Решу егэ 7065

1 000 000 рублей – сумма кредита. Через год долг возрастёт на 20%, то есть станет (1 000 000 cdot 1,2 = 1 200 000) рублей. Чтобы долг через год был наименьшим, платёж должен быть наибольшим, то есть 400 000 рублей. Следовательно, долг будет составлять минимальное число рублей, равное  (1 200 000 — 400 000 = 800 000) рублей.

Ответ: 800 000 рублей.

1 000 000 рублей – сумма кредита. Через год долг возрастёт на 10%, то есть станет ( 1000 000 cdot 1,1 = 1 100 000)рублей. Чтобы долг через год был наименьшим, платёж должен быть наибольшим, то есть 300000 рублей. Следовательно, долг будет составлять минимальное число рублей, равное  (1 100 000 — 300 000 = 800 000) рублей.

Ответ: 800 000 рублей.

Для того чтобы последний платёж был наименьшим, при условии, что кредит необходимо выплатить за минимальное количество лет, платежи должны быть наибольшими, то есть по 400 000 рублей.

Таким образом, последний платёж составит 326 400 рублей.

Ответ: 326 400 рублей.

Для того чтобы последний платёж был наименьшим, при условии, что кредит необходимо выплатить за минимальное количество лет, платежи должны быть наибольшими, то есть по 300 000 рублей.

Таким образом, последний платёж составит 78 980 рублей.

Ответ: 78 980 рублей.

Чтобы сумма выплат превышала размер кредита на минимальное число рублей, ежегодные выплаты должны быть наибольшими, то есть по 300000 рублей.

Таким образом, общая сумма выплат:   (4 cdot 300000 + 78980 = 1278980) рублей, что на 278 980 рублей больше суммы кредита, равного 1 000 000 рублей.

Ответ: 278 980 рублей.

Чтобы сумма выплат превышала размер кредита на минимальное число рублей, ежегодные выплаты должны быть наибольшими, то есть по 400 000 рублей.

Таким образом, общая сумма выплат:  (3 cdot 400000 + 326400 = 1526400) рублей, что на 526 400 рублей больше суммы кредита, равного 1 000 000 рублей.

Ответ: 526 400 рублей.

Так как Дмитрию придётся выплатить банку на 180% больше суммы кредита, то общая выплата составит 280% от суммы кредита:  (3000000 cdot 2,8 = 8400000) рублей.

Так как срок кредита 20 лет (240 месяцев), то ежемесячные платежи составят: (frac{{8400000}}{{240}} = 35000) рублей.

Из 35 000 рублей откладывать удастся 20 000 рублей, так как стоимость аренды 15 000 рублей.

Учитывая, что стоимость квартиры не изменится то, откладывая по 20 000 рублей, Дмитрий накопит на квартиру за:  (frac{{3000000}}{{20000}} = 150) месяцев, что составляет 12,5 лет.

Ответ: 12,5 лет.

Так как Сергею придётся выплатить банку на 260% больше суммы кредита, то общая выплата составит 360% от суммы кредита:  (2000000 cdot 3,6 = 7200000) рублей.

Так как срок кредита 20 лет (240 месяцев), то ежемесячные платежи составят:  (frac{{7200000}}{{240}} = 30000) рублей.

Из 30000 рублей откладывать удастся 16000 рублей, так как стоимость аренды 14000 рублей.

Учитывая, что стоимость квартиры не изменится то, откладывая по 16000 рублей, Сергей накопит на квартиру за:  (frac{{2000000}}{{16000}} = 125) месяцев.

Ответ: 125.

Чтобы срок кредита был наименьшим необходимо, чтобы платежи были наибольшими, то есть по 24 000 рублей.

Таким образом, кредит будет выплачен за 6 лет.

Ответ: 6.

Чтобы срок кредита был наименьшим необходимо, чтобы платежи были наибольшими, то есть по 330 000 рублей.

Таким образом, кредит будет выплачен за 6 лет.

Ответ: 6 лет.

Чтобы срок кредита был наименьшим необходимо, чтобы платежи были наибольшими, то есть по 300 000 рублей.

Таким образом, кредит будет выплачен за 4 месяца.

Ответ: 4.

Чтобы срок кредита был наименьшим необходимо, чтобы платежи были наибольшими, то есть по 125 000 рублей.

Таким образом, кредит будет выплачен за 9 месяцев.

Ответ: 9.

Алексей должен продать ценные бумаги и положить деньги в банк, когда 9% от стоимости ценных бумаг будет больше 2000 рублей.

(A cdot frac{9}{{100}} > 2000;,,,,,,A > 22222frac{2}{9}) рублей.

Через 7 лет цена ценных бумаг будет:  (9000 + 7 cdot 2000 = 23000 > 22222frac{2}{9}).

Поэтому, в начале 8-го года Алексей должен продать ценные бумаги и тогда через 20 лет сумма на банковском счёте будет наибольшей.

Ответ: 8.

Виктор должен продать ценные бумаги и положить деньги в банк, когда 12% от стоимости ценных бумаг будут больше 1500 рублей.

(A cdot frac{{12}}{{100}} > 1500;,,,,,,A > 12500) рублей.

Через 4 года цена ценных бумаг будет:  (7000 + 4 cdot 1500 = 13000 > 12500).

Поэтому, в начале 5-го года Виктор должен продать ценные бумаги и тогда через 15 лет сумма на банковском счёте будет наибольшей.

Ответ: 5.

Пусть А – сумма вклада.

1 вклад: через год будет равен 1,16 А.

2 вклад: 15% годовых.

4 месяца это (frac{1}{3}) часть от года. Следовательно, за 4 месяца банк начислит 5%, а за год три раза по 5%:

(1,05 cdot 1,05 cdot 1,05A = 1,157625A.)

Так как (1,16A > 1,157625A), то первый вклад выгоднее.

Ответ: первый.

Пусть А – сумма вклада.

1 вклад: через год будет равен 1,15 А.

2 вклад: 14% годовых.

6 месяцев это полгода. Следовательно, за 6 месяцев банк начислит 7%, а за год два раза по 7%:

(1,07 cdot 1,07A = 1,1449A.)

Так как (1,15A > 1,1449A), то первый вклад выгоднее.

Ответ: первый.

А = 4 290 000 рублей – сумма кредита.

Через год долг увеличивается на 14,5%, то есть в  (frac{{100 + 14,5}}{{100}} = 1,145 = t) раз.

х – ежегодная выплата (в рублях).

Так как долг выплачен за 2 года, то остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — x} right)t — x = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,A,{t^2} — x,t — x = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = frac{{A,{t^2}}}{{t + 1}})

(x = frac{{4290000 cdot {{1,145}^2}}}{{1,145 + 1}} = frac{{4290000 cdot {{1,145}^2}}}{{2,145}} = 2000 cdot 1145 cdot 1,145 = 2,622,050)  рублей.

Ответ: 2 622 050 рублей.

А = 6 902 000 рублей – сумма кредита.

Через год долг увеличивается на 12,5%, т.е. в  (frac{{100 + 12,5}}{{100}} = 1,125 = frac{9}{8} = t) раз.

х – ежегодная выплата (в рублях).

Так как долг выплачен за 4 года, то остаток в конце четвертого года равен нулю.

(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A,{t^4} — x,{t^3} — x,{t^2} — x,t — x = 0,,,, Leftrightarrow ,,,A{t^4} = xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = frac{{6902000 cdot {{left( {frac{9}{8}} right)}^4}}}{{{{left( {frac{9}{8}} right)}^3} + {{left( {frac{9}{8}} right)}^2} + frac{9}{8} + 1}} = frac{{6902000 cdot {9^4}}}{{8 cdot left( {{9^3} + {9^2} cdot 8 + 9 cdot {8^2} + {8^3}} right)}} = )

( = frac{{862750 cdot 6561}}{{2465}} = 350 cdot 6561 = 2296350) рублей.

Ответ: 2296350 рублей.

А – сумма кредита (в рублях)

Через год долг увеличивается на 12,5%, т.е. в  (frac{{100 + 12,5}}{{100}} = 1,125 = frac{9}{8} = t) раз.

х = 2 132 325 рублей – ежегодная выплата.

Так как долг выплачен за 4 года, то остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A,{t^4} — x,{t^3} — x,{t^2} — x,t — x = 0,,,, Leftrightarrow ,,,A{t^4} = xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right))

(A = frac{{xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right)}}{{{t^4}}} = frac{{2132325 cdot left( {frac{{{9^3}}}{{{8^3}}} + frac{{{9^2}}}{{{8^2}}} + frac{9}{8} + 1} right)}}{{frac{{{9^4}}}{{{8^4}}}}} = frac{{2132325 cdot 8 cdot left( {{9^3} + {9^2} cdot 8 + 9 cdot {8^2} + {8^3}} right)}}{{9 cdot 9 cdot 9 cdot 9}} = )( = 325 cdot 8 cdot 2465 = 6409000) рублей.

Ответ: 6 409 000 рублей.

A = 9930000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 10%, то есть в  (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – ежегодная выплата (в рублях).

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю.

(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,A,{t^3} = xleft( {{t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^3}}}{{{t^2} + t + 1}} = frac{{9930000 cdot {{1,1}^3}}}{{{{1,1}^2} + 1,1 + 1}} = frac{{9930 cdot 11 cdot 11 cdot 11}}{{3,31}} =  = 3000 cdot 1331 = 3993000)   рублей.

Ответ:  3 993 000 рублей.

A = 8 052 000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 20%, то есть в  (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t).

x – ежегодная выплата (в рублях).

Так как долг выплачен за 4 года, то остаток в конце четвёртого года равен нулю

(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A,{t^4} — x,{t^3} — x,{t^2} — x,t — x = 0,,,, Leftrightarrow ,,,A{t^4} = xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = frac{{8052000 cdot {{1,2}^4}}}{{{{1,2}^3} + {{1,2}^2} + 1,2 + 1}} = frac{{805,2 cdot {{12}^4}}}{{5,368}} =  = 150 cdot 144 cdot 144 = 3110400) рублей.

Ответ: 3 110 400 рублей.

A = 9282000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – ежегодная выплата (в рублях).

Так как долг выплачен за 4 года, то остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A,{t^4} — x,{t^3} — x,{t^2} — x,t — x = 0,,,, Leftrightarrow ,,,A{t^4} = xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = frac{{9,282,000 cdot {{1,1}^4}}}{{{{1,1}^3} + {{1,1}^2} + 1,1 + 1}} = frac{{928,2 cdot {{11}^4}}}{{4,641}} = 200 cdot 121 cdot 121 = 2,928,200)  рублей.

Ответ:  2 928 200 рублей.

A = сумма кредита (в рублях). Через год долг увеличивается на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x = 399 300 рублей – ежегодная выплата.

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю

(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,A,{t^3} = xleft( {{t^2} + t + 1} right))

(A = frac{{xleft( {{t^2} + t + 1} right)}}{{{t_3}}} = frac{{399300 cdot left( {{{1,1}^2} + 1,1 + 1} right)}}{{{{1,1}^3}}} = frac{{399300 cdot 3,31}}{{1,331}} = 3000 cdot 331 = 993000) рублей.

Ответ:  993 000 рублей.

A = сумма кредита (в рублях). Через год долг увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t) раз.

x = 207 360 рублей – ежегодная выплата.

Так как долг выплачен за 4 года, то остаток в конце четвёртого года равен нулю

(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A,{t^4} — x,{t^3} — x,{t^2} — x,t — x = 0,,,, Leftrightarrow ,,,A{t^4} = xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right))

(A = frac{{xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right)}}{{{t^4}}} = frac{{207360 cdot left( {{{1,2}^3} + {{1,2}^2} + 1,2 + 1} right)}}{{{{1,2}^4}}} = frac{{207360 cdot 5,368}}{{2,0736}} = 100000 cdot 5,368 = 536800) рублей.

Ответ:  536 800 рублей.

A = 7007000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t) раз.

x – ежегодная выплата на 3 года

Остаток в конце третьего года равен нулю.

(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,A,{t^3} = xleft( {{t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^3}}}{{{t^2} + t + 1}} = frac{{7007000 cdot {{1,2}^3}}}{{{{1,2}^2} + 1,2 + 1}} = 3326400) рублей.

Следовательно, выплаты за 3 года составили:   (3x = 3 cdot 3326400 = 9,,979,,200) рублей.

y – ежегодная выплата на 2 года.

Остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — y} right)t — y = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} — yt — y = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} = yleft( {t + 1} right))

(y = frac{{A{t^2}}}{{t + 1}} = frac{{7007000 cdot {{1,2}^2}}}{{1,2 + 1}} = 4586400) рублей.

Следовательно, выплаты за 2 года составили:   (2y = 2 cdot 4586400 = 9,,172,,800) рублей.

Таким образом, разница составит: (3x — 2y = 9,,979,,200 — 9,,172,,800 = 806,,400) рублей.

Ответ: 806 400 рублей.

A = 7378000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 12,5%, то есть в (frac{{100 + 12,5}}{{100}} = 1,125 = frac{9}{8} = t) раз.

x – ежегодная выплата на 3 года.

Остаток в конце третьего года равен нулю.

(left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,A,{t^3} = xleft( {{t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^3}}}{{{t^2} + t + 1}} = frac{{7378000 cdot {{left( {frac{9}{8}} right)}^3}}}{{{{left( {frac{9}{8}} right)}^2} + frac{9}{8} + 1}} = 3098250) рублей.

Следовательно, выплаты за 3 года составили:   (3x = 3 cdot 3098250 = 9,,294,,750) рублей.

y – ежегодная выплата на 2 года.

Остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — y} right)t — y = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} — yt — y = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} = yleft( {t + 1} right))

(y = frac{{A{t^2}}}{{t + 1}} = frac{{7378000 cdot {{left( {frac{9}{8}} right)}^2}}}{{frac{9}{8} + 1}} = 4394250) рублей.

Следовательно, выплаты за 2 года составили:   (2y = 2 cdot 4394250 = 8,,788,,500) рублей.

Таким образом, разница составит: (3x — 2y = 9,,294,,750 — 8,,788,,500 = 506,,250) рублей.

Ответ: 506 250 рублей.

A = 8052000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t)раз.

x – ежегодный платёж на 4 года.

Остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A,{t^4} — x,{t^3} — x,{t^2} — x,t — x = 0,,,, Leftrightarrow ,,,A{t^4} = xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = frac{{8052000 cdot {{1,2}^4}}}{{{{1,2}^3} + {{1,2}^2} + 1,2 + 1}} = 3110400) рублей.

Следовательно, выплаты за 4 года составили:   (4x = 4 cdot 3110400 = 12,,441,,600) рублей.

y – ежегодный платёж на 2 года.

Остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — y} right)t — y = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} — yt — y = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} = yleft( {t + 1} right))

(y = frac{{A{t^2}}}{{t + 1}} = frac{{8052000 cdot {{1,2}^2}}}{{1,2 + 1}} = 5270400) рублей.

Следовательно, выплаты за 2 года составили:   (2y = 2 cdot 5270400 = 10,,540,,800) рублей.

Таким образом, разница составит: (4x — 2y = 12,,441,,600 — 10,,540,,800 = 1,,900,,800) рублей.

Ответ: 1 900 800 рублей.

A = 9282000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 10%, то есть (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – ежегодный платёж на 4 года

Остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(left( {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x} right)t — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A,{t^4} — x,{t^3} — x,{t^2} — x,t — x = 0,,,, Leftrightarrow ,,,A{t^4} = xleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right))

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = frac{{9282000 cdot {{1,1}^4}}}{{{{1,1}^3} + {{1,1}^2} + 1,1 + 1}} = 2928200) рублей.

Следовательно, выплаты за 4 года составили:   (4x = 4 cdot 2928200 = 11,,712,,800) рублей.

y – ежегодный платёж на 2 года.

Остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — y} right)t — y = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} — yt — y = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^2} = yleft( {t + 1} right))

(y = frac{{A{t^2}}}{{t + 1}} = frac{{9282000 cdot {{1,1}^2}}}{{1,1 + 1}} = 5348200) рублей.

Следовательно, выплаты за 2 года составили:   (2y = 2 cdot 5348200 = 10,,696,,400) рублей.

Таким образом, разница составит: (4x — 2y = 11,,712,,800 — 10,,696,,400 = 1,,016,,400) рублей.

Ответ: 1 016 400 рублей.

A = 100 000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на r %, то есть в (frac{{100 + r}}{{100}} = t) раз.

Платежи:    a = 75 000 рублей в 1–й год;      b = 46 000 рублей во 2–й год.

Так как долг выплачен за 2 года, то остаток в конце второго года равен нулю.

(left( {At — a} right)t — b = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100000{t^2} — 75000t — 46000 = 0,,,, Leftrightarrow ,,,,100{t^2} — 75t — 46 = 0;)

(D = 5625 + 18400 = 24025 = {155^2};,,,,,{t_1} = frac{{23}}{{20}};,,,,,,,,,{t_2} =  — frac{2}{5})    не подходит.

(frac{{100 + r}}{{100}} = frac{{23}}{{20}};,,,,,,100 + r = 115;,,,,,,r = 15)%.

Ответ: 15.

А = 100 000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на r%, то есть в (frac{{100 + r}}{{100}} = t) раз.

Платежи:     a = 68 000 рублей в 1–й год;      b = 59 000 рублей во 2–й год.

Так как долг выплачен за 2 года, то остаток в конце 2–го года равен нулю.

(left( {At — a} right)t — b = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,100000{t^2} — 68000t — 59000 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100{t^2} — 68t — 59 = 0;)

(D = {68^2} + 400 cdot 59 = 28224;,,,,,,sqrt D  = 168;,,,,,,{t_1} = frac{{68 + 168}}{{200}} = frac{{118}}{{100}};,,,,,,,{t_2} = frac{{68 — 168}}{{200}} =  — frac{1}{2}.)

({t_2} =  — frac{1}{2}) не подходит.  Следовательно:  (frac{{100 + r}}{{100}} = frac{{118}}{{100}};,,,,,,,,,,r = 18)%.

Ответ: 18.

А = 270 200 рублей – сумма кредита.

Через год долг увеличился на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – первый платёж (в рублях);    3x – второй;    9x – третий.

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю.

(left( {left( {At — x} right)t — 3x} right)t — 9x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} — x{t^2} — 3xt — 9x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A{t^3} = xleft( {{t^2} + 3t + 9} right))

(x = frac{{A{t^3}}}{{{t^2} + 3t + 9}} = frac{{270200 cdot {{1,1}^3}}}{{{{1,1}^2} + 3 cdot 1,1 + 9}} = frac{{270200 cdot 1,331}}{{13,51}} = 20000 cdot 1,331 = 26620)  рублей.

Следовательно, первый платёж составил  26 620 рублей.

Ответ: 26 620 рублей.

А = 804 000 рублей – сумма кредита

Через год долг увеличился на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

4x – первый платёж (в рублях);      2x – второй;       x – третий.

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю.

(left( {left( {At — 4x} right)t — 2x} right)t — x = 0;,,,,,,,,,,A{t^3} — 4x{t^2} — 2xt — x = 0)

(x = frac{{A{t^3}}}{{4{t^2} + 2t + 1}} = frac{{804000 cdot {{1,1}^3}}}{{4 cdot {{1,1}^2} + 2 cdot 1,1 + 1}} = frac{{804000 cdot 1,331}}{{8,04}} = 100 cdot 1331 = 133100)  рублей.

Следовательно, третий платёж составил  133 100 рублей.

Ответ: 133 100 рублей.

А = сумма кредита (в рублях). Через год долг увеличился на 30%, то есть в (frac{{100 + 30}}{{100}} = 1,3 = t) раз.

x – ежегодный платёж (в рублях)

Общая сумма выплат равна 3x, а остаток в конце третьего года равен нулю.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {3x — A = 156060;} \   {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0.} end{array}} right.)

Из второго уравнения:   (A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A cdot {1,3^3} = x cdot {1,3^2} + 1,3x + x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A = frac{{3,99x}}{{2,197}})

Подставим в первое уравнение:

(3x — frac{{3,99x}}{{2,197}} = 156060,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = frac{{156060 cdot 2197}}{{2601}})

Тогда:    (A = frac{{3990 cdot 156060 cdot 2197}}{{2197 cdot 2601}} = 3990 cdot 60 = 239400) рублей.

Ответ: 239 400 рублей.

А = сумма кредита (в рублях). Через год долг увеличился на 30%, то есть в (frac{{100 + 30}}{{100}} = 1,3 = t) раз.

x – ежегодный платёж (в рублях)

Общая сума выплат равна 3x, а остаток в конце третьего года равен нулю.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {3x — A = 78030;} \   {left( {left( {At — x} right)t — x} right)t — x = 0.} end{array}} right.)

Из второго уравнения:   (A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A cdot {1,3^3} = x cdot {1,3^2} + 1,3x + x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A = frac{{3,99x}}{{2,197}})

Подставим в первое уравнение:

(3x — frac{{3,99x}}{{2,197}} = 78030,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = frac{{78030 cdot 2197}}{{2601}})

Тогда:    (A = frac{{3990 cdot 78030 cdot 2197}}{{2197 cdot 2601}} = 3990 cdot 30 = 119700) рублей.

Ответ: 119 700 рублей.

А = 4420000 рублей – сумма кредита, которая через год увеличивается на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – платежи в конце второго и четвёртого годов.

Остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(left( {A{t^2} — x} right){t^2} — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A{t^4} — x,{t^2} — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A,{t^4} = xleft( {{t^2} + 1} right))

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^2} + 1}} = frac{{4420000 cdot {{1,1}^4}}}{{{{1,1}^2} + 1}} = frac{{442 cdot {{11}^4}}}{{2,21}} = 200 cdot 121 cdot 121 = 2928200) рублей.

Следовательно, каждый из платежей составляет по 2 928 200 рублей.

Ответ: 2 928 200 рублей.

А = 7 320 000 рулей – сумма кредита, которая через год увеличивается на 20% , то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = )t раз

x – платежи в конце второго и четвёртого годов.

Остаток в конце четвёртого года равен нулю.

(left( {A{t^2} — x} right){t^2} — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,A{t^4} — x,{t^2} — x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A,{t^4} = xleft( {{t^2} + 1} right))

(x = frac{{A{t^4}}}{{{t^2} + 1}} = frac{{7320000 cdot {{1,2}^4}}}{{{{1,2}^2} + 1}} = frac{{732 cdot {{12}^4}}}{{2,44}} = 300 cdot 144 cdot 144 = 6,220,800)  рублей.

Следовательно, каждый из платежей составляют по  6 220 800  рублей.

Ответ: 6 220 800 рублей.

А – сумма кредита; срок 10 лет.

Каждый год банк начисляет 19% на остаток, а заёмщик выплачивает эти проценты и десятую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{10}}). Таким образом, через 1 год остаток долга будет (frac{{9A}}{{10}}), через 2 года (frac{{8A}}{{10}}), через 3 года (frac{{7A}}{{10}}) и так далее.

Общая сумма выплат за 10 лет равна сумме кредита А и начисленным процентам:

(A + frac{{10A}}{{10}} cdot frac{{19}}{{100}} + frac{{9A}}{{10}} cdot frac{{19}}{{100}} + frac{{8A}}{{10}} cdot frac{{19}}{{100}} + … + frac{A}{{10}} cdot frac{{19}}{{100}} = A + frac{{19}}{{100}} cdot frac{A}{{10}} cdot left( {10 + 9 + 8 + … + 1} right) = )

( = A + frac{{19}}{{100}} cdot frac{A}{{10}} cdot frac{{1 + 10}}{2} cdot 10 = A + frac{{209A}}{{200}} = frac{{409A}}{{200}} = 2,045A)

Таким образом, сумма выплаченная банку заёмщиком в 2,045 раз больше суммы кредита.

Ответ: 2,045.

А – сумма кредита; срок 20 лет.

Каждый год банк начисляет 12% на остаток, а заёмщик выплачивает эти проценты и двадцатую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{20}}).Таким образом, через 1 год остаток долга будет (frac{{19A}}{{20}}), через 2 года (frac{{18A}}{{20}}), через 3 года (frac{{17A}}{{20}}) и так далее.

Общая сумма выплат за 20 лет равна сумме кредите А и сумме начисленных процентов.

(A + frac{{20A}}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} + frac{{19A}}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} + frac{{18A}}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} + … + frac{A}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} = A + frac{A}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} cdot left( {20 + 19 + 18 + … + 1} right) = )

( = A + frac{A}{{20}} cdot frac{{12}}{{100}} cdot frac{{1 + 20}}{2} cdot 20 = A + frac{{252A}}{{200}} = frac{{452A}}{{200}} = 2,26A)

Таким образом, сумма выплаченная банку заёмщиком в 2,26 раз больше суммы кредита.

Ответ: 2,26.

А = 10 млн. рублей – первоначальный вклад.

x – сумма на которую пополняется вклад в начале третьего и четвёртого годов (целое число млн. руб.).

В конце каждого года вклад увеличивается на 10%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

По условию задачи вклад в конце четвёртого года должен быть не меньше 30 млн. руб.

(left( {left( {A{t^2} + x} right)t + x} right)t ge 30,,,,, Leftrightarrow ,,,,10 cdot {1,1^4} + x cdot {1,1^2} + x cdot 1,1 ge 30,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,2,31x ge 15,359,,,,, Leftrightarrow ,,,,x ge frac{{15359}}{{2310}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x ge 6frac{{1499}}{{2310}}.)

Так как, х наименьшее целое, то х = 7 млн. руб

Ответ: 7.

А = 6 млн. рублей – первоначальный вклад.

В коне каждого года вклад увеличивается на 10%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

x – сумма на которую наполняется вклад в начале третьего и четвёртого годов (целое число млн. рублей).

По условию задачи вклад в коне четвёртого года должен быть не меньше 15 млн. рублей.

(left( {left( {A{t^2} + x} right)t + x} right)t ge 15,,,, Leftrightarrow ,,,,,6 cdot {1,1^4} + {1,1^2} cdot x + 1,1x ge 15,,,,, Leftrightarrow ,,,,,2,31x ge 6,2154,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,x ge frac{{62154}}{{23100}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x ge 2frac{{2659}}{{3850}}.)

Так как х наименьшее целое, то х = 3 млн. руб.

Ответ: 3.

А = 10 млн. рублей – первоначальные вложения.

В конце каждого года вклад увеличивается на 15%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 15}}{{100}} = 1,15 = t) раз.

В конце второго года вложенные средства как минимум удвоятся:

(left( {At + n} right)t + n ge 20,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,10 cdot {1,15^2} + 1,15 cdot n + n ge 20,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,2,15n ge 6,775,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n ge frac{{6775}}{{2150}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,n ge 3frac{{13}}{{86}}.)

Так как n наименьшее целое число, то n = 4 млн. рублей.

В конце четвёртого года вложенные средства как минимум утроятся:

(left( {left( {left( {At + n} right)t + n} right)t + m} right)t + m ge 30,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,10 cdot {1,15^4} + 4 cdot {1,15^3} + 4 cdot {1,15^2} + 1,15m + m ge 30,,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,2,15m ge 1,1364375,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,m ge frac{{11364375}}{{21500000}}.)

Так как m наименьшее целое, то m = 1 млн. рублей.

Ответ:  n = 4;   m = 1.

A = 20 млн. рублей – первоначальные вложения

В конце каждого года вклад увеличивается на 13%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 13}}{{100}} = 1,13 = t) раз.

В конце второго года вложенные средства как минимум удвоятся:

((A cdot t + n) cdot t + n ge 40,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,20 cdot {1,13^2} + 1,13 cdot n + n ge 40,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,2,13 cdot n ge 14,462,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n ge frac{{14462}}{{2130}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,n ge 6,,frac{{1682}}{{2130}}.)

Так как n наименьшее целое, то n = 7 млн. руб.

В конце четвёртого года вложенные средства как минимум утроятся:

(left( {left( {left( {A cdot t + n} right) cdot t + n} right) cdot t + m} right) cdot t + m ge 60,,,,, Leftrightarrow ,,,,,20 cdot {1,13^4} + 7 cdot {1,13^3} + 7 cdot {1,13^2} + 1,13 cdot m + m ge 60,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,2,13 cdot m ge 8,3519488,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,m ge frac{{83519488}}{{21300000}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,m ge 3,,frac{{19619488}}{{21300000}}.)

Так как m наименьшее целое, то m = 4 млн. руб.

Ответ: n = 7, m = 4.

A – первоначальные вложения (целое число млн. руб).

В конце каждого года вклад увеличивается на 20%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t) раз.

В конце второго года сумма должна быть больше 150 млн. руб, а в конце четвёртого больше 250 млн. руб.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20 > 150}\{left( {left( {left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20} right) cdot t + 10} right) cdot t + 10 > 250}end{array}} right.)

Из первого неравенства:  (A cdot {1,2^2} + 20 cdot 1,2 > 130,,,,, Leftrightarrow ,,,,,1,44A > 106,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A > 73frac{{11}}{{18}}.)

Из второго неравенства:

(A cdot {1,2^4} + 20 cdot {1,2^3} + 20 cdot {1,2^2} + 10 cdot 1,2 > 240,,,, Leftrightarrow ,,,,2,0736A > 164,64,,,,, Leftrightarrow ,,,,A > 79frac{{43}}{{108}}.)

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{A > 73frac{{11}}{{18}}}\{A > 79frac{{43}}{{108}}}end{array}} right.)   ( =  > ,,,,,,A > 79frac{{43}}{{108}}.)

Так как A наименьшее целое, то A = 80 млн. руб.

Ответ: 80.

A – первоначальные вложения (целое число млн. руб).

В конце каждого года вклад увеличивается на 10%, то есть увеличивается в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t) раз.

В конце второго года сумма должна быть больше 200 млн. руб, а в конце четвёртого больше 270 млн. руб.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20 > 200}\{left( {left( {left( {A cdot t + 20} right) cdot t + 20} right) cdot t + 10} right) cdot t + 10 > 270}end{array}} right.)

Из первого неравенства:  (A cdot {1,1^2} + 20 cdot 1,1 > 180,,,,, Leftrightarrow ,,,,,1,21A > 158,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A > 130frac{{70}}{{121}}.)

Из второго неравенства:

(A cdot {1,1^4} + 20 cdot {1,1^3} + 20 cdot {1,1^2} + 10 cdot 1,1 > 260,,,, Leftrightarrow ,,,,1,4641A > 198,18,,,,, Leftrightarrow ,,,,A > 135frac{{5265}}{{14641}}.)

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{A > 130frac{{70}}{{121}}}\{A > 135frac{{5265}}{{14641}}}end{array}} right.)   ( =  > ,,,,,,A > 135frac{{5265}}{{14641}}.)

Так как A наименьшее целое, то A = 136 млн. руб.

Ответ: 136.

A – сумма кредита (в рублях).

Каждый год сумма кредита увеличивается на r%, то есть увеличивается в (frac{{100 + r}}{{100}} = t) раз.

(a = 292820) рублей ежегодная выплата, если срок кредита 4 года

(b = 534820) рублей ежегодная выплата, если срок кредита 2 года

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{left( {left( {left( {A cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a = 0}\{left( {A cdot t — b} right) cdot t — b = 0}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{A cdot {t^4} = aleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right)}\{A cdot {t^2} = b cdot left( {t + 1} right)}end{array}} right.} right.)

Разделим первое уравнение на второе:

(frac{{A cdot {t^4}}}{{A cdot {t^2}}} = frac{{a cdot ({t^2} cdot (t + 1) + (t + 1))}}{{b cdot (t + 1)}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{t^2} = frac{{a cdot (t + 1) cdot ({t^2} + 1)}}{{b cdot (t + 1)}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,b cdot {t^2} = a cdot {t^2} + a,,,,, Leftrightarrow ,,,,,(b — a) cdot {t^2} = a)(t = sqrt {frac{a}{{b — a}}}  = sqrt {frac{{292820}}{{534820 — 292820}}}  = sqrt {frac{{292820}}{{242000}}}  = sqrt {frac{{121}}{{100}}}  = frac{{11}}{{10}})

(frac{{100 + r}}{{100}} = frac{{11}}{{10}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r = 10% .)

Ответ: 10.

A – сумма кредита (в рублях).

Каждый год сумма кредита увеличивается на r%, то есть увеличивается в (frac{{100 + r}}{{100}} = t)раз.

(a = 216000) рублей ежегодная выплата, если срок 4 года

(b = 366000) рублей ежегодная выплата, если срок 2 года

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{left( {left( {left( {A cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a} right) cdot t — a = 0}\{left( {A cdot t — b} right) cdot t — b = 0}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{A cdot {t^4} = aleft( {{t^3} + {t^2} + t + 1} right)}\{A cdot {t^2} = b cdot left( {t + 1} right)}end{array}} right.} right.)

Разделим первое уравнение на второе:

(frac{{A cdot {t^4}}}{{A cdot {t^2}}} = frac{{a cdot ({t^2} cdot (t + 1) + (t + 1))}}{{b cdot (t + 1)}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{t^2} = frac{{a cdot (t + 1) cdot ({t^2} + 1)}}{{b cdot (t + 1)}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,b cdot {t^2} = a cdot {t^2} + a,,,,, Leftrightarrow ,,,,,(b — a) cdot {t^2} = a)(t = sqrt {frac{a}{{b — a}}}  = sqrt {frac{{216000}}{{366000 — 216000}}}  = sqrt {frac{{36}}{{25}}}  = frac{6}{5})

(frac{{100 + r}}{{100}} = frac{6}{5},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r = 20% .)

Ответ: 20.

A – сумма кредита (в млн. рублей).

Каждый год сумма кредита увеличивается на 10%, то есть в (frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1) раз.

Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по (0,1A), а в конце четвёртого и пятого годов платежи составляют по x рублей.

Остаток в конце пятого года долг полностью погашен, поэтому остаток равен нулю, а общая сумма выплат (0,3A + 2x) должна быть меньше 8 млн. руб.

(left{ begin{array}{l}(1,1A — x)1,1 — x = 0;\0,3A + 2x < 8.end{array} right.)

Выразим из уравнения x и подставим в неравенство:    (1,21A = 2,1x,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = frac{{1,21A}}{{2,1}}.)

(0,3A + frac{{2,42A}}{{2,1}} < 8,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,0,63A + 2,42A < 16,8,,,,, Leftrightarrow ,,,,3,05A < 16,8,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A < frac{{1680}}{{305}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,A < 5frac{{31}}{{61}}.)

Так как A должно быть наибольшим и целым, то A = 5 млн. рублей.

Ответ: 5.

A – сумма кредита (в млн. рублей).

Каждый год сумма кредита увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2) раз.

Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по (0,2A), а в конце четвёртого и пятого годов платежи составляют по x рублей.

Остаток в конце пятого года долг полностью погашен, поэтому остаток равен нулю, а общая сумма выплат (0,6A + 2x) должна быть больше 10 млн. руб.

(left{ begin{array}{l}(1,2A — x)1,2 — x = 0;\0,6A + 2x > 10.end{array} right.)

Выразим из уравнения x и подставим в неравенство:   (1,44A = 2,2x,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = frac{{1,44A}}{{2,2}}.)

(0,6A + frac{{1,44A}}{{1,1}} > 10;,,,,,,0,66A + 1,44A > 11,,,,,, Leftrightarrow ,,,,2,1A > 11,,,, Leftrightarrow ,,,,,A > 5frac{5}{{21}}).

Так как A должно быть наименьшим и целым, то A = 6 млн. рублей.

Ответ: 6.

A = 4,5 млн. рублей сумма кредита.

Каждый год долг возрастает на r% и уменьшается заёмщиком на одну и ту же сумму, то есть на (frac{{4,5}}{9} = 0,5) млн. руб.

Следовательно, ежегодные платежи равны 0,5 млн. руб плюс начисленные проценты за год.

Наибольший годовой платёж первый (4,5 cdot frac{r}{{100}} + 0,5), а наименьший последний (0,5 cdot frac{r}{{100}} + 0,5). Следовательно:

(left{ begin{array}{l}4,5 cdot frac{r}{{100}} + 0,5 le 1,4\0,5 cdot frac{r}{{100}} + 0,5 ge 0,6end{array} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ begin{array}{l}4,5r le 90\0,5r ge 10end{array} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ begin{array}{l}r le 20\r ge 20end{array} right.,,,,, Rightarrow ,,,r = 20% .)      

Ответ: 20.

A = 6 млн. рублей сумма кредита.

Каждый год долг возрастает на r% и уменьшается заёмщиком на одну и ту же сумму, то есть на (frac{6}{{15}} = 0,4)млн. руб.

Следовательно, ежегодные платежи равны 0,4 млн. руб. плюс начисленные проценты на остаток за год.

Наибольший годовой платёж первый (6 cdot frac{r}{{100}} + 0,4), а наименьший последний (0,4 cdot frac{r}{{100}} + 0,4). Следовательно:

(left{ begin{array}{l}6 cdot frac{r}{{100}} + 0,4 le 1,9\0,4 cdot frac{r}{{100}} + 0,4 ge 0,5end{array} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ begin{array}{l}6r le 150\0,4r ge 10end{array} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ begin{array}{l}r le 25\r ge 25end{array} right.,,,,,,, Rightarrow ,,,r = 25% .)

Ответ: 25.

A = 28 млн. рублей сумма кредита сроком на n лет, где n – целое.

Каждый год долг возрастает на 25%, то есть увеличивается в 1,25 раза и уменьшается заёмщиком на одну и ту же величину, то есть на (frac{{28}}{n}).

Следовательно, ежегодные платежи равны (frac{{28}}{n}) плюс начисленные проценты на остаток за год.

Наибольший годовой платёж первый, то есть:  (28 cdot frac{{25}}{{100}} + frac{{28}}{n} = 9,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{28}}{n} = 2,,,,, Leftrightarrow ,,,,n = 14.)

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за 14 лет плюс сумма самого кредита 28 млн. рублей.

(28 + 28 cdot frac{{25}}{{100}} + 26 cdot frac{{25}}{{100}} + … + 2 cdot frac{{25}}{{100}} = 28 + frac{{25}}{{100}} cdot (28 + 26 + … + 2) = 28 + frac{1}{4} cdot frac{{2 + 28}}{2} cdot 14 = )( = 28 + frac{{105}}{2} = 28 + 52,5 = 80,5)млн. рублей.

Ответ: 80,5.

A = 9 млн. рублей сумма кредита сроком на n лет, где n – целое.

Каждый год долг возрастает на 25%, то есть в 1,25 раза и уменьшается заёмщиком на одну и ту же величину, то есть на (frac{9}{n}).

Следовательно, ежегодные платежи равны (frac{9}{n})плюс начисленные проценты на остаток за год.

Наименьший годовой платёж последний, то есть:  (frac{9}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + frac{9}{n} = 1,25,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{9}{n}left( {frac{1}{4} + 1} right) = frac{5}{4},,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 9.)

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за 9 лет плюс сумма самого кредита 9 млн. руб.

(9 + 9 cdot frac{{25}}{{100}} + 8 cdot frac{{25}}{{100}} + … + 1 cdot frac{{25}}{{100}} = 9 + frac{{25}}{{100}} cdot (9 + 8 + … + 1) = 9 + frac{1}{4} cdot frac{{1 + 9}}{2} cdot 9  = 20,25) млн. руб.

Ответ: 20,25.

A – сумма кредита ( в рублях).

Каждый год сумма кредита увеличивается на r %, то есть в (frac{{100 + r}}{{100}} = t) раз.

a = 38016 руб. ежегодная выплата, если срок кредита 3 года.

b = 52416 руб. ежегодная выплата, если срок кредита 2 года.

(left{ begin{array}{l}((A cdot t — a) cdot t — a) cdot t — a = 0\(A cdot t — b) cdot t — b = 0end{array} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ begin{array}{l}A cdot {t^3} = a cdot ({t^2} + t + 1)\A cdot {t^2} = b cdot (t + 1)end{array} right.)       

Разделим первое уравнение на второе:

(frac{{A cdot {t^3}}}{{A cdot {t^2}}} = frac{{a cdot ({t^2} + t + 1)}}{{b cdot (t + 1)}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,b cdot {t^2} + b cdot t = a cdot {t^2} + a cdot t + a,,,,, Leftrightarrow ,,,,,(b — a) cdot {t^2} + (b — a) cdot t — a = 0,,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,14400,{t^2} + 14400,t — 38016 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,25,{t^2} + 25,t — 66 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{t_1} = frac{6}{5};,,,,,{t_2} =  — frac{{11}}{5}.)

({t_2} =  — frac{{11}}{5}) не подходит. Следовательно:  (frac{{100 + r}}{{100}} = frac{6}{5},,,,, Leftrightarrow )   (r = 20% ).

Ответ: 20.

A – сумма кредита ( в рублях)

Каждый год сумма кредита увеличивается на r %, то есть в (frac{{100 + r}}{{100}} = t) раз.

a = 56595 рублей ежегодная выплата, если срок кредита 3 года.

b = 81095 рублей ежегодная выплата, если срок кредита 2 года.

(left{ begin{array}{l}((A cdot t — a) cdot t — a) cdot t — a = 0\(A cdot t — b) cdot t — b = 0end{array} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ begin{array}{l}A cdot {t^3} = a cdot ({t^2} + t + 1)\A cdot {t^2} = b cdot (t + 1)end{array} right.)       

Разделим первое уравнение на второе:

(frac{{A cdot {t^3}}}{{A cdot {t^2}}} = frac{{a cdot ({t^2} + t + 1)}}{{b cdot (t + 1)}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,b cdot {t^2} + b cdot t = a cdot {t^2} + a cdot t + a,,,,, Leftrightarrow ,,,,,(b — a) cdot {t^2} + (b — a) cdot t — a = 0,,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,24500 cdot {t^2} + 24500 cdot t — 56595 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 cdot {t^2} + 100 cdot {t^2} — 231 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{t_1} = frac{{11}}{{10}};,,,,,{t_2} =  — frac{{21}}{{10}}.)

({t_2} =  — frac{{21}}{{10}}) не подходит.  Следовательно:  (frac{{100 + r}}{{100}} = frac{{11}}{{10}},,,,, Leftrightarrow )   (r = 10% ).

Ответ: 10.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «A» каждый год увеличивается на 10%, то есть в 1,1 раза. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,1^3} cdot S). 

Вклад «Б» первые 2 года увеличивается на 11%, то есть в 1,11 раз, а третий год на n%, то есть в (frac{{100 + n}}{{100}}) раз. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,11^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}}).

Вклад «Б» должен быть менее выгоден, то есть:

({1,11^2} cdot frac{{100 + n}}{{100}} cdot S < {1,1^3} cdot S,left| {,:,S,} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,,1,2321 cdot frac{{100 + n}}{{100}} < 1,331,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 + n < frac{{133,1}}{{1,2321}},,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,n < frac{{9,89}}{{1,2321}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n < frac{{98900}}{{12321}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,n < 8frac{{332}}{{12321}}.)

Так как n наибольшее натуральное, то n = 8%.

Ответ: 8.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «A» каждый год увеличивается на 20%, то есть в 1,2 раза. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,2^3} cdot S).

Вклад «Б» первые 2 года увеличивается на 25%, то есть в 1,25 раза, а третий год на n%, то есть в (frac{{100 + n}}{{100}}) раз. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,25^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}}).

Вклад «Б» должен быть менее выгоден, то есть:

({1,25^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}} < {1,2^3} cdot Sleft| {,:,S} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,1,5625 cdot frac{{100 + n}}{{100}} < 1,728,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 + n < frac{{172,8}}{{1,5625}},,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,n < frac{{16,55}}{{1,5625}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n < frac{{1324}}{{125}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,n < 10frac{{74}}{{125}}.)

Так как n наибольшее натуральное, то n = 10%.

Ответ: 10.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «A» каждый год увеличивается на 20%, то есть в 1,2 раза. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,2^3} cdot S)

Вклад «Б» первые 2 года увеличивается на 21%, то есть в 1,21 раз, а третий год на n%, то есть в (frac{{100 + n}}{{100}})раз. Поэтому через 3 года он будет равен:({1,21^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}}).

Вклад «Б» должен быть более выгоден, то есть:

({1,21^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}} > {1,2^3} cdot Sleft| {,:,S} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1,4641 cdot frac{{100 + n}}{{100}} > 1,728,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,100 + n > frac{{172,8}}{{1,4641}},,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,n > frac{{26,39}}{{1,4641}},,,,, Leftrightarrow ,,,,n > frac{{263900}}{{14641}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,n > 18frac{{362}}{{14641}}.)

Так как n наименьшее целое, то n = 19%.

Ответ: 19.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «А» каждый год увеличивается на 10% , то есть в 1,1 раза. Поэтому через 3 года он будет равен ({1,1^3} cdot S).

Вклад «Б» первые 2 года увеличивается на 1% , то есть в 1,11 раза, а третий год на n% то есть в (frac{{100 + n}}{{100}}) раз. Поэтому через 3 года он будет равен: ({1,11^2} cdot Sfrac{{100 + n}}{{100}})

Вклад «Б» должен быть более выгоден, то есть:

({1,11^2} cdot S cdot frac{{100 + n}}{{100}} > {1,1^3} cdot S,left| {,:,S} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1,2321 cdot frac{{100 + n}}{{100}} > 1,331,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,100 + n > frac{{133,1}}{{1,2321}},,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,n > frac{{98900}}{{12321}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,n > 8frac{{332}}{{12321}}.)

Так как n наименьшее целое, то n = 9%.

Ответ: 9.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «А» каждый год увеличивается на 20%, то есть в 1,2 раза. Поэтому через 3 года он будет равен ({1,2^3} cdot S).

Вклад «Б» первый год увеличивается на 10%, то есть в 1,1 раза, а второй и третий на n%, то есть в (frac{{100 + n}}{{100}}) раз. Поэтому через 3 года он будет равен: (1,1 cdot S cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2})

Вклад «Б» должен быть выгоднее, то есть:

(1,1 cdot S cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2} > {1,2^3} cdot S,,left| {,:S} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1,1 cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2} > {1,2^3})

Решить последнее неравенство без калькулятора достаточно сложно, поэтому решим его подбором. Так как n целое, то проверим n = 25: левая принимает значение 1,71875, а правая – 1,728, то есть при n = 25 неравенство не выполняется. Проверим n = 26: левая часть 1,74636, а правая – 1,728, то есть неравенство выполняется. Следовательно, наименьшее целое значение n при котором вклад «Б» более выгоден 26%.

Ответ: 26.

Пусть на каждый вклад внесена сумма равная S.

Вклад «А» каждый год увеличивается на 10%, то есть в 1,1 раза. Поэтому через 3 года он будет равен ({1,1^3} cdot S).

Вклад «Б» первый год увеличивается на 5%, то есть в 1,05 раза, а второй и третий год на n%, то есть в (frac{{100 + n}}{{100}}) раз. Поэтому через 3 года он будет равен: (1,05 cdot S cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2})

Вклад «Б» должен быть выгоднее, то есть:

(1,05 cdot S cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2} > {1,1^3} cdot S,left| {,:} right.,S,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1,05 cdot {left( {frac{{100 + n}}{{100}}} right)^2} > {1,1^3})

Решить последнее неравенство без калькулятора достаточно сложно, поэтому решим его подбором. Так как n целое, то проверим n=12%: левая часть принимает значение 1,31712, а правая – 1,331, то есть при n =12 неравенство не выполняется. Проверим n = 13: левая часть 1,340745, а правая – 1,331, то есть неравенство выполняется. Следовательно, наименьшее целое значение n при котором вклад «Б» более выгоден 13%

Ответ: 13.

S – кредит тыс. рублей (S – натуральное). Каждый год остаток долга увеличивается на 15%. Первый год долг уменьшается на (S — 0,7S = 0,3S), второй год на (0,7S — 0,4S = 0,3S) и третий год на 0,4S.

Таким образом, первая выплата: (0,45S = frac{{45}}{{100}}S = frac{9}{{20}} cdot S)

                           вторая выплата: (0,405S = frac{{405}}{{1000}} cdot S = frac{{81}}{{200}} cdot S)

                           третья выплата: (0,46S = frac{{46}}{{100}}S = frac{{23}}{{50}}S)

Все выплаты будут целыми, если S делится на 20, 200 и 50, то есть необходимо  найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 20, 200 и 50. Очевидно, что это 200. Следовательно, наименьшее значение S при котором каждая выплата целая: S = 200.

Ответ: 200.

S – кредит тыс. рублей (S— натуральное)

Каждый год остаток долга увеличивается на 17,5%. Первый год долг уменьшается на (S — 0,9S = 0,1S), второй  год на (0,9S — 0,4S = 0,5S) и третий год на 0,4S.

Таким образом, первая выплата: (0,275S = frac{{275}}{{1000}}S = frac{{11}}{{40}}S)

                            вторая выплата: (0,6575S = frac{{6575}}{{10000}}S = frac{{263}}{{400}}S)

                            третья выплата: (0,47S = frac{{47}}{{100}}S)

Все выплаты будут целыми, если S делится на 40, 400 и 100, то есть необходимо  найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 40, 400 и 100. Очевидно, что это 400. Следовательно, наименьшее значение S при котором каждая выплата целая: S = 400.

Ответ: 400.

Сумма кредита 1 млн. рублей сроком на 6 месяцев под r%, где r – целое.

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за 6 месяцев плюс сумма самого кредита 1 млн. рублей. По условию задачи общая сумма выплат должна быть меньше 1,25 млн. рублей.

(1 + 1 cdot frac{r}{{100}} + 0,6 cdot frac{r}{{100}} + 0,4 cdot frac{r}{{100}} + 0,3 cdot frac{r}{{100}} + 0,2 cdot frac{r}{{100}} + 0,1 cdot frac{r}{{100}} < 1,25)

(frac{r}{{100}} cdot (1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) < 0,25,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{2,6r}}{{100}} < 0,25,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r < frac{{250}}{{26}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,r < 9frac{8}{{13}}.)

Так как r наибольшее целое, то r = 9%.

Ответ: 9.

Сумма кредита 1 млн. рублей сроком на 6 месяцев под r%, где r – целое.

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за 6 месяцев плюс сумма самого кредита 1 млн. рублей. По условию задачи общая сумма выплат должна быть меньше 1,2 млн. рублей.

(1 + 1 cdot frac{r}{{100}} + 0,6 cdot frac{r}{{100}} + 0,4 cdot frac{r}{{100}} + 0,3 cdot frac{r}{{100}} + 0,2 cdot frac{r}{{100}} + 0,1 cdot frac{r}{{100}} < 1,2)

(frac{r}{{100}} cdot (1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) < 0,2,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{2,6r}}{{100}} < 0,2,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r < frac{{20}}{{2,6}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,r < 7frac{8}{{13}}.)

Так как r наибольшее целое, то r = 7%.

Ответ: 7.

S – кредит млн. рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 25%. Первый год долг уменьшается на (S — 0,8S = 0,2S), второй год на (0,8S — 0,6S = 0,2S), третий год на (0,6S — 0,4S = 0,2S) и четвертый год на 0,4S.

Чтобы все выплаты были больше 50 млн. рублей достаточно, чтобы наименьшая выплата была больше 50 млн. рублей. Наименьшей является третья выплата – 0,35S. Следовательно:

(0,35S > 50,,,,, Leftrightarrow ,,,,,S > frac{{5000}}{{35}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S > frac{{1000}}{7},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,S > 142frac{6}{7}.)

Так как S наименьшее целое, то S = 143.

Ответ: 143.

S – кредит млн. рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 15%. Первый год долг уменьшается на (S — 0,8S = 0,2S), второй год на (0,8S — 0,5S = 0,3S), третий год на (0,5S — 0,1S = 0,4S) и четвертый на 0,1S.

Тогда общая сумма выплат:  (0,35S + 0,42S + 0,475S + 0,115S = 1,36S.)

По условию:  (1,36S < 50,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,S < frac{{5000}}{{136}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S < frac{{625}}{{17}},,,,, Leftrightarrow ,,,,S < 36frac{{13}}{{17}}.)

Так как S наибольшее целое, то S = 36 млн. руб.

Ответ: 36.

S – кредит млн. рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 25%. Первый год долг уменьшается на (S — 0,7S = 0,3S), второй год на (0,7S — 0,4S = 0,3S) и третий год на 0,4S.

Чтобы все выплаты были больше 5млн. рублей достаточно, чтобы наименьшая выплата была больше 5млн. рублей. Наименьшей является вторая выплата – 0,475S.

(0,475S > 5,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S > frac{{5000}}{{475}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S > frac{{200}}{{19}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,S > 10frac{{10}}{{19}}.)

Так как S наименьшее целое, то S = 11 млн. руб.

Ответ: 11.

S – кредит млн. рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 25%. Первый год долг уменьшается на (S — 0,7S = 0,3S), второй год на (0,7S — 0,4S = 0,3S) и третий год на 0,4S.

Наибольшая выплата первая 0,55S, а наименьшая вторая 0,475S и разница между ними должна быть меньше 1млн. рублей:

(0,55S — 0,475S < 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,0,075S < 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S < frac{{1000}}{{75}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,S < frac{{40}}{3},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S < 13frac{1}{3}.)

Так как S наибольшее целое, то S = 13млн. руб.

Ответ: 13.

S – кредит в тыс. рублей.

Каждый год остаток долга увеличивается на 25%, то есть в (frac{{100 + 25}}{{100}} = 1,25) раза.

Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по (0,25S), а в конце четвёртого и пятого годов по 625 тыс. рублей.

Остаток в конце пятого года равен нулю:

(,left( {frac{5}{4}S — 625} right) cdot frac{5}{4} — 625 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{25}}{{16}}S = 625 cdot frac{5}{4} + 625,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S = frac{{625 cdot 9 cdot 16}}{{4 cdot 25}} = 900.)

Общая сумма выплат за 5 лет равна:  (3 cdot 0,25S + 2 cdot 625 = 0,75 cdot 900 + 1250 = 1925) тыс. рублей.

Ответ: 1925.

S – кредит в тыс. рублей.

Каждый год остаток долга увеличивается на 20%, то есть в (frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2) раза.

Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по (0,2S), а в конце четвёртого и пятого годов по 360 тыс. рублей.

Остаток в конце пятого года равен нулю:

(left( {1,2S — 360} right)1,2 — 360 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{1,2^2} cdot S — 360 cdot 1,2 — 360 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,S = frac{{360 cdot 2,2}}{{{{1,2}^2}}} = 550) тыс. рублей.

Общая сумма выплат за 5 лет равна:  (3 cdot 0,2S + 2 cdot 360 = 0,6 cdot 550 + 720 = 1050) тыс. рублей.

Ответ: 1050.

A – кредит сроком на 12 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и двенадцатую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{12}}). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{11A}}{{12}}), через 2 месяца (frac{{10A}}{{12}}) и так далее.

Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 13% от суммы кредита, то есть (A cdot frac{{13}}{{100}})

(frac{{12A}}{{12}} cdot frac{r}{{100}} + frac{{11A}}{{12}} cdot frac{r}{{100}} + ….. + frac{A}{{12}} cdot frac{r}{{100}} = A cdot frac{{13}}{{100}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{A}{{12}} cdot frac{r}{{100}}(12 + 11 + ….. + 1) = frac{{13A}}{{100}},left| {,:,A} right.,,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,frac{r}{{12}} cdot frac{{1 + 12}}{2} cdot 12 = 13,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{r}{{12}} cdot frac{{13}}{2} cdot 12 = 13,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,r = 2% .)

Ответ: 2.

A – кредит сроком на 17 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток долга, а заемщик выплачивает эти проценты и семнадцатую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{17}}). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{16A}}{{17}}), через 2 месяца (frac{{15A}}{{17}}) и так далее.

Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 27% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 27% от суммы кредита, то есть (A cdot frac{{27}}{{100}}).

(frac{{17A}}{{17}} cdot frac{r}{{100}} + frac{{16A}}{{17}} cdot frac{r}{{100}} + ….. + frac{A}{{17}} cdot frac{r}{{100}} = A cdot frac{{27}}{{100}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{A}{{17}} cdot frac{r}{{100}}(17 + 16 + ….. + 1) = frac{{27A}}{{100}},left| {,:,A,,,,,,, Leftrightarrow } right.)

( Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{r}{{17}} cdot frac{{1 + 17}}{2} cdot 17 = 27,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{r}{{17}} cdot frac{{18}}{2} cdot 17 = 27,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,r = 3% .)

Ответ: 3.

A – кредит сроком на 48 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и сорок восьмую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{48}}). Таким образам, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{47A}}{{48}}), через 2 месяца (frac{{46A}}{{48}}) и так далее.

Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 49% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 49% от суммы кредита, то есть (A cdot frac{{49}}{{100}})

(frac{{48A}}{{48}} cdot frac{r}{{100}} + frac{{47A}}{{48}} cdot frac{r}{{100}} + ….. + frac{A}{{48}} cdot frac{r}{{100}} = A cdot frac{{49}}{{100}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{A}{{48}} cdot frac{r}{{100}}(48 + 47 + ….. + 1) = A cdot frac{{49}}{{100}},left| {,:A,,,,, Leftrightarrow } right.)

( Leftrightarrow ,,,,,,,,,frac{r}{{48}} cdot frac{{1 + 48}}{2} cdot 48 = 49,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{r}{{48}} cdot frac{{49}}{2} cdot 48 = 49,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r = 2% .)

Ответ: 2.

A – кредит сроком на 39 месяцев. Каждый месяц банк начисляет r % на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и тридцать девятую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{39}}). Таким образам, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{38A}}{{39}}), через 2 месяца (frac{{37A}}{{39}}) и так далее.

Так как общая сумма, выплаченная банку за весь срок кредитования, оказалась на 20% больше, чем сумма, взятая в кредит, то начисленные проценты равны 20% от суммы кредита, то есть (A cdot frac{{20}}{{100}})

(frac{{39A}}{{39}} cdot frac{r}{{100}} + frac{{38A}}{{39}} cdot frac{r}{{100}} + ….. + frac{A}{{39}} cdot frac{r}{{100}} = A cdot frac{{20}}{{100}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{A}{{39}} cdot frac{r}{{100}}(39 + 38 + ….. + 1) = frac{{20A}}{{100}},left| {,:A,,,,,, Leftrightarrow } right.)

( Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{r}{{39}} cdot frac{{1 + 39}}{2} cdot 39 = 20,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,frac{r}{{39}} cdot frac{{40}}{2} cdot 39 = 20,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,r = 1% .)

Ответ: 1.

A = 16 млн. рублей кредит сроком на n лет так как каждый год долг должен уменьшатся на одну и ту же сумму, то заемщик каждый год выплачивает проценты начисленные за год на остаток и (frac{A}{n}). Тогда остаток через год будет(A — frac{A}{n} = frac{{A cdot (n — 1)}}{n},)  через 2 года  (frac{{A cdot (n — 2)}}{n})  и так далее.

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за n лет плюс сам кредит A:

(frac{{A cdot n}}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + frac{{A cdot (n — 1)}}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + ….. + frac{A}{n} cdot frac{{25}}{{100}} + A = 38,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{A}{n} cdot frac{{25}}{{100}} cdot (n + (n — 1) + ….. + 1) + A = 38,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,frac{A}{n} cdot frac{1}{4} cdot frac{{1 + n}}{2} cdot n + A = 38,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{16 cdot (1 + n)}}{8} + 16 = 38,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,2left( {1 + n} right) = 22,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,n = 10.)

Ответ: 10.

A = 20 млн. рублей кредит сроком на n лет так как каждый год долг должен уменьшатся на одну и ту же сумму, то заемщик каждый год выплачивает проценты начисленные за год на остаток и (frac{A}{n}). Тогда остаток через год будет,(A — frac{A}{n} = frac{{A cdot (n — 1)}}{n},)  через 2 года (frac{{A cdot (n — 2)}}{n}) и так далее.

Общая сумма выплат равна начисленным процентам за n лет плюс сам кредит A:

(frac{{A cdot n}}{n} cdot frac{{30}}{{100}} + frac{{A cdot (n — 1)}}{n} cdot frac{{30}}{{100}} + ….. + frac{A}{n} cdot frac{{30}}{{100}} + A = 47,,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{A}{n} cdot frac{{30}}{{100}} cdot (n + (n — 1) + ….. + 1) + A = 47,,,,, Leftrightarrow )

(frac{{20}}{n} cdot frac{3}{{10}} cdot frac{{1 + n}}{2} cdot n + 20 = 47,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,3left( {1 + n} right) = 27,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,n = 8.)

Ответ: 8.

A = 1.2 млн. рублей кредит сроком на 24 месяца. Каждый месяц банк начисляет 2% на остаток долга, а заемщик выплачивает эти проценты и уменьшает сумму долга равномерно на одну и ту же величину, то есть на (frac{{1,2}}{{24}} = 0,05) млн. руб.

За первый год заемщик выплатит половину суммы кредита 0,6 млн. рублей плюс проценты начисленные за первые 12 месяцев.

(0,6 + 1,2 cdot frac{2}{{100}} + 1,15 cdot frac{2}{{100}} + … + 0,65 cdot frac{2}{{100}} = 0,6 + frac{2}{{100}}left( {1,2 + 1,15 + … + 0,65} right) = )

( = 0,6 + frac{2}{{100}} cdot frac{{1,2 + 0,65}}{2} cdot 12 = 0,6 + frac{{1,85 cdot 12}}{{100}} = 0,822)  млн. рублей.

Ответ: 822 000 рублей.

A = 2,4 млн. рублей кредит сроком на 24 месяца. Каждый месяц банк начисляет 3% на остаток долга, а заемщик выплачивает эти проценты и уменьшает сумму долга равномерно на одну и ту же величину, то есть на (frac{{2,4}}{{24}} = 0,1) млн. руб.

За первые 12 месяцев заемщик выплатит половину суммы кредита в 1,2 млн рублей плюс проценты начисленные за первые 12 месяцев.

(1,2 + 2,4 cdot frac{3}{{100}} + 2,3 cdot frac{3}{{100}} + … + 1,3 cdot frac{3}{{100}} = 1,2 + frac{3}{{100}} cdot (2,4 + 2,3 + … + 1,3) = )

( = 1,2 + frac{3}{{100}} cdot frac{{2,4 + 1,3}}{2} cdot 12 = 1,2 + frac{{3 cdot 3,7 cdot 6}}{{100}} = 1,866) млн. рублей.

Ответ: 1 866 000 рублей.

В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%, то есть в 1,25 раза. Поэтому в 2017 среднемесячный доход на душу населения составит (43740 cdot {1,25^3}).

В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60000 рублей. Пусть в 2014 году в регионе B было x жителей. Тогда их суммарный доход был (60000 cdot x), который в течение трех лет увеличивался на 17%, то есть в 1,17 раза и в 2017 году составил (60000 cdot x cdot {1,17^3}). Но при этом количество жителей увеличивалось на m% , то есть в (frac{{100 + m}}{{100}}) раз.

Поэтому количество жителей в 2017 году было (x cdot {left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)^3}). Тогда среднемесячный доход на душу населения в регионе B в 2017 году был ({frac{{60000 cdot x cdot 1,17}}{{x cdot {{left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)}^3}}}^3} = {frac{{60000 cdot 1,17}}{{{{left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)}^3}}}^3}.)

По условию среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B в 2017 стал одинаковым.

(43740 cdot {1,25^3} = {frac{{60000 cdot 1.17}}{{{{left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)}^3}}}^3},,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)^3} = frac{{60000 cdot {{1,17}^3}}}{{43740 cdot {{1,25}^3}}},,,,,,, Leftrightarrow )

({left( {frac{{100 + m}}{{100}}} right)^3} = frac{{1000 cdot {{1,17}^3}}}{{729 cdot {{1,25}^3}}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{100 + m}}{{100}} = frac{{10 cdot 1,17}}{{9 cdot 1,25}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{100 + m}}{{100}} = frac{{26}}{{25}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,m = 4.)

Ответ: 4.

В Чистополе среднемесячный доход на душу населения в 2015 году составлял 27500 рублей и ежегодно увеличивался на 28%, то есть в 1,28 раза. Поэтому в 2017 среднемесячный доход на душу населения составит (27500 cdot {1,28^2}).

В Казани среднемесячный доход на душу населения в 2015 году составлял 39600 рублей.  Пусть в 2015 году в Казани было n жителей. Тогда их суммарный доход был (39600 cdot n), который в течении двух лет увеличивался на 12%, то есть в 1,12 раза и в 2017 году составил (39600 cdot n cdot {1,12^2}). Но при этом количество жителей увеличивалось на x%, то есть в (frac{{100 + x}}{{100}}) раз.

Поэтому количество жителей в 2017 году было (n cdot {left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2}). Тогда среднемесячный доход на душу населения в Казани  2017 году был:

({frac{{39600 cdot n cdot 1,12}}{{n cdot {{left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)}^2}}}^2} = {frac{{39600 cdot 1,12}}{{{{left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)}^2}}}^2}.)

По условию среднемесячный доход на душу населения в Чистополе и Казани в 2017 стал одинаковым.

(27500 cdot {1,28^2} = {frac{{39600 cdot 1,12}}{{{{left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)}^2}}}^2},,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2} = frac{{39600 cdot {{1,12}^2}}}{{27500 cdot {{1,28}^2}}},,,,,, Leftrightarrow );

( Leftrightarrow ,,,,,,,{left( {frac{{100 + x}}{{100}}} right)^2} = frac{{36 cdot {{1,12}^2}}}{{25 cdot {{1,28}^2}}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{100 + x}}{{100}} = frac{{6 cdot 1,12}}{{5 cdot 1,28}},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{100 + x}}{{100}} = frac{{6 cdot 7}}{{5 cdot 8}},,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 5.)

Ответ: 5.

A — кредит в млн. рублей сроком на 16 месяцев. Каждый месяц банк начисляет 2% на остаток, а заемщик выплачивает эти начисленные проценты и шестнадцатую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{16}}). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{15A}}{{16}}), через 2 месяца (frac{{14A}}{{16}}) и так далее.

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита А и начисленным процентам.

(A + frac{{16A}}{{16}} cdot frac{2}{{100}} + frac{{15A}}{{16}} cdot frac{2}{{100}} + … + frac{A}{{16}} cdot frac{2}{{100}} = 2,34,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A + frac{A}{{16}} cdot frac{2}{{100}} cdot left( {16 + 15 + … + 1} right) = 2,34,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,A + frac{A}{{800}} cdot frac{{1 + 16}}{2} cdot 16 = 2,34,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A + frac{{17A}}{{100}} = 2,34,,,,, Leftrightarrow ,,,,1,17A = 2,34,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A = 2.)

Ответ: 2 000 000 рублей.

A — кредит в млн. рублей сроком на 10 месяцев. Каждый месяц банк начисляет 4% на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты начисленные и десятую часть от суммы кредита, то есть (frac{A}{{10}}). Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет (frac{{9A}}{{10}}), через 2 месяца (frac{{8A}}{{10}}) и так далее.

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита А и начисленным процентам.

(A + frac{{10A}}{{10}} cdot frac{4}{{100}} + frac{{9A}}{{10}} cdot frac{4}{{100}} + … + frac{A}{{10}} cdot frac{4}{{100}} = 1,83,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,A + frac{A}{{10}} cdot frac{4}{{100}} cdot left( {10 + 9 + … + 1} right) = 1,83,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,A + frac{A}{{250}} cdot frac{{1 + 10}}{2} cdot 10 = 1,83,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A + frac{{11A}}{{50}} = 1,83,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,1,22A = 1,83,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,A = 1,5) млн. руб.

Ответ: 1 500 000.

Так как в конце n– го месяца долг составил 200 тысяч рублей, то за n месяцев долг был уменьшен на (1000 — 200 = 800) тысяч рублей. Учитывая, что первые n месяцев долг уменьшался на 40 тысяч рублей каждый месяц, то (n = frac{{800}}{{40}} = 20).

 Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита и начисленным процентам. Следовательно, начисленные проценты равны: (1378 — 1000 = 378) тысяч рублей.

(1000 cdot frac{r}{{100}} + 960 cdot frac{r}{{100}} + … + 240 cdot frac{r}{{100}} + 200 cdot frac{r}{{100}} = 378,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,)

( Leftrightarrow ,,,,,frac{r}{{100}} cdot left( {1000 + 960 + .. + 200} right) = 378,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{r}{{100}} cdot frac{{1000 + 200}}{2} cdot 21 = 378,,,, Leftrightarrow ,,,,126 cdot r = 378,,,, Leftrightarrow ,,,,r = 3.)

Ответ: 3.

Так как в конце n– го месяца долг составил 400 тысяч рублей, то за n месяцев долг был уменьшен на (1200 — 400 = 800) тысяч рублей. Учитывая, что первые n месяцев долг уменьшался на 80 тысяч рублей каждый месяц, то (n = frac{{800}}{{80}} = 10).

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита и начисленным процентам. Следовательно, начисленные проценты равны: (1288 — 1200 = 88) тысяч рублей.

(1200 cdot frac{r}{{100}} + 1120 cdot frac{r}{{100}} + … + 480 cdot frac{r}{{100}} + 400 cdot frac{r}{{100}} = 88,,,,, Leftrightarrow )

(frac{r}{{100}} cdot left( {1200 + 1120 + … + 400} right) = 88,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{r}{{100}} cdot frac{{1200 + 400}}{2} cdot 11 = 88,,,,, Leftrightarrow ,,,,,88 cdot r = 88,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,r = 1.)

Ответ: 1.

A – кредит в тыс. рублей сроком на 26 месяцев.

В течение первых 25 месяцев банк начисляет 3% на остаток, а заемщик выплачивает эти проценты и еще 20 тыс. рублей. Таким образом, через 1 месяц остаток долга будет A–20, через 2 месяца A–40 и так далее, а через 25 месяцев A–500.

Общая сумма выплат после полного погашения кредита равна сумме самого кредита и начисленным процентам. Следовательно:

(A + A cdot frac{3}{{100}} + (A — 20) cdot frac{3}{{100}} + … + (A — 480) cdot frac{3}{{100}} + (A — 500) cdot frac{3}{{100}} = 1407,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,A + frac{3}{{100}}(A + (A — 20) + … + (A — 480) + (A — 500)) = 1407,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,A + frac{3}{{100}} cdot frac{{A + A — 500}}{2} cdot 26 = 1407,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A + frac{{3 cdot (A — 250) cdot 26}}{{100}} = 1407,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,100 cdot A + 78 cdot A — 1950 = 140700,,,,, Leftrightarrow ,,,,178 cdot A = 160200,,,,, Leftrightarrow ,,,,,A = 900.)

Следовательно, долг в конце 25-го месяца равен:  (A — 500 = 900 — 500 = 400) тысяч рублей.

Ответ: 400 000.