Решу егэ касательная хорда секущая

Задание 1909

Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5 см.

Ответ: 6

Скрыть

   1) $$OD=AB-BD=4$$

   2) Треугольник OAD — прямоугольный, тогда по теореме Пифагора: $$AD=sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$$

   3) OA=AC, OD — общая, тогда прямоугольные треугольники AOD и ODC равны, следовательно, AD=DC=3, и AC=6

Задание 1910

Най­ди­те ве­ли­чи­ну (в гра­ду­сах) впи­сан­но­го угла α, опи­ра­ю­ще­го­ся на хорду  AB, рав­ную ра­ди­у­су окруж­но­сти.

Ответ: 30

Скрыть

   1) Треугольник OAB — равносторонний, тогда $$angle AOB = 60^{circ}=smile AB$$

   2) $$angle ADB=angle alpha=frac{1}{2}smile AB=30^{circ}$$ (по свойству вписанного угла)

Задание 1911

К окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AB и се­ку­щая AO. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Ответ: 5

Скрыть

   1) По свойству радиуса и касательной $$OBperp AB$$, тогда треугольник OAB — прямоугольный

   2) По теореме Пифагора $$OB=sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$

Задание 1914

Вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка делят опи­сан­ную около него окруж­ность на три дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 3:4:11. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если мень­шая из сто­рон равна 14.

Ответ: 14

Скрыть

Пусть меньший угол K, тогда по свойству треугольника меньшая сторона AM. Углы треугольника для окружности являются вписанными, следовательно, равны половинам дуг, на которые опираются, а значит и относятся так же , как и дуги.

Пусть угол К равен 3х, тогда M=4x и A=11x. По свойству углов треугольника: $$3x+4x+11x=180Leftrightarrow$$$$x=10$$, тогда угол К составляет 30 градусов, а меньшая дуга MA составляет 60 градусов. 

Угол MOA является центральным, следовательно $$angle MOA=smile MA=60^{circ}$$, тогда треугольник MOA не только равнобедренный (OM=OA — радиусы), но и равносторонний, следовательно, MA=14

Задание 1915

Пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке K. Точка O — центр окруж­но­сти. Хорда KM об­ра­зу­ет с ка­са­тель­ной угол, рав­ный 83°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла OMK. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 7

Скрыть

Треугольник OMK — равнобедренный (OM=OK — радиусы), тогда $$angle OMK=angle OKM$$

По свойству касательной и радиуса OK и касательная — перпендикулярны, тогда $$angle OKM=90-83=7^{circ}$$, тогда и угол OMK те же 7 градусов

Задание 1917

От­рез­ки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окруж­но­сти. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды AB равно 12.

Ответ: 9

Скрыть

OE перпендикулряно AB, следовательно, треугольники AOE и OEB равны (так как OA=OB-радиусы) по катету и гипотенузе. Тогда AE=EB=0,5AB=9.

По теореме Пифагора из треугольника OEB: $$OB=sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$$, следовательно, OD=15

Из треугольника OFD по теореме Пифагора: $$OF=sqrt{OD^{2}-FD^{2}}$$, FD=0,5CD=12. Тогда: $$OF=sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$

Задание 1918

На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина мень­шей дуги AB равна 99. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

Ответ: 441

Скрыть

Если острый угол AOB составляет 66 градуов, то развернутый составляет $$360-66=294^{circ}$$

Пусть длина большей дуги равна х, тогда:

$$66^{circ}- 99$$

$$294^{circ}- x$$

$$x=frac{294*99}{66}=441$$

Задание 3511

Най­ди­те хорду, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся угол 30°, впи­сан­ный в окруж­ность ра­ди­у­са 3.

Ответ: 3

Задание 3512

Най­ди­те хорду, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся угол 120°, впи­сан­ный в окруж­ность ра­ди­у­са $$sqrt{3}$$.

Ответ: 3

Задание 3513

Хорда AB делит окруж­ность на две части, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, при­над­ле­жа­щей мень­шей дуге окруж­но­сти? Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 105

Задание 3514

Хорда AB стя­ги­ва­ет дугу окруж­но­сти в 92°. Най­ди­те угол ABC между этой хор­дой и ка­са­тель­ной к окруж­но­сти, про­ве­ден­ной через точку B. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 46

Задание 3515

Угол между хор­дой AB и ка­са­тель­ной BC к окруж­но­сти равен 32°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну мень­шей дуги, стя­ги­ва­е­мой хор­дой AB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 64

Задание 3516

Через концы AB дуги окруж­но­сти в 62° про­ве­де­ны ка­са­тель­ные AC и BC. Най­ди­те угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 118

Задание 3517

Ка­са­тель­ные CA и CB к окруж­но­сти об­ра­зу­ют угол ACB, рав­ный 122°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну мень­шей дуги AB, стя­ги­ва­е­мой точ­ка­ми ка­са­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 58

Задание 3518

Най­ди­те угол ACO, если его сто­ро­на CA ка­са­ет­ся окруж­но­сти, дуга АВ — равна 64°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 26

Окружность на ЕГЭ и ОГЭ — сложно. Все потому, что эта фигура не похожа на остальные: у неё нет углов и сторон, зато есть совсем другие элементы. В этой статье мы подробно поговорим про элементы окружности, углы, отрезки и прямые, которые с ней связаны, а также обсудим длину окружности и площадь круга. Ну и разберем основные задания ЕГЭ и ОГЭ, конечно же!

окружность егэ

Все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ — разбор заданий и задач

Для начала давайте разберёмся, что же такое окружность. Окружность — это замкнутая линия, состоящая из множества точек, которые равноудалены от центра окружности. Основной элемент окружности — это радиус, он соединяет центр с любой точкой на окружности.

Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭ

У окружности есть 2 вида углов:

  • вписанные (их вершина лежит на окружности);
  • центральные (тут всё понятно из названия, у них вершина в центре окружности).

Расположение и свойства углов в окружности можно увидеть на схеме ниже:

окружность егэ

Теория: углы в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

Давайте отработаем это на практике:

окружность егэ

Задание на углы окружности в ЕГЭ и ОГЭ

Решение

Можно заметить, что угол АСВ — вписанный и опирается на дугу АВ, соответственно, центральный угол АОD, опирающийся на ту же дугу будет в 2 раза больше, то есть 70 градусов. Теперь рассмотрим развёрнутый угол ВОD, он состоит из углов АОВ и АОD. Градусная мера развёрнутого угла 180 градусов, следовательно искомый угол АОD будет равен 180 – 70 = 110 градусов.

Отрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

Теперь рассмотрим отрезки и прямые в окружности. Приготовьтесь, их будет много!

Есть хорда — это отрезок, который соединяет 2 любые точки на окружности. Если хорда пройдёт через центр окружности, то она превратится в диаметр. Кстати, если внимательно посмотреть, то можно увидеть, что диаметр — это 2 радиуса!

окружность огэ

Хорда, диаметр, радиус и центр окружности на схеме

Теперь продлим хорду в обе стороны за пределы окружности, получим прямую, которая переСЕКает нашу окружность, отсюда и её название — секущая. Можно заметить, что секущая имеет 2 общих точки пересечения с окружностью. А ещё мы можем провести прямую так, чтобы она имела с окружностью только 1 точку пересечения, то есть касалась её, такая прямая будет называться касательная.

Подробнее со свойствами касательной и секущей можно ознакомиться на рисунке:

окружность огэ

Свойства касательной и секущей в окружности на схеме

Рассмотрим на примерах заданий про окружность в ЕГЭ и ОГЭ:

окружность егэ

Первый пример задания на касательную в окружности на ЕГЭ и ОГЭ
окружность егэ
Второй пример задания на касательную в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭ

Теперь я предлагаю ознакомиться с теоремами, которые появляются в комбинациях различных прямых и отрезков в окружности.

Теорема № 1: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

Первая теорема про хорду и касательную звучит так: 

Угол между касательной и хордой равен половине дуге, которую стягивает хорда.

Подробнее с выведением вы можете ознакомиться на рисунке:

окружость теория

Вот так выводится теорема про хорду и касательную

Однако хочу обратить ваше внимание, что если вы просто запомните формулировку, то многие задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ покажутся вам супер-простыми и будут решаться в 1 действие. Давайте в этом убедимся:

окружность задание

Пример решения задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ с использованием теоремы про хорду и касательную

Вот так просто и быстро в 1 действие мы справились с задачей. Правда здорово?!

Теорема № 2: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

А теперь давайте посмотрим на одну из моих самых любимых теорем. А любимая она, потому что без неё некоторые задачи кажутся практически нерешаемыми, а с ней их можно решить быстро и просто! Звучит она так:

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. 
Я советую запоминать именно словесную формулировку, так как чертежи и буквы на них могут быть разными, и есть риск всё перепутать.

Наглядно познакомиться с теоремой можно на рисунке ниже:

окружность теория

Теорема: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть

И конечно же давайте отработаем на практике!

окружность задание

Пример задания на теорему № 2

Если бы мы не знали ту теорему, которую только что прошли, то было бы много версий, как можно решить задачу. Кто-то начал бы строить радиус к касательной и рассматривать треугольники, а кто-то просто не стал бы решать, однако у нас есть формула: давайте её используем!

Решение:

Вот так просто решается это задание!

Теорема № 3: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

Если вы ещё не устали от теорем, то давайте познакомимся с ещё одной, которая связывает хорду с диаметром (радиусом).

Эта теорема интересна тем, что работает в обе стороны:

окружность теория

Вот так хорду можно связать с диаметром (радиусом)

Конечно же я не могу оставить вас без тренировки, поэтому посмотрим на следующую задачу:

окружность задание

Задание на нашу теорему и его решение

Теорема № 4: пересекающиеся хорды

Последнее, с чем я вас познакомлю в контексте прямых и отрезков в окружности будет свойство пересекающихся хорд: 

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

свойство пересекающихся хорд

Свойство пересекающихся хорд на рисунке

Для наглядности отрезки выделены разными цветами, так вам будет проще запомнить свойство.

А теперь отработаем его на практике:

окружность задание

Задание на свойство пересекающихся хорд и его решение

Длина окружности и площадь круга

Вот мы и подошли с вами к самому интересному, формулам длины окружности и площади круга, давайте их запишем:

формулы окружность

Формулы длины окружности и площади круга

Эти формулы очень походы, в них есть двойка, число Pi и радиус, однако можно заметить, что у формулы длины окружности двойка слева, а у площади круга справа в степени.

Так как же их не путать? Очень просто: запомните, что вторая степень (или квадрат) должна быть у площади, значит двойка слева будет у длины.

Давайте это закрепим:

окружность задание

Задание на длину окружности и площадь круга в ЕГЭ и ОГЭ

Вот так просто и быстро мы закрепили сразу обе формулы.

Как находить площадь и длину дуги сектора круга: задачи

А теперь перейдём к самому интересному — нахождению площади и длины дуги сектора круга. Многие ученики думаю, что это сложно, но на самом деле это не так. Я предлагаю записать 2 коротких алгоритма, с помощью которых вы сможете легко найти площадь или длину дуги сектора.

площадь круга егэ огэ

2 алгоритма для поиска площади и длины дуги сектора

И конечно же давайте закрепим эти алгоритмы на практике:

окружность задание

Задача на поиск площади сектора круга в ЕГЭ и ОГЭ

Теперь вы умеете решать задания на поиск площади сектора. Согласитесь, что с алгоритмом всё намного понятнее и проще?

Что нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ

На самом деле это всё, что я хотела вам рассказать в данной статье. Давайте ещё раз повторим, что вы узнали.

  1. Сначала мы познакомились с понятием окружность, потом посмотрели, какие бывают углы в окружности.
  2. Затем увидели множество отрезков и прямых в окружности, записали их свойства, а также несколько теорем с ними.
  3. В завершение мы поговорили про длину окружности, площадь круга, а также поиск площади и длины дуги сектора.

Самое ценное, что всю теорию мы закрепили на реальных заданиях из ОГЭ и ЕГЭ. Конечно, это далеко не всё, что вам может встретиться. Если вы хотите хорошо разбираться в окружности и в других темах, которые встречаются на экзаменах, записывайтесь на наши курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. На них мы подробно изучаем всю теорию, решаем много заданий, запоминаем удобные лайфхаки и решаем пробные экзамены, чтобы не стрессовать на реальном. Присоединяйтесь!

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть angle MCA=varphi. Тогда angle OCA = 90 ^{circ}-varphi. Треугольник ОСА – равнобедренный, ОА = ОС (как радиусы окружности). Значит, angle AOC= 180 ^{circ}-2left ( 90 ^{circ} - varphi right )=2varphi, что и требовалось доказать.

Заметим, что angle ABC = varphi – как вписанный, опирающийся на ту же дугу.

Задача ЕГЭ по теме «Угол между касательной и хордой»

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32 ^{circ}. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная ВС перпендикулярна радиусу ОВ, проведенному в точку касания. Значит, угол ОВС равен 90°, и тогда угол ОВА равен 90 ^{circ} - 32 ^{circ} = 58 ^{circ}. Угол ОАВ также равен 58°, так как треугольник ОАВ – равнобедренный, его стороны ОА и ОВ равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол АОВ, равен 180 ^{circ} - 58 ^{circ} cdot 2 = 64 ^{circ}.

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, и тогда дуга АВ равна 64 ^{circ}.

Эту задачу можно решить быстрее, зная теорему об угле между касательной и хордой.
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, — это угол АВС. Он равен половине угловой величины дуги, заключенной между касательной ВС и хордой АВ, то есть дуги АВ. Значит, дуга АВ равна 64 ^{circ}.

Ответ: 64.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Угол между касательной и хордой» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Новое и интересное на сайте:

  • Решу егэ карточки физика
  • Решу егэ картинки по биологии
  • Решу егэ картинки для описания английский
  • Решу егэ карбоновые кислоты
  • Решу егэ как посмотреть ответы на вариант учителя

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии