Решение 20 варианта егэ ященко математика профильный уровень 2022

Задание 1

Найдите корень уравнения $$(x-11)^4=(x+3)^4.$$

Ответ: 4

Скрыть

$$(x-11)^4=(x+3)^4$$

$$((x-11)^2)^2=((x+3)^2)^2$$

Извлекаем квадратный корень от обеих частей уравнения:

$$(x-11)^2=(x+3)^2$$

$$x^2-22x+121=x^2+6x+9$$

$$x^2-22x-x^2-6x=9-121$$

$$-28x=-112$$

$$x=frac{-112}{-28}=4$$

Задание 2

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 5 из Японии, 4 из Кореи, 9 из Китая и 7 из Индии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Индии.

Ответ: 0.28

Скрыть

На первом месте может оказаться любой спортсмен из $$n=5+4+9+7=25$$ спортсменов, участвующих в соревнованиях. При этом число спортсменов из Индии равно $$m=7.$$ Следовательно, вероятность того, что спортсмен, который выступает первым, окажется из Индии, равна:

$$P=frac{m}{n}=frac{7}{25}=0,28$$

Задание 3

Ответ: 64

Скрыть

Пусть вся площадь треугольника ABC равна $$x.$$ Тогда площадь малого треугольника CDE равна $$frac{x}{4}$$ (так как все его линейные размеры в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC). Можно записать равенство:

$$x=frac{x}{4}+48$$

$$frac{3}{4}x=48$$

$$x=48cdotfrac{4}{3}=64$$

Задание 4

Найдите значение выражения $$frac{(sqrt{20}+sqrt{12})^2}{4+sqrt{15}}.$$

Ответ: 8

Скрыть

$$frac{(sqrt{20}+sqrt{12})^2}{4+sqrt{15}}=frac{(sqrt{20})^2+2sqrt{20}cdotsqrt{12}+(sqrt{12})^2}{4+sqrt{15}}=$$

$$=frac{20+2sqrt{240}+12}{4+sqrt{15}}=frac{32+2sqrt{16cdot15}}{4+sqrt{15}}=frac{32+8sqrt{15}}{4+sqrt{15}}=frac{8(4+sqrt{15}}{4+sqrt{15}}=8$$

Задание 5

Ответ: 4

Скрыть

Объем жидкости остается неизменным. Пусть изначально она равна

$$V=hcdotpi R^2$$

где h=25 см – высота; R – радиус основания первого сосуда. По условию задания диаметр второго сосуда в 2,5 больше первого, значит,

$$R_2=2,5cdotfrac{D}{2}=2,5R$$

Выразим тот же объем V через высоту $$h_2$$ и радиус $$R_2:$$

$$V=h_2cdotpi R^2_2=h_2cdotpicdot6,25R^2$$

Приравниваем эти величины и находим $$h_2:$$

$$h_2cdotpicdot6,25R^2=hcdotpi R^2$$

$$h_2=frac{h}{6,25}=frac{25}{6,25}=4$$

Задание 6

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=frac{1}{2}t^3-2t^2+6t+25,$$ где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $$t=4.$$

Ответ: 14

Скрыть

Скорость — это производная от расстояния:

$$v(t)=x'(t)=frac{3}{2}t^2=4t+6$$

Находим скорость в момент времени $$t=4$$ с:

$$v(4)=frac{3}{2}cdot4^2-4cdot4+6=3cdot8-16+6=14$$

Задание 7

Водолазный колокол, содержащий $$v=2$$ моль воздуха при давлении $$р_1=2,4$$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $$р_2$$ в атмосферах. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $$A=alpha vTlog_2frac{p_2}{p_1},$$ где $$alpha=13,5 frac{Дж}{Мольcdot К}$$ — постоянная, $$Т=300$$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $$р_2$$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $$16 200$$ Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Ответ: 9,6

Скрыть

$$A=alpha vTlog_2frac{p_2}{p_1}$$

$$16200=13,5cdot2cdot300cdotlog_2frac{p_2}{2,4}$$

$$16200=8100cdotlog_2frac{p_2}{2,4}$$

$$log_2frac{p_2}{2,4}=frac{16200}{8100}$$

$$log_2frac{p_2}{2,4}=2$$

$$2^2=frac{p_2}{2,4}$$

$$4=frac{p_2}{2,4}$$

$$p_2=4cdot2,4=9,6$$

Задание 8

Первая труба заполняет резервуар объёмом 440 литров на 4 минуты медленнее, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 396 литров. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба?

Ответ: 22

Скрыть

Пусть x литров воды в минуту пропускает вторая труба. Соответственно, первая труба будет пропускать $$x-2$$ литров воды в минуту. Резервуар объемом 396 литров вторая труба будет заполнять $$frac{396}{x}$$ минут, а резервуар объемом 440 литра первая труба заполняет $$frac{440}{x-2}$$ минут. Так как первая заполняет резервуар объёмом 440 литров на 4 минуты медленнее, чем вторая, получаем уравнение:

$$frac{440}{x-2}-frac{396}{x}=4$$

откуда

$$440x-396cdot(x-2)=4cdot(x^2-2x)$$

$$110x-99x+198-x^2+2x=0$$

$$x^2-13-198=0$$

$$D=169+792=961=31^2$$

$$x_1=frac{13+31}{2}=22$$

$$x_2=frac{13-31}{2}<0$$

Получаем пропускную способность второй трубы 22 литра в минуту.

Задание 9

Ответ: 3

Скрыть

Абсцисса вершины для $$f(x): x_0=-frac{(-2)}{(-2)cdot2}=-frac{1}{2}$$

Это правая парабола. 

$$g(x)cap Oy$$ в точке $$(0;1),$$ значит $$c=1.$$

Точки $$A(-2;5)$$ и $$C(-4;1)$$ принадлежат $$g(x).$$ Тогда:

$$left{begin{matrix} 5=acdot(-2)^2+bcdot(-2)+1\ 1=acdot(-4)^2+bcdot(-4)+1 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 4=4a-2b\ 0=16a-4b end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} 2=2a-b\ 4a=b end{matrix}right.Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrowleft{begin{matrix} 2=2a-4a\ b=4a end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} a=-1\ b=-4 end{matrix}right.$$

Получили $$g(x)=-x^2-4x+1$$

Тогда:

$$-2x^2-2x+4=-x^2-4x+1$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$left[begin{matrix} x_1=3\ x_2=-1 end{matrix}right.$$

Задание 10

За круглый стол на 6 стульев в случайном порядке рассаживаются 4 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки не будут сидеть рядом.

Ответ: 0,6

Скрыть

Посадим первую девочку за стол. Таким образом у нас останется 1 девочка и 5 стульев. Сесть она может только на два стула — по обе стороны от уже сидящей девочки. Отсюда вероятность того, что девочки сядут рядом: $$frac{2}{5}=0,4$$ следовательно вероятность того, что они не будут сидеть рядом равна $$1-0,4=0,6$$

Задание 11

Найдите точку минимума функции $$y=(x+8)^2cdot е^{-x-3}.$$

Ответ: -8

Скрыть

$$y=(x+8)^2cdot е^{-x-3}$$

Найдём производную функции:

$$y’=((x+8)^2)’cdot е^{-x-3}+(x+8)^2cdot(e^{-x-3})’=2(x+8)cdot e^{-x-3}+(x+8)^2cdot(-e^{-x-3})=$$
$$=e^{-x-3}cdot(2(x+8)-(x+8)^2)=e^{-x-3}cdot(-x^2-14x-48)$$ 

Найдём нули производной:

$$e^{-x-3}cdot(-x^2-14x-48)=0$$

$$e^{-x-3}>0$$ всегда

$$-x^2-14x-48=0$$

$$x^2+14+48=0$$

Через дискриминант находим корни уравнения:

$$x_1=-8$$

$$x_2=-6$$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума: $$x=-8.$$

Задание 12

Ответ: а) $$frac{pi}{4} k, frac{5pi}{24}+frac{pi}{2}k, -frac{5pi}{24}+frac{pi}{2}k, kin Z$$; б) $$frac{65pi}{24}; frac{11pi}{4}; frac{67pi}{24}; 3pi ; frac{77pi}{24}; frac{13pi}{4}; frac{79pi}{24}$$

Скрыть

а)

$$cos 2xsin 2xsinfrac{2pi}{3}=frac{1}{4}cos(8x-frac{3pi}{2}$$

$$frac{1}{2}cdot(2sin 2xcos 2x)sin(pi-frac{pi}{3})=frac{1}{4}cos(frac{3pi}{2}-8x)$$

$$frac{1}{2}sin 4xsinfrac{pi}{3}=frac{1}{4}cdot(-sin 8x)$$

$$frac{1}{2}sin 4xcdotfrac{sqrt{3}}{2}=-frac{1}{4}sin(2cdot 4x)$$

$$sqrt{3}sin 4x+2sin 4xcos 4x=0$$

$$sin 4x(sqrt{3}+2cos 4x)=0$$

$$sin 4x=0$$

$$4x=pi k, kin Z$$

$$x=frac{pi k}{4}, kin Z$$

$$sqrt{3}+2cos 4x=0$$

$$cos 4x=-frac{sqrt{3}}{2}$$

$$4x=pmarccos(-frac{sqrt{3}}{2})+2pi n, nin Z$$

$$4x=pm(pi-arccosfrac{sqrt{3}}{2})+2pi n, nin Z$$

$$4x=pm(pi-frac{pi}{6})+2pi n, nin Z$$

$$4x=pmfrac{5}{6}+2pi n, nin Z$$

$$x=pmfrac{5}{24}+frac{pi n}{2}, nin Z$$

б)

С помощью двойного неравенства отберём корни на отрезке $$[frac{8pi}{3};frac{10pi}{3}]$$

1) $$frac{8pi}{3}leqfrac{pi k}{4}leqfrac{10pi}{3}Leftrightarrowfrac{32}{3}leq kleqfrac{40}{3}, kin ZRightarrow k=11;12;13$$

$$k=11: x=frac{picdot11}{4}=frac{11pi}{4}$$

$$k=12: x=frac{picdot12}{4}=3pi$$

$$k=13: x=frac{picdot13}{4}=frac{13pi}{4}$$

2) $$frac{8pi}{3}leqfrac{5pi}{24}+frac{pi k}{2}leqfrac{10pi}{3}Leftrightarrowfrac{64-5pi}{24}cdotfrac{2}{pi}leq kleqfrac{80pi-5pi}{24}cdotfrac{2}{pi}Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrowfrac{59}{12}leq kleqfrac{75}{12}, kin ZRightarrow k=5;6$$

$$k=5: x=frac{5pi}{24}+frac{picdot5}{2}=frac{65pi}{24}$$

$$k=6: x=frac{5pi}{24}+frac{picdot6}{2}=frac{77pi}{24}$$

3) $$frac{8pi}{3}leq-frac{5pi}{24}+frac{pi k}{2}leqfrac{10pi}{3}Leftrightarrowfrac{64+5}{12}leq kleqfrac{80+5}{12}, kin ZRightarrow k=6;7$$

$$k=6: x=-frac{5pi}{24}+frac{picdot6}{2}=frac{67pi}{24}$$

$$k=7: x=-frac{5pi}{24}+frac{picdot7}{2}=frac{79pi}{24}$$

Задание 13

Ответ: $$frac{5sqrt{119}}{13}$$

Скрыть

а) Известно, что образующие конуса равны, то есть, AB = BC. По условию сечение проходит через AB, BC и вершину B, следовательно, сечение – это равнобедренный прямоугольный треугольник ABC.

б) Расстояние от центра основания O до плоскости сечения – это перпендикуляр OP, который также можно воспринимать как высоту прямоугольного треугольника BON с площадью:

$$S_{BON}=frac{1}{2}OPcdot NB=frac{1}{2}ONcdot OB$$

Отсюда, имеем:

$$OP=frac{ONcdot OB}{NB}$$

Найдем сначала длины образующих AB и BC, зная, что радиус основания 12, а высота конуса OB = 5:

$$AB=BC=sqrt{12^2+5^2}=13$$

Затем, из прямоугольного треугольника AB. Cнайдем AC:

$$AC=sqrt{13^2+13^2}=13sqrt{2}$$

Следовательно,

$$NC=frac{1}{2}AC=frac{13sqrt{2}}{2}$$ и $$BN=sqrt{BC^2-NC^2}=sqrt{13^2-frac{13^2}{2}}=frac{13sqrt{2}}{2}$$

Далее, из прямоугольного треугольника ONC находим ON:

$$ON=sqrt{OC^2-NC^2}=sqrt{144-frac{169}{2}}=sqrt{frac{119}{2}}$$

Получаем значение расстояния OP:

$$OP=frac{sqrt{frac{119}{2}}cdot5}{frac{13sqrt{2}}{2}}=frac{5sqrt{119}}{13}$$

Задание 14

Решите неравенство $$30cdot3^{log_2(7-x)}+3^{1+log_2 x}-3^{log_2(7x-x^2)}geq90.$$

Ответ: $$(0;5]$$

Скрыть

ОДЗ: $$left{begin{matrix} 7-x>0\ x>0\ x(7-x)>0 end{matrix}right.left{begin{matrix} xin (0;7)\ xin (0;7) end{matrix}right.Rightarrow xin (0;7)$$

$$30cdot3^{log_2(7-x)}+3cdot3^{log_2 x}-3^{log_2 x}-3^{log_2(7-x)}-90geq0$$

$$30cdot(3^{log_2(7-x)}-3)+3^{log_2 x}(3-3^{log_2(7-x)}-90geq0$$

$$(3^{log_2(7-x)}-3)cdot(30-3^{log_2 x})geq0$$

$$f(x)=log_2 x$$ на промежутке $$(0;7)$$ возрастает. Наибольшее значение меньше $$log_2 7<3=log_2 8. 3^{log_2 7}<27$$

$$Rightarrow$$ на $$ОДЗ xin (0;7)$$ разность $$30-3^{log_2 x}>0.$$

Осталось решить неравенство $$3^{log_2(7-x)}-3geq0$$

$$left{begin{matrix} xin (0;7)\ log_2(7-x)geq1 end{matrix}right.left{begin{matrix} xin (0;7)\ xleq5 end{matrix}right.$$

$$xin (0;5]$$

Задание 15

Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает $$р$$ человек, то каждый из них получает в сутки $$200р$$ рублей. Если на втором объекте работает $$р$$ человек, то каждый из них получает в сутки $$(50р+300)$$ рублей. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?

Ответ: 1-й объект — 7 человек, 2-й объект — 23 человека; 43 150 рублей

Скрыть

Пусть на втором объекте работает $$k$$ рабочих, тогда на 1-м будет работать $$30-k$$ рабочих. Получаем суммарное значение их зарплаты:

$$f(k)=(30-k)cdot200cdot(30-k)+kcdot(50k+300)$$

$$f(k)=(30-k)^2cdot200+50k^2+300k$$

Найдем такое $$k,$$ при котором функция принимает наименьшее значение, то есть, вычислим точку экстремума:

$$f'(k)=-400cdot(30-k)+100k+300=0$$

$$500k=11700$$

$$k=frac{11700}{500}=23,4$$

Так как число рабочих – целое число, то $$k=23.$$ Получаем, что на первом объекте работает $$30-23=7$$ рабочих, а на втором – $$23.$$ Их суммарная зарплата, составит:

$$7^2cdot200+23cdot(50cdot23+300)=43150$$ рублей

Задание 16

Ответ: 50

Скрыть

а) Рассмотрим четырехугольник ALBC, у которого углы $$ACB=ALB=90^{circ},$$ а значит, вокруг него можно описать окружность (по свойству: сумма противоположных углов $$ACB+ALB=180^{circ}$$). Тогда хорды AL = LB (треугольники АКС, ALB и ВМС – равнобедренные) стягивают дуги $$cup AL=cup LB,$$ следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны: $$angle ACL=angle LCB=45^{circ};$$ $$angle KCA+angle ACL=45^{circ}+45^{circ}=90^{circ};$$ $$angle LCB+angle BCM=90^{circ},$$ следовательно, LC перпендикулярна KM и LC – высота треугольника KLM.

б) Площадь треугольника KLM можно найти по формуле:

$$S_{KLM}=frac{1}{2}KMcdot LC$$

Пусть BC = a, AC = b, CL = d, AB = c, а P – точка пересечения AB и CL. Так как $$angle ACP=angle BCP=45^{circ},$$ то CB – биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрис:

$$frac{AP}{PB}=frac{AC}{CB}=frac{b}{a}$$

Учитывая, что AP + PB = AB = c, получаем систему:

$$frac{AP}{PB}=frac{b}{a}$$

$$AP+PB=c$$

С решением:

$$AP=frac{bc}{a+b}; PB=frac{ac}{a+b}$$

Так как углы $$angle ACL=angle BAL=45^{circ},$$ то треугольники ACL и PAL подобны по двум углам и:

$$frac{AC}{PA}=frac{CL}{AL}Rightarrow b: frac{bc}{a+b}=d:frac{c}{sqrt{2}}$$

и $$d=frac{a+b}{sqrt{2}}.$$ Из равенства KM = KC + CM, получаем:

$$KM=frac{a}{sqrt{2}}+frac{b}{sqrt{2}}=d=10$$

Следовательно:

$$S_{KLM}=frac{1}{2}10cdot10=50$$

Задание 17

Ответ: $$4<aleq16$$

Скрыть

$$left{begin{matrix} log_{11}(a-y^2)=log_{11}(a-x^2),\ x^2+y^2=2x+6y end{matrix}right.$$

Решение системы определяем при

$$left{begin{matrix} a-x^2>0\ a-y^2>0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} a>x^{2} (*)\ a>y^2 end{matrix}right.$$

На $$(*)$$ получили:

$$left{begin{matrix} -y^2=-x^2\ x^2+y^2-2x-6y=0 end{matrix}right.$$

$$1) left{begin{matrix} y=x\ x^2+x^2-2x-6x=0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} y=x\ 2x^2-8x=0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} y=x\ left[begin{matrix} x=0\ x=4 end{matrix}right. end{matrix}right.Leftrightarrow (0;0); (4;4)$$

С учётом $$(*):left{begin{matrix} a>0^2\ a>4^2 end{matrix}right.Rightarrow a>16$$

$$2) left{begin{matrix} y=-x\ x^2+x^2-2x+6x=0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} y=-x\ 2x^2+4x=0 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} y=-x\ left[begin{matrix} x=0\ x=-2 end{matrix}right. end{matrix}right.Leftrightarrow (0;0); (-2;2)$$

С учётом $$(*):left{begin{matrix} a>(-2)^2\ a>2^2 end{matrix}right.Rightarrow a>4$$

Получили: при $$a>0$$ есть решение, при $$a>4$$ добавляется ещё одно, при $$a>16$$ ещё одно.

Тогда ровно 2 решения при $$ain (4;16]$$

Задание 18

Ответ: а) да; б) нет; в) 2220

Скрыть

Упорядочим числа по возрастанию x₁ < x₂ < … < x₄₀. Заметим сразу, что достаточно проверять условие только для двух самых больших и четырех самых маленьких чисел.

а), б) В наборе 33, 777, 778, …, 815 выполнено

$$815 + 814 < 33 + 777 + 778 + 779.$$

в) Будем говорить, что с набором чисел можно сделать какую-то операцию, если после ее выполнения условие

$$x_1+x_2+x_3+x_4>x_28+x_29+x_30$$

не может нарушиться, числа останутся разными, а сумма чисел во всем наборе не становится больше. Если x₄₀ ≠ x₃₉ + 1, то можно заменить x₄₀ на x₃₉ + 1. Если после этого x₃₉ ≠ x₃₈ + 1, то можно заменить x₃₉ на x₃₈ + 1 и x₄₀ на x₃₈ + 2. Продолжая эти действия (сдвиг больших чисел вниз), мы в итоге получим набор чисел, идущих подряд, кроме может быть первого (даже все числа от x₃ до x₄₀ можно синхронно уменьшать, поскольку обе части неравенства

$$x_1+x_2+x_3+x_4>x_39+x_40$$

будут уменьшаться одинаково). Далее можно увеличивать на 1 первое число и уменьшать на 1 все остальные. Так можно делать, если x₂ − x₁ > 2.

Итак, оптимальный набор — это числа x, x + 1, x + 2, …, x + 39 или x − 1, x + 1, x + 2, …, x + 39, причем в первом случае 4x + 6 > 2x + 77, откуда x ≥ 36, а во втором 4x + 5 > 2x + 77, откуда x ≥ 37. В наборе 36, 37, …, 75 сумма очевидно меньше, чем в наборе 36, 38, 39, …, 76. Значит, минимальная сумма равна

$$(xcdot36+39)cdot20=2220,$$

а примером могут служить числа от 36 до 75.

Напиши мне, решений каких вариантов не хватает на сайте?

Например: «Сборник Лысенко ЕГЭ 2023 профиль 40 вариантов», «Варианты Ларина ЕГЭ 2023 профиль», «Варианты СтатГрад ЕГЭ 2023 профиль» и т.п.

Варианты СтатГрад ЕГЭ 2023 (профильный уровень)

Варианты сборника И.В. Ященко ЕГЭ 2023 (профильный уровень), 36 вариантов.

Варианты сборника И.В. Ященко ЕГЭ 2022 (профильный уровень), 36 вариантов.

Варианты сборника И.В. Ященко ЕГЭ 2021 (профильный уровень), 36 вариантов.

Варианты сборника Ф.Ф. Лысенко ЕГЭ 2021 (профильный уровень), 40 вариантов.

Варианты сборника И.В. Ященко ЕГЭ 2020 (профильный уровень), 36 вариантов.