Решу егэ график косинуса

Сайты, меню, вход, новости

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 60    1–20 | 21–40 | 41–60

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 60    1–20 | 21–40 | 41–60

ЕГЭ Профиль №10. Тригонометрические функцииadmin2023-01-16T21:35:50+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №10. Тригонометрические функции

Задача 1. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,cos x + b.)   Найдите a. Ответ ОТВЕТ: 2.
Решение График функции (fleft( x right) = acos x + b) проходит через точки (left( {0;frac{3}{2}} right)) и (left( {frac{pi }{2}; — frac{1}{2}} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{3}{2} = acos 0 + b}\{ — frac{1}{2} = acos frac{pi }{2} + b}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{3}{2} = a cdot 1 + b}\{ — frac{1}{2} = a cdot 0 + b}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{a + b = frac{3}{2}}\{b =  — frac{1}{2}}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2.) Ответ: 2.
Задача 2. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,cos x + b.)   Найдите a. Ответ ОТВЕТ: 1,5.
Решение График функции (fleft( x right) = acos x + b) проходит через точки (left( {0;3} right)) и (left( {frac{pi }{2};frac{3}{2}} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3 = acos 0 + b}\{frac{3}{2} = acos frac{pi }{2} + b}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3 = a cdot 1 + b}\{frac{3}{2} = a cdot 0 + b}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 3}\{b = frac{3}{2},,,,,}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = frac{3}{2}.) Ответ: 1,5.
Задача 3. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,cos x + b.)   Найдите a. Ответ ОТВЕТ: — 2.
Решение График функции (fleft( x right) = acos x + b) проходит через точки (left( {0; — 1} right)) и (left( {frac{pi }{2};1} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = acos 0 + b}\{  1 = acos frac{pi }{2} + b}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = a cdot 1 + b}\{1 = a cdot 0 + b}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{a + b =  — 1}\{b = 1,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — 2.) Ответ: – 2.
Задача 4. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,cos x + b.)   Найдите a. Ответ ОТВЕТ: — 2,5.
Решение График функции (fleft( x right) = acos x + b) проходит через точки (left( {0; — frac{3}{2}} right)) и (left( {frac{pi }{2};1} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — frac{3}{2} = acos 0 + b}\{1 = acos frac{pi }{2} + b}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — frac{3}{2} = a + b}\{1 = a cdot 0 + b}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{a + b =  — frac{3}{2}}\{b = 1,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — frac{5}{2}.) Ответ: – 2,5.
Задача 5. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,cos x + b.)   Найдите b. Ответ ОТВЕТ: — 0,5.
Решение График функции (fleft( x right) = acos x + b)  проходит через точку (left( {frac{pi }{2}; — frac{1}{2}} right)). Следовательно: ( — frac{1}{2} = acos frac{pi }{2} + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,, — frac{1}{2} = a cdot 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b =  — frac{1}{2}.) Ответ: – 0,5.
Задача 6. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,cos x + b.)   Найдите b. Ответ ОТВЕТ: 1,5.
Решение График функции (fleft( x right) = acos x + b) проходит через точку (left( {frac{pi }{2};frac{3}{2}} right)). Следовательно: (frac{3}{2} = acos frac{pi }{2} + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,frac{3}{2} = a cdot 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = frac{3}{2}.) Ответ: 1,5.
Задача 7. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,cos x + b.)   Найдите b. Ответ ОТВЕТ: 1.
Решение График функции (fleft( x right) = acos x + b) проходит через точку (left( {frac{pi }{2};1} right)). Следовательно: (1 = acos frac{pi }{2} + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,1 = a cdot 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = 1.) Ответ: 1.
Задача 8. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,cos x + b.)   Найдите b. Ответ ОТВЕТ: — 1.
Решение График функции (fleft( x right) = acos x + b) проходит через точку (left( {frac{pi }{2}; — 1} right)). Следовательно: ( — 1 = acos frac{pi }{2} + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,, — 1 = a cdot 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b =  — 1.) Ответ: – 1.
Задача 9. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,sin x + b.)   Найдите a. Ответ ОТВЕТ: 2,5.
Решение График функции (fleft( x right) = asin x + b) проходит через точки (left( {0;frac{1}{2}} right)) и (left( {frac{pi }{2};3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{1}{2} = asin 0 + b}\{3 = asin frac{pi }{2} + b}end{array},,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{1}{2} = a cdot 0 + b}\{3 = a cdot 1 + b}end{array},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b = frac{1}{2},,,,,,,}\{a + b = 3}end{array}} right.} right.} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = frac{5}{2}.) Ответ: 2,5.
Задача 10. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,sin x + b.)   Найдите a. Ответ ОТВЕТ: 0,5.
Решение График функции (fleft( x right) = asin x + b) проходит через точки (left( {0;2} right)) и (left( {frac{pi }{2};frac{5}{2}} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = asin 0 + b}\{frac{5}{2} = asin frac{pi }{2} + b}end{array},,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = a cdot 0 + b}\{frac{5}{2} = a + b,,,,}end{array},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b = 2,,,,,,,}\{a + b = frac{5}{2}}end{array}} right.} right.} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = frac{1}{2}.) Ответ: 0,5.
Задача 11. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,sin x + b.)   Найдите a. Ответ ОТВЕТ: — 1,5.
Решение График функции (fleft( x right) = asin x + b) проходит через точки (left( {0;2} right)) и (left( {frac{pi }{2};frac{1}{2}} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = asin 0 + b}\{frac{1}{2} = asin frac{pi }{2} + b}end{array},,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = a cdot 0 + b}\{frac{1}{2} = a + b,,,,,}end{array},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b = 2,,,,,,,}\{a + b = frac{1}{2}}end{array}} right.} right.} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — frac{3}{2}.) Ответ: – 1,5.
Задача 12. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,sin x + b.)   Найдите a. Ответ ОТВЕТ: — 2,5.
Решение График функции (fleft( x right) = asin x + b) проходит через точки (left( {0;1} right)) и (left( {frac{pi }{2}; — frac{3}{2}} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = asin 0 + b}\{ — frac{3}{2} = asin frac{pi }{2} + b}end{array},,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = a cdot 0 + b}\{ — frac{3}{2} = a cdot 1 + b,,,,,}end{array},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b = 1,,,,,,,}\{a + b =  — frac{3}{2}}end{array}} right.} right.} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — frac{5}{2}.) Ответ: – 2,5.

Задача 13. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,sin x + b.)   Найдите b. Ответ ОТВЕТ: 0,5.
Решение График функции (fleft( x right) = asin x + b) проходит через точку (left( {0;frac{1}{2}} right)). Следовательно: (frac{1}{2} = asin 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,frac{1}{2} = a cdot 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = frac{1}{2}.) Ответ: 0,5.
Задача 14. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,sin x + b.)   Найдите b. Ответ ОТВЕТ: — 0,5.
Решение График функции (fleft( x right) = asin x + b) проходит через точку (left( {0; — frac{1}{2}} right)). Следовательно: ( — frac{1}{2} = asin 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,, — frac{1}{2} = a cdot 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b =  — frac{1}{2}.) Ответ: – 0,5.
Задача 15. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,sin x + b.)   Найдите b. Ответ ОТВЕТ: 0,5.
Решение График функции (fleft( x right) = asin x + b) проходит через точку (left( {0;frac{1}{2}} right)). Следовательно: (frac{1}{2} = asin 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,frac{1}{2} = a cdot 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = frac{1}{2}.) Ответ: 0,5.
Задача 16. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,sin x + b.)   Найдите b. Ответ ОТВЕТ: — 0,5.
Решение График функции (fleft( x right) = asin x + b) проходит через точку (left( {0; — frac{1}{2}} right)). Следовательно: ( — frac{1}{2} = asin 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,, — frac{1}{2} = a cdot 0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b =  — frac{1}{2}.) Ответ: – 0,5.
Задача 17. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,{text{tg}},x + b.)   Найдите a. Ответ ОТВЕТ: 2.
Решение График функции (fleft( x right) = a,tgx + b) проходит через точки (left( {0; — frac{3}{2}} right)) и (left( {frac{pi }{4};frac{1}{2}} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — frac{3}{2} = a,tg,0 + b}\{frac{1}{2} = a,tgfrac{pi }{4} + b}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — frac{3}{2} = a cdot 0 + b}\{frac{1}{2} = a cdot 1 + b}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — frac{3}{2}}\{a + b = frac{1}{2}}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = 2.} right.} right.} right.) Ответ: 2.
Задача 18. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,{text{tg}},x + b.)   Найдите a.   Ответ ОТВЕТ: 0,5.
Решение График функции (fleft( x right) = a,tgx + b) проходит через точки (left( {0; — 1} right)) и (left( {frac{pi }{4}; — frac{1}{2}} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = a,tg0 + b}\{ — frac{1}{2} = a,tgfrac{pi }{4} + b}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = a cdot 0 + b}\{ — frac{1}{2} = a cdot 1 + b}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 1}\{a + b =  — frac{1}{2}}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = frac{1}{2}.} right.} right.} right.) Ответ: 0,5.
Задача 19. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,{text{tg}},x + b.)   Найдите a. Ответ ОТВЕТ: — 2.
Решение График функции (fleft( x right) = a,tgx + b) проходит через точки (left( {0;frac{3}{2}} right)) и (left( {frac{pi }{4}; — frac{1}{2}} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{3}{2} = a,tg0 + b}\{ — frac{1}{2} = a,tgfrac{pi }{4} + b}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{3}{2} = a cdot 0 + b}\{ — frac{1}{2} = a cdot 1 + b}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b = frac{3}{2},,,,,,,,,,}\{a + b =  — frac{1}{2}}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a =  — 2.} right.} right.} right.) Ответ: – 2.
Задача 20. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,{text{tg}},x + b.)   Найдите a.   Ответ ОТВЕТ: — 0,5.
Решение График функции (fleft( x right) = a,tgx + b) проходит через точки (left( {0; — frac{3}{2}} right)) и (left( {frac{pi }{4}; — 2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — frac{3}{2} = a,tg0 + b}\{ — 2 = a,tgfrac{pi }{4} + b}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — frac{3}{2} = a cdot 0 + b}\{ — 2 = a cdot 1 + b}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — frac{3}{2},,,,,,,,,,}\{a + b =  — 2}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a =  — frac{1}{2}.} right.} right.} right.) Ответ: – 0,5.
Задача 21. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,{text{tg}},x + b.)   Найдите b.  Ответ ОТВЕТ: 1.
Решение График функции (fleft( x right) = atgx + b) проходит через точку (left( {0;1} right)).  Следовательно: (1 = a cdot tg0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,1 = a cdot 0 + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,b = 1.) Ответ: 1.
Задача 22. На рисунке изображён  график функции  (fleft( x right) = a,,{text{tg}},x + b.)   Найдите b.  Ответ ОТВЕТ: — 1.
Решение График функции (fleft( x right) = a,tgx + b) проходит через точку (left( {0; — 1} right)).  Следовательно: ( — 1 = a cdot tg0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,, — 1 = a cdot 0 + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,b =  — 1.) Ответ: – 1.
Задача 23. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,{text{tg}},x + b.)   Найдите b.  Ответ ОТВЕТ: 1,5.
Решение График функции (fleft( x right) = a,tgx + b) проходит через точку (left( {0;frac{3}{2}} right)).  Следовательно: (frac{3}{2} = a cdot tg0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,frac{3}{2} = a cdot 0 + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,b = frac{3}{2}.) Ответ: 1,5.
Задача 24. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = a,,{text{tg}},x + b.)   Найдите b.    Ответ ОТВЕТ: — 1,5.
Решение График функции (fleft( x right) = a,tgx + b) проходит через точку (left( {0; — frac{3}{2}} right)).  Следовательно: ( — frac{3}{2} = a cdot tg0 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,, — frac{3}{2} = a cdot 0 + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,b =  — frac{3}{2}.) Ответ: – 1,5.

В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.

Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.

1 способ – находим формулу по точкам

Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.

Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:

Алгоритм:

1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:

2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.

3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.

4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.

Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:

2 способ – преобразование графиков функций

Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).

Вот как выглядит применение этого способа:

Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:

И понимать, как меняются функции от преобразований:

Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:

Пример:

3 способ – гибридный

Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).

По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).

Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:

— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:

— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:

— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:

— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №10 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 10 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №10 ЕГЭ.

Что такое функция

Чтение графика функции

Четные и нечетные функции

Периодическая функция

Обратная функция

5 типов элементарных функций и их графики

Преобразование графиков функций

Построение графиков функций

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 10 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

Задание 10 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

Необходимая теория

1. На рисунке изображён график функции . Найдите значение , при котором

Решение:

Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

Уравнение прямой имеет вид:

Найдем, при каком значение функции равно -13,5.

Ответ: -7.

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Запишем формулы функций.

Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция

Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции

Вычтем из первого уравнения второе.

тогда

Прямая задается формулой:

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

Ответ: -1,75.

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: эта прямая задается формулой

Для точки пересечения прямых:

Ответ: -12.

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции Найдите b.

Решение:

На рисунке — квадратичная парабола полученная из графика функции сдвигом на 1 вправо, то есть

Получим:

Ответ: -2.

5. На рисунке изображен график функции . Найдите с.

Решение:

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при положительный. График сдвинут относительно графика функции на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид .

Значит, с = 1.

Ответ: 1

6. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:

отсюда

Формула функции имеет вид:

Ответ: 31.

7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

Найдем a, b и c в формуле функции . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому

График функции проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:

отсюда

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:

(это абсцисса точки A) или (это абсцисса точки B).

Ответ: 6.

Степенные функции. Необходимая теория

8. На рисунке изображены графики функций и , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

График функции проходит через точку (2; 1); значит,

График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4), — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда

Для точек A и B имеем:

Отсюда (абсцисса точки A) или (абсцисса точки B).

Ответ: -0,2.

9. На рисунке изображён график функции . Найдите f (6,76).

Решение:

Функция задана формулой:

Ее график проходит через точку (4; 5); значит,

Тогда

Ответ: 6,5.

10. На рисунке изображен график функции . Найдите .

Решение:

График функции на рисунке симметричен графику функции относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: , а = — 1. Тогда = 5.

Ответ: 5.

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции получим:

Поделим второе уравнение на первое:

Подставим во второе уравнение:

Ответ: 0,25.

12. На рисунке изображен график функции . Найдите

Решение:

График функции проходит через точку Это значит, что

формула функции имеет вид: .

Ответ: 2.

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

Отсюда:

Вычтем из второго уравнения первое:

или — не подходит, так как (как основание логарифма).

Тогда

Ответ: 4.

14. На рисунке изображен график функции .

Найдите f(0,2).

Решение:

График логарифмической функции на рисунке проходит через точки и . Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:

Формула функции:

Найдем :

Ответ: -7.

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, Амплитуда (наибольшее отклонение от среднего значения).

Это график функции Он получен из графика функции растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на .

Ответ:

16. На рисунке изображён график функции

Найдите .

Решение:

На рисунке — график функции Так как

График функции проходит через точку A  Подставим и координаты точки А в формулу функции.

Так как  получим:

Ответ: 2.

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения

Решение:

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то

Пользуясь периодичностью функции , период которой T = 4, получим:

Ответ: 5.

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 10 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №3. Свойства и график функции y=cos x

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Глоссарий по теме

Амплиту́да — максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых  и ,  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых  и ,  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Точку х₀  называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают y_max.

Точку х₀  называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают y_min.

Основная литература:

Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Напомним, что все тригонометрические функции являются периодическими функциями. Функции и повторяются через каждые 360° (или 2π радиан), поэтому 360° называется периодом этих функций (рис.1).

Рис. 1 – графики функций и .

Функции и повторяются через каждые 180° (или π радиан), поэтому 180° — это период для данных функций (рис. 2).

Рис. 2 – графики функций и .

В общем случае если и (где — константа), то период функции равен (или радиан). Следовательно, если , то период этой функции равен , если , то период этой функции равен .

Амплитудой называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1).

Рис. 3 – изображение амплитуды графиков и .

Однако, если , каждая из величин умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды — 4. Аналогично для амплитуда равна 5, а период — .

Рис. 4 – график функции .

Свойства функции :

1. Область определения — множество R всех действительных чисел.
2. Множество значений — отрезок [−1;1].
3. Функция  периодическая, Т=2π. 
4. Функция  — чётная
5. Функция  принимает:

1. Функция 

Интересно, что графиками тригонометрических функций –косинус и синус описываются многие процессы в нашей жизни. Например, работа сердца. Сделанная электрокардиограмма (ЭКГ) представляет собой график синусоиды, отражающую биоэлектрическую активность сердца. Или еще пример, электромагнитные волны к ним относятся: мобильные телефоны, беспроводная связь, радио, СВЧ-печи тоже распространяются по закону синуса или косинуса. Их существование было предсказано  английским физиком Дж.Максвеллом в 1864 году.

Актуализация знаний

Напомним, что множество значений функции y=cosx принадлежит отрезку [–1;1], определена данная функция на всей числовой прямой и, следовательно, функция ограничена и график её расположен в полосе между прямыми y=–1 и y=1.

Так как функция периодическая с периодом , то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной , например на отрезке Тогда на промежутках, полученных сдвигами выбранного отрезка на , график будет таким же.

Функция является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Оу. Для построения графика на отрезке достаточно построить для а затем симметрично отразить его относительно оси Оу (рис. 5)

Рис. 5 – график функции .

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1. Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

Построим графики функций и (рис. 6)

Рис. 6 – графики функций и .

Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения . На отрезке от корнем уравнения является число . Из рисунка видно, что точки х₁ и х₂ симметричны относительно оси Оу, следовательно . А .

Пример 2.Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

Из рисунка 6 видно, что график функции лежит ниже графика функции на промежутках и

Ответ: , .