Решу егэ 501723

Спрятать решение

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Урал. Вариант 203.

Спрятать решение

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Урал. Вариант 203.

Меню

• 
  
  HomeГлавная страница
• 
  
  ОбразованиеПроблемы и решения
  • 
    
    Домашнее обучение

  • 
    
    Как учиться

  • 
    
    Будущее образования

  • 
    
    Математическое образование

  • 
    
    Школьное образование
  • 
    
    Разное

• 
  
  ЕГЭПодготовка к экзамену

Задание 1

Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 21, а расстояние от вершины В до этой диагонали равно 12. Найдите площадь параллелограмма.

Ответ: 252

Скрыть

$$S{ABC}=frac{ACcdot ВО}{2}=frac{21cdot12}{2}=126.$$

Тогда площадь параллелограмма равна:

$$S{ABCD}=2cdot S_{ABC}=2cdot126=252.$$

Задание 2

Ответ: 48

Скрыть

Осевым сечением конуса есть равнобедренный треугольник АВС с углов при вершине С равным 120⁰.

Высота конуса есть высота осевого сечения, которая в равнобедренном треугольнике есть биссектриса и медиана.

Тогда угол $$АСО = frac{АСВ}{2} = frac{120}{2} = 60^{circ}, АО = ВО = frac{АВ}{2}$$

В прямоугольном треугольнике АОС определим длину катета АО через угол и другой катет.

$$tg AOC =frac{AO}{OC}$$

$$AO = OCcdottg60 = 4cdotsqrt{3} = 4sqrt{3}$$

Катет АО есть радиус окружности в основании конуса, $$R = АО = 4sqrt{3}$$

Тогда $$S_{осн}=picdot R^2=picdot(4sqrt{3})^2=picdot48$$

$$frac{picdot48}{pi}=48$$

Задание 3

Вероятность того, что мобильный телефон выйдет из строя в течение первого года службы, равна 0,2. Если телефон проработал какое-то время, то вероятность его поломки в течение следующего года не меняется — она по-прежнему равна 0,2. Найдите вероятность того, что такой новый телефон сломается, не прослужив трех полных лет после покупки.

Ответ: 0,488

Скрыть

По условию вероятность поломки телефона в течение года работы равна $$0,2.$$ Значит, вероятность отсутствия поломки на протяжении года равна $$1-0,2 = 0,8.$$ Следовательно, вероятность того, что телефон не выйдет из строя до истечения трёх лет равна $$0,8cdot0,8cdot0,8 = 0,512.$$

Соответственно, искомая вероятность противоположного события, состоящего в том, что телефон сломается до того как пройдёт три года

$$1-0,512 = 0,488.$$

Задание 4

В походе будут нужны 6 батареек для фонарей. Считая, что каждая батарейка может оказаться неисправной с вероятностью 0,02, определите, сколько батареек нужно взять, чтобы среди них оказалось хотя бы 6 исправных с вероятностью 0,95 или выше.

Ответ: 7

Скрыть

Событие A — батарейка неисправна и вероятность P(A) = 0,02

Событие неА — батарейка неисправна и вероятность P(неА) = 1 — 0,02 = 0,98

Обозначим событие Х — хотя бы 6 батареек исправно и вероятность P(X) ≥ 0,95

Не будем сильно мудрить, а просто решим проверкой:

Возьмем 6 батареек (тут явно исход не устроит, но проверим это)

P(X) = P(неА)⁶ = 0,98⁶ ≈ 0,886 < 0,95

Возьмем 7 батареек:

При этом устроят исходы, что все 7 исправны

Или 6 исправны и 1 не исправна. При этом таких вариантов будет равно 7 (количество возможных выборов 1 неисправной батарейки из 7)

Все данные исходы не совместны. Поэтому итоговая вероятность данных исходов равна сумме вероятностей этих исходов:

Вероятность 7 исправных: = P(неА)⁷ = 0,98⁷ ≈ 0,868

Вероятность 1 не исправная и 6 исправных = 7•P(A)•P(неА)⁶ = 7•0,02•0,98⁶ ≈ 0,124

P(X) ≈ 0,868 + 0,124 = 0,992 > 0,95

Таким образом при 7 батарейках получим вероятность выше заданной

Задание 5

Решите уравнение $$2^{log_3 x^2}cdot5^{log_3 x}=400.$$

Ответ: 9

Скрыть

$$2^{log_3 x^2}cdot5^{log_3 x}=400$$

$$2^{2log_3 x}cdot5^{log_3 x}=400$$

$$4^{log_3 x}cdot5^{log_3 x}=400$$

$$(4cdot5)^{log_3 x}=20^2$$

$$log_3 x=2$$

$$x=9$$

Задание 6

Найдите $$sqrt{5}cdotctg2alpha,$$ если $$sin(alpha-frac{pi}{2})=-frac{2}{3}$$ и $$frac{3pi}{2}<alpha<2pi$$

Ответ: 0,25

Скрыть

$$sin(alpha-frac{pi}{2})=-sin(frac{pi}{2}-alpha)=-cosalpha=-frac{2}{3}Rightarrow cosalpha=frac{2}{3}$$

$$Rightarrowsinalpha=-sqrt{1-(frac{2}{3})^2}=-frac{sqrt{5}}{3}$$

Тогда $$sin2alpha=2sinalphacosalpha=2cdot(-frac{sqrt{5}}{3})cdotfrac{2}{3}=-frac{4sqrt{5}}{9}$$

$$cos2alpha=1-2sin^2alpha=1-2cdotfrac{5}{9}=-frac{1}{9}$$

Тогда $$sqrt{5}cdotctg2alpha=sqrt{5}cdot(-frac{1}{9}):(-frac{4sqrt{5}}{9})=frac{sqrt{5}cdot9}{9cdot4sqrt{5}}=frac{1}{4}=0,25$$

Задание 7

Прямая $$y=7x+28$$ является касательной к графику функции $$y=ax^2-21x+3a.$$ Найдите значение коэффициента $$a,$$ если известно, что абсцисса точки касания положительна.

Ответ: 14

Скрыть

Приравняем уравнения и найдём $$a$$ через $$D,$$ так как общая точка касания одна, значит, одно решение и $$D=0.$$

$$ax^2-21x+3a=7x+28quadquad a>0$$

$$ax^2-21x+3a-7x+28=0$$

$$ax^2-28x+3a-28=0$$

$$frac{D}{4}=(-14)^2-acdot(3a-28)=0,$$ т.к. одна точка касания

$$(-14)^2-acdot(3a-28)=0$$

$$196-3a^2+28a=0$$

$$-3a^2+28a+196=0$$

$$frac{D}{4}=14^2-(-3)cdot196=196+3cdot196=4cdot196=2^2cdot14^2=28^2$$

$$a_1=frac{-14+28}{-3}=frac{-14}{3}notin$$ т.к. $$a>0$$

$$a_2=frac{-14-28}{-3}=14$$

Задание 8

После дождя уровень воды в колодце повышается. Мальчик определяет его, измеряя время падения небольших камушков в колодец и вычисляя уровень воды $$h$$ (в метрах) по формуле: $$h=L-5t^2,$$ где $$L$$ — глубина колодца в метрах, а $$t$$ — время падения камушков в секундах. До дождя время падения камушков составляло 0,8 секунды. Какова должна быть минимальная разница уровней воды до и после дождя, чтобы измеряемое время изменилось не меньше, чем на 0,3 секунды? Ответ дайте в метрах.

Ответ: 1,95

Скрыть

Найдем расстояния до воды в колодце перед дождем. 

Т.к. до дождя время падения камешков составляло 0,8 с, подставим эту величину в формулу, по которой рассчитывается расстояние до воды:

$$h = 5cdot(0,8)^2 = 3,2$$ м.

Очевидно, что после дождя уровень воды поднимается, значит, время падения камешка уменьшается. 

То есть становится равным $$0,8 — 0,3 = 0,5$$ с.

Вычислим расстояние до воды после дождя:

$$h = 5cdot(0,5)^2 = 1,25$$ м

Уровень воды поднялся на $$3,2-1,25 = 1,95$$ м.

Задание 9

Из А в В вышла машина с почтой. Через 20 минут по тому же маршруту вышла вторая машина, скорость которой 45 км/ч. Догнав первую машину, шофер передал пакет и немедленно поехал обратно с той же скоростью (время, затраченное на остановку и разворот, не учитывается). В тот момент, когда первая машина прибыла в В, вторая достигла лишь середины пути от места встречи ее с первой машиной до пункта А. Найдите скорость первой машины (в км/ч), если расстояние между А и В равно 40 км.

Ответ: 30

Скрыть

Пусть $$x$$ км — это расстояние, которое проехала вторая машина от места встречи, то есть половина расстояния от места встречи до пункта А. Тогда расстояние от места встречи до пункта А равно $$2x$$ км, а от места встречи до пункта В — $$(40-2x)$$ км. Пусть $$y$$ км/ч — скорость первой машины, тогда $$frac{2x}{y}$$ ч — время, которое затратила первая машина от пункта А до места встречи, $$frac{2x}{45}$$ ч — время, которое затратила вторая машина от пункта А до места встречи. Нам также известно, что вторая машина преодолела это расстояние на 20 минут, или на $$frac{1}{3}$$ часа, быстрее первой. Получаем уравнение:

$$frac{2x}{y}-frac{2x}{45}=frac{1}{3}quad (1)$$

Теперь работаем со второй частью пути. Время, которое первая машина затратила на путь от места встречи до пункта В — $$frac{40-2x}{y}$$ ч. За такое же время вторая машина преодолела $$x$$ км, то есть затратила $$frac{x}{45}$$ ч. Получаем второе уравнение системы:

$$frac{40-2x}{y}=frac{x}{45}quad (2)$$

Работаем со вторым уравнением, нам нужно выразить $$x.$$

$$frac{40-2x}{x}=frac{y}{45}$$

$$frac{40}{x-2}=frac{y}{45}$$

$$frac{40}{x}=frac{y}{45+2}$$

$$frac{40}{x}=frac{y+90}{45}$$

$$x=frac{1800}{y+90}$$

Теперь подставим x в первое уравнение:

$$frac{2cdotfrac{1800}{y+90}}{y}-2cdotfrac{frac{1800}{y+90}}{45}=frac{1}{3}$$

$$frac{3600}{ycdot (y+90)}-frac{3600}{45cdot(y+90)}=frac{1}{3}$$

$$frac{3600}{ycdot (y+90)}-frac{80}{y+90}=frac{1}{3}$$

Домножим на $$y$$ и $$(y+90)$$

$$10800-240y=y^2+90y$$

$$y^2+330y-10800=0$$

Получили квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

$$D=330^2-4cdot1cdot(-10800)=108900+43200=152100$$

$$y_1=frac{-330-sqrt{152100}}{2cdot1}=frac{-330-390}{2}=frac{-720}{2}=-390$$ — отрицательный корень не подходит.

$$y_2=frac{-330+sqrt{152100}}{2cdot1}=frac{-330+390}{2}=frac{60}{2}=30$$ км/ч — скорость первой машины.

Задание 10

Ответ: -8

Скрыть

График g(x) проходит (-1;-1); (-3;1) и (0;1).

Получим:

$$left{begin{matrix} -1=a(-1)^2+b(-1)+c\ 1=a(-3)^2+b(-3)+c\ 1=acdot0+bcdot0+c end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} a-b=-2\ 9a-3b=0\ c=1 end{matrix}right.Leftrightarrowleft{begin{matrix} b=3\ a=1\ c=1 end{matrix}right.$$

Получили: $$g(x)=x^2+3x+1$$

Тогда $$x^2+3x+1=-4x+9Leftrightarrow x^2+7x-8=0 Rightarrowleft[begin{matrix} x=-8\ x=1 end{matrix}right.$$

Задание 11

Найдите точку минимума функции: $$y=(17-6sqrt{x})cdot e^{1-x}$$

Ответ: 9

Скрыть

$$((17-6sqrt{x})e^{1-x})’=(17-6sqrt{x})’e^{1-x}+(e^{1-x})'(17-6sqrt{x})=$$

$$=-frac{6}{2sqrt{x}}e^{1-x}-e^{1-x}(17-16sqrt{x})=-e^{1-x}(frac{3}{sqrt{x}})+17-6sqrt{x})$$

Пусть $$frac{3}{sqrt{x}}+17-6sqrt{x}=0.$$ Пусть $$sqrt{x}=a>0:$$

$$frac{3}{a}+17-6a=0Rightarrow frac{-6a^2+17a+3}{a}=0$$

$$D=289+72=361$$

$$a_1=frac{-17+91}{-12}=-frac{1}{6};quad a_2=frac{-17-91}{-12}=3.$$

Получим: $$sqrt{x}=3Rightarrow x=9.$$

При $$x=4: frac{3}{2}+17-6cdot2>0.$$ С учётом с $$-e^{1-x}$$ получим отрицательное значение y’.

При $$x=16: frac{3}{4}+17-6cdot4<0Rightarrow y’>0.$$ Т.е. $$x=9$$ — точка минимума.

А) Решите уравнение $$ctg^4x=cos^22x-1$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[6pi;8pi]$$

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 16, высота SH равна 10. Точка К — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку К и пересекает ребра SB и SC в точках Q и Р соответственно.

А) Докажите, что площадь четырехугольника BCPQ составляет $$frac{3}{4}$$ площади треугольника SBC.

Б) Найдите объем пирамиды KBCPQ?.

Решите неравенство:

$$9^{log_2(x-1)-1}-8cdot5^{log_2(x-1)-2}>9^{log_2(x-1)}-16cdot5^{log_2(x-1)-1}$$

В июле Анна планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Анне оформить кредит на следующих условиях:

— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая — может быть разным для разных годов);

— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.

В первом банке процентная ставка по годам составляет 10, 20 и 15 процентов соответственно, а во втором — 15, 10 и 20 процентов. Анна выбрала наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита (в млн рублей), если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 14 до 15 тысяч рублей.

В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О.

А) Докажите, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник ABCD, если АС = 10, BD = 26.

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение:

$$frac{log_{0,4}(6x^2-13x+5ax-6a^2-13a+6)}{sqrt{2x-3a+4}}=0$$

имеет единственный корень.

Трехзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число $$n.$$

А) Может ли $$n$$ равняться 68?

Б) Может ли $$n$$ равняться 86?

В) Какое наибольшее значение может принимать $$n,$$ если все цифры ненулевые?