Окружность на ЕГЭ и ОГЭ — сложно. Все потому, что эта фигура не похожа на остальные: у неё нет углов и сторон, зато есть совсем другие элементы. В этой статье мы подробно поговорим про элементы окружности, углы, отрезки и прямые, которые с ней связаны, а также обсудим длину окружности и площадь круга. Ну и разберем основные задания ЕГЭ и ОГЭ, конечно же!
Для начала давайте разберёмся, что же такое окружность. Окружность — это замкнутая линия, состоящая из множества точек, которые равноудалены от центра окружности. Основной элемент окружности — это радиус, он соединяет центр с любой точкой на окружности.
Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭ
У окружности есть 2 вида углов:
- вписанные (их вершина лежит на окружности);
- центральные (тут всё понятно из названия, у них вершина в центре окружности).
Расположение и свойства углов в окружности можно увидеть на схеме ниже:
Давайте отработаем это на практике:
Решение
Можно заметить, что угол АСВ — вписанный и опирается на дугу АВ, соответственно, центральный угол АОD, опирающийся на ту же дугу будет в 2 раза больше, то есть 70 градусов. Теперь рассмотрим развёрнутый угол ВОD, он состоит из углов АОВ и АОD. Градусная мера развёрнутого угла 180 градусов, следовательно искомый угол АОD будет равен 180 – 70 = 110 градусов.
Отрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ
Теперь рассмотрим отрезки и прямые в окружности. Приготовьтесь, их будет много!
Есть хорда — это отрезок, который соединяет 2 любые точки на окружности. Если хорда пройдёт через центр окружности, то она превратится в диаметр. Кстати, если внимательно посмотреть, то можно увидеть, что диаметр — это 2 радиуса!
Теперь продлим хорду в обе стороны за пределы окружности, получим прямую, которая переСЕКает нашу окружность, отсюда и её название — секущая. Можно заметить, что секущая имеет 2 общих точки пересечения с окружностью. А ещё мы можем провести прямую так, чтобы она имела с окружностью только 1 точку пересечения, то есть касалась её, такая прямая будет называться касательная.
Подробнее со свойствами касательной и секущей можно ознакомиться на рисунке:
Рассмотрим на примерах заданий про окружность в ЕГЭ и ОГЭ:
4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭ
Теперь я предлагаю ознакомиться с теоремами, которые появляются в комбинациях различных прямых и отрезков в окружности.
Теорема № 1: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
Первая теорема про хорду и касательную звучит так:
Угол между касательной и хордой равен половине дуге, которую стягивает хорда.
Подробнее с выведением вы можете ознакомиться на рисунке:
Однако хочу обратить ваше внимание, что если вы просто запомните формулировку, то многие задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ покажутся вам супер-простыми и будут решаться в 1 действие. Давайте в этом убедимся:
Вот так просто и быстро в 1 действие мы справились с задачей. Правда здорово?!
Теорема № 2: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
А теперь давайте посмотрим на одну из моих самых любимых теорем. А любимая она, потому что без неё некоторые задачи кажутся практически нерешаемыми, а с ней их можно решить быстро и просто! Звучит она так:
Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
Я советую запоминать именно словесную формулировку, так как чертежи и буквы на них могут быть разными, и есть риск всё перепутать.
Наглядно познакомиться с теоремой можно на рисунке ниже:
И конечно же давайте отработаем на практике!
Если бы мы не знали ту теорему, которую только что прошли, то было бы много версий, как можно решить задачу. Кто-то начал бы строить радиус к касательной и рассматривать треугольники, а кто-то просто не стал бы решать, однако у нас есть формула: давайте её используем!
Решение:
Теорема № 3: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
Если вы ещё не устали от теорем, то давайте познакомимся с ещё одной, которая связывает хорду с диаметром (радиусом).
Эта теорема интересна тем, что работает в обе стороны:
Конечно же я не могу оставить вас без тренировки, поэтому посмотрим на следующую задачу:
Теорема № 4: пересекающиеся хорды
Последнее, с чем я вас познакомлю в контексте прямых и отрезков в окружности будет свойство пересекающихся хорд:
Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.
Для наглядности отрезки выделены разными цветами, так вам будет проще запомнить свойство.
А теперь отработаем его на практике:
Длина окружности и площадь круга
Вот мы и подошли с вами к самому интересному, формулам длины окружности и площади круга, давайте их запишем:
Эти формулы очень походы, в них есть двойка, число Pi и радиус, однако можно заметить, что у формулы длины окружности двойка слева, а у площади круга справа в степени.
Так как же их не путать? Очень просто: запомните, что вторая степень (или квадрат) должна быть у площади, значит двойка слева будет у длины.
Давайте это закрепим:
Вот так просто и быстро мы закрепили сразу обе формулы.
Как находить площадь и длину дуги сектора круга: задачи
А теперь перейдём к самому интересному — нахождению площади и длины дуги сектора круга. Многие ученики думаю, что это сложно, но на самом деле это не так. Я предлагаю записать 2 коротких алгоритма, с помощью которых вы сможете легко найти площадь или длину дуги сектора.
И конечно же давайте закрепим эти алгоритмы на практике:
Теперь вы умеете решать задания на поиск площади сектора. Согласитесь, что с алгоритмом всё намного понятнее и проще?
Что нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ
На самом деле это всё, что я хотела вам рассказать в данной статье. Давайте ещё раз повторим, что вы узнали.
- Сначала мы познакомились с понятием окружность, потом посмотрели, какие бывают углы в окружности.
- Затем увидели множество отрезков и прямых в окружности, записали их свойства, а также несколько теорем с ними.
- В завершение мы поговорили про длину окружности, площадь круга, а также поиск площади и длины дуги сектора.
Самое ценное, что всю теорию мы закрепили на реальных заданиях из ОГЭ и ЕГЭ. Конечно, это далеко не всё, что вам может встретиться. Если вы хотите хорошо разбираться в окружности и в других темах, которые встречаются на экзаменах, записывайтесь на наши курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. На них мы подробно изучаем всю теорию, решаем много заданий, запоминаем удобные лайфхаки и решаем пробные экзамены, чтобы не стрессовать на реальном. Присоединяйтесь!
Касательная к окружности
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.
Расскажем подробнее, что такое касательная и секущая.
Напомним, что расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной к окружности. В этом случае она имеет с окружностью ровно одну общую точку. Такую прямую называют касательной к окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность в двух точках. Такую прямую называют секущей.
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая не имеет с окружностью общих точек.
Запишем основные теоремы о касательных. Они помогут нам при решении задач ЕГЭ и ОГЭ.
Теорема 1.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
На рисунке радиус OA перпендикулярен прямой m.
Теорема 2. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Доказательство:
Дана окружность с центром O.
Прямые AB и AC — касательные, точки B и C — точки касания. Докажем, что
AB = AC и 
Проведем радиусы OB и OC в точки касания.
По свойству касательной, 
и 
.
В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC и 
Теорема 3. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Доказательство:
Пусть из точки A к окружности проведены касательные AB и AC. Соединим точку A с центром окружности точкой O. Треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету, следовательно, AB = AC.
Теорема 4. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
Угол ACМ на рисунке равен половине угловой величины дуги AC.
Доказательство теоремы здесь.
Теорема 5, о секущей и касательной.
Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.
Доказательство теоремы смотрите здесь.
Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Касательная к окружности.
Задача 1.
Угол ACO равен 
, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол CAO — прямой. Из треугольника ACO получим, что угол AOC равен 62 градуса. Bеличина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги AB— тоже 62 градуса.
Ответ: 62.
Задача 2.
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 
. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Это чуть более сложная задача. Центральный угол AOD опирается на дугу AD, следовательно, он равен 116 градусов. Тогда угол AOC равен 
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол OAC — прямой. Тогда угол ACO равен 
Ответ: 26.
Задача 3.
Хорда AB стягивает дугу окружности в 
Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Проведем радиус OB в точку касания, а также радиус OA. Угол OBC равен 
Треугольник BOA — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол OBA равен 44 градуса, и тогда угол CBA равен 46 градусов, то есть половине угловой величины дуги AB.
Мы могли также воспользоваться теоремой: Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
Задача 4.
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
Решение:
Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника ABC складывается из периметров отсеченных треугольников.
Ответ: 24.
Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:
Задача 5.
Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.
Решение:
Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку O — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.
Соедините точку O с вершинами A, B, C, D, E. Получились треугольники AOB, BOC, COD, DOE и EOA.
Очевидно, что площадь многоугольника 
Треугольники АОВ, ВОС, COD, DOE и ЕОА имеют равные высоты, причем все эти высоты равны радиусу окружности.
где p — полупериметр многоугольника.
По условию, P = 10, S = 5, тогда 
Ответ: 1
Задачи ЕГЭ
1. Угол ACO равен 
, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B . Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.
Решение:
По условию, CA — касательная, A — точка касания.
. Треугольник ACO — прямоугольный, 
.
Угол 
— центральный, и он равен угловой величине дуги AB, на которую опирается. Значит, градусная мера дуги AB равна 
. Это меньшая дуга AB, а большая — с другой стороны от точек A и B, и она больше 180 градусов.
Ответ: 63.
2. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 
. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Центральный угол AOB равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть 
AC и BC — касательные, поэтому 
, поскольку касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Сумма углов четырехугольника ACBO равна 
Ответ: 122.
3. Хорда AB стягивает дугу окружности в 
. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Применим теорему об угле между касательной и хордой.
Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.
Значит, угол ABC равен 
.
Ответ: 46.
4. Через концы A и B дуги окружности с центром О проведены касательные AC и BC. Угол CAB равен 
. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.
Поэтому меньшая дуга AB окружности равна 
. Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, угол AOB равен .
Мы могли бы решить задачу и по-другому, рассматривая четырехугольник ACBO, как в задаче 2.
Ответ: 64.
5. Через концы A, B дуги окружности в 
проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними. В треугольнике ABC:
Ответ: 118.
6. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, сторона CO пересекает окружность в точках B и D, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 
. Ответ дайте в градусах.
Решение:
По условию, DB — диаметр окружности, поэтому дуга AВ, не содержащая точки D, равна 
. На эту дугу опирается центральный угол AOB, он равен . Треугольник AOC прямоугольный, так как касательная CA перпендикулярна радиусу ОA, проведенному в точку касания.
Ответ: 26.
Задачи ОГЭ по теме: Касательная к окружности
1. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
Решение:
Отрезок OB — радиус, проведённый в точку касания, поэтому AB и OB перпендикулярны, треугольник AOB — прямоугольный. По теореме Пифагора:
Ответ: 5.
2. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 
. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому угол OКD — прямой. Тогда 
Треугольник OMK — равнобедренный, его стороны OК и OМ являются радиусами окружности, поэтому 
Ответ: 7.
3. Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.
Решение:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, треугольник AOB — прямоугольный. Из прямоугольного треугольника AOB по теореме Пифагора найдём AO:
Ответ: 10.
4. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
Решение:
Проведём радиус AH в точку касания. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому треугольник ABН — прямоугольный. Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора найдём BH:
Ответ: 40.
5. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 
. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, поэтому AC=BC и треугольник ABC — равнобедренный.
Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними, значит, дуга AB равна 
. Угол AOB — центральный, он равен дуге, на которую опирается, то есть . Треугольник AOB равнобедренный,
Ответ: 36.
6. Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 
, а расстояние от точки A до точки O равно 8.
Решение:
Проведём радиусы OB и OC в точки касания. Треугольники AOB и AOC — прямоугольные. Эти треугольники равны по катету и гипотенузе.
OB — OC как радиусы окружности, гипотенуза общая. Значит,
Из треугольника AOB найдём OB, то есть радиус окружности.
Ответ: 4.
7. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 2, AC = 8. Найдите AK.
Решение:
По теореме о секущей и касательной, 
Ответ: 4.
8. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна . Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
Ответ: 36.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Касательная к окружности» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Задание 1909
Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.
Ответ: 6
Скрыть
1) $$OD=AB-BD=4$$
2) Треугольник OAD — прямоугольный, тогда по теореме Пифагора: $$AD=sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$$
3) OA=AC, OD — общая, тогда прямоугольные треугольники AOD и ODC равны, следовательно, AD=DC=3, и AC=6
Задание 1910
Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности.
Ответ: 30
Скрыть
1) Треугольник OAB — равносторонний, тогда $$angle AOB = 60^{circ}=smile AB$$
2) $$angle ADB=angle alpha=frac{1}{2}smile AB=30^{circ}$$ (по свойству вписанного угла)
Задание 1911
К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
Ответ: 5
Скрыть
1) По свойству радиуса и касательной $$OBperp AB$$, тогда треугольник OAB — прямоугольный
2) По теореме Пифагора $$OB=sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$
Задание 1914
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.
Ответ: 14
Скрыть
Пусть меньший угол K, тогда по свойству треугольника меньшая сторона AM. Углы треугольника для окружности являются вписанными, следовательно, равны половинам дуг, на которые опираются, а значит и относятся так же , как и дуги.
Пусть угол К равен 3х, тогда M=4x и A=11x. По свойству углов треугольника: $$3x+4x+11x=180Leftrightarrow$$$$x=10$$, тогда угол К составляет 30 градусов, а меньшая дуга MA составляет 60 градусов.
Угол MOA является центральным, следовательно $$angle MOA=smile MA=60^{circ}$$, тогда треугольник MOA не только равнобедренный (OM=OA — радиусы), но и равносторонний, следовательно, MA=14
Задание 1915
Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 7
Скрыть
Треугольник OMK — равнобедренный (OM=OK — радиусы), тогда $$angle OMK=angle OKM$$
По свойству касательной и радиуса OK и касательная — перпендикулярны, тогда $$angle OKM=90-83=7^{circ}$$, тогда и угол OMK те же 7 градусов
Задание 1917
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.
Ответ: 9
Скрыть
OE перпендикулряно AB, следовательно, треугольники AOE и OEB равны (так как OA=OB-радиусы) по катету и гипотенузе. Тогда AE=EB=0,5AB=9.
По теореме Пифагора из треугольника OEB: $$OB=sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$$, следовательно, OD=15
Из треугольника OFD по теореме Пифагора: $$OF=sqrt{OD^{2}-FD^{2}}$$, FD=0,5CD=12. Тогда: $$OF=sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$
Задание 1918
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.
Ответ: 441
Скрыть
Если острый угол AOB составляет 66 градуов, то развернутый составляет $$360-66=294^{circ}$$
Пусть длина большей дуги равна х, тогда:
$$66^{circ}- 99$$
$$294^{circ}- x$$
$$x=frac{294*99}{66}=441$$
Задание 3511
Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиуса 3.
Ответ: 3
Задание 3512
Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса $$sqrt{3}$$.
Ответ: 3
Задание 3513
Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Ответ: 105
Задание 3514
Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 46
Задание 3515
Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32°. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 64
Задание 3516
Через концы A, B дуги окружности в 62° проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 118
Задание 3517
Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 58
Задание 3518
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, дуга АВ — равна 64°. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 26