Решу егэ 514474 - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

В правильной четырёхугольной призме АВСDА₁В₁С₁D₁ сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно На ребрах BC и C₁D₁ отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C₁L  =  5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.

а)  Докажите, что прямая AC₁ перпендикулярна плоскости γ.

б)  Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости γ.

Спрятать решение

Решение.

а)  Так как плоскость параллельна диагонали основания BD, то пересекает основание ABCD по прямой KK₁ параллельной BD, K₁ лежит на CD. Так как, прямая сечения LL₁ параллельна BD, где L₁ лежит на B₁C₁. Сечением призмы будет трапеция

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Заметим, что проекцией прямой AC₁ на плоскость ABCD является прямая AC. Кроме того, как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах следовательно,

Рассмотрим плоскость AA₁C₁C. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK₁ и LL₁ в точках E и F соответственно. O  — точка пересечения EF и AC₁. Четырёхугольник AA₁C₁C  — прямоугольник, причём

Так как AA₁C₁C прямоугольник, Значит, Таким образом,

Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, следовательно, треугольник C_1FO прямоугольный, Таким образом,

б)  Расстояние от точки B₁ до плоскости равно расстоянию до нее от любой точки параллельной ей прямой B₁D₁. Из точки M  — пересечения диагоналей грани в плоскости AA₁C₁C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как по доказанному в п. а) плоскость следовательно, указанный перпендикуляр  — искомое расстояние. Найдем Заметим, Таким образом,

Ответ: б)

Приведем решение векторно-координатным методом.

Поместим начало координат в точке C, направим координатные оси так, как показано на рисунке. Прямая перпендикулярна плоскости тогда и только тогда, когда её направляющий вектор коллинеарен вектору, перпендикулярному этой плоскости. Проверим выполнение этого условия.

Найдем направляющий вектор прямой AC_1:

Найдем вектор vecn, перпендикулярный плоскости KK_1L. Определим координаты точек, лежащих в этой плоскости: Подставим найденные координаты в уравнение плоскости получим:

Плоскость KK_1L не проходит через начало координат, поэтому можно положить D равным любому отличному от нуля числу. Пусть тогда: A = 1, B = 1, Следовательно,

Заметим, что Следовательно, векторы и vecn коллинеарные, а потому прямая AC_1 перпендикулярна плоскости KK_1L. Это и требовалось доказать.

б)  Расстояние от точки с координатами до плоскости определяется по формуле

Подставляя в формулу найденные в пункте а) коэффициенты уравнения плоскости KK_1L и координаты точки получаем:

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Юг (C часть).

Источник

Тип 13 № 514474

а)  Докажите, что прямая AC₁ перпендикулярна плоскости γ.

б)  Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости γ.

Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Юг (C часть).

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямой и плоскости, Правильная четырёхугольная призма, Расстояние от точки до плоскости, Сечение — трапеция, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой

Источник

математика 50 вариантов ЕГЭ 2022 профильный уровень Ященко Вариант 3 Задание 13 № задачи в базе 846

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA1 равно

sqrt5

. На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём CK=2, а C1L=1. Плоскость

gamma

параллельна прямой BD и содержит точки K и L. а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости

gamma

. б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью

gamma

Ответ:

(9sqrt5)/2

ФИПИ 2023 🔥 …

Примечание: В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA1 равно корню из 5 ! математика 50 вариантов ЕГЭ 2022 профильный уровень Ященко Вариант 3 Задание 13 # Пробный ЕГЭ по математике Москва 29.02.2020 Задание 14 # Математика 50 вариантов ЕГЭ 2020 профильный уровень Ященко Вариант 23 Задание 14 # Ященко 36 вариантов профильный уровень ЕГЭ 2018 Тренировочная работа 16 Задание 14 #
математика 50 вариантов ЕГЭ 2018 Ященко часть 2 Тренировочная работа 1 Задача 14 # Задача-Аналог 2118

Рейтинг сложности задачи:

Источник

Рассмотрим очередную двухбалльную стереометрическую задачу из тренировочных КИМов.

Задача. В правильной
четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона АВ основания равна 5, а боковое ребро АА₁ равно
корню квадратному из пяти. На ребрах ВС и C₁D₁ отмечены точки K
и L соответственно, причем СК=2, а C₁L=1. Плоскость g параллельна прямой ВD и содержит точки К и L.

а)
Докажите, что прямая А₁С перпендикулярна плоскости g.

б)
Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка А₁, а основание –
сечение данной призмы плоскостью g.

Решение. а) Внимательно
выполним чертеж и проанализируем данные. Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная четырехугольная призма,
значит основание ABCD – квадрат со
стороной 5. Боковые ребра перпендикулярны основаниям. Так как плоскость g проходит через точку К и
параллельна прямой ВD, то линия
пересечения плоскости g и плоскости АВС
параллельна прямой ВD (Если через прямую, параллельную данной
плоскости провести другую плоскость, то линия пересечения этих плоскостей будет
параллельна данной прямой).

Через точку К проводим прямую параллельную ВD до пересечения с CD в точке М. Значит КМ перпендикулярна АС (так как диагонали квадрата BD и АС перпендикулярны).

Треугольники BCD и СКМ подобны (оба прямоугольные и равнобедренные),
значит СМ=КС=2. По теореме Пифагора из треугольника СКМ находим, что КМ=2√2, а из треугольника BCD BD=5√2. Диагонали квадрата равны, значит
и АС= BD=5√2.

Теперь, через
точку L проводим прямую параллельную ВD до пересечения с B₁C₁ в точке Т. По отрезку ТL плоскость КМL
пересечет верхнее основание (Если две
параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то линии пересечения будут
параллельны). Значит ТC₁= C₁L =1. Из
треугольника ТLC₁ по теореме Пифагора ТL=√2.

В равнобедренной
трапеции КТLМ точка Н – середина верхнего основания, точка N — середина нижнего основания, значит НN – высота трапеции, НN перпендикулярна КМ. Значит КМ перпендикулярна
плоскости АА₁С, в том числе и прямой А₁С.

Рассмотрим
диагональное сечение призмы прямоугольник AA₁C₁С. Из точки Н опустим перпендикуляр на
АС. Тогда NЕ=ЕС= НC₁ =0,5√2. НЕ= СC₁ =√5.

В треугольниках
АА₁С и NРС угол РСА –
общий. Тангенс угла АА₁С равен 5√2: √5=√10 Тангенс
угла НNЕ из треугольника НNЕ
равен √5: 0,5√2=√10. Значит углы АА₁С и НNЕ равны. Но тогда и оставшиеся углы А₁АС=
NРС=90⁰.
Имеем А₁С перпендикулярна прямым НN
и КМ, значит А₁С перпендикулярна плоскости трапеции КТLМ. Что и требовалось доказать.

Для того, чтобы
найти объем пирамиды А₁КТLМ, надо найти
площадь трапеции КТLМ и высоту А₁Р.
Из треугольника НNЕ по теореме
Пифагора НN²=5,5. Площадь трапеции КТLМ равна НN*(ТL+КМ)/2=√5,5*(√2+ 2√2)/2=1,5√11.

Найдем высоту А₁Р.
А₁Н= А₁С₁— НС₁= 5√2— 0,5√2= 4,5√2.

Из подобия
треугольников А₁С₁С и А₁РН имеем А₁Р:
А₁С₁= А₁Н: А₁С,

А₁Р= А₁С₁*А₁Н:
А₁С= 5√2 *4,5√2: √55=45/√55.

Находим объем
пирамиды А₁КТLМ: V=1,5√11*45/(3√55)=4,5√5.

Ответ 4,5√5.

Источник

Задача 8274 В правильной четырехугольной призме…

Условие

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 4sqrt(3). На ребрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причем AM = A1N = C1K = 1

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .

математика 10-11 класс
50135

Решение

★

Все решения

б)55

Написать комментарий

Источник

Культура

В выставке-ярмарке «Арт-Анкара» в Турции принял участие Государственный музей-заповедник А.С. Пушкина «Михайловское»

Учёный секретарь Государственного музея-заповедника А.С. Пушкина «Михайловское» Эдуард Узенёв представил псковские пушкинские места на интернациональной выставке-ярмарке «Арт-Анкара» в Турции. В рамках этого широкомасштабного форума, в частности, был запланирован ряд акций навстречу 225-летия со дня рождения А.С. Пушкина. Центральным событием данноготематического блока сталкруглый стол «А.С. Пушкин и Н. Хикмет — два гения», в рамках которого деятели культуры из двух стран обсудили вклад великих писателей в мировую литературную сокровищницу.

Выступая перед представительной русско-турецкой аудиторией учёный секретарь Пушкинского Заповедника напомнил о «турецких эпизодах» в жизни как африканского прадеда поэта, знаменитого «царского арапа» Абрама Ганнибала, так и самого Пушкина. Подчеркнув всемирное значение творчества русского гения, Эдуард Узенёв акцентировал внимание на тот факт, что ряд своих шедевров, как то трагедия «Борис Годунов» или роман «Евгений Онегин», поэт создал именно в Михайловском.

«Ежегодно музей-заповедник А.С. Пушкина «Михайловское» посещают сотни тысяч человек со всего мира, — констатировал Эдуард Узенёв.— Величайшей ценностью этого уголка являются нетронутые природные ландшафты, сохранившиеся в своей основе со времен Пушкина. Здесь царит гармония природы и поэзии. Здесь живо чувствуется магия места — «шум лесов», «иволги напев живой», «сиянье розовых снегов», «шёпот речки тихоструйной», дождь за окном кабинета поэта — всё это наряду с музейными экспозициями создает у посетителей яркие впечатления-воспоминания и побуждает вновь и вновь перечитывать Пушкина.

Отметим, что организатором «пушкинской программы» на выставке-ярмарке «Арт-Анкара» выступило Министерство культуры России в содружестве с Русским домом в Турции.

По материалам информационной службы Государственного музея-заповедника А.С.Пушкина «Михайловское»

Источник

-8…+4°. Завтра: -3…+4°

Главная
О нас
Новости
НТР 24
Реклама
Акции
Газеты
Радио
КОНТАКТЫ

Государственный ансамбль фольклорной музыки РТ прибыл в Болгарию

17:13, 11-03-2023, 17:13

В Болгарии прошел концерт с участием Государственного ансамбля фольклорной музыки республики Татарстан.

Мероприятие посетили более 300 человек. Татарстанские артисты на концерте выступают впервые.

«Будем представлять татарскую музыку, татарский фольклор, народные песни и танцы, национальные костюмы, весь татарский народ», — отметил руководитель ансамбля, заслуженный артист России Айдар Файзрахманов.

В четверг пройдет второй концерт в Русе на берегу реки Дунай.

НТР 24 → Вокруг нас → Государственный ансамбль фольклорной музыки РТ прибыл в Болгарию

Источник