифр. Во второй части — полное обоснованное решение и ответ. Чтобы выполнить задания экзамена, школьнику дают 235 минут.

Задачи ЕГЭ по математике профильного варианта делятся на категории по уровням сложности. В таблице ниже можно увидеть, как именно.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Как сдать ЕГЭ по математике: разбор сложных задач

Экзамен по математике не зря считают одним из самых трудных. Даже в заданиях базового варианта можно легко ошибиться по невнимательности. Что уж говорить о действительно сложных задачах с полным решением, где много «подводных камней»? Чтобы вы знали, как подготовиться к ЕГЭ по профильной математике, мы разобрали несколько из них.

Задание 16

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Совет

Для этого задания советуем повторить темы:

• Касательные к окружности и их свойства.

• Свойства вписанных углов.

• Взаимное расположение окружностей.

• Свойства прямоугольного треугольника.

• Признаки и свойства параллельных прямых.

• Подобные треугольники, площади подобных фигур.

• Свойство площадей (в частности: отношение площадей треугольников с одинаковой стороной).

• Трапеция, её свойства. Площадь трапеции.

• Теорема Пифагора.

Проследите, чтобы они были в вашем плане подготовки к профилю ЕГЭ по математике.

Решение

а) Выполним построение.

1. Окружности с центрами О₁ и О₂ соответственно касаются друг друга в одной точке К.

2. Прямая АВ касается обеих окружностей в точках А и В соответственно.

3. Прямые АК и ВК пересекают окружности в точках С и D соответственно

4. Пусть общая касательная окружностей в точке К, пересекает прямую АВ в точке М.

   

   Тогда по свойству касательных, проведенных из одной точки, AM = KM и KM = BM.

   

5. Рассмотрим треугольник АВК. Его медиана АМ равна половине стороны, которую она разбивает. Следовательно, делаем вывод, что треугольник АВК прямоугольный, а угол К = 90°.

   

6. Вписанный угол AKD является смежным углом АКВ, а значит, он тоже 90° как прямой. Следовательно, угол AKD опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB, так как радиус, а в данном случае диаметр, перпендикулярен касательной в точке касания.

7. Аналогично рассмотрев угол ВКС, получим, что BC⊥ AB.

   

8. Прямые AD и ВС перпендикулярны третьей прямой АВ, следовательно, прямые AD и BC параллельны. Ч. т. д.

б) Пусть радиус первой окружности равен 4, а радиус второй окружности равен 1. Тогда АD = 8, ВС = 2.

1. Рассмотрим треугольники ADK и СВК. Они подобны, т. к. имеют два равных угла (К – вертикальный, С и А — накрест лежащие). Из подобия треугольников следует, что их площади относятся как коэффициент подобия в квадрате:

2. Обозначим площадь треугольника СВК за S, тогда площадь треугольника ADK будет равна 16S.

   

3. Пусть площади треугольников АВК и CDK будут равны х и у соответственно.

   

4. Вспомним свойство, связывающее высоты треугольников с общим основанием и получим следующие равенства: DB — общая сторона треугольников ADB и СDB, следовательно:

   (равно 4 из подобия треугольников ADK и СВК, см. выше),

   

5. Аналогично, AC — общая сторона треугольников ADС и ABC, следовательно,

   (равно 4 из подобия треугольников ADK и СВК, см. выше),

   

6. Решим полученную систему уравнений:

7. Из первого уравнения

   подставим во второе и найдем y.

   следовательно,

   подставим во второе и найдем y.

8. Площадь ABCD равна 16S + 4S + 4S + S = 25S.

9. Заметим, что ABCD — прямоугольная трапеция (AD||BC, AB — перпендикулярна основаниям). Для вычисления ее площади нужно полусумму оснований умножить на высоту.

   

10. Для того, чтобы найти высоту, рассмотрим меньшую трапецию AO₁O₂B.

    

    Ее основания равны 1 и 4, так как О₂В и О₁А — радиусы. O₁O₂ = 5, так как О₂К и О₁К — радиусы. О₂H — высота трапеции AO₁O₂B.

11. По теореме Пифагора найдём О₂H:

12. Вычислим площадь трапеции ABCD:

13. С другой стороны мы нашли

    Отсюда S = 0,8.

14. Площадь треугольника АКВ = 4S, следовательно,

Ответ: 3,2.

Задание 18

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Совет

Чтобы справиться с этой задачей, нужно повторить темы:

• Понятие натурального и целого числа.

• Среднее арифметическое.

• Делимость чисел.

• Процент. Нахождение процента от числа, уменьшение числа на заданный процент.

• Составление и решение линейных уравнений.

Добавьте их в ваш план подготовки к ЕГЭ по математике, если собираетесь сдавать профиль.

Решение:

а)

1. Допустим, что в школе № 1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал Х баллов и перешёл в другую школу. Тогда средний балл в школе был равен (1 + Х) : 2 = 10, а стал равен 1, т. е. уменьшился в 10 раз.

2. Решим уравнение и получим Х = 19 — натуральное число. Следовательно, наше предположение верно.

3. Или мы можем предположить другой вариант: что один учащийся набрал 2 балла. Тогда средний балл изначально равняется 20, а после ухода второго станет 2, т. е. изменится в 10 раз.

4. Решим уравнение (2 + Х) : 2 = 20, отсюда Х = 38 — натуральное число, что тоже удовлетворяет условию задачи.

Ответ: средний балл в школе № 1 мог уменьшиться в 10 раз.

б)

1. Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, n — сумма баллов m учащихся, средний балл равнялся B, а перешедший в неё учащийся набрал u баллов.

2. Умножим обе части полученного уравнения на 10, получим:

3. По условию B = 7, тогда получим, что 10u кратно 10, а

   не делится на 10, так как ни один из множителей не делится на 10. Это противоречие.

Ответ: Первоначальный средний балл в школе № 2 не мог равняться 7.

в)

1. Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A, общее количество баллов — p, количество писавших работу — (9 – m).

   (из пункта б).

   Следовательно,

2. Попробуем найти средний балл в школе № 2 методом подбора. Пусть:

   В = 1, тогда:

   кратно 10, а

   не делится на 10.

   В = 2, тогда:

   пусть u = 1, тогда m = 4:

   — не является целым числом.

   u = 2 не может быть, т. к. m ≥ 1

   В = 3, тогда:

   кратно 10, а

   не делится на 10.

   В = 4, тогда:

   Чтобы m было натуральным числом u должно быть четным, u = 2, тогда m = 4, что невозможно (доказали при В = 2).

   u = 4, тогда m меньше 0, что невозможно т. к. m ≥ 1.

   В = 5, тогда:

   пусть u = 1, тогда m = 7, что невозможно (доказали в пункте б);

   пусть u = 2, тогда m = 5:

   — не является целым числом;

   пусть u = 3, тогда m = 3:

3. Этот случай реализуется, например, в школе № 2 при m = 3, B = 5. Предположим, что каждый ученик набрал по 5 баллов. Тогда в школе № 1 писали 9 – m = 9 – 3 = 6 учащихся, 3 из них набрали по 1 баллу, а 3 – по 3 балла, тогда средний балл:

4. Переход из школы № 1 в школу № 2 совершил ученик с 3 баллами, тогда
   средний балл в школе № 1 стал равен:

   что на 10% меньше от первоначального значения.

5. Тогда средний балл в школе № 2 стал равен:

   что на 10% меньше от первоначального значения.

Ответ: наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2 равно 5.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

Как выставляют баллы за ЕГЭ по математике

С базовым уровнем сложности все просто: за каждый правильный ответ вашего варианта вы получаете по 1 первичному баллу. То же самое касается и первой части профиля: задания 1–11 тоже оценивают в 1 балл.

Как вы помните, во 2-й части профильного варианта нужны и решение, и ответ. Здесь задания оценивают по нескольким критериям. Они сложнее, но и баллов за них можно получить больше. Давайте же разберемся, как выставляют баллы во второй части профиля. Это поможет вам подготовиться к заданиям ЕГЭ по математике как самостоятельно, так и с учителем.

Узнать больше о структуре экзамена, вариантах и критериях, по которым оценивают работы, можно на официальном сайте ФИПИ, в разделе «Демоверсии, спецификации, кодификаторы». Там же вы найдете методические указания для подготовки.

Сколько баллов нужно набрать, чтобы получить 3, 4 и 5

Теперь, когда мы разобрали критерии, можно посчитать, сколько баллов нужно набрать на конкретную оценку. В этом нам помогут таблицы ниже. Заодно разберемся, как первичные баллы переводятся в тестовые — финальные.

Обратите внимание: с 2008 года официально баллы ЕГЭ не переводят в привычные нам оценки по пятибальной системе. Но если вам хочется это сделать, можно примерно оценить работу по таблице ниже.

6 советов от эксперта, как готовиться к ЕГЭ по математике

Мы занимаемся подготовкой учеников к экзамену каждый год и понимаем, насколько это важно и волнительно. Вам предстоит ответственная работа, от которой многое зависит. Чтобы облегчить ее, мы собрали несколько советов, которые помогут вам как можно лучше подготовиться к ЕГЭ по математике:

• Осознанно выберите уровень сложности и поставьте цель в баллах.

• Составьте план подготовки к ЕГЭ по математике: больше времени уделяйте темам, которые у вас «западают». Чтобы выявить их, ученики Skysmart проходят тест на бесплатном уроке.

• Узнайте все о ЕГЭ: сколько времени длится экзамен, из каких частей состоит, по каким темам будут задания, сколько вариантов, какие дадут справочные материалы и т. д.

• Составьте сбалансированное расписание для подготовки и следите, чтобы в нем было достаточно времени для отдыха.

• Много практикуйтесь: решайте варианты из Открытого банка заданий ЕГЭ и сдавайте тестовые экзамены.

• Систематически консультируйтесь и занимайтесь с наставником, который часто имеет дело с подготовкой к ЕГЭ — преподавателем в школе или репетитором.

Все пункты в этом списке важны для тех, кто хочет набрать 80–100 баллов, но последний — особенно. Преподаватель расскажет о том, что представляет из себя ЕГЭ, и тогда на реальном экзамене не будет неприятных сюрпризов.

На курсах подготовки к ЕГЭ по математике в Skysmart учителя помогают школьникам разобраться в КИМах и прорешать каждый тип задач. Ученики заранее знакомятся с частыми ошибками, что помогает избегать их в работе и сохранять баллы. А еще мы учим готовиться морально, чтобы не допустить ошибок из-за паники и невнимательности. Начните подготовку к ЕГЭ по математике с нуля вместе со Skysmart: первый урок — бесплатно!