Решение задач егэ по геометрии презентация

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Методика решения геометрических задач в ОГЭ и ЕГЭ
  Курашинова Жаана Тагировна

• 

  2 слайд

  Основные приёмы решения геометрических задач.
  В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать рецепт решения.
  Здесь, помимо формального знания многочленных соотношений между элементами фигур, необходимо иметь интуицию и опыт.

• 

  3 слайд

  Важно уметь видеть комбинацию тех или иных геометрических элементов (например, треугольники, составляющие трапецию), невидимые пока на рисунке линии (возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи) и т.д.

• 

  4 слайд

  Умение решать геометрические задачи приходит вместе с практикой. Я рассмотрю методы решения задач, не использующие ни векторы, ни координаты. Ограничусь лишь темами, на мой взгляд, наиболее часто встречающимися на вступительных экзаменах: решение треугольников и задачи с многоугольниками, площади, подобие, задачи с окружностями.

• 

  5 слайд

  Приемы решения вычислительных задач по планиметрии

• 

  6 слайд

  1. Решение треугольников.
  Известные признаки равенства треугольников «по двум сторонам и углу между ними», «по стороне и двум прилежащим к ней углам», «по трем сторонам» указывают величины, знание которых позволяет однозначно определить все элементы треугольника..

• 

  7 слайд

  Так, по известным сторонам и с помощью теоремы косинусов можно вычислить величины всех углов треугольника . По известным сторонам и заключенному между ними углу с помощью теоремы косинусов легко найти величину стороны , а затем, как это описывалось выше, определить величины остальных углов.

• 

  8 слайд

  Если известна сторона треугольника и прилежащие к ней углы и , то сначала, пользуясь тем, что сумма углов треугольника равна , находим величину угла , а затем с помощью теоремы синусов определяем длины сторон и .

• 

  9 слайд

  Конечно, возможны и другие способы определения сторон и углов. Заметим, что знание синуса угла не всегда позволяет однозначно определить сам угол треугольника. Так равенству могу удовлетворять как так и для определения величины угла в такой ситуации обычно применяются какие-либо дополнительные соображения, например, угол — тупой или острый.

• 

  10 слайд

  2. Последовательное вычисление величин..

• 

  11 слайд

  Если в задаче требуется найти длину какого-либо отрезка или величину какого-либо угла, имеет смысл сначала, не проводя вычислений, определить, какие, вообще, отрезки и углы могут быть найдены, исходя из данных задачи, с помощью приемов, изложенных в п. 1, или иных соображений

• 

  12 слайд

  . При этом можно помечать каким-либо образом вычисляемые отрезки и углы. Множество вычисляемых объектов будет при этом расширяться. И если случится так, что в их число попадет нужный отрезок или угол, то легко можно будет составить цепочку последовательных вычислений необходимых отрезков и углов, которая приведет к нахождению нужной величины.

• 

  13 слайд

  3. Поиск решения «от искомого».

• 

  14 слайд

  Если прямой поиск, изложенный в предыдущем пункте, не помогает найти требуемую величину, можно попытаться расширить круг поисков. Нужно понять, через какие величины, известные из условия и неизвестные, можно выразить искомую величину. Затем надо понять, можно ли найти эти неизвестные величины. Если они могут быть найдены, то составляем план решения.

• 

  15 слайд

  4. Введение неизвестных

• 

  16 слайд

  Иногда, нарисовав чертеж и отметив на нем все данные величины, а также определив все величины, которые могут быть вычислены с помощью указанных выше соображений, все-таки не удается найти требуемые в задаче отрезки или углы.

• 

  17 слайд

  В этой ситуации может помочь следующий прием. Обозначим какой-нибудь буквой, скажем буквой , неизвестный отрезок или угол, а затем отметим все углы и отрезки, которые могут быть выражены через с помощью приведенных в п. 2 и 3 соображений. Тогда может случится так, что один и тот же отрезок или угол имеет два различных выражения. Приравнивая их, получим уравнение, корнем которого будет искомая величина.

• 

  18 слайд

  5. Роль чертежа в решении геометрических задач.

• 

  19 слайд

  О том, что хороший чертеж облегчает решение задачи, известно всем. Он может и подсказать какое-либо геометрическое соотношение между отрезками или углами. Особенно, если нарисовать несколько чертежей, изменяя размеры присутствующих на нем фигур

• 

  20 слайд

  Но иногда чертеж может стать причиной неполного решения задачи, так как соотношения, выполняющиеся на нем и кажущиеся совершенно очевидными, в действительности таковыми не являются и требуют специального обоснования.

• 

  21 слайд

  Всегда пытайтесь изобразить все возможные конфигурации, отвечающие на первый взгляд условиям задачи, а затем с помощью рассуждений отбросьте лишние.
  Выделим некоторые, к сожалению, трудно формализуемые принципы, которыми следует руководствоваться при построении чертежа. Прежде всего чертеж должен быть «большим и красивым».

• 

  22 слайд

  Это вовсе не означает, что чертеж должен выполняться по всем правилам черчения, с использованием соответствующих инструментов. При небольшом навыке чертеж может быть хорошо сделан и от руки.

• 

  23 слайд

  Важнейшим требованием к чертежу является требование лаконичности. Следует изображать лишь «функционирующие» части геометрических фигур.

• 

  24 слайд

  . Так, например, если в задаче надо найти радиус окружности, вписанной в треугольник, то в большинстве случаев саму эту окружность не следует изображать

• 

  25 слайд

  . Если же в условии задачи фигурируют «точки этой окружности, т.е. окружность «функционирует» в условии, то ее изображение может оказаться полезным для решения задачи.

• 

  26 слайд

  Необходимо избегать чрезмерного усложнения чертежа. Этого можно добиться, в частности, за счет выносных картинок, изображающих фрагменты общей конфигурации.

• 

  27 слайд

  С другой стороны, стоит непосредственно на чертеже указывать числовые или буквенные значения линейных или угловых величин, заданных в условии или полученных (введенных) в процессе решения.

• 

  28 слайд

  Правильный чертеж помогает увидеть особенности геометрической фигуры, например, может «подсказать», что какие-то точки расположены на одной прямой или одной окружности или что прямые пересекаются в одной точке.

• 

  29 слайд

  Если в задаче идет речь о фигуре общего вида, например о произвольном треугольнике или четырехугольнике, то необходимо, чтобы фигура, изображенная на чертеже, не имела характерных особенностей, присущих «хорошим» фигурам, в частности, треугольник не должен быть прямоугольным или равнобедренным, а тем более правильным, четырехугольник — быть похожим на параллелограмм и т.д.

• 

  30 слайд

  6. Дополнительные построения.

  Нарисованный первоначально чертеж в процессе решения задачи может дополняться новыми линиями.

• 

  31 слайд

  Такие дополнительные построения, вводящие новые углы и новые отрезки, иногда приводят к появлению геометрических фигур, облегчающих решение задачи. А иногда и указывают выход из, казалось бы, неразрешимой ситуации.

• 

  32 слайд

  Так, оказывается, в трапеции бывает полезно провести через одну вершину прямую, параллельную противоположной боковой стороне. Если же в условии задачи говорится о диагоналях трапеции, то стандартным будет дополнительное построение, состоящее в проведении через одну из ее вершин прямой, параллельной диагонали.

• 

  33 слайд

  Если в условии есть медиана треугольника, то стоит попытаться продолжить эту медиану на такое же расстояние. При этом получим параллелограмм, стороны и одна диагональ которого равны сторонам треугольника, а вторая диагональ равна удвоенной медиане.

• 

  34 слайд

  . Таким образом, если бы нам требовалось найти площадь треугольника по двум сторонам и медиане, заключенной между ними, то с помощью только что указанного приема легко убедиться, что треугольник этот равновелик треугольнику, две стороны которого равны соответствующим сторонам исходного, а третья равна удвоенной медиане.

• 

  35 слайд

  Если в условии задачи фигурирует середина одной или нескольких сторон четырехугольника, то стоит добавить середины каких-то других сторон или диагоналей и рассмотреть средние линии соответствующих треугольников.

• 

  36 слайд

  Выделим три разновидности дополнительных построений:
  продолжение отрезка (отрезков) на определенное расстояние или до пересечения с заданной прямой;
  проведение прямой через две заданные точки;
  проведение через заданную точку прямой, параллельной данной прямой, или перпендикулярной данной прямой.

• 

  37 слайд

  Умение находить самостоятельно удачное дополнительное построение приходит с опытом решения задач.

• 

  38 слайд

  7. Площади.
  Задачи на вычисление площадей различных фигур встречаются на вступительных экзаменах достаточно часто. Площади многоугольников обычно вычисляют, разбивая их на треугольники, прямоугольники и другие фигуры, для площадей которых имеются известные формулы. Иногда использование площадей помогает при решении задач, на первый взгляд относящихся к другим вопросам.

• 

  39 слайд

  8. Подобие.
  Одним из важных средств нахождения в процессе решения задачи соотношений между отрезками или углами является свойство подобия фигур. Ведь в подобных фигурах соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны

• 

  40 слайд

  Имеются признаки подобия треугольников: 1) по двум углам; 2) по двум соответственно пропорциональным сторонам и заключенному между ними углу; 3) по трем пропорциональным сторонам.

• 

  41 слайд

  Заметим, что в подобных треугольниках отношение соответствующих высот, медиан и биссектрис равно отношению соответствующих сторон треугольников, т.е. коэффициенту подобия.

• 

  42 слайд

  9. Метод вспомогательной окружности.
  Обычно этот метод характеризуется в решении следующими оборотами: «Заметим, что точки лежат на одной окружности …», или «Проведем окружность (-ти) через точки «, или другими, с ними сходными.

• 

  43 слайд

  При решении стереометрических задач важным является выбор оптимального положения изображаемого тела (в частности, выбор ориентации — верх и низ, право и лево),

• 

  44 слайд

  выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображенных линий (напомним, что видимые и невидимые линии должны изображаться различным образом),

• 

  45 слайд

  умение строить сечение и проекции на плоскость, умение выделить на построенном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение перевести условие задачи на графический язык.

• 

  46 слайд

  Целесообразно в некоторых случаях вообще не строить пространственное изображение, а обойтись одним или несколькими плоскими чертежами, представляющие собой какие-либо сечения или проекции заданного тела, заданной конфигурации.

• 

  47 слайд

  При решении стереометрических задач ведущие принципы решения задач на плоскости, перечисленные выше, остаются прежними.

• 

  48 слайд

  Основным средством решения является поиск решения «от искомого». К этому основному пути добавляются различные геометрические методы и приемы.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 155 091 материал в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»

• Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»

• Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

1. Решение геометрических задач при подготовке к ЕГЭ

2. Содержание

1. Справочная информация.
2. Задания диагностических работ по типу ЕГЭ:
— В 4;
— В4; для самостоятельного решения
— В 6;
— В 6; для самостоятельного решения
— В 11;
— В 11; для самостоятельного решения
— С 2;
— С 2; для самостоятельного решения

3. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

4. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

треугольники
четырехугольники
правильные
многоугольники
окружность
векторы

5.

Справочные сведения
Треугольники
Прямоугольный треугольник
Решение прямоугольных треугольников
Теорема Пифагора: с 2 а 2 b 2
А
b c
sin
М
a
В
С
a
b
h
c
a
;
c
b
cos ;
c
tg
a
,
b
где а – катет, противолежащий α; b — катет, прилежащий к α.
Середина гипотенузы равноудалена от его вершин: МА=МВ=МС.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:
h 2 ca cb ;
b 2 cb c
а 2 са с;
са , сb — проекции катетов на гипотенузу.
Площадь прямоугольного треугольника:
b
а
R
r
R
1
c
2
r
a b c
2
S
ab
2

6.

Справочные сведения
Треугольники
Равнобедренный треугольник
h
Медиана, биссектриса и высота,
проведённые к основанию, совпадают.
Высоты, проведённые к боковым сторонам,
равны;
медианы, проведённые к боковым сторонам,
равны;
биссектрисы углов при основании равны.

7. Справочные сведения Треугольники

Произвольный треугольник
Площадь треугольника:
с
b
S
h
1
a b sin ;
2
S
S = p ∙ r;
abc
;
4R
S p ( p a) ( p b) ( p c) ,
S
1
a h
2
где р – полупериметр
a
0
Сумма углов в треугольнике: А В С 180
a
b
c
Теорема синусов:
А
b
c
C
sin A
a
B
R
r
sin B
sin C
2
2
2
Теорема косинусов: с a b 2ab sin
R
abc
4S
r
2S
p

8.

Справочные сведения
Треугольники
А
С
В
Подобие треугольников
в подобных треугольниках
AB BC AC
DE EF DF
D
F
В
А
О
l
a
x
(соответствующие стороны лежат против равных углов)
E
c
Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении
А1 2 : 1, считая от вершины угла (АО : ОА1 = 2 : 1)
С
b
y
АА1
1
2 АС 2 2 АВ 2 ВС 2
2
Биссектриса угла делит сторону на отрезки, пропорциональные
двум другим сторонам (а : b = x : y).
2ab cos
2
Длина биссектрисы l ab xy
lc
a b

9.

Справочные сведения
Четырехугольники
Параллелограмм
Свойства
ABCD – параллелограмм
С AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD,
В
A C , B D
О
A B B C C D A D 1800 ,
φ
α
A
AO = OC, BO = OD,
D
2 ( AB2 BC 2 ) AC 2 BD 2 .
Признаки
AB CD, BC AD ABCD – параллелограмм;
AO = OC, BO = OD ABCD – параллелограмм;
AB = CD, BC = AD ABCD – параллелограмм;
AB = CD, AB CD ABCD – параллелограмм;
BC = AD, BC AD ABCD – параллелограмм
Площадь:
1
S aha ;
2
S ab sin ;
S
1
d 1 d 2 sin
2

10.

Справочные сведения
Четырехугольники
Прямоугольник
В
С
О
A
D
Свойства
ABCD – прямоугольник
AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD;
А С В D 900 ;
AO = BO = CO = DO
(О – центр описанной окружности, ОА = R).
Признаки
ABCD – параллелограмм, АС = BD ABCD – прямоугольник.
ABCD – параллелограмм, А 90 0
Площадь
S ab
S
ABCD – прямоугольник.
1 2
d sin
2

11.

Справочные сведения
Четырехугольники
Ромб
В
А
О
h
α
С
Свойства
ABCD – ромб
AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;
0
A C , B D ; A B B C C D A D 180 ,
АС ВD , АО = ОС, ВО = ОD;
ВАО DAO, ABO CBO , BCO DCO, ADO CDO
a
D
Признаки
AB = CD, BC = AD ABCD – ромб
ABCD – параллелограмм, АС BD ABCD – прямоугольник.
ABCD – параллелограмм, ВАО DAO ABCD – ромб
Площадь
S aha ,
S a 2 sin ,
S
d1 d 2
.
2

12.

Справочные сведения
Четырехугольники
Квадрат
Свойства
С ABCD – квадрат AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;
А С В D 900 ; АС ВD , AO = BO = CO = DO;
В
а
О
ВАО АВО СВО ВСО DCO CDO ADO DAO 450
d
A
D
Признаки
ABCD – прямоугольник, AB = CD = BC = AD ABCD – квадрат;
0
ABCD – ромб, А 90 ABCD – квадрат.
Площадь
2
S a
2
d
S
2

13.

Справочные сведения
Четырехугольники
Произвольная трапеция
B
C
O
φ
A
D
Треугольники AOD и СОВ подобны.
Треугольники АОВ и DOC равновелики (их площади равны)
1
S d1d 2 sin
Площадь трапеции:
2
a
m
h
Площадь трапеции:
b
c
Средняя линия трапеции:
S
m
a b
2
a b
h m h
2
Вписанная в окружность трапеция – равнобедренная.
В описанной около окружности трапеции:
высота равна диаметру: h = 2 r;
b
сумма оснований равна сумме боковых сторон: a + b = c + d;
r
d
полусумма боковых сторон равна средней линии: c + d = m;
a
(боковая сторона равнобедренной трапеции равна средней линии).

14.

Справочные сведения
Четырехугольники
Равнобедренная трапеция
В
С
A
Углы при оснований равны: А D, B C
D
B
C
O
A
D
B
C
h
m
A
H
Диагонали равны: АС = ВD;
отрезки диагоналей равны: АО = DO, BO = CO;
углы, образованные основанием и диагоналями, равны:
CAD ADB, DBC ACB
Основание высоты, проведённой к большему основанию, делит основание
на отрезки, равные a b и a b
(если ВН – высота, то DH = m, где m –
2
2
средняя линия).
D
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота,
проведённая к основанию, равна средней линии: h = m. В этом случае
площадь трапеции можно найти по формуле: S h 2 m 2

15.

Справочные сведения
Правильные многоугольники
Сумма углов многоугольника
В выпуклом многоугольнике сумма углов равна 1800 (т 2),
где n – число сторон (вершин) многоугольника.
Свойства правильного многоугольника
Все стороны равны, все углы равны,
О – центр вписанной и описанной окружностей,
R – радиус описанной окружности, лежит на биссектрисе угла,
r – радиус вписанной окружности, лежит на серединном
перпендикуляре к стороне.
О
R
r
A
B
1 3600 : n,
1
2
3
Центральный угол:
0
Внутренний угол: 2 180 (n 2) ,
n
Внешний угол равен центральному углу: 3 3600 : n.
a2 3
S3
4

16.

Справочные сведения
Правильные многоугольники
Примеры равнобедренных треугольников,
боковыми сторонами которых являются две стороны многоугольника, два
радиуса или равные диагонали:
d
a
R
R
R
r
r
R
a
Примеры прямоугольных треугольников
(вписанный угол опирается на диаметр)
d

17.

Справочные сведения
Окружность
Окружность и её элементы
Радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен
этой хорде.
Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
.
.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен
касательной.
.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
Центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного
касательными, проведёнными из одной точки.
.
.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен
90
0

18.

Справочные сведения
Окружность
Окружность и её элементы
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги,
на которую он опирается.
m
m
n
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается.
n
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение
отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой
хорды.

19.

Справочные сведения
Окружность
Окружность, вписанная в треугольник
Отрезок, соединяющий центр окружности и точку её
касания со стороной, перпендикулярен этой стороне.
Отрезки двух соседних сторон от общей вершины до
точек касания равны между собой.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе
угла, образованного двумя сторонами.

20.

Справочные сведения
Окружность
Окружность, описанная около треугольника
Центр описанной окружности лежит на серединном
перпендикуляре к любой из сторон треугольника.
Если прямоугольный треугольник вписан в
окружность, то его гипотенуза является диаметром
окружности.
Угол вписанного в окружность треугольника в 2 раза
меньше центрального угла, опирающегося на ту же
дугу, и равен любому другому вписанному углу,
опирающемуся на ту же дугу.

21.

Справочные сведения
Векторы
Сложение и вычитание векторов
В
В
A
CA
С
D
Правило треугольника: АВ ВС АС;
Правило параллелограмма: AB AD AC
D
Сумма нескольких векторов:
A
А
В
В
О
А
А
AD a b c
Вычитание векторов: ОА ВА ОВ
О
Скалярное произведение векторов:
a b a b cos ab ;
а
b
В координатах: a x1; y1 , b x2 ; y2 a b x1 x2 y1 y2

22. Треугольники

Диагностическая работа ЕГЭ (19. 11.2015)
1. В треугольнике АВС С 90, 0
АВ= 30, АС 3 19 . Найдите sin А.
А
2. В треугольнике АВС С 90
,0
20
АВ =29,cos B
. Найдите АС.
А
ВС АВ 2 АС 2 30 2 (3 19 ) 2 27
30
3 19
С
В sin A
20
29
BC 20
BC BC
cos B
AB 29
cos B
29
29
cos B
20
29
С
АС 29 2 20 2 9 49 21.
В
С
3. В треугольнике АВС АС=ВС,
3
tgA
АВ = 8,
. Найдите высоту СН.
4
3
4
CH 3
CH
CH
CH
tgA
AH 0,5 AB
4
tgA
tgA
В
4. В равнобедренном треугольнике АВС
с основанием АС боковая сторона АВ =
10, а высота, проведённая к основанию,
равна 2 21 . Найдите косинус угла А.
8 Н
3
4
В
10
А
АН АВ 2 ВН 2 102 (2 21) 2 4
cos A
2 21
?
А
BC 27
0,9
AB 30
Н
С
АH 4
0,4
AB 10

23. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения

5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая
8
сторона АВ = 17, cos A
. Найдите высоту, проведённую к
17
основанию.
15
0
6. В треугольнике АВС С 90 , АВ= 14, АС = 7 3 .
Найдите sin А.
0,5
7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая
сторона АВ = 10, а высота, проведённая к основанию, равна 19 .
Найдите косинус угла А.
0,9
8. В треугольнике АВС
Найдите АВ.
С 900 , sin A
8
, AC 2 17 .
9
18

24. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ

На клетчатой бумаге с клетками размером 1х1 см
изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение:S
1
a ha
2
1.
S
1
6 5 15
2
S
1
9 4 18
2
S
1
3 8 12
2
S
1
4 6 12
2
2.
3.
4.

25. Треу0гольники Диагностическая работа ЕГЭ

На клетчатой бумаге с клетками размером
1х1 см изображён треугольник. Найдите его
площадь.
5.
Решение
S S1 S2
S2
1
6 6 18
2
1
S2 2 ( 5 1) 1 6
2
S1
S1
S 18 6 12
S S1 S2
6.
1
6 4 12
2
1
S2 6 2 6
2
S1
S1
S2
S 12 6 6
7.
S2
S1
S S1 S2
S1
1
6 6 18
2
1
S 2 2 ( 5 1) 1 6
2
S 18 6 12

26. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ

Найдите площадь треугольника, изображённого на
рисунке.
8.
1
a ha
2
У
S
5
2
6
У
1
S 5 3 7,5
2
2
0
1
4 3 6
2
Х
0
10.
S
5
2
9.
Решение:
Х
1
6
У
4
S
1
0
1
3
9
Х
1
6 3 9
2

27. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения

Найти площадь треугольника
Ответы
11.
7,5
12.
12
13.
У
3
15
0
2
1
3
7
Х

28. Треугольники

1. Площадь параллелограмма АВСD равна 16, диагональ АС равна 2, ACD 45 0.
Найдите сторону ВС.
Решение:
1. SACD = 0,5∙SABCD = 0,5∙16 = 8
1
2
2
2
СD
8
CD
8
:
8 2.
В
С
0
2
2
2
SACD = 0,5∙AC∙CD∙sin 45
45
2
0
8 2
А
D
2. По свойству параллелограмма: ВC = AD
AD 2 AC 2 DC 2 2 AC DC cos C
По теореме косинусов:
AD 2 2 2 (8 2 ) 2 2 2 8 2 cos 45 0
AD 2 4 128 32
AD 2 100
AD 10
AD 10
-10 не удовлетворяет смыслу задачи.
Ответ: 10.

29. Треугольники Задачи 11 (ЕГЭ 2015) для самостоятельного решения

1. Точка О является центром окружности, описанной около треугольника
АВС. Найдите площадь треугольника АОС, если известно, что ВС = 6,
АСВ 150 , САВ 300.
(Ответ: 18)
2. В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным 1,
вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол.
Найдите периметр квадрата.
(Ответ: 2)
3. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 0,8, а
радиус вписанной окружности равен 6. Найдите периметр данного
треугольника.
(Ответ: 64)
4. В равнобедренном треугольнике АВС, с основанием АС медиана ВМ и
высота СН пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АВС,
если известно, что СК = 1, а косинус угла при вершине В равен 0,8.
(Ответ:2,7)

30. Диагностическая работа ЕГЭ

С -2.1 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1В1C1D1, у которого AB = 6,
BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями АCD1 и А1В1С1.
D1
С1
А1
В1
Решение:
1) Вместо плоскости А1В1С1 возьмём параллельную ей
плоскость АВС.
4
D
С
Е
А
6
В
6
2) Пусть Е – середина АС.
D1 E AC, DE AC DED1
3) Из прямоугольного треугольника D1DE находим:
Ответ: 2 2
.
3
— линейный угол искомого угла.
tg DED1
DD1
4
2 2
.
DE 3 2
3

31. Тренировочный вариант

С – 2.2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между
плоскостью А1ВС и прямой ВС1, если АА1 = 8, АВ = 6, ВС = 15.
D1
Н
А1
24
5
С1
D
В1
8
А
С
17
2) Из точки С1 проведём перпендикуляр С1Н к СD1.
ВН – проекция ВС1 на плоскость А1ВС.
Значит, нужно найти угол С1ВН.
3) В прямоугольном Δ D1C1C находим:
15
6
Решение:
1) Сечение плоскостью А1ВС есть прямоугольник A1BCD1.
НС1
В
4) В прямоугольном Δ ВC1C находим:
D1C1 C1C
6 8
48 24
.
D1C
64 36 10 5
ВС1 ВС 2 СС1
5) В прямоугольном Δ ВНC1 находим:
Ответ: arcsin
24
.
85
sin B
2
225 64 17.
C1 H 24
24
: 17 .
BC1
5
85

32. Диагностическая работа ЕГЭ

С – 2.3 В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние
от точки С до прямой АD1.
С1
D1
А1
А
Решение:
1) Построим отрезки СD1 и АС.
2
H
2
2) Искомое расстояние равно длине
D
С
2
перпендикуляра СН, проведённого к прямой АD1.
В
Этот перпендикуляр является медианой
равностороннего треугольника АСD1 со стороной
В1
АС АВ 2 ВС 2 1 1 2.
3)
2
2
1
3
6
2
2
2
СН АС АН 2
0,5 6.
2
2
2
2
Ответ:
0,5 6.

33. Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения

С – 2.4 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между
плоскостью АА1С и прямой ВА1 , если АА1 = 3, АВ = 4, ВС = 4.
Ответ:
arcsin
2 2
.
5
С – 2.5 В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до
прямой ВD1.
Ответ:
6
.
3
С – 2.6 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, BC =
6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями CDD1 и BDA1.
Ответ:
3 2
2

34.

35. Теорема косинусов

В
АС 2 АВ 2 ВС 2 2 АВ BС cos B
А
С
АС 2 32 42 2 3 4 cos 600
В
3
АС 2 9 16 24
60 0
АС 2 13
4
АС 13
А
?13
13
С
13
1
2

36.

А
AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
sin B
В
С
А
AC 3
sin B
0,6
AB 5
5
3
С
CB 4
cos B
0,8
AB 5
4
В

37. Теорема косинусов

В
АС 2 АВ 2 ВС 2 2 АВ BС cos B
А
С
АС 2 32 42 2 3 4 cos 600
В
3
АС 2 9 16 24
60 0
АС 2 13
4
АС 13
А
?13
13
С
13
1
2

38.

А
AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
sin B
В
С
А
AC 3
sin B
0,6
AB 5
5
3
С
CB 4
cos B
0,8
AB 5
4
В

39. Теорема Пифагора

А
С 2 а 2 b2
В
С
А
АВ АС 2 ВС 2 9 16 5.
?
3
С
В
4
А
9
СВ АВ2 АС 2 81 36 45 3 5.
6
С
?
В

40.

AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
sin B
А
В
С
А
AC 3
sin B
0,6
AB 5
5
3
С
CB 4
cos B
0,8
AB 5
4
В

Слайд 1

6.

Слайд 2

Объем цилиндра.

Слайд 3

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется….

Слайд 4

Углом между прямой и плоскостью называется….

Слайд 5

. На клетчатой бумаге изображён угол. Найдите его градусную величину. .

Слайд 7

7.

Слайд 8

Формула для нахождения радиуса описанной окружности.

Слайд 10

Формула для нахождения диагонали параллелепипеда .

Слайд 13

8.

Слайд 14

В тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 38. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC .

Слайд 15

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см вписан в окружность .Найти радиус окружности.

Слайд 16

Теорема синусов.

Слайд 17

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

Слайд 18

. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равен 7,5. Най­ди­те объем ис­ход­ной приз­мы.

Слайд 19

8.

Слайд 20

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

Слайд 21

. Окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, делит в точке ка­са­ния одну из бо­ко­вых сто­рон на два от­рез­ка, длины ко­то­рых равны 5 и 3, счи­тая от вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию. Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка.

Слайд 22

Объем шара.

Слайд 23

.Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции.

Слайд 24

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Слайд 25

9.

Слайд 28

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоуголь­ный треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

1


Решение геометрических задач при подготовке к ЕГЭ Титова В.А., учитель математики МОУ СОШ 5 ?

2


Содержание 1. Справочная информация.Справочная информация. 2. Задания диагностических работ по типу ЕГЭ: — В 4; — В4; для самостоятельного решения — В 6; — В 6; для самостоятельного решения — В 11; — В 11; для самостоятельного решения — С 2; — С 2; для самостоятельного решения

3


СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

4


треугольники четырехугольники правильные многоугольники правильные многоугольники окружность векторы

5


Прямоугольный треугольник b c a Решение прямоугольных треугольников Теорема Пифагора: где а – катет, противолежащий α; b — катет, прилежащий к α. Середина гипотенузы равноудалена от его вершин: МА=МВ=МС. a b c Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике: — проекции катетов на гипотенузу. b а Площадь прямоугольного треугольника: Справочные сведения Треугольники

6


Равнобедренный треугольник h Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Высоты, проведённые к боковым сторонам, равны; медианы, проведённые к боковым сторонам, равны; биссектрисы углов при основании равны. Справочные сведения Треугольники

7


Произвольный треугольник b с h a Площадь треугольника: S = p r; где р – полупериметр А b c C a B Сумма углов в треугольнике: Теорема синусов: Теорема косинусов:

8


А С В D F E Подобие треугольников в подобных треугольниках (соответствующие стороны лежат против равных углов) А О Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины угла (АО : ОА 1 = 2 : 1) a b x y Биссектриса угла делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (а : b = x : y). Длина биссектрисы Справочные сведения Треугольники

9


Параллелограмм В С О φ α A D Свойства ABCD – параллелограмм AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD, AO = OC, BO = OD, Признаки AB CD, BC AD ABCD – параллелограмм; AO = OC, BO = OD ABCD – параллелограмм; AB = CD, BC = AD ABCD – параллелограмм; AB = CD, AB CD ABCD – параллелограмм; BC = AD, BC AD ABCD – параллелограмм Площадь: Справочные сведения Четырехугольники

10


Прямоугольник В С О A D Свойства ABCD – прямоугольник AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD; AO = BO = CO = DO (О – центр описанной окружности, ОА = R). Признаки ABCD – параллелограмм, АС = BD ABCD – прямоугольник. ABCD – параллелограмм, ABCD – прямоугольник. Площадь Справочные сведения Четырехугольники

11


Ромб В А h О С α a D Свойства ABCD – ромб AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD; ;, АО = ОС, ВО = ОD; Признаки AB = CD, BC = AD ABCD – ромб ABCD – параллелограмм, АС BD ABCD – прямоугольник. ABCD – параллелограмм, ABCD – ромб Площадь Справочные сведения Четырехугольники

12


Квадрат В С а О d A D Свойства ABCD – квадрат AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;, AO = BO = CO = DO; Признаки ABCD – прямоугольник, AB = CD = BC = AD ABCD – квадрат; ABCD – ромб, ABCD – квадрат. Площадь Справочные сведения Четырехугольники

13


Произвольная трапеция B C φ O A D Треугольники AOD и СОВ подобны. Треугольники АОВ и DOC равновелики (их площади равны) Площадь трапеции: a m h b Средняя линия трапеции: Площадь трапеции: b c r d a Вписанная в окружность трапеция – равнобедренная. В описанной около окружности трапеции: высота равна диаметру: h = 2 r; сумма оснований равна сумме боковых сторон: a + b = c + d; полусумма боковых сторон равна средней линии: c + d = m; (боковая сторона равнобедренной трапеции равна средней линии). Справочные сведения Четырехугольники

14


Равнобедренная трапеция В С A D Углы при оснований равны: B C O A D Диагонали равны: АС = ВD; отрезки диагоналей равны: АО = DO, BO = CO; углы, образованные основанием и диагоналями, равны: B C h m A H D Основание высоты, проведённой к большему основанию, делит основание на отрезки, равные (если ВН – высота, то DH = m, где m – средняя линия). Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота, проведённая к основанию, равна средней линии: h = m. В этом случае площадь трапеции можно найти по формуле: Справочные сведения Четырехугольники

15


Сумма углов многоугольника В выпуклом многоугольнике сумма углов равна где n – число сторон (вершин) многоугольника. Свойства правильного многоугольника О R r A B Все стороны равны, все углы равны, О – центр вписанной и описанной окружностей, R – радиус описанной окружности, лежит на биссектрисе угла, r – радиус вписанной окружности, лежит на серединном перпендикуляре к стороне Центральный угол: Внутренний угол: Внешний угол равен центральному углу: Справочные сведения Правильные многоугольники

16


Примеры равнобедренных треугольников, боковыми сторонами которых являются две стороны многоугольника, два радиуса или равные диагонали: d a R r r R R R d a Примеры прямоугольных треугольников (вписанный угол опирается на диаметр) Справочные сведения Правильные многоугольники

17


Окружность и её элементы Радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде. Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного касательными, проведёнными из одной точки. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен Справочные сведения Окружность

18


Окружность и её элементы m Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. n Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Справочные сведения Окружность

19


Окружность, вписанная в треугольник Отрезок, соединяющий центр окружности и точку её касания со стороной, перпендикулярен этой стороне. Отрезки двух соседних сторон от общей вершины до точек касания равны между собой. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, образованного двумя сторонами. Справочные сведения Окружность

20


Окружность, описанная около треугольника Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой из сторон треугольника. Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром окружности. Угол вписанного в окружность треугольника в 2 раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен любому другому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Справочные сведения Окружность

21


Сложение и вычитание векторов В В С A CA D D A Правило треугольника: Правило параллелограмма: Сумма нескольких векторов: А О В А В А О Вычитание векторов: Скалярное произведение векторов: а b В координатах: Справочные сведения Векторы

22


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( ) В 4.1 В треугольнике АВС, АВ= 30,. Найдите sin А. А 30 С В В 4.2 В треугольнике АВС, АВ =29,. Найдите АС. А 29 С В В 4.3 В треугольнике АВС АС=ВС, АВ = 8,. Найдите высоту СН. С В 8 Н А В 4.4 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ = 10, а высота, проведённая к основанию, равна. Найдите косинус угла А. В 10 ? А Н С

23


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( , ) задания для самостоятельного решения В 4.5 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ = 17,. Найдите высоту, проведённую к основанию. В 4.6 В треугольнике АВС, АВ= 14, АС =. Найдите sin А. В 4.7 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ = 10, а высота, проведённая к основанию, равна. Найдите косинус угла А. В 4.8 В треугольнике АВС Найдите АВ.

24


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( , ) На клетчатой бумаге с клетками размером 1х1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Решение: В 6.1 В 6.2 В 6.3 В 6.4

25


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( , ) На клетчатой бумаге с клетками размером 1х1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Решение В 6.5 В 6.6 В 6.7

26


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ ( ) Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке. Решение: В 6.8 В 6.9 В 6.10

27


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения Найти площадь треугольникаОтветы В 6.11 В 6.12 В 6.13

28


Треугольники ЕГЭ 2009 (В-11) 1. Площадь параллелограмма АВСD равна 16, диагональ АС равна 2, Найдите сторону ВС. Решение: 1. S ACD = 0,5S ABCD = 0,516 = 8 S ACD = 0,5ACCDsin 2. По свойству параллелограмма: ВC = AD По теореме косинусов: -10 не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ: 10.

29


Треугольники Задачи В-11 (ЕГЭ 2009) для самостоятельного решения 1. Точка О является центром окружности, описанной около треугольника АВС. Найдите площадь треугольника АОС, если известно, что ВС = 6, (Ответ: 18) 2. В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным 1, вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата. (Ответ: 2) 3. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 0,8, а радиус вписанной окружности равен 6. Найдите периметр данного треугольника. (Ответ: 64) 4. В равнобедренном треугольнике АВС, с основанием АС медиана ВМ и высота СН пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что СК = 1, а косинус угла при вершине В равен 0,8. (Ответ:2,7)

30


Диагностическая работа ЕГЭ ( ) С -2.1 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 В 1 C 1 D 1, у которого AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями АCD 1 и А 1 В 1 С 1. Решение: 1) Вместо плоскости А 1 В 1 С 1 возьмём параллельную ей плоскость АВС. 2) Пусть Е – середина АС. — линейный угол искомого угла. 3) Из прямоугольного треугольника D 1 DE находим: Ответ:

31


Тренировочный вариант ЕГЭ 2010 С – 2.2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостью А 1 ВС и прямой ВС 1, если АА 1 = 8, АВ = 6, ВС = 15. Решение: 1) Сечение плоскостью А 1 ВС есть прямоугольник A 1 BCD 1. 2) Из точки С 1 проведём перпендикуляр С 1 Н к СD 1. ВН – проекция ВС 1 на плоскость А 1 ВС. Значит, нужно найти угол С 1 ВН. 3) В прямоугольном Δ D 1 C 1 C находим: 4) В прямоугольном Δ ВC 1 C находим: 5) В прямоугольном Δ ВНC 1 находим: Ответ:

32


Диагностическая работа ЕГЭ ( ) С – 2.3 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой АD 1. Решение: 1) Построим отрезки СD 1 и АС. 2) Искомое расстояние равно длине перпендикуляра СН, проведённого к прямой АD 1. Этот перпендикуляр является медианой равностороннего треугольника АСD 1 со стороной 3) Ответ:

33


Треугольники Диагностическая работа ЕГЭ задания для самостоятельного решения С – 2.4 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостью АА 1 С и прямой ВА 1, если АА 1 = 3, АВ = 4, ВС = 4. Ответ: С – 2.5 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой ВD 1. Ответ: С – 2.6 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого AB = 4, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями CDD 1 и BDA 1. Ответ:

34

35


Теорема косинусов — не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ:

36

37


Теорема косинусов — не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ:

38

39


Теорема Пифагора

40

Презентация к уроку — практикуму по теме «Планиметрия», ЕГЭ, профильный уровень, задание №6. Презентацию можно использовать на уроках повторения, систематизации знаний при подготовке к ЕГЭ по математике. В презентации рассмотрены задачи с параллелограммом, прямоугольником, ромбом и трапецией из открытого банка заданий ЕГЭ по математике (сайт ФИПИ). В конце представлен тест для проверки знаний по теме.

Опубликовано 25.04.17 в 20:42 в группе «Математика — это интересно!»

Подготовка к ЕГЭ.

Задачи В-13, 16- (базовый уровень. В-12 (профильный уровень)

Пронина Н.П., учитель математики МАНОУ «Гимназия №2», г.Мариинск, Кемеровская обл

Содержание:

• Теория
• Пирамиды
• Призмы
• Задачи с «выемками»
• Задачи «фигура в фигуре»
• Задачи на увеличение/уменьшение

Немного теории

Пирамида — многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников.

Призма — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани- параллелограммы.

Содержание

Формулы для пирамиды:

• V= S осн.* h
• S полн. =S осн. +S бок.
• S бок. = P осн.* L

Где L-апофема.

• Если в основании лежит правильный треугольник или шестиугольник то:
• S треуг. = а 2 √3
• S 6-угол. = а 2 √3 или R 2 √3

Содержание

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

S

S пов-ти. =S осн. + S бок.

S бок. = PL

Проведем апофему L

S осн. =

Найдем периметр основания

P=

L=

S бок. = = 240

S осн. = = 100

S пов-ти. = 100+240=340

13

D

C

K

A

B

10

B:

3

4

0

Содержание

S

V= S осн.* h

Проведем высоту и соединим ее с одним из углов основания. Получили прямоугольный треугольник SOD, где OD- радиус описанной окружности.

а 6 =R OD= 2

SO=

S осн. = а 2 √3

S осн. =

V= = 12

  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

4

F

E

A

O

D

2

B

C

B:

1

2

Содержание

  Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна √3

V= S осн.* h

S треуг. =

V= =0,25

S треуг. = а 2 √3

√ 3

O

1

B:

0

,

2

5

Содержание

Тренировочные задачи:

• Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

S

E

F

A

D

B

C

B:

3

6

0

Содержание

• Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

B:

4

Содержание

Формулы для решения задач с призмами

V куб = a 3 V=S осн h

S куб = 6a 2 S= 2ab+2bc+2ac

S бок. = n S гр.

S полн. = 2S осн. + S бок.

Содержание

Объем куба равен 8. Найдите площадь

его поверхности.

Решение:

• V куба = a 3 a=2
• S полн.пов-ти = 6a 2 =24

В

2

4

Содержание

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Решение:

1. S = 2ab+2bc+2ac

16 = 4+4x+2x

x = 2

2.

d = 3

d

1

Х

2

В

3

Содержание

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение:

S = 2ab+2bc+2ac

94= 24+6x+8x

x=5

3

Х

4

В

5

Содержание

.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота – 10.

В

3

0

0

Содержание

Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

d

В

3

Содержание

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 7.

В

1

2

6

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке

(все двугранные углы многогранника прямые).

1

4-2=2

1

1

В

1

8

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

V = a*b*c

Vкр. = 1 * 4 * 7

Vсин. = 1 * 2 * 1

Vиск. = Vкр.- Vсин.

Vиск. = …

В

2

6

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

V = a * b * c

Vкр. = 5 * 2 * 1

Vсин. = 2 * 2 * 1

Vиск. = Vкр. + Vсин.

Vиск. = …

2

1

В

1

4

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

V кр. = 5 * 2 *3

V син. = 5 * 3 * 3

V зел. = 2 * 3 *2

V иск= V кр. + V син. + V зел.

V иск. = …

3

2

3

6-3=3

5

7-5=2

В

8

7

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

4

Содержание

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

1

5

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

S = 2ab + 2bc + 2ac

1) S1 = 2*5*1 + 2*2*1 + 2*5*2

2) S2 = 2*5*2 + 2*5*3 + 2*3*2

3) S1 + S2

4)Вычтем 2S общей стороны параллелепипедов, т.к. её S была посчитана дважды( в том и другом параллелепипеде).

2S = 2*5*2

S 2

S 1

В

7

6

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Т.к. образовавшиеся грани будут равны граням «вырезанной» фигуры, S параллелепипеда не изменится.

S = 2*5*3 + 2*5*5 + 2*3*5

В

1

1

0

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

1)S1 = 2*5*7 + 2*5*1 + 2*7*1

2)S2 = 2*2*1 + 2*1*1 + 2*1*2

3)S3 = S1 + S2

4) S3 – 4(2*1), где 4(2*1)- площади передней грани маленького параллелепипеда, ранее учтенной при расчете S1 и S2.

В

9

6

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

5

8

Содержание

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

В

9

4

Содержание

Фигура внутри фигуры

V призмы = Sh V пирамиды = 1/3 Sh S паралеллограмма = ah где а – сторона, h – высота, проведённая к ней

Содержание

Объем параллелепипеда  ABCDA1B1C1D1 равен 5,1. Найдите объем треугольной пирамиды ABCB1.

Решение: V параллелепипеда = Sh , где S – площадь основания. V пирамиды = 1/3 Sh , где S — площадь основания пирамиды, равная половине площади основания параллелепипеда. Следовательно, V (ABCB1) = 1/3 V (ABCDA1B1C1D1) * 1/2 = 5,1 * 1/6= 0,85

В

0

,

8

5

Содержание

Объем параллелепипеда   ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA1.

S параллелепипеда = Sh S пирамиды = 1/3 Sh S (ABD) = 1/2 S (ABCD)

В

1

,

5

Содержание

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение: V пирамиды = 1/3 Sh = 1/3 V куба Поскольку вершина пирамиды лежит в центре куба (т. е. на середине его высоты), то к коэффициенту нужно добавить 1/2. Получим V пирамиды = 1/3 V куба * 1/2 = 12 * 1/6 = 2

В

2

Содержание

Объем куба равен 36 . Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — точка, которая делит высоту, проходящую через центр, в отношении 1:2 от нижнего основания.

S пирамиды = 1/3 Sh h = 1/3H

В

11

4

Содержание

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

• Объем куба с ребром  a  равен 

• Если ребра увеличить в  3  раза, то объем куба увеличится в  3 3 =27  раз. 

V=a 3

B11:

2

7

Содержание

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

80

х

а

4а

В

5

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому, если все ребра увеличены в 2 раза, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

Содержание

B:

4

Тренировочные задачи:

Во сколько раз уменьшится площадь поверхности куба, если его ребро уменьшить в 2 раза?

Содержание

B:

4

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 63 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

В

7

Содержание