Решу егэ 505663

Решение.

а)  Очевидно, что начиная со второй строчки, все числа в таблице не больше 1000. Кроме того, каждое число не больше написанного под ним. Поэтому сумма чисел в третьей строчке не меньше, чем во второй и т. д., и каждая из этих сумм не больше миллиона. Следовательно, поскольку все время суммы возрастать не могут, в каких-то соседних строчках суммы совпадут, а тогда совпадут и сами строчки.

б)  Докажем, что если в m-ой строчке при число отлично от написанного над ним, то оно не меньше, чем Действительно, для это очевидно, так как все числа второй строки натуральные. Пусть это уже проверено для всех строк с номерами, меньшими Пусть в -ой строчке написано число а под ним написано число b, большее Тогда в -ой строчке написано b чисел, равных Ясно, что в -ой строчке будет написано несколько групп одинаковых чисел, по в каждой группе, причем числа из разных групп различны. Отсюда вытекает, что b делится на то есть Кроме того, по крайней мере одно из чисел в этих группах отличается от а значит, по предположению индукции Итак, Наше утверждение доказано по индукции для всех Если предположить, что 11-я строчка отлична от 12-й, то какое-то число в 12-й строчке будет больше, чем что невозможно.

в)  Приведем такой пример:

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

…………………………………………………………….

256, ……………………………., 256, 488, …, 488

1 512, ……………………………., 512, 488, …, 488

В первой строчке 0 и 1 встречаются по одному разу, 2  — два раза, 4  — четыре раза, 8  — восемь раз, …., 256  — 256 раз, 488  — встречается 488 раз, в 11 строчке встречается 512 раз число 512 и 488 раз число 488.

Вариант № 50010806

1. Тип 1 № 27624 

Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

2. Тип 2 № 27045 

В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

3. Тип 3 № 320186 

На рок-фестивале выступают группы  — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

4. Тип 4 № 508819 

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

5. Тип 5 № 26663 

Найдите корень уравнения: 

6. Тип 6 № 26824 

Найдите значение выражения  при 

7. Тип 7 № 551780 

Функция  определена и непрерывна на интервале  На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции  В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

8. Тип 8 № 27996 

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени  моль воздуха объeмом  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма  Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением  (Дж), где  − постоянная, а  − температура воздуха. Какой объeм  (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 350 Дж?

9. Тип 9 № 99570 

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

10. Тип 10 № 509197 

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

11. Тип 11 № 26699 

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

12. Тип 12 № 522122 

а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Тип 13 № 517263 

Длина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A₁P  =  4.

а)  Докажите, что PBDC₁ — правильный тетраэдр.

б)  Найдите длину отрезка AP.

14. Тип 14 № 507691 

Решите неравенство: 

15. Тип 15 № 514523 

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

16. Тип 16 № 505239 

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E  —  на отрезке AB.

а)  Докажите, что FH  =  2DH.

б)  Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB  =  4.

17. Тип 17 № 484646 

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет ровно  решений.

18. Тип 18 № 505663 

В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой  — пятую, и так далее.

а)  Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.

б)  Докажите, что 11‐я строка совпадает с 12‐й.

в)  Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10‐я строка не совпадает с 11‐й.

Просмотр содержимого документа

«2023 ЕГЭ Январь Математика Вариант 4»

505648 1, 2, 4, 8, 11, 13, 16, 17, 22, 26, 34, 44, 52, 68, 88, 104, 136, 143, 169, 176, 187, 208, 221, 272, 286, 338, 374, 442, 572, 676, 748, 884, 1144, 1352, 1496, 1768, 1859, 2288, 2431, 2704, 2873, 2992, 3536, 3718, 4862, 5746, 7436, 9724, 11492, 14872, 19448, 22984, 29744, 31603, 38896, 45968, 63206, 126412, 252824, 505648 505649 1, 67, 7547, 505649 505650 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150, 3371, 6742, 10113, 16855, 20226, 33710, 50565, 84275, 101130, 168550, 252825, 505650 505651 1, 109, 4639, 505651 505652 1, 2, 4, 7, 14, 28, 18059, 36118, 72236, 126413, 252826, 505652 505653 1, 3, 41, 123, 4111, 12333, 168551, 505653 505654 1, 2, 252827, 505654 505655 1, 5, 23, 115, 4397, 21985, 101131, 505655 505656 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216, 2341, 4682, 7023, 9364, 14046, 18728, 21069, 28092, 42138, 56184, 63207, 84276, 126414, 168552, 252828, 505656 505657 1, 505657 505658 1, 2, 252829, 505658 505659 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 121, 199, 231, 363, 597, 847, 1393, 2189, 2541, 4179, 6567, 15323, 24079, 45969, 72237, 168553, 505659 505660 1, 2, 4, 5, 10, 20, 131, 193, 262, 386, 524, 655, 772, 965, 1310, 1930, 2620, 3860, 25283, 50566, 101132, 126415, 252830, 505660 505661 1, 13, 97, 401, 1261, 5213, 38897, 505661 505662 1, 2, 3, 6, 71, 142, 213, 426, 1187, 2374, 3561, 7122, 84277, 168554, 252831, 505662 505663 1, 505663 505664 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 7901, 15802, 31604, 63208, 126416, 252832, 505664 505665 1, 3, 5, 9, 15, 17, 45, 51, 85, 153, 255, 661, 765, 1983, 3305, 5949, 9915, 11237, 29745, 33711, 56185, 101133, 168555, 505665 505666 1, 2, 7, 14, 19, 38, 133, 266, 1901, 3802, 13307, 26614, 36119, 72238, 252833, 505666 505667 1, 137, 3691, 505667 505668 1, 2, 3, 4, 6, 12, 42139, 84278, 126417, 168556, 252834, 505668 505669 1, 505669 505670 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 4597, 9194, 22985, 45970, 50567, 101134, 252835, 505670 505671 1, 3, 73, 219, 2309, 6927, 168557, 505671 505672 1, 2, 4, 8, 31, 62, 124, 248, 2039, 4078, 8156, 16312, 63209, 126418, 252836, 505672 505673 1, 7, 29, 47, 53, 203, 329, 371, 1363, 1537, 2491, 9541, 10759, 17437, 72239, 505673 505674 1, 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 39, 78, 117, 234, 2161, 4322, 6483, 12966, 19449, 28093, 38898, 56186, 84279, 168558, 252837, 505674 505675 1, 5, 25, 113, 179, 565, 895, 2825, 4475, 20227, 101135, 505675 505676 1, 2, 4, 167, 334, 668, 757, 1514, 3028, 126419, 252838, 505676 505677 1, 3, 168559, 505677

Определите стиль и тип речи.

          Много в России прекрасных мест, но по-настоящему уникален и абсолютно неповторим один лишь священный Байкал, сибирское «славное море».
          В чем же секрет необыкновенной прозрачности и чистоты байкальской воды? Во-первых, в её огромном объёме. Представим размеры поверхности озера: длина – как от Москвы до Петербурга, а ширина – чуть меньше диаметра Москвы, глубина же – больше полутора километров. И в этом серповидном ковше воды столько же, сколько во всех реках мира!
          Во-вторых, вода в Байкале пресная, почти бессольная… Пожалуй, самая пресная вода на свете рождается при таянии ледников: в такой «ледяной воде» почти нет растворённых солей. Что ж, байкальская вода тоже холодная, и есть у Байкала свои «ледниковые воспоминания»: несколько десятков тысячелетий назад в озеро обрушивались айсберги с горных ледников. Сколько лет вода остается в проточном озере? Обычно два – три года. Ну, если озеро глубокое, то двадцать–тридцать лет. В Байкале же четыре столетия… Конечно, уже давно ушла из Байкала сверхчистая ледниковая водичка. Учеными подсчитано, что за все времена существования озерной впадины (это двадцать – тридцать миллионов лет) вода в ней сменилась «всего» пятьдесят тысяч раз. Вроде бы цифра эта велика, но вот та вода, от которой отпил казак-землепроходец Курбат Иванов, первым пересёкший озеро больше трёхсот лет назад, еще не ушла из Байкала… Исключительно медленно протекая через озеро, подолгу отстаиваясь в его тёмных глубинах, вода становится чище и прозрачнее.

(по В. Маркину)

Вариант МА2210301 и ответы

Скачать ответы и
решения для вариантов

1.          
Каждый день во время конференции расходуется 60 пакетиковчая.
Конференция длится 9 дней. В пачке чая 50 пакетиков. Какого наименьшего
количества пачек чая хватит на все дни конференции?

2.          
Установите соответствие между величинами и их
возможнымизначениями: к каждому элементу первого столбца подберите
соответствующий элемент из второго столбца.

3.          
В таблице показано расписание пригородных электропоездовпо
направлению Москва Курская – Крутое – Петушки. Владислав пришёл на станцию
Москва Курская в 18:20 и хочет уехать в Петушки на электропоезде без пересадок.
Найдите номер ближайшего электропоезда, который ему подходит.

5. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с
чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4
раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно
выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с чёрным чаем.

8.          
Некоторые учащиеся 10-х классов школы ходили в апреле наспектакль
«Гроза». В мае некоторые десятиклассники пойдут на постановку по пьесе
«Бесприданница», причём среди них не будет тех, кто ходил в апреле на спектакль
«Гроза». Выберите утверждения, которые будут верны при указанных условиях
независимо от того, кто из десятиклассников пойдёт на постановку по пьесе
«Бесприданница».

●    
1) Каждый учащийся 10-х классов, который не ходил на спектакль
«Гроза», пойдёт на постановку по пьесе «Бесприданница».

●    
2) Нет ни одного десятиклассника, который ходил на спектакль
«Гроза» и пойдёт на постановку по пьесе «Бесприданница».

●    
3) Среди учащихся 10-х классов этой школы, которые не пойдут на
постановку по пьесе «Бесприданница», есть хотя бы один, который ходил на
спектакль «Гроза».

●    
4) Найдётся десятиклассник, который не ходил на спектакль «Гроза»
и не пойдёт на постановку по пьесе «Бесприданница».

9.          
На фрагменте географической карты схематично изображеныграницы
деревни Покровское и очертания озёр (площадь одной клетки равна одному
гектару). Оцените приближённо площадь озера Малого. Ответ дайте в гектарах с
округлением до целого значения.

10.       
Диагональ прямоугольного экрана ноутбука равна 40 см, аширина
экрана ― 32 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

11.       
Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольнойпирамиды,
сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания
точной музейной копии этой пирамиды равна 55 см. Найдите высоту музейной копии.
Ответ дайте в сантиметрах.

12.       
В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°
, угол ABC равен 106° . Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.

13.       
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первогоцилиндра
равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём второго
цилиндра больше объёма первого?

15. В школе мальчики составляют 55 % от числа всех
учащихся. Сколько в этой школе мальчиков, если их на 50 человек больше, чем
девочек?

19.       
Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали вобратном
порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли
второе и получили 3366. В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное
число.

20.       
Имеется два сплава. Первый содержит 45 % никеля, второй —5 %
никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 15 % никеля.
Масса первого сплава равна 40 кг. На сколько килограммов масса первого сплава
была меньше массы второго?

21.       
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольникадвумя
прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и
далее по часовой стрелке, равны 2, 3 и 18. Найдите периметр четвёртого
прямоугольника.

Вариант МА2210305 и ответы

Скачать ответы и
решения для вариантов

1. Для покраски 1 кв. м потолка требуется 230 г
краски. Краска продаётся в банках по 2 кг. Какое наименьшее количество банок
краски нужно для покраски потолка площадью 44 кв. м?

3. В таблице представлены налоговые ставки на
автомобили в Москве с 1 января 2013 года. Какова налоговая ставка (в рублях за
1 л. с. в год) на автомобиль мощностью 115 л. с.?

5.          
Помещение освещается двумя лампами. Вероятностьперегорания одной
лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года
обе лампы перегорят.

6.          
В таблице даны результаты олимпиад по русскому языку ибиологии в
9 «А» классе. Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по
двум олимпиадам больше 110 или хотя бы по одному предмету набрано не меньше 60
баллов. Укажите номера учащихся 9 «А» класса, набравших меньше 60 баллов по
русскому языку и получивших похвальные грамоты, без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.

7.          
На рисунке изображены график функции и касательные,проведённые к
нему в точках с абсциссами A, B, C и D. В правом столбце указаны значения
производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в
соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

8.          
Некоторые учащиеся 10-х классов школы ходили в ноябре наоперу
«Евгений Онегин». В марте некоторые десятиклассники пойдут на оперу «Руслан и
Людмила», причём среди них не будет тех, кто ходил в ноябре на оперу «Евгений
Онегин». Выберите утверждения, которые будут верны при указанных условиях независимо
от того, кто из десятиклассников пойдёт на оперу «Руслан и Людмила».

●    
1) Каждый учащийся 10-х классов, который не ходил на оперу
«Евгений Онегин», пойдёт на оперу «Руслан и Людмила».

●    
2) Нет ни одного десятиклассника, который ходил на оперу «Евгений
Онегин» и пойдёт на оперу «Руслан и Людмила».

●    
3) Найдётся десятиклассник, который не ходил на оперу

«Евгений Онегин» и не пойдёт на оперу «Руслан и
Людмила».

●    
4) Среди учащихся 10-х классов этой школы, которые не пойдут на
оперу «Руслан и Людмила», есть хотя бы один, который ходил на оперу «Евгений
Онегин».

9.          
План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначаетквадрат
1м×1м . Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных
метрах.

10.       
Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну дома.Нижний конец
лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте находится верхний конец
лестницы? Ответ дайте в метрах.

11.       
Прямолинейный участок трубы длиной 4 м, имеющей всечении
окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не
нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить, если внешний
обхват трубы равен 19 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

12.       
В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при
вершине B равен 146° . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

13.       
Даны два шара радиусами 4 и 2. Во сколько раз объёмбольшего шара
больше объёма меньшего?

15. Число больных гриппом в школе уменьшилось за
месяц в пять раз. На сколько процентов уменьшилось число больных гриппом?

19.       
Найдите пятизначное число, кратное 15, любые две соседниецифры
которого отличаются на 3. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

20.       
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 19 км/ч,
проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт.
Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт
теплоход возвращается через 43 часа после отправления из него. Сколько
километров проходит теплоход за весь рейс?

21.       
На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: А, Б,В и Г.
Расстояние между А и Б — 55 км, между А и В — 40 км, между В и Г — 40 км, между
Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей
дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

Вариант МА2210309 и ответы

Скачать ответы и
решения для вариантов

2.          
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра,радиус
основания которого равен 2. Объём параллелепипеда равен 3,2. Найдите высоту
цилиндра.

3.          
В группе 16 человек, среди них — Анна и Татьяна. Группуслучайным
образом делят на 4 одинаковые по численности подгруппы. Найдите вероятность
того, что Анна и Татьяна окажутся в одной подгруппе.

4.          
Агрофирма закупает куриные яйца только в двух домашниххозяйствах.
Известно, что 40 % яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из
второго хозяйства — 60 % яиц высшей категории. В этой агрофирме 50 % яиц высшей
категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы,
окажется из первого хозяйства.

9. Пристани A и B расположены на озере, расстояние
между ними равно 280 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На
следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 4 км/ч
больше прежней, сделав по пути остановку на 8 часов. В результате она затратила
на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость
баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

13. Основанием правильной пирамиды PABCD является
квадрат ABCD . Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD
перпендикулярно этому ребру. а) Докажите, что угол наклона бокового ребра
пирамиды к её основанию равен 60° . б) Найдите площадь сечения пирамиды, если AB
= 30.

15.       
По вкладу «А» банк в конце каждого года планируетувеличивать на
13 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать
эту сумму на 7 % в первый год и на целое число n процентов за второй год.
Найдите наименьшее значение n , при котором за два года хранения вклад «Б»
окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

16.       
В треугольнике ABC медианы AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в точке M
. Известно, что AC MB = 3 . а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б)
Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 22 .

18. У Ани есть 800 рублей. Ей нужно купить конверты
(большие и маленькие). Большой конверт стоит 32 рубля, а маленький — 25 рублей.
При этом число маленьких конвертов не должно отличаться от числа больших
конвертов больше чем на пять. а) Может ли Аня купить 24 конверта? б) Может ли
Аня купить 29 конвертов? в) Какое наибольшее число конвертов может купить Аня?

Вариант МА2210311 и ответы

Скачать ответы и
решения для вариантов

1.          
Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 12,а
отношение соседних сторон равно 1:3.

2.          
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхностицилиндра равна
78. Найдите площадь поверхности шара.

3.          
В магазине в среднем из 120 сумок 15 имеют скрытые
дефекты.Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется со
скрытыми дефектами.

4.          
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в суммевыпало 11
очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 5 очков.

9. Игорь и Паша, работая вместе, могут покрасить
забор за 40 часов. Паша и Володя, работая вместе, могут покрасить этот же забор
за 48 часов, а Володя и Игорь, работая вместе, — за 60 часов. За сколько часов
мальчики покрасят забор, работая втроём?

13. Основанием правильной пирамиды PABCD является
квадрат ABCD . Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD
перпендикулярно этому ребру. а) Докажите, что угол наклона бокового ребра
пирамиды к её основанию равен 60° . б) Найдите площадь сечения пирамиды, если
AB = 24 .

15.       
По вкладу «А» банк в конце каждого года планируетувеличивать на
11 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать
эту сумму на 7 % в первый год и на целое число n процентов за второй год.
Найдите наименьшее значение n , при котором за два года хранения вклад «Б»
окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

16.       
В треугольнике ABC медианы AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в точке M
. Известно, что AC MB = 3 . а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б)
Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 18.

18. У Ани есть 400 рублей. Ей нужно купить конверты
(большие и маленькие). Большой конверт стоит 22 рубля, а маленький — 17 рублей.
При этом число маленьких конвертов не должно отличаться от числа больших
конвертов больше чем на пять. а) Может ли Аня купить 19 конвертов? б) Может ли
Аня купить 23 конверта? в) Какое наибольшее число конвертов может купить Аня?

Скачать ответы и
решения для вариантов

Натуральное целое
шестизначное
нечетное
число 505663
.

Сумма и произведение цифр числа: 25, 0.
2 — количество делителей числа 505663.

Обратное число к 505663 – это 0.000001977601683334553.

Данное число представляется произведением: 1 * 505663.

Перевод числа в другие системы счисления:
двоичный вид числа: 1111011011100111111, троичный вид числа: 221200122021, восьмеричный вид числа: 1733477, шестнадцатеричный вид числа: 7B73F.
Число байт 505663 представляет из себя 493 килобайта 831 байт .

Число 505663 азбукой Морзе: ….. —— ….. -…. -…. …—

Косинус числа 505663: 0.1003, синус числа 505663: -0.9950, тангенс числа 505663: -9.9207.
Число 505663 имеет натуральный логарифм: 13.1336.
Число 505663 имеет десятичный логарифм: 5.7039.
711.0999 — корень квадратный из числа 505663, 79.6686 — корень кубический.
Квадрат числа 505663: 2.5570e+11.

5 дней 20 часов 27 минут 43 секунды — столько в числе 505663 секунд.
Цифра 7 — это нумерологическое значение числа 505663.

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

Квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = — c$

$x_2 = {-c}/{a}$

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$

если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

Решение полного квадратного уравнения

Решение с помощью дискриминанта

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

Устные способы

Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$

Кубические уравнения

Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3. решить получившееся целое уравнение;
4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$

Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

Например,

${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение

$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)

Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4. Решить получившееся целое уравнение;
5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ — пропорция, то $a·d=b·c$

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
2. Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
3. Решить полученное рациональное уравнение.
4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:

1. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
2. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n⋅a^m=a^{n+m}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

$a^n:a^m=a^{n-m}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n·m}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a·b)^n=a^n·b^n$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

$a^0=1$

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

$a^{-n}={1}/{a^n}$

${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$

Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.