Решение 18 варианта егэ по математике ященко профильный 2023

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.

Задание 1

Найдите корень уравнения $$(frac{1}{5})^{3x+5}=0,04.$$

Ответ: -1

Скрыть

$$(frac{1}{5})^{3x+5}=0,04$$

$$(frac{1}{5})^{3x+5}=frac{1}{25}$$

$$(frac{1}{5})^{3x+5}=(frac{1}{5})^2$$

$$3x+5=2$$

$$3x=2-5$$

$$3x=-3$$

$$x=-1$$

Задание 2

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Ответ: 0,375

Скрыть

Задание 3

Ответ: 6

Скрыть

Воспользуемся расширенной теоремой синусов, которую можно записать в виде:

$$frac{AB}{sinangle C}=2R$$

откуда

$$AB=2Rcdotsinangle C$$

$$AB=2cdot2sqrt{3}cdotsin120=2cdot2sqrt{3}cdotfrac{sqrt{3}}{2}=6$$

Задание 4

Найдите значение выражения $$2sqrt{6}cosfrac{pi}{4}sinfrac{7pi}{6}tan(-frac{2pi}{3}).$$

Ответ: -3

Скрыть

$$2sqrt{6}cosfrac{pi}{4}sinfrac{7pi}{6}tan(-frac{2pi}{3})=2sqrt{6}cdotfrac{sqrt{2}}{2}cdot(-frac{1}{2})cdotsqrt{3}=$$

$$=-frac{2cdotsqrt{36}}{2cdot2}=-frac{6}{2}=-3$$

Задание 5

Ответ: 176

Скрыть

При погружении детали в жидкость, высота жидкости изменилась на

$$Delta h=29-25=4$$ см

Учитывая, что площадь основания призмы не менялась, то изменение объема можно записать как

$$Delta V=Delta hcdot S_{осн}$$

где

$$S_{осн}=frac{V_1}{h_1}=frac{1100}{25}=44$$

Получаем объем детали:

$$Delta=4cdot44=176$$

Задание 6

Ответ: -3

Скрыть

Известно, что производная положительная в окрестностях точек, где функция возрастает и отрицательная, где функция убывает. Анализ графика производной показывает, что на участке $$[-5; -3]$$ функция $$f(x)$$ возрастала, а затем, на участке $$[-3; 0]$$ – убывала. Следовательно, максимальное значение она приобретает в точке $$-3.$$

Задание 7

Ответ: 28

Скрыть

Выразим из формулы рейтинга величину A, получим:

$$A=frac{2In+Op+3Tr+Q}{R}$$

Подставим сюда максимальные значения $$4$$ и $$R=1,$$ получим величину A:

$$A=frac{2cdot4+4+3cdot4+4}{1}=28$$

Задание 8

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 36 км. Путь из А в В занял у туриста 10 часов, из которых 2 часа ушло на спуск.
Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 6

Скрыть

Пусть $$x$$ км/ч – скорость туриста на спуске. Тогда скорость на подъеме $$x-3$$ км/ч. В задании сказано, что на спуск ушло $$t_1=2$$ часа, значит, на подъем $$t_2=10-2=8$$ часов. Получаем общий пройденный путь:

$$2cdot x+8cdot(x-3)=36$$

$$2x+8x-24=36$$

$$10x=60$$

$$x=6$$

Задание 9

Ответ: -5

Скрыть

Точки A(0;2) и B(-1;3) принадлежат графику функции. Получили:

$$left{begin{matrix} 2=a^0+b\ 3=a^{-1}+b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 2=1+b\ a^{-1}=3-b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} b=1\ a^{-1}=2 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} b=1\ a=frac{1}{2} end{matrix}right.$$

Получили:

$$(frac{1}{2})^x+1=33Leftrightarrow(frac{1}{2})^x=32=(frac{1}{2})^{-5}Leftrightarrow x=-5$$

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$у=7ln(х+5)-7х+10$$ на отрезке $$[-4,5; 0].$$

Ответ: 38

Скрыть

$$у=7ln(х+5)-7х+10$$

Найдём производную функции:

$$y’=7cdot{1}{x+5}-7$$

Найдём нули производной:

$$7cdot{1}{x+5}-7=0$$

$$7cdot{1}{x+5}=7$$

$$frac{1}{x+5}=1$$

$$x+5=1$$

$$x=1-5=-4$$

Определим знаки производной функции и изобразим её поведение:

Точка максимума $$x=-4,$$ там и будет максимальное значение функции:

$$y(-4)=7ln(-4+5)-7cdot(-4)+10=7cdot0+28+10=38$$

Задание 12

Ответ: $$а) -frac{pi}{4}+pi k,-frac{pi}{6}+2pi k,-frac{-5pi}{6}+2pi k, kin Z;$$ $$б) -frac{9pi}{4};-frac{13pi}{6};-frac{5pi}{4}$$

Скрыть

а) Решите уравнение

$$cos 2x-sin 2x=cos x+sin x+1$$

ОДЗ уравнения: R

Используя формулу косинуса двойного угла $$cos 2alpha=cos^2 alpha–sin^2 alpha,$$ формулу синуса двойного угла $$sin 2alpha=2sin alphacos alpha,$$ основное тригонометрическое тождество $$cos^2 alpha+sin^2 alpha=1,$$ преобразуем уравнение:

Используя формулу косинуса двойного угла $$cos 2alpha=cos^2 alpha-sin^2 alpha,$$ формулу синуса двойного угла $$sin 2alpha=2sinalphacosalpha,$$ основное тригонометрическое тождество $$cos^2alpha+sin^2alpha=1,$$ преобразуем уравнение:

$$cos^2 x-sin^2 x-2sin xcos x=cos x+sin x+cos^2 x+sin^2 x$$

$$cos^2 x-sin^2 x-2sin xcos x-cos x-sin x-cos^2 x-sin^2 x=0$$

$$-2sin^2 x-2sin xcos x-cos x-sin x=0$$

$$2sin^2 x+2sin xcos x+cos x+sin x=0$$

Воспользуемся методом группировки:

$$(2sin^2 x+2sin xcos x)+(cos x+sin x)=0$$

$$2sin x(sin x+cos x)+(sin x+cos x)=0$$

$$(sin x+cos x)cdot(2sin x+1)=0$$

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

$$sin x+cos x=0$$ или $$2sin x+1=0$$

Решим первое уравнение:

$$sin x+cos x=0$$

Получили однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Так как $$sin x$$ и $$cos x$$ обращаются в нуль в различных точках, т. е. не могут быть одновременно равными нулю, то можно обе части уравнения разделить на $$cos x:$$

$$frac{sin x}{cos x}+frac{cos x}{cos x}=frac{0}{cos x}$$

$$tan x+1=0$$

$$tan x=-1$$

$$x=arctan(-1)+pi n,nin Z$$

$$x=-frac{pi}{4}+pi n,nin Z$$

Решим второе уравнение:

$$2sin x+1=0$$

$$sin x=-frac{1}{2}$$

$$x=-frac{pi}{6}+2pi m, min Z$$ и $$x=-frac{5pi}{6}+2pi k, kin Z$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-frac{5pi}{2}; -pi].$$

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

$$x=-frac{9pi}{4};-frac{13pi}{6};-frac{5pi}{4}$$

Задание 13

Ответ: $$arctgfrac{2sqrt{21}}{7}$$

Скрыть

а)

$$DM=frac{sqrt{3}}{4}$$

$$D_1M=frac{3sqrt{3}}{4}$$

$$BC_1=sqrt{12}$$ (т. Пифагора)

$$MK=frac{3sqrt{7}}{4}$$ (т. Пифагора)

$$DB=3sqrt{2}$$ (свойство квадратов)

$$BM=sqrt{18+frac{3}{16}}=frac{sqrt{291}}{4}$$ (т. Пифагора)

$$BK=sqrt{frac{9}{4}+12}=frac{sqrt{57}}{2}$$ (т. Пифагора)

Сравним $$BM^2$$ и $$MK^2+BK^2$$

$$frac{291}{16}$$ и $$frac{63}{16}+frac{57}{4}$$

$$BM^2=MK^2+BK^2$$

По теореме, обратной теореме косинусов вывод:

$$MKperp BK, чтд$$

б)

$$(ABB_1)||(DD_1C_1)$$

Найдём $$widehat{(DD_1C_1)(MKB)},$$ он равен искомому.

Д. П. $$KNperp MK$$

$$ctgalpha=tg(90^{circ}-alpha)=frac{2}{sqrt{3}}$$

Треугольник $$KC_1N:$$

$$C_1N=frac{3}{2}cdotfrac{2}{sqrt{3}}=sqrt{3}$$

$$Rightarrow$$ т. N совпадает с т. C.$$Rightarrow CKperp MK$$

$$angle BKC=x$$ — искомый (по определению)

Треугольник $$KC_1C:$$

$$KC=sqrt{frac{9}{4}+3}=frac{sqrt{21}}{2}$$ (по т. Пифагора)

Треугольник $$BKC:$$

$$tgx=frac{3}{frac{sqrt{21}}{2}}=frac{6}{sqrt{21}}=frac{6sqrt{21}}{21}=frac{2sqrt{21}}{7}$$

$$x=arctgfrac{2sqrt{21}}{7}$$

Задание 14

Ответ: $$(-infty;-2sqrt{26}];[-sqrt{4,01};-2);(-2;-sqrt{3,99}];[sqrt{3,99};2);(2;sqrt{4,01}];[2sqrt{26};+infty)$$

Скрыть

$$lg^4(x^2-4)^2-lg^2(x^2-4)^4geq192$$

ОДЗ: $$xneqpm2$$

$$16lg^4|x^2-4|-16lg^2|x^2-4|geq192$$

$$lg^2|x^2-4|=tgeq0$$

$$left{begin{matrix} tgeq0\ t^2-t-12geq0 end{matrix}right.left{begin{matrix} tgeq0\ tgeq4 end{matrix}right.$$

Переход к старой переменной:

$$lg^2|x^2-4|geq0$$

$$(lg |x^2-4|leq-2)(lg |x^2-4|leq-2)geq0$$

$$left[begin{matrix} lg|x^2-4|leq-2\ lg|x^2-4|geq2 end{matrix}right.left[begin{matrix} |x^2-4|leq0,1 (1)\ |x^2-4|geq100 (2) end{matrix}right.$$

(1) $$left{begin{matrix} x^2-4leq0,01\ x^2-4geq-0,01 end{matrix}right.left{begin{matrix} (x-sqrt{4,01})(x+sqrt{4,01})leq0\ (x-sqrt{3,99})(x+sqrt{3,99})geq0 end{matrix}right.left{begin{matrix} xin[-sqrt{4,01};sqrt{4,01}]\ xin(-infty;-sqrt{3,99}];[sqrt{3,99};+infty) end{matrix}right.$$

$$xin [-sqrt{4,01};-sqrt{3,99}]cup[sqrt{3,99};sqrt{4,01}]$$

(2) $$left[begin{matrix} (x-2sqrt{26})(x+2sqrt{26})geq0\ x^2-4leq-100 end{matrix}right.$$

$$xin(-infty;-2sqrt{26}];[-sqrt{4,01};-2);(-2;-sqrt{3,99}];[sqrt{3,99};2);(2;sqrt{4,01}];[2sqrt{26};+infty)$$

Задание 15

Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Сергея не было денег на покупку акций, а пакет стоил 160 000 рублей. В середине каждого месяца Сергей откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 25 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Сергею каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

Ответ: 78 125 рублей

Скрыть

Пусть Сергей в середине каждого месяца откладывает ​$$x$$​ рублей

Тогда к середине $$n-го$$ месяца у Александра будет ​$$ncdot x$$​ рублей, а акции будут стоить, по условию, не более $$​160000cdot1,25^{n−1}$$​

Для того, чтобы Сергей смог купить акции должно быть выполнено неравенство:

$$​xgeqfrac{160000cdot1,25^{n−1}}{n}​$$

Пусть ​$$an=frac{1,25^{n−1}}{n}$$​

Нам нужно найти наименьшее из чисел ​$$an​.$$ Найдем когда последовательность убывает, для этого

Сравним ​$$frac{a_{n+1}}{a_n}leq1$$​

$$frac{a_{n+1}}{a_n}​=frac{5n}{4(n+1)}leq1$$​

$$nleq4​$$

Тогда наименьший элемент последовательности равен ​$$a_4=frac{125}{256}​$$

Тогда

$$​x=160000cdotfrac{125}{256}=78125​$$

Задание 16

Ответ: 18

Скрыть

а) Рассмотрим четырехугольник ALBC, у которого углы $$ACB=ALB=90^{circ},$$ а значит, вокруг него можно описать окружность (по свойству: сумма противоположных углов $$ACB+ALB=180^{circ}$$). Тогда хорды AL = LB (треугольники АКС, ALB и ВМС – равнобедренные) стягивают дуги $$cup AL=cup LB,$$ следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны: $$angle ACL=angle LCB=45^{circ};$$ $$angle KCA+angle ACL=45^{circ}+45^{circ}=90^{circ};$$ $$angle LCB+angle BCM=90^{circ},$$ следовательно, LC перпендикулярна KM и LC – высота треугольника KLM.

б) Площадь треугольника KLM можно найти по формуле:

$$S_{KLM}=frac{1}{2}KMcdot LC$$

Пусть BC = a, AC = b, CL = d, AB = c, а P – точка пересечения AB и CL. Так как $$angle ACP=angle BCP=45^{circ},$$ то CB – биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрис:

$$frac{AP}{PB}=frac{AC}{CB}=frac{b}{a}$$

Учитывая, что AP + PB = AB = c, получаем систему:

$$frac{AP}{PB}=frac{b}{a}$$

$$AP+PB=c$$

С решением:

$$AP=frac{bc}{a+b}; PB=frac{ac}{a+b}$$

Так как углы $$angle ACL=angle BAL=45^{circ},$$ то треугольники ACL и PAL подобны по двум углам и:

$$frac{AC}{PA}=frac{CL}{AL}Rightarrow b: frac{bc}{a+b}=d:frac{c}{sqrt{2}}$$

и $$d=frac{a+b}{sqrt{2}}.$$ Из равенства KM = KC + CM, получаем:

$$KM=frac{a}{sqrt{2}}+frac{b}{sqrt{2}}=d=6$$

Следовательно:

$$S_{KLM}=frac{1}{2}cdot6cdot6=18$$

Задание 17

Ответ: $$(-frac{3}{2}; -frac{9}{8}]$$

Скрыть

Найдем производную заданной функции: $$f'(x)=4ax^3+12x^2-6x.$$ Необходимо и достаточно, чтобы f’ имела на отрезке [−2; 2] два нуля, в которых она меняет знак с плюса на минус. При этом, если корней ровно два, то в одном из них производная знак не меняет. Следовательно, корней ровно три и характеры смены знака в них чередуются (с плюса на минус, с минуса на плюс и снова с плюса на минус). Поэтому все три корня должны лежать на отрезке [−2; 2]. Тогда

$$4ax^3+12x^2-6x=0Leftrightarrow 2x(2ax^2+6x-3)=0.$$

Следовательно, число $$x=0$$ — корень, то есть теперь необходимо и достаточно, чтобы два корня уравнения $$2ax^2+6x-3=0$$ лежали на отрезке [−2; 2].

Учитывая, что графиком функции $$g(x)=2ax^2+6x-3$$ при $$a<0$$ является парабола, ветви которой направлены вниз, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств:

$$left{begin{matrix} g(2)leq0,\ g(-2)leq0,\ D>0,\ x_{верш}in(-2;2), end{matrix}right.$$

то есть

$$left{begin{matrix} 8a+12-3leq0,\ 8a-12-3leq0,\ 36+24a>0,\ -2<-frac{6}{4a}<2 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} aleq-frac{9}{8},\ aleqfrac{15}{8},\ a>-frac{3}{2},\ a>-frac{3}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow aleq-frac{9}{8}.$$

Задание 18

Ответ: а) да; б) нет; в) 12

Скрыть

Раскладывая все числа от 1 до n на простые множители и объединяя затем множители 2 и 5 в пары, мы будем получать множители 10, которые просто прибавляют 0 на конце числа. Когда множители 2 или 5 (на самом деле всегда 5) закончатся, оставшееся число не будет кончаться на 0, поэтому количество нулей равно либо суммарному количеству пятерок, либо суммарному количеству двоек в разложении всех чисел от 1 до n на простые множители.

а) Пусть n = 45. Есть ровно 9 чисел кратных 5 от 1 до 45, при этом одно (25) содержит сразу две пятерки. Ясно, что 10 двоек наберется (там есть 22 четных числа, дающих минимум по одной двойке).

б) Среди чисел 1, 2, …, 74 есть 14 кратных 5, из них 25, 50 кратны 5². Значит, 74! оканчивается на (14 − 2) + 2 · 2 = 16 нулей. При этом 75! = 74! · 75 окачивается на 18 нулей. Ясно, что при n < 74 число нулей будет не более 16, а при n > 75 — не менее 18.

в) Среди чисел от 1 до n ровно $$left[frac{n}{5}right]$$ кратны 5 и ровно $$left[frac{n}{25}right]$$ кратны 25, поэтому степень пятерки в n! равна $$left[frac{n}{5}right]-left[frac{n}{25}right]+2cdotleft[frac{n}{25}right]=left[frac{n}{5}right]+left[frac{n}{25}right]$$ (здесь используется, что n ≤ 75, то есть числа, кратные 5³, 5⁴, …, отсутствуют). Тогда в записи n! · (75 − n)! ровно

$$left[frac{n}{5}right]+left[frac{75-n}{5}right]+left[frac{n}{25}right]+left[frac{75-n}{25}right]=left[frac{n}{5}right]+left[15-frac{n}{5}right]+left[frac{n}{25}right]+left[3-frac{n}{25}right]$$

нулей. Заметим, что при целом k [α] + [k − α] = k при целом α и [α] + [k − α] = k − 1 при нецелом α, поэтому $$left[frac{n}{5}right]+left[15-frac{n}{5}right]=15$$ или $$14$$ и $$left[frac{n}{25}right]+left[3-frac{n}{25}right]=3$$ или $$2.$$ Нас интересует вариант 15 + 2 (вариант 14 + 3 означал бы, что n не кратно 5, но кратно 25, что невозможно). Значит, n кратно 5, но не 25. Таких чисел 12.

Отметим, что одно из чисел n или 100 − n не меньше 38, поэтому его факториал содержит не менее 19 четных множителей, так что двоек на все эти пятерки хватит.