При каких значениях параметра а система 
имеет четыре решения?
Спрятать решение
Решение.
Полагая 
перепишем исходную систему в виде
Заметим, что если хотя бы одна из переменных 
отрицательна, то исходная система не имеет решений. Значению 
соответствует 
а значению 
соответствует 
а каждой паре положительных значений 
соответствует по два значения исходных переменных 
соответственно, то есть каждому такому решению соответствуют четыре решения исходной системы.
Заметим далее, что если пара 
является решением системы, то и пара 
— также решение этой системы, то есть исходная система получает восемь решений если 
Таким образом, исходная система имеет четыре решения 
тогда и только тогда, когда полученная система имеет следующие решения: 
или 
где 
и 
Рассмотрим три случая.
1. Если 
то из первого уравнения 
из второго уравнения 
При найденном значении параметра система принимает вид
Осталось убедиться, что данная система не имеет других решений, кроме 
Из первого уравнения 
подставим во второе:
Последнее уравнение имеет единственный корень 
Это доказывает, что других решений система не имеет.
2. Если 
а 
то 
При этом значении параметра система принимает вид
Проверим, имеет ли данная система решения, отличные от 
Из первого уравнения снова подставим во второе:
Последнее уравнение имеет два корня 
и 
Первый из них соответствует рассматриваемому случаю и двум решениям исходной системы, а второй оставшемуся случаю и еще двум.
3. Если 
а 
то Как было показано выше, данное значение параметра является искомым.
Ответ: 
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 9 № 114661 
Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
Спрятать решение
Решение.
В первый раз стрелки встретятся между 7 и 8 часами, второй раз — между 8 и 9 часами, …, пятый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 5 часов 25 минут, что составляет 325 минут.
Аналоги к заданию № 99600: 114655 114661 114773 114785 114657 114659 114663 114665 114667 114669 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на движение по окружности
Спрятать решение
·
Прототип задания
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
- ЗАДАЧИ ЕГЭ С ОТВЕТАМИ
- АНГЛИЙСКИЙ без ГРАНИЦ
2012-07-14
НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!
ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!
Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!
Конструктор упражнений для позвоночника!
Добавить комментарий
*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.
- РубрикиРубрики
- Задачи по номерам!
№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 №11 №12 №13 №14 №15 №16
- МЕТКИ
БЕЗ калькулятора Выбор варианта Как запомнить Личное Логарифмы Объём Окружность Круг Площадь Производная Треугольник Тригонометрия Трапеция Углы Уравнения Формулы Конкурсы Параллелограмм Поздравления Рекомендации Саморазвитие
- ОСТЕОХОНДРОЗУ-НЕТ!
На какие числа делится число онлайн калькулятор. Посчитать делители числа.
Какие числа делятся на 114661?
На число 114661 без остатка (нацело) делятся следующие числа: 114661, 229322, 343983, 458644, 573305, 687966, 802627, 917288, 1031949, 1146610, 1261271, 1375932 и многие другие.
Какие четные числа делятся на 114661?
На число 114661 делятся следующие четные числа: 229322, 458644, 687966, 917288, 1146610, 1375932, 1605254, 1834576, 2063898, 2293220, 2522542, 2751864 и многие други.
Какие нечетные числа делятся на 114661?
На число 114661 делятся следующие нечетные числа: 114661, 343983, 573305, 802627, 1031949, 1261271, 1490593, 1719915, 1949237, 2178559, 2407881, 2637203 и многие другие.
На какое наибольшее число делится число 114661 без остатка?
Наибольшее число на которое делится число 114661 есть само число 114661. т.е делиться на само себя без остатка.
На какое наибольшее число делится число 114661 без остатка, не считая числа 114661 и 1?
Такого числа не существует.
Какое наименьшее натуральное число делится на 114661?
Наименьшее натуральное число которое делиться на число 114661 является само число 114661.
На какое наименьшее натуральное число делится число 114661?
Наименьшее натуральное число на которое можно разделить число 114661 — это число 1.
(что бы не забыть запишите все делители числа 114661 в блокнот.)На какие целые и(или) натуральные числа делится число 114661?
Число 114661 делится на следующие целые, натуральные числа (все делители числа 114661): 1, 114661
На какие четные числа делится число 114661?
Таких чисел нет.
На какие нечетные числа делится число 114661?
Число 114661 делится на следующие нечетные числа (нечетные делители числа): 1, 114661
Сколько делителей имеет число 114661?
Число 114661 имеет 2 делителя
Сколько четных делителей имеет число 114661?
Число 114661 имеет 0 четных делителей
Сколько нечетных делителей имеет число 114661?
Число 114661 имеет 2 нечетных делителя
Число 114661 прописью, словами.
— сто четырнадцать тысяч шестьсот шестьдесят один
(что бы не забыть запишите число 114661 прописью в блокнот.)
Числа кратные 114661.
— кратные числа, числу 114661 : 229322, 343983, 458644, 573305, 687966, 802627, 917288, 1031949, 1146610, 1261271, 1375932 и многие другие.
Простые множители числа 114661.
У числа 114661 нет простых множителей кроме 1.
Сумма цифр числа 114661.
Сумма цифр числа 114661 равна 19
Произведение цифр числа 114661.
Произведение цифр числа 114661 равна 144
Квадрат числа 114661.
Квадрат числа 114661 равен 13147144921
Куб числа 114661.
Куб числа 114661 равен 1507464783786781
Квадратный корень числа 114661.
Квадратный корень числа 114661 равен 338.6163.
Число 114661 в двоичной системе счисления.
Запись числа 114661 в двоичной системе счисления выглядит так: 11011111111100101
Количество значащих нулей в двоичной записи числа 114661 = 4
Количество едениц в двоичной записи числа 114661 = 13
(что бы не забыть запишите число 114661 в двоичной системе счисления в блокнот.)Число 114661 в шестнадцатеричной системе счисления.
Запись числа 114661 в шестнадцатеричной системе счисления выглядит так: 1bfe5
(что бы не забыть запишите число 114661 в шестнадцатеричной системе счисления в блокнот.)Число 114661 в восьмеричной системе счисления.
Запись числа 114661 в восьмеричной системе счисления выглядит так: 337745
(что бы не забыть запишите число 114661 в восьмеричной системе счисления в блокнот.)Число 114661 является простым!
Корни числа 114661.
Корень 3 степени из 114661.
Корень 3 (третьей) степени из 114661 равен 48.58161056931
Корень 4 степени из 114661.
Корень 4 (четвертой) степени из 114661 равен 18.401529882847
Корень 5 степени из 114661.
Корень 5 (пятой) степени из 114661 равен 10.277397284942
Корень 6 степени из 114661.
Корень 6 (шестой) степени из 114661 равен 6.9700509732218
Корень 7 степени из 114661.
Корень 7 (седьмой) степени из 114661 равен 5.2816993350366
Корень 8 степени из 114661.
Корень 8 (восьмой) степени из 114661 равен 4.2897004420876
Корень 9 степени из 114661.
Корень 9 (девятой) степени из 114661 равен 3.6488608584874
Корень 10 степени из 114661.
Корень 10 (десятой) степени из 114661 равен 3.2058380004208
Корень 11 степени из 114661.
Корень 11 (одиннадцатой) степени из 114661 равен 2.8836787964507
Корень 12 степени из 114661.
Корень 12 (двенадцатой) степени из 114661 равен 2.6400854102134
Корень 13 степени из 114661.
Корень 13 (тринадцатой) степени из 114661 равен 2.4501113660797
Корень 14 степени из 114661.
Корень 14 (четырнадцатой) степени из 114661 равен 2.2981947991928
Корень 15 степени из 114661.
Корень 15 (пятнадцатой) степени из 114661 равен 2.1741744193895
Степени числа 114661.
114661 в 3 степени.
114661 в 3 степени равно 1507464783786781.
114661 в 4 степени.
114661 в 4 степени равно 1.7284741957378E+20.
114661 в 5 степени.
114661 в 5 степени равно 1.9818857975749E+25.
114661 в 6 степени.
114661 в 6 степени равно 2.2724500743573E+30.
114661 в 7 степени.
114661 в 7 степени равно 2.6056139797589E+35.
114661 в 8 степени.
114661 в 8 степени равно 2.9876230453313E+40.
114661 в 9 степени.
114661 в 9 степени равно 3.4256384600073E+45.
114661 в 10 степени.
114661 в 10 степени равно 3.927871314629E+50.
114661 в 11 степени.
114661 в 11 степени равно 4.5037365280668E+55.
114661 в 12 степени.
114661 в 12 степени равно 5.1640293404466E+60.
114661 в 13 степени.
114661 в 13 степени равно 5.9211276820495E+65.
114661 в 14 степени.
114661 в 14 степени равно 6.7892242115148E+70.
114661 в 15 степени.
114661 в 15 степени равно 7.784592373165E+75.
Какое число имеет такую же сумму цифр как и число 114661?Математика. Найти сумму цифр числа 114661.
Число 114661 состоит из следующих цифр — 1, 1, 4, 6, 6, 1.
Определить сумму цифр числа 114661 не так уж и сложно.
Сумма цифр шестизначного числа 114661 равна 1 + 1 + 4 + 6 + 6 + 1 = 19.
Числа сумма цифр которых равна 19.
Следующие числа имеют такую же сумму цифр как и число 114661 — 199, 289, 298, 379, 388, 397, 469, 478, 487, 496, 559, 568, 577, 586, 595, 649, 658, 667, 676, 685.
Трехзначные числа сумма цифр которых равна 19 — 199, 289, 298, 379, 388, 397, 469, 478, 487, 496.
Четырехзначные числа сумма цифр которых равна 19 — 1099, 1189, 1198, 1279, 1288, 1297, 1369, 1378, 1387, 1396.
Пятизначные числа сумма цифр которых равна 19 — 10099, 10189, 10198, 10279, 10288, 10297, 10369, 10378, 10387, 10396.
Шестизначные числа сумма цифр которых равна 19 — 100099, 100189, 100198, 100279, 100288, 100297, 100369, 100378, 100387, 100396.
Квадрат суммы цифр числа 114661.
Квадрат суммы цифр шестизначного числа 114661 равен 1 + 1 + 4 + 6 + 6 + 1 = 19² = 361.
Сумма квадратов цифр шестизначного числа 114661.
Сумма квадратов цифр числа 114661 равна 1² + 1² + 4² + 6² + 6² + 1² = 1 + 1 + 16 + 36 + 36 + 1 = 91.
Сумма четных цифр числа 114661.
Сумма четных цифр шестизначного числа 114661 равна 4 + 6 + 6 = 16.
Квадрат суммы четных цифр шестизначного числа 114661.
Квадрат суммы четных цифр числа 114661 равна 4 + 6 + 6 = 16² = 256.
Сумма квадратов четных цифр шестизначного числа 114661.
Сумма квадратов четных цифр числа 114661 равна 4² + 6² + 6² = 16 + 36 + 36 = 88.
Сумма нечетных цифр числа 114661.
Сумма нечетных цифр шестизначного числа 114661 равна 1 + 1 + 1 = 3.
Квадрат суммы нечетных цифр шестизначного числа 114661.
Квадрат суммы нечетных цифр числа 114661 равна 1 + 1 + 1 = 3² = 9.
Сумма квадратов нечетных цифр шестизначного числа 114661.
Сумма квадратов нечетных цифр числа 114661 равна 1² + 1² + 1² = 1 + 1 + 1 = 3.
Произведение цифр числа 114661.
Какое число имеет такое же произведение цифр как и число 114661?Математика. Найти произведение цифр числа 114661.
Число 114661 состоит из следующих цифр — 1, 1, 4, 6, 6, 1.
Найти сумму цифр числа 114661 просто.
Решение:
Произведение цифр числа 114661 равно 1 * 1 * 4 * 6 * 6 * 1 = 144.
Числа произведение цифр которых равно 144.
Следующие числа имеют такое же произведение цифр как и число 114661 — 289, 298, 368, 386, 449, 466, 494, 638, 646, 664, 683, 829, 836, 863, 892, 928, 944, 982, 1289, 1298.
Трехзначные числа произведение цифр которых равно 144 — 289, 298, 368, 386, 449, 466, 494, 638, 646, 664.
Четырехзначные числа произведение цифр которых равно 144 — 1289, 1298, 1368, 1386, 1449, 1466, 1494, 1638, 1646, 1664.
Пятизначные числа произведение цифр которых равно 144 — 11289, 11298, 11368, 11386, 11449, 11466, 11494, 11638, 11646, 11664.
Шестизначные числа произведение цифр которых равно 144 — 111289, 111298, 111368, 111386, 111449, 111466, 111494, 111638, 111646, 111664.
Квадрат произведения цифр числа 114661.
Квадрат произведения цифр шестизначного числа 114661 равен 1 * 1 * 4 * 6 * 6 * 1 = 144² = 20736.
Произведение квадратов цифр шестизначного числа 114661.
Произведение квадратов цифр числа 114661 равна 1² * 1² * 4² * 6² * 6² * 1² = 1 * 1 * 16 * 36 * 36 * 1 = 20736.
Произведение четных цифр числа 114661.
Произведение четных цифр шестизначного числа 114661 равно 4 * 6 * 6 = 144.
Квадрат произведения четных цифр шестизначного числа 114661.
Квадрат произведения четных цифр числа 114661 равен 4 * 6 * 6 = 144² = 20736.
Произведение квадратов четных цифр шестизначного числа 114661.
Произведение квадратов четных цифр числа 114661 равно 4² * 6² * 6² = 16 * 36 * 36 = 20736.
Запишите числа которые в сумме дают число 114661.
Задача: Данно число 114661.Какие 2(два) числа дают в сумме число 114661?Решение:
1) 40472 + 74189 = 114661
2) 46917 + 67744 = 114661
3) 44863 + 69798 = 114661
4) 35294 + 79367 = 114661
5) 43664 + 70997 = 114661
Какие 3(три) числа дают в сумме число 114661?Решение:
1) 9715 + 17804 + 87142 = 114661
2) 5011 + 22003 + 87647 = 114661
3) 1945 + 15995 + 96721 = 114661
4) 7657 + 34419 + 72585 = 114661
5) 35148 + 21539 + 57974 = 114661
Какие 4(четыре) числа дают в сумме число 114661?Решение:
1) 26432 + 13072 + 32588 + 42569 = 114661
2) 10938 + 22297 + 28707 + 52719 = 114661
3) 21345 + 17466 + 7626 + 68224 = 114661
4) 4273 + 13570 + 29426 + 67392 = 114661
5) 13101 + 7538 + 26500 + 67522 = 114661
Какие 5(пять) чисел дают в сумме число 114661?Решение:
1) 4401 + 13154 + 1135 + 34917 + 61054 = 114661
2) 7784 + 22262 + 8866 + 32765 + 42984 = 114661
3) 3762 + 13418 + 14098 + 39817 + 43566 = 114661
4) 7093 + 14949 + 3980 + 43675 + 44964 = 114661
5) 403 + 9180 + 19147 + 6682 + 79249 = 114661
33%
9
28
7m.38s.
x3
10×7
Фигурные
2019-12-23 18:41
00:00
Загрузка…
Начать игру
25
Начинать автоматически
Похожие головоломки
x2
2019-08-18 01:11
12:14
27%
x2
2019-08-17 19:11
13:09
35%
x2
2019-08-17 18:11
16:06
39%
x2
2019-08-17 15:13
06:16
32%
x1
2019-08-17 15:02
06:08
24%
x2
2019-08-17 15:13
05:00
31%
Решение и ответы заданий демонстрационного варианта ВПР 5 класс по математике. Образец всероссийской проверочной работы 2023 год.
Задание 1.
Выполните сложение:
frac{2}{7}+frac{3}{7}
ИЛИ
Представьте в виде обыкновенной дроби число 2frac{3}{8}.
Задание 2.
Найдите наибольшее из чисел:
9,8 10,14 10,3 9,4
Задание 3.
В автобусе 51 место для пассажиров. Две трети мест уже заняты. Сколько свободных мест в автобусе?
Задание 4.
Каким числом нужно заменить букву А, чтобы получилось верное равенство?
А : 31 = 26
Задание 5.
Принтер печатает 72 страницы за 3 минуты. За сколько минут этот принтер напечатает 120 страниц?
Запишите решение и ответ.
Задание 6.
Найдите значение выражения 4800:24 − 4⋅(81− 63):2. Запишите решение и ответ.
Задание 7.
В магазине продаётся несколько видов творога в различных упаковках и по различной цене. В таблице показана масса каждой упаковки и её цена. Определите, килограмм какого творога стоит дешевле других. В ответ запишите стоимость одного килограмма этого творога.
Запишите решение и ответ.
Задание 8.
На диаграмме представлены площади нескольких озёр. Ответьте на вопросы.
1) Какое из этих озер занимает пятое место по площади?
2) На сколько квадратных километров площадь озера Светлое больше площади озера Лесное?
Задание 9.
Из одинаковых кубиков сложили параллелепипед (рис. 1). После этого сверху вытащили ровно один кубик (рис. 2).
Сколько кубиков осталось в фигуре, изображённой на рис. 2?
Задание 10.
В одном из районов города кварталы имеют форму квадратов со стороной 100 м. Ширина всех улиц равна 30 м.
1) На плане этого района изображён путь из точки А в точку В. Найдите протяжённость этого пути. Ответ дайте в метрах.
2) Нарисуйте на плане какой-нибудь маршрут, который начинается и заканчивается в точке С и имеет протяжённость не меньше 1 км, но не больше 1 км 200 м.
Источник варианта: fioco.ru
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 4.7 / 5. Количество оценок: 3
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
- ЗАДАЧИ ЕГЭ С ОТВЕТАМИ
- АНГЛИЙСКИЙ без ГРАНИЦ
2012-07-21
НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!
ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!
Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!
Конструктор упражнений для позвоночника!
Добавить комментарий
*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.
- РубрикиРубрики
- Задачи по номерам!
№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 №11 №12 №13 №14 №15 №16
- МЕТКИ
БЕЗ калькулятора Выбор варианта Как запомнить Личное Логарифмы Объём Окружность Круг Площадь Производная Треугольник Тригонометрия Трапеция Углы Уравнения Формулы Конкурсы Параллелограмм Поздравления Рекомендации Саморазвитие
- ОСТЕОХОНДРОЗУ-НЕТ!
Уважаемый БШ! Надысь тут всплыла радиостанция из Азарта,- П1. И одновременно КАС-ТМ и КАС-ТР примерно из Редута. Азарт с Редутом планируется сопрягать? А Клубок? Хотя, это конечно мелочь. А всякие Зари? Не, я конечно понимаю негатив разнотипных танков. Я даже понимаю негатив разнотипных самолётов, несовместимых по заливным горловинам. НО СВЯЗЬ! Как можно одновременно вести фрагментарные, несогласованные по идее работы по строительству системы связи и управления? Прав был покойный маршал Белов, — без связи ничего не будет. Правка — Собственно вопрос простой, но переподвыподвернутый. Когда решением правительства будет назначен Главный конструктор всей этой хрени? Который возьмёт за рога, и поставит в стойло?
Отредактировано: ivan2 — 03 ноября 2012 03:15:27
Нам нужен мир!
Желательно весь.
Натуральное целое
шестизначное
число 484635
.
Сумма цифр числа: 30.
8 — количество делителей у числа.
Обратное число к 484635 – 0.000002063408544574783.
Число 484635 представляется произведением: 3 * 5 * 32309.
Представления числа 484635:
двоичная система счисления: 1110110010100011011, троичная система счисления: 220121210110, восьмеричная система счисления: 1662433, шестнадцатеричная система счисления: 7651B.
Если представить это число как набор байтов, то это 473 килобайта 283 байта .
Азбука Морзе для числа: ….- —.. ….- -…. …— …..
Синус: 0.3437, косинус: 0.9391, тангенс: 0.3660.
Натуральный логарифм: 13.0912.
Десятичный логарифм числа 484635: 5.6854.
696.1573 — квадратный корень из числа 484635, 78.5486 — корень кубический.
Число 484635 в квадрате: 2.3487e+11.
Число секунд 484635 представляет из себя 5 дней 14 часов 37 минут 15 секунд .
В нумерологии число 484635 означает цифру 3.
Тренировочный вариант №26 пробный решу ЕГЭ 2023 по математике 11 класс базовый уровень от 8 марта 2023 года с ответами и решением по новой демоверсии ЕГЭ 2023 года для подготовки на 100 баллов, задания взяты из банка заданий ФИПИ и с экзамена прошлых лет, данный вариант вы можете решить онлайн или скачать.
▶Скачать вариант с ответами
▶Другие тренировочные варианты
вариант_26_егэ2023_база_математика_ответы
1. В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика 1 сентября составляли 123 куб. м воды, а 1 октября – 129 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за сентябрь, если стоимость 1 куб. м холодной воды составляет 22 руб. 20 коп.? Ответ дайте в рублях.
Ответ: 133, 2
3. На рисунке жирными точками показана цена золота, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена золота в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену золота за данный период. Ответ дайте в рублях за грамм.
Ответ: 967, 5
4. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле 𝑆 = 𝑑 2 sin 𝛼 2 , где 𝑑 − диагональ, 𝛼 − угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите 𝑆, если 𝑑 = 3 и sin 𝛼 = 2 3 .
Ответ: 3
5. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений – по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
Ответ: 0, 18
6. Рейтинговое агентство определяет рейтинг электрических фенов для волос на основе средней цены 𝑃 (в рублях за штуку), а также показателей функциональности 𝐹, качества 𝑄 и дизайна 𝐷. Рейтинг 𝑅 вычисляется по формуле 𝑅 = 3(𝐹 +𝑄) + 𝐷 − 0,01𝑃. В таблице даны цены и показатели четырёх моделей фенов. Найдите наименьший рейтинг фена из представленных в таблице моделей.
Ответ: 1
7. На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, на горизонтальной – время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автобуса на этом интервале.
Ответ: 4123
8. В доме Кости больше этажей, чем в доме Олега, в доме Тани меньше этажей, чем в доме Олега, а в доме Феди больше этажей, чем в Танином доме. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
1) Дом Тани самый малоэтажный среди перечисленных четырёх.
2) В доме Тани больше этажей, чем в доме Феди.
3) В Костином доме больше этажей, чем в Танином.
4) Среди этих четырёх домов есть три дома с одинаковым количеством этажей.
Ответ: 13
9. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Ответ: 28
10. Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту 𝑙 этого столба, если высота ℎ горки равна 4,2 м. Ответ дайте в метрах.
Ответ: 2, 1
11. Плоскость, проходящая через точки 𝐴, 𝐵 и 𝐶 (см. рис.), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим числом граней?
Ответ: 6
12. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐴𝐵 = 15, 𝐴𝐶 = 9. Найдите sin 𝐴.
Ответ: 0, 8
13. Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
Ответ: 1
15. Городской бюджет составляет 67 млн рублей, а расходы на одну из его статей составили 15%. Сколько миллионов рублей потрачено на эту статью бюджета?
Ответ: 55
17. Найдите корень уравнения log3 (2𝑥 +4) −log3 2 = log3 5.
Ответ: 3
19. Вычеркните в числе 75416303 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
Ответ: 75630
20. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 150 метрам?
Ответ: 6
21. Из десяти стран четыре подписали договор о сотрудничестве ровно с четырьмя другими странами, а каждая из оставшихся шести – ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?
Ответ: 23
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет
Задание
1
#6329
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых система [begin{cases} (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\
y^2=x^2end{cases}]
имеет ровно четыре решения.
(ЕГЭ 2018, основная волна)
Второе уравнение системы можно переписать в виде (y=pm x). Следовательно, рассмотрим два случая: когда (y=x) и когда (y=-x). Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.
1) (y=x). Подставим в первое уравнение и получим: [2x^2-2(3a+2)x+(2a+2)^2+a^2-1=0quad(1)] (заметим, что в случае (y=-x) мы поступим так же и тоже получим квадратное уравнение)
Чтобы исходная система имела 4 различных решения, нужно, чтобы в каждом из двух случаев получилось по 2 решения.
Квадратное уравнение имеет два корня, когда его (D>0). Найдем дискриминант уравнения (1):
(D=-4(a^2+4a+2)).
Дискриминант больше нуля: (a^2+4a+2<0), откуда (ain (-2-sqrt2;
-2+sqrt2)).
2) (y=-x). Получаем квадратное уравнение: [2x^2-2(a+2)x+(2a+2)^2+a^2-1=0quad (2)] Дискриминант больше нуля: (D=-4(9a^2+12a+2)>0), откуда (ain
left(frac{-2-sqrt2}3; frac{-2+sqrt2}3right)).
Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.
Пусть (x_0) – общее решение уравнений (1) и (2), тогда [2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=2x_0^2-2(a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1] Отсюда получаем, что либо (x_0=0), либо (a=0).
Если (a=0), то уравнения (1) и (2) получаются одинаковыми, следовательно, имеют одинаковые корни. Этот случай нам не подходит.
Если (x_0=0) – их общий корень, то тогда (2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0), откуда ((2a+2)^2+a^2-1=0), откуда (a=-1) или (a=-0,6). Тогда вся исходная система будет иметь 3 различных решения, что нам не подходит.
Учитывая все это, в ответ пойдут:
[ainleft(dfrac{-2-sqrt2}3; -1right)cupleft(-1;
-0,6right)cupleft(-0,6; -2+sqrt2right)]
Ответ:
(ainleft(frac{-2-sqrt2}3; -1right)cupleft(-1;
-0,6right)cupleft(-0,6; -2+sqrt2right))
Задание
2
#4032
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения (a), при каждом из которых система [begin{cases}
(a-1)x^2+2ax+a+4leqslant 0\
ax^2+2(a+1)x+a+1geqslant 0 end{cases}]
имеет единственное решение.
(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)
Перепишем систему в виде: [begin{cases}
ax^2+2ax+aleqslant x^2-4\
ax^2+2ax+ageqslant -2x-1
end{cases}] Рассмотрим три функции: (y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2), (g=x^2-4), (h=-2x-1). Из системы следует, что (yleqslant g), но (ygeqslant
h). Следовательно, чтобы система имела решения, график (y) должен находиться в области, которая задается условиями: “выше” графика (h), но “ниже” графика (g):
(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном (ane 0) графиком (y) является парабола, вершина которой находится в точке ((-1;0)), а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если (a=0), то уравнение выглядит как (y=0) и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график (y) имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график (y) должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).
Рассмотрим по отдельности несколько случаев.
1) (a>0). Тогда ветви параболы (y) обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола (y) касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы (g), причем абсцисса точки касания должна быть (leqslant
-3) или (geqslant 2) (то есть парабола (y) должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола (y) лежит выше оси абсцисс).
(y’=2a(x+1)), (g’=2x). Условия касания графиков (y) и (g) в точке с абсциссой (x_0leqslant -3) или (x_0geqslant 2): [begin{cases}
2a(x_0+1)=2x_0\
a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \
left[begin{gathered}begin{aligned} &x_0leqslant -3\
&x_0geqslant 2 end{aligned}end{gathered}right. end{cases}
quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} &x_0leqslant -3\
&x_0geqslant 2 end{aligned}end{gathered}right.\[1ex]
a=dfrac{x_0}{x_0+1}\[1ex]
x_0^2+5x_0+4=0 end{cases}] Из данной системы (x_0=-4), (a=frac43).
Получили первое значение параметра (a).
2) (a=0). Тогда (y=0) и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.
3) (a<0). Тогда ветви параболы (y) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола (y) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку (B), причем, если парабола (y) будет иметь еще одну общую точку с прямой (h), то эта общая точка должна быть “выше” точки (B) (то есть абсцисса второй точки должна быть (<1)).
Найдем (a), при которых парабола (y) проходит через точку (B): [-3=a(1+1)^2quadRightarrowquad a=-dfrac34] Убеждаемся, что при этом значении параметра вторая точка пересечения параболы (y=-frac34(x+1)^2) с прямой (h=-2x-1) – это точка с координатами (left(-frac13; -frac13right)).
Таким образом, получили еще одно значение параметра.
Так как мы рассмотрели все возможные случаи для (a), то итоговый ответ: [ain left{-dfrac34; dfrac43right}]
Ответ:
(left{-frac34; frac43right})
Задание
3
#4013
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых система уравнений [begin{cases}
2x^2+2y^2=5xy\
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 end{cases}]
имеет ровно два решения.
(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)
1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно (x): [2x^2-(5y)x+2y^2=0] Дискриминант равен (D=9y^2), следовательно, [x_{1,2}=dfrac{5ypm 3y}4quadRightarrow quad x_1=2y, quad x_2=dfrac12y] Тогда уравнение можно переписать в виде [(x-2y)cdot (2x-y)=0] Следовательно, всю систему можно переписать в виде [begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} &y=2x\[1ex]
&y=0,5xend{aligned}end{gathered}right.\[1ex]
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4end{cases}] Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в ((a;a)) и радиусом (R=sqrt5a^2). Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, (a=1):
Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой (y=x).
2) Так как у прямой (y=kx) тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси (Ox) равен (k), то тангенс угла наклона прямой (y=0,5x) равен (0,5) (назовем его (mathrm{tg},alpha)), прямой (y=2x) – равен (2) (назовем его (mathrm{tg},beta)). Заметим, что (mathrm{tg},alphacdot
mathrm{tg},beta=1), следовательно, (mathrm{tg},alpha=mathrm{ctg},beta=mathrm{tg},(90^circ-beta)). Следовательно, (alpha=90^circ-beta), откуда (alpha+beta=90^circ). Это значит, что угол между (y=2x) и положительным направлением (Oy) равен углу между (y=0,5x) и положительным направлением (Ox):
А так как прямая (y=x) является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями (Ox) и (Oy) равны по (45^circ)), то углы между (y=x) и прямыми (y=2x) и (y=0,5x) равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые (y=2x) и (y=0,5x) симметричны друг другу относительно (y=x), следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если (a=0), то окружность вырождается в точку ((0;0)) и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:
Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти (a>0), а в третьей (a<0) (но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.
Заметим, что (OQ=sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=sqrt2a), (QK=R=sqrt5a^2). Тогда [OK=sqrt{2a^2-5a^4}] Тогда [mathrm{tg},angle
QOK=dfrac{sqrt5a^2}{sqrt{2a^2-5a^4}}] Но, с другой стороны, [mathrm{tg},angle QOK=mathrm{tg},(45^circ-alpha)=dfrac{mathrm{tg},
45^circ-mathrm{tg},alpha}{1+mathrm{tg},45^circcdot
mathrm{tg},alpha}] следовательно, [dfrac{1-0,5}{1+1cdot 0,5}=dfrac{sqrt5a^2}{sqrt{2a^2-5a^4}}
quadLeftrightarrowquad a=pm dfrac15] Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для (a). Следовательно, ответ: [ain {-0,2;0,2}]
Ответ:
({-0,2;0,2})
Задание
4
#3278
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения (a), для каждого из которых уравнение [25^x-(a+6)cdot 5^x=(5+3|a|)cdot 5^x-(a+6)(3|a|+5)]
имеет единственное решение.
(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)
Сделаем замену (t=5^x, t>0) и перенесем все слагаемые в одну часть: [t^2-bigg((a+6)+(5+3|a|)bigg)cdot t+(a+6)(3|a|+5)=0] Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются (t_1=a+6) и (t_2=5+3|a|). Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с (t) тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что (t_2) при всех (a) будет положительным. Таким образом, получаем два случая:
1) (t_1=t_2): [a+6=5+3|a| quadLeftrightarrowquad 3|a|=a+1 quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
left[begin{gathered}begin{aligned} & 3a=a+1\
&3a=-a-1 end{aligned} end{gathered} right. \
a+1geqslant 0 end{cases}quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned} & a=dfrac12\[2ex]
&a=-dfrac14 end{aligned} end{gathered} right.]
2) Так как (t_2) всегда положителен, то (t_1) должен быть (leqslant
0): [a+6leqslant 0 quadLeftrightarrowquad aleqslant -6.]
Ответ:
((-infty;-6]cupleft{-frac14;frac12right})
Задание
5
#3252
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых уравнение [sqrt{x^2-a^2}=sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}]
имеет ровно один корень на отрезке ([0;1]).
(ЕГЭ 2017, резервный день)
Уравнение можно переписать в виде: [sqrt{(x-a)(x+a)}=sqrt{(3x-1)(x-a)}] Таким образом, заметим, что (x=a) является корнем уравнения при любых (a), так как уравнение принимает вид (0=0). Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку ([0;1]), нужно, чтобы (0leqslant
aleqslant 1).
Второй корень уравнения находится из (x+a=3x-1), то есть (x=frac{a+1}2). Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: [left(dfrac{a+1}2-aright)cdot
left(dfrac{a+1}2+aright)geqslant 0quadRightarrowquad
-dfrac13leqslant aleqslant 1] Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку ([0;1]), нужно, чтобы [0leqslant dfrac{a+1}2leqslant 1
quadRightarrowquad -1leqslant aleqslant 1] Таким образом, чтобы корень (x=frac{a+1}2) существовал и принадлежал отрезку ([0;1]), нужно, чтобы (-frac13leqslant aleqslant 1).
Заметим, что тогда при (0leqslant aleqslant 1) оба корня (x=a) и (x=frac{a+1}2) принадлежат отрезку ([0;1]) (то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: [a=dfrac{a+1}2quadRightarrowquad a=1] Таким образом, нам подходят (ain left[-frac13; 0right)) и (a=1).
Ответ:
(ain left[-frac13;0right)cup{1})
Задание
6
#3238
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых уравнение [xsqrt{x-a}=sqrt{6x^2-(6x+3a)x+3a}]
имеет единственный корень на отрезке ([0;1].)
(ЕГЭ 2017, резервный день)
Уравнение равносильно: [xsqrt{x-a}=sqrt{3a(1-x)}] ОДЗ уравнения: [begin{cases} xgeqslant 0\ x-ageqslant 0\3a(1-x)
geqslant 0end{cases}] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: [x^3-a(x^2-3x+3)=0]
1) Пусть (a<0). Тогда ОДЗ уравнения: (xgeqslant 1). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке ([0;1]), этот корень должен быть равен (1). Проверим: [1^3-a(1^2-3cdot 1+3)=0 quadRightarrowquad a=1.] Не подходит под (a<0). Следовательно, эти значения (a) не подходят.
2) Пусть (a=0). Тогда ОДЗ уравнения: (xgeqslant 0). Уравнение перепишется в виде: [x^3=0 quadRightarrowquad x=0] Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок ([0;1]). Следовательно, (a=0) – подходит.
3) Пусть (a>0). Тогда ОДЗ: (xgeqslant a) и (xleqslant 1). Следовательно, если (a>1), то ОДЗ – пустое множество. Таким образом, (0<aleqslant 1) и при этих (a) ОДЗ: (aleqslant xleqslant
1). Следовательно, если корень подойдет по ОДЗ, то он попадет и в отрезок ([0;1]).
Рассмотрим функцию (y=x^3-a(x^2-3x+3)). Исследуем ее.
Производная равна (y’=3x^2-2ax+3a). Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения (3x^2-2ax+3a=0): (D=4a(a-9)). Следовательно, при (ain (0;1]) дискриминант (D<0). Значит, выражение (3x^2-2ax+3a) положительно при всех (x). Следовательно, при (ain (0;1]) производная (y’>0). Следовательно, (y) возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение (y(x)=0) может иметь не более одного корня.
Следовательно, для того, чтобы корень уравнения (точка пересечения графика (y) с осью абсцисс) находился на отрезке ([a;1]), нужно, чтобы [begin{cases} y(1)geqslant 0\
y(a)leqslant 0 end{cases}quadRightarrowquad ain [0;1]] Учитывая, что изначально в рассматриваемом случае (ain (0;1]), то ответ (ain (0;1]).
Итоговый ответ, полученный объединением ответов во всех трех случаях: [ain [0;1]]
Ответ:
([0;1])
Задание
7
#3267
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения (a), при каждом из которых уравнение [sqrt{1-4x}cdot ln(9x^2-a^2)=sqrt{1-4x}cdot ln (3x+a)]
имеет ровно один корень.
(ЕГЭ 2017, основная волна)
Данное уравнение можно переписать как [begin{cases}
sqrt{1-4x}cdot ln dfrac{(3x-a)(3x+a)}{3x+a}=0\[2ex]
3x+a>0end{cases} quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
sqrt{1-4x}cdot ln (3x-a)=0\
3x+a>0end{cases}] Система имеет два корня:
1) (x_1=frac14), если он удовлетворяет (3x+a>0) и (3x-a>0): [begin{cases}
dfrac34+a>0\[1ex]
dfrac34-a>0end{cases} quadLeftrightarrowquad
-dfrac34<a<dfrac34]
2) (x_2=frac{a+1}3), если он удовлетворяет (3x+a>0) и (1-4xgeqslant 0): [begin{cases}
a+1+a>0\[1ex]
1-dfrac43a-dfrac43geqslant 0end{cases}quadLeftrightarrowquad
-dfrac12<aleqslant -dfrac14]
Рассмотрим случаи, когда данная система имеет ровно один корень. Пусть (x_1ne x_2), то есть (ane -frac14).
1. Пусть (x_1=frac14) – единственное решение системы.
(x_1) будет корнем, если (-frac34<a<frac34), (x_2) не будет корнем, если (ain
left(-infty;-frac12right]cupleft(-frac14;+inftyright)). Пересекая эти значения, а также учитывая, что (ane -frac14), получаем: [ain left(-dfrac34;-dfrac12right]cupleft(-dfrac14;dfrac34right)] 2. Пусть (x_2=frac{a+1}3) – единственное решение системы.
(x_1) не будет корнем, если (ain
left(-infty;-frac34right]cupleft[frac34;+inftyright)), (x_2) будет корнем, если (-frac12<aleqslant -frac14). Пересекая эти значения, а также учитывая, что (ane -frac14), получаем: [ain varnothing]
Пусть (x_1=x_2). Тогда (a=-frac14). Заметим, что при этом значении что (x_1), что (x_2) являются решением, следовательно, оно нам подходит.
Итоговый ответ: [ain left(-dfrac34;-dfrac12right]cupleft[-dfrac14;dfrac34right)]
Ответ:
(ain
left(-dfrac34;-dfrac12right]cupleft[-dfrac14;dfrac34right)
)
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ