Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.
Источник: Интеллект-центр. Репетиционные варианты ЕГЭ 2015.
2
Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?
3
1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 122.
4
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за три года)?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 131.
5
Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137.
Пройти тестирование по этим заданиям
Всего: 258 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант Ларина.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн.
Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 322 (часть C).
1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С).
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С)., Задания 17 (С4) ЕГЭ 2015
В июле планируется взять кредит на сумму 2 320 500 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?
Наш добрый герой В. взял в банке кредит в размере 20 192 020 рублей по очень знакомой схеме:
— в конце очередного месяца пользования кредитом банк начисляет проценты за пользование заемными средствами по специальной ставке данного варианта 2,96%;
— в этот же день клиент выплачивает часть долга и сумму начисленных процентов;
— после выплаты долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего месяца.
Но дальше все пошло не по сценарию. Наш герой решил каждый месяц, начиная с первого, платить банку сверх прочего дополнительную сумму на погашение долга, при этом долг по‐прежнему ежемесячно уменьшался на одну и ту же величину (бóльшую, чем планировалось изначально) до полного погашения. В итоге срок кредита сократился на 52%. На какое наименьшее число процентов могла уменьшиться при этом переплата банку?
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 296.
Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 
от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 85.
31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С)., Задания 17 (С4) ЕГЭ 2015
В начале года фирма «Жилстройсервис» выбирает банк для получения кредита среди нескольких банков, кредитующих под разные проценты. Полученным кредитом фирма фирма планирует распорядится следующим образом: 75% кредита направить на строительство коттеджей, а остальные 25% на оказание риэлтерских услуг населению. Первый проект может принести прибыль в размере от 36% до 44% годовых, а второй — от 20% до 24% годовых. В конце года фирма должна вернуть кредит банку с процентами и при этом рассчитывает на чистую прибыль от указанных видов деятельности от не менее 13%, но и не более 21% годовых от всего полученного кредита. Какими должны быть наименьшая и наибольшая процентные ставки кредитования выбираемых банков, чтобы фирма гарантированно обеспечила себе указанный выше уровень прибыли.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 157.
В январе 2020 года Борис взял кредит в банке на сумму 4 200 000 рублей. По договору с банком Борис должен был погасить долг двумя равными платежами в феврале 2021 года и феврале 2022 года, при условии, что в январе 2021 года и январе 2022 года сумма оставшегося долга увеличивается на 10%. В феврале 2021 года Борис сделал первую выплату в соответствии с договором. После этого ему удалось договориться с банком о рефинансировании кредита и уменьшить процент, на который сумма долга вырастет в январе 2022 года, до 7%. Какую сумму сэкономит Борис на рефинансировании своего кредита?
Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №1
В январе 2020 года Василий взял кредит в банке на сумму 3 300 000 рублей. По договору с банком Василий должен был погасить долг двумя равными платежами в феврале 2021 года и феврале 2022 года, при условии, что в январе 2021 года и январе 2022 года сумма оставшегося долга увеличивается на 20%. В феврале 2021 года Василий сделал первую выплату в соответствии с договором. После этого ему удалось договориться с банком о рефинансировании кредита и уменьшить процент, на который сумма долга вырастет в январе 2022 года, до 16%. Какую сумму сэкономит Василий на рефинансировании своего кредита?
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 348., Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №2
Оля хочет взять в кредит 1 200 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 000 рублей?
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 |
| Долг (в млн рублей) |
S | 0,7S | 0,4S | 0 |
Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.
Источник: Задания 17 (С5) ЕГЭ 2016
15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:
− 1-го числа k-ого месяца долг возрастёт на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число k-того месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа k-того месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит?
Источник: Задания 17 (С5) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 402 (C часть).
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 825 тыс рублей?
Источник: РЕШУ ЕГЭ
В июле 2018 года планируется взять кредит в банке на шесть лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите S, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 327 тысяч рублей.
Всего: 258 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Всего: 258 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант Ларина.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн.
Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 322 (часть C).
1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С).
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С)., Задания 17 (С4) ЕГЭ 2015
В июле планируется взять кредит на сумму 2 320 500 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?
Наш добрый герой В. взял в банке кредит в размере 20 192 020 рублей по очень знакомой схеме:
— в конце очередного месяца пользования кредитом банк начисляет проценты за пользование заемными средствами по специальной ставке данного варианта 2,96%;
— в этот же день клиент выплачивает часть долга и сумму начисленных процентов;
— после выплаты долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего месяца.
Но дальше все пошло не по сценарию. Наш герой решил каждый месяц, начиная с первого, платить банку сверх прочего дополнительную сумму на погашение долга, при этом долг по‐прежнему ежемесячно уменьшался на одну и ту же величину (бóльшую, чем планировалось изначально) до полного погашения. В итоге срок кредита сократился на 52%. На какое наименьшее число процентов могла уменьшиться при этом переплата банку?
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 296.
Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 85.
31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С)., Задания 17 (С4) ЕГЭ 2015
В начале года фирма «Жилстройсервис» выбирает банк для получения кредита среди нескольких банков, кредитующих под разные проценты. Полученным кредитом фирма фирма планирует распорядится следующим образом: 75% кредита направить на строительство коттеджей, а остальные 25% на оказание риэлтерских услуг населению. Первый проект может принести прибыль в размере от 36% до 44% годовых, а второй — от 20% до 24% годовых. В конце года фирма должна вернуть кредит банку с процентами и при этом рассчитывает на чистую прибыль от указанных видов деятельности от не менее 13%, но и не более 21% годовых от всего полученного кредита. Какими должны быть наименьшая и наибольшая процентные ставки кредитования выбираемых банков, чтобы фирма гарантированно обеспечила себе указанный выше уровень прибыли.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 157.
В январе 2020 года Борис взял кредит в банке на сумму 4 200 000 рублей. По договору с банком Борис должен был погасить долг двумя равными платежами в феврале 2021 года и феврале 2022 года, при условии, что в январе 2021 года и январе 2022 года сумма оставшегося долга увеличивается на 10%. В феврале 2021 года Борис сделал первую выплату в соответствии с договором. После этого ему удалось договориться с банком о рефинансировании кредита и уменьшить процент, на который сумма долга вырастет в январе 2022 года, до 7%. Какую сумму сэкономит Борис на рефинансировании своего кредита?
Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №1
В январе 2020 года Василий взял кредит в банке на сумму 3 300 000 рублей. По договору с банком Василий должен был погасить долг двумя равными платежами в феврале 2021 года и феврале 2022 года, при условии, что в январе 2021 года и январе 2022 года сумма оставшегося долга увеличивается на 20%. В феврале 2021 года Василий сделал первую выплату в соответствии с договором. После этого ему удалось договориться с банком о рефинансировании кредита и уменьшить процент, на который сумма долга вырастет в январе 2022 года, до 16%. Какую сумму сэкономит Василий на рефинансировании своего кредита?
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 348., Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №2
Оля хочет взять в кредит 1 200 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 000 рублей?
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 |
| Долг (в млн рублей) |
S | 0,7S | 0,4S | 0 |
Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.
Источник: Задания 17 (С5) ЕГЭ 2016
15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:
− 1-го числа k-ого месяца долг возрастёт на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число k-того месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа k-того месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит?
Источник: Задания 17 (С5) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 402 (C часть).
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 825 тыс рублей?
Источник: РЕШУ ЕГЭ
В июле 2018 года планируется взять кредит в банке на шесть лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите S, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 327 тысяч рублей.
Всего: 258 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике — «экономическая» задача. Как вы уже поняли, речь пойдет о деньгах. О кредитах и вкладах. О ситуациях, где нужно узнать, при каких значениях переменной будет максимальна прибыль или минимальны издержки. С 2022 года задание 15 оценивается на ЕГЭ в 2 первичных балла.
В этой статье:
Как научиться решать «экономические» задачи. С чего начать.
Две схемы решения задач на кредиты и как их распознать.
Комбинированные задачи.
В чем основная сложность «экономической» задачи.
Задания на оптимальный выбор. В том числе — с применением производной.
Если материал покажется вам сложным — вернитесь к теме «Задачи на проценты» из первой части ЕГЭ по математике.
Надеемся, что вы уже сейчас сможете ответить на такие вопросы:
- Что принимается за 100%?
- Величина х увеличилась на p%. Как это записать?
- Величина y дважды уменьшилась на р%. Как это записать?
Ответы на вопросы, а также подготовительные задачи — в статье «Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов». Повторите эту тему.
Запомним, что есть всего две схемы решения задач на кредиты
Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или известна информация о платежах. Подробно здесь.
Вторая схема: равномерно уменьшается сумма долга. Или дана информация об изменении суммы долга. Подробно здесь.
В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии. В задачах второго типа — формула суммы арифметической прогрессии.
Посмотрите, чем эти схемы отличаются друг от друга. На какие ключевые слова в условии надо обратить внимание.
Потому что первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу на кредиты или вклады, — определить, к какому типу она относится.
Давайте потренируемся.
1. 31 декабря 2014 года Аристарх взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Аристарх переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Аристарх выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. В условии сказано, что Аристарх выплатит долг четырьмя равными платежами.
Введем обозначения:
тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
— процент банка,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
— сумма ежегодного платежа.
Составим схему погашения кредита. Заметим, что здесь 4 раза (то есть в течение 4 лет) повторяются одни и те же действия:
— сумма долга увеличивается в 
раз;
— Аристарх вносит на счет сумму в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на .
Вот что получается:
Раскроем скобки:
Что у нас в скобках? Да, это геометрическая прогрессия, и ее проще записать как
. В этой прогрессии первый член равен 1, а каждый следующий в k раз больше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии равен k.
Применим формулу суммы геометрической прогрессии:
И выразим из этой формулы .
Что же, можно подставить численные данные. Стараемся, чтобы наши вычисления были максимально простыми. Поменьше столбиков! Например, коэффициент k лучше записать не в виде десятичной дроби 1,125 — а в виде обыкновенной дроби 
, Иначе у вас будет 12 знаков после запятой!
И конечно, не спешить возводить эту дробь в четвертую степень или умножать на S = 6902000 рублей.
тыс.руб.
Ответ: 2296350 рублей.
Вот следующая задача.
2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
В этой задаче сумма долга уменьшается равномерно — задача второго типа.
Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей.
Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.
Как обычно, 
Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая ступенька равна 
После первой выплаты сумма долга равна 
после второй 
Тогда первая выплата 
вторая выплата
,
Последняя в году выплата 
Сумма всех выплат в течение первого года:
В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой 
Обозначим эту сумму 
Во второй скобке — также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой 
Эту сумму обозначим 
Общая сумма выплат за год:
тыс. рублей.
Ответ: 1066500 рублей.
Еще одна задача — комбинированная. Здесь мы рисуем такую же схему выплаты кредита, как в задачах второго типа.
3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017, 2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Введем переменные: 
тысяч рублей. Рисуем схему погашения кредита:
Общая сумма выплат: 
Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой 
.
Это значит, что 
и тогда
тысяч рублей.
Ответ: 1925 тыс. рублей.
Но не только задачи на кредиты и вклады могут встретиться в задании 15 Профильного ЕГЭ по математике. Есть еще задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если повезет и функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.
4. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары—стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
| Вид тары | Себестоимость, 1 центнера |
Отпускная цена, 1 центнера |
| стеклянная | 1500 руб | 2100 руб |
| жестяная | 1100 руб | 1750 руб |
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
По условию, завод не может выпускать компот только в стеклянных банках или только в жестяных — должны быть и те, и другие.
Пусть x — доля мощностей завода, занятых под поизводство компотов в стеклянных банках, а y — доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяных банках, Тогда x+y=1. (Например, х=0,3 и у = 0,7 — то есть 30% производства — это компот в стеклянных банках, а 70% — компот в жестяных банках).
Если бы завод выпускал только компот в стеклянных банках, их бы получилось 90 центнеров в сутки. Однако выпускаются и те, и другие, и компотов в стеклянных банках производится 90x центнеров, а в жестяных банках — 80y центнеров в сутки.
Составим таблицу.
| Вид тары | Доля в общем количестве | Производится в сутки | Прибыль за 1 центнер |
| стеклянная |  |
 |
2100 — 1500 = 600 руб |
| жестяная |  |
 |
1750 — 1100 = 650 руб |
Общая прибыль завода за сутки равна 
По условию, 
и 
, то есть 
и 
Нужно найти наибольшее значение выражения 
при выполнении следующих условий:
Подставим 
в выражение для прибыли завода за сутки. Получим, что она равна 
Это линейная функция от x. Она монотонно возрастает и свое наибольшее значение принимает при 
Тогда 
и максимально возможная прибыль завода за день равна
руб.
Ответ: 53500 руб.
Больше задач по финансовой математике на нахождение наибольших и наименьших значений функций и применение производной — здесь:
Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Исследование функций и производная
Вот такая она, задача с экономическим содержанием. Мы рассказали о ней самое главное. Если готов осваивать ее самостоятельно — желаем удачи. А если не все будет сразу получаться — приходи к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы, курсы или Онлайн-курс.
Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 15. Финансовая математика u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!
Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы:
- банковские задачи,
- на ценные бумаги,
- задачи на оптимальный выбор.
В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.
Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.
- Как работает процент по кредиту?
- На какую сумму начисляется?
- Из каких частей состоит платеж?
- Как уменьшается долг?
На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс!
Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.
С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике
Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:
- Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
- Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
- Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг.
Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.
Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.
Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.
Тип 1. Равные платежи
Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.
Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!
Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.
Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.
Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!
Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.
Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:
Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается.
По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:
Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!
Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.
Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.
Ответ: 10%.
Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:
Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.
Тип 2. Равномерно убывающий долг
В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.
Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:
Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:
Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:
Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:
Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:
Ответ: 1%.
И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.
Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке
Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг(в млн рублей) | 1 | 0,9 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,5 | 0 |
Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.
Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.
Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:
Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.
Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.
«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:
Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.
Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:
Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.
Ответ: 5%.
Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.
Тип 4. Погашение кредита в два этапа.
По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше
В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?
И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.
Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.
Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.
Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:
Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:
Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.
Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:
Посчитаем эту сумму:
Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:
Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!
Ответ: 700 тысяч.
Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.
Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике
Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:
- Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
- Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
- Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
- Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.
Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.
За что дают баллы?
Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.
17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.
Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа.
Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:
А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.
Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.
Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги.
17. Сложные задачи прикладного характера
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж
Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами.
При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.
Пусть, например, клиент взял (2,1) млн рублей в банке под (10%) годовых и должен погасить кредит через (2) года. Для того, чтобы понять, сколько рублей должен составлять его ежегодный платеж (x), можно составить таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после платежа}\
hline 1&2,1&2,1cdot 0,01(100+10)=1,1cdot 2,1&1,1cdot 2,1-x\
hline 2&1,1cdot2,1-x&(1,1cdot2,1-x)cdot0,01(100+10)&1,1(1,1cdot2,1-x)-x\
hline
end{array}] Т.к. в конце второго года кредит должен быть выплачен полностью, то это значит, что долг банку на конец второго года равен нулю. То есть (1,1(1,1cdot2,1-x)-x=0Leftrightarrow 1,1^2cdot2,1-x(1,1+1)=0).
Отсюда находим ежегодный платеж (x=1,21) млн рублей.
В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула: [{Large{left(frac{100+r}{100}right)^ncdot A-xleft(left(frac{100+r}{100}right)^{n-1}+left(frac{100+r}{100}right)^{n-2}+dots+1right)=0}}] где (A) – сумма, взятая в кредит, (r%) – процентная ставка в банке, (x) – сумма платежа, (n) – количество лет (месяцев), на которое взят кредит.
Задание
1
#1189
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Екатерина взяла кредит в банке на сумму (680,000) рублей, которую ей не хватало для покупки квартиры. Кредит она решила взять (1) марта на (2) месяца на следующих условиях:
– (17)-ого числа каждого месяца, начиная с марта, долг увеличивается на (12,5 %) по сравнению с долгом на начало текущего месяца;
– в период с (18)-ого по (30)-ые числа Екатерина должна выплатить часть долга одним платежом, причем ежемесячные платежи одинаковы.
Сколько рублей составила переплата Екатерины по данному кредиту?
Заметим, что (dfrac{112,5}{100}=dfrac{9}{8}).
Составим таблицу (суммы будем записывать в тыс. рублей), (x) – ежемесячный платеж: [begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Месяц} & text{Сумма долга до начисления } % &
text{Сумма долга после начисления } % text{ и платежа}
\[5pt]
hline
1 & 680 & frac{9}{8}cdot 680 — x \[5pt]
hline
2 & frac{9}{8}cdot 680 — x & frac{9}{8}left(frac{9}{8}cdot 680 — xright)-x\[5pt]
hline
end{array}]
(Rightarrow dfrac{9}{8}left(dfrac{9}{8}cdot 680 — xright)-x=0
Rightarrow
x=405) тыс. рублей.
Таким образом, переплата по кредиту составила (2x-A=130) тыс. рублей.
Ответ:
(130,000) рублей.
Задание
2
#1190
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Бизнесмен Олег в январе (2016) года взял кредит в банке под (20 %) годовых, причем выплачивать кредит он должен равными суммами в течение трех лет. Сколько рублей в итоге выплатил Олег банку, если известно, что его переплата по кредиту составила (675,500) рублей?
Пусть (A) рублей – сумма кредита, (x) рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:
[begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Год} & text{Сумма долга до начисления } % & text{Сумма долга после начисления } % text{ и платежа}\
hline 1 & A & 1,2A-x\
hline 2 & 1,2A-x & 1,2(1,2A-x)-x\
hline 3 & 1,2(1,2A-x)-x & 1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x\
hline
end{array}]
Следовательно, (1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x=0 (*)).
Всего за три года Олег выплатил банку (3x) рублей, а его переплата составила (3x-A=675,500) рублей. Отсюда (A=3x-675,500). Подставим это значение в ((*)):
(1,2^3cdot (3x-675,500)-x(1,2^2+1,2+1)=0 Rightarrow )
(x= dfrac{1,2^3cdot
675,500}{3cdot1,2^3-1,2^2-2,2}=dfrac{12^3cdot
675,500}{1,544}=756,000 Rightarrow 3x=2,268,000) рублей.
Ответ:
(2,268,000) рублей.
Задание
3
#3924
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В банке был взял кредит на некоторую сумму денег на 3 года. Кредит необходимо выплачивать равными платежами раз в год, причем известно, что каждый год перед выплатой текущая сумма долга увеличивается на четверть.
Найдите, сколько процентов от тела кредита составит переплата по такому кредиту. В случае необходимости ответ округлите до целого числа.
Так как кредит нужно выплачивать равными ежегодными платежами, то платежи аннуитетные. Пусть (x) рублей — этот ежегодный платеж, (A) рублей – сумма кредита.
Сумма долга каждый год увеличивается на четверть, то есть на (frac14). Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|} hline text{Год}&text{Долг на начало года}&text{После начисления }%
&text{После платежа}\[2ex]
hline 1& A&A+frac 14A=frac 54A&frac 54A-x\[2ex]
hline 2& frac 54A-x& frac54left(frac54A-xright)&
frac54left(frac54A-xright)-x\[2ex]
hline 3&frac54left(frac54A-xright)-x&
frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)&
frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)-x\[2ex]
hline
end{array}] Таким образом, имеем: [frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)-x=0 quadLeftrightarrowquad
x=dfrac{left(frac54right)^3}{left(frac54right)^2+frac54+1}cdot
A]
Переплата по кредиту равна (3x-A), следовательно, необходимо найти: [dfrac{3x-A}{A}cdot 100%=
left(dfrac{3cdot left(frac54right)^3}
{left(frac54right)^2+frac54+1}-1right)cdot
100%=left(dfrac{3cdot 5^3}{5^2cdot 4+5cdot
4^2+4^3}-1right)cdot 100%=dfrac{131}{244}cdot 100%sim 54%.]
Ответ:
54
Задание
4
#3976
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Банк выдает кредит сроком на 4 года под (25%) годовых. Вычислите, на сколько процентов переплата по такому кредиту превышает платеж, если гасить кредит нужно равными ежегодными выплатами.
Пусть кредит взят на сумму (A), пусть (x) – ежегодный платеж. Составим таблицу. [begin{array}{|l|c|c|c|} hline text{Год}&text{Долг на начало года}&text{После начисления }%
&text{После платежа}\
hline 1&A&1,25cdot A&1,25cdot A-x\
hline 2&1,25cdot A-x&1,25(1,25cdot A-x)&1,25(1,25cdot A-x)-x\
hline 3&1,25(1,25cdot A-x)-x&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)-x\
hline 4&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-&1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-&
1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-\
&-x)-x&-x)-x)&-x)-x)-x\
hline
end{array}]
Тогда имеем уравнение: [1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)-x)-x=0 quadLeftrightarrowquad
dfrac Ax=dfrac{1,25^3+1,25^2+1,25+1}{1,25^4}]
Переплата по кредиту равна (4x-A). Следовательно, число процентов, которое составляет переплата от платежа, равно: [dfrac{4x-A}{x}cdot 100%=left(4-dfrac Axright)cdot 100%]
Заметим, что (1,25=frac54). Тогда: [left(4-dfrac{5^3cdot 4+5^2cdot 4^2+5cdot 4^3+4^4}{5^4}right)cdot 100%=
left(4-dfrac{500+400+320+256}{625}right)cdot
100%=dfrac{1024cdot 4}{25}%=dfrac{1024cdot
4^2}{100}%=163,84%]
Значит, переплата превышает платеж на (63,84%).
Ответ:
63,84
Задание
5
#3920
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Банк “Европа” предлагает потребительский кредит на сумму (664,200) рублей под (25 %) годовых при условии, что кредит нужно выплачивать в течение четырех лет равными ежегодными платежами. Сколько рублей должен вносить клиент каждый год в счет погашения кредита, если согласится на условия банка?
Составим таблицу, обозначив за (x) рублей ежегодный платеж, (A=664,200) рублей.
[begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Год} & text{Сумма долга до начисления }% &
text{Сумма долга после начисления }%text{ и платежа} \
hline
1 & A & 1,25A-x\
hline
2 & 1,25A-x & 1,25(1,25A-x)-x\
hline
3 & 1,25(1,25A-x)-x & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x \
hline
4 & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x & 1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x\
hline
end{array}]
Таким образом, (1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x=0).
Отсюда (x=dfrac{1,25^4cdot A}{(1,25^2+1)(1,25+1)}).
Заметим, что (1,25=dfrac{5}{4} Rightarrow)
(x=dfrac{5^4cdot 664,200}{4cdot 9cdot 41}).
Выполнив сокращения, получим, что (x=281,250) рублей.
Ответ:
(281,250) рублей.
Задание
6
#1192
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Василий взял кредит в банке на некоторую сумму под (12,5%) годовых. Кредит он должен выплачивать в течение четырех лет одинаковыми ежегодными платежами. Сколько рублей составлял ежегодный платеж Василия, если в итоге его переплата составила (65,240) рублей.
Составим таблицу, обозначив за (A) руб. сумму кредита, а за (x) руб. ежегодный платеж.
[begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Долг в руб.} & text{Долг в руб.} &
text{Долг в руб.}\
& text{до начисления} & text{после начисления} & text{после внесения} \
& text{процентов} & text{процентов} & text{платежа} \
hline
1&A &1,125A &1,125A-x \
hline
2&1,125A-x &1,125(1,125A-x) &1,125(1,125A-x)-x \
hline
3&1,125(1,125A-x)-x &1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125A- \
& &-x)-x) &-x)-x)-x\
hline
4&1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A-x)- \
& -x)-x)-x &-x)-x)-x) &-x)-x)-x \
hline
end{array}]
Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то
[1,125(1,125(1,125(1,125A-x)-x)-x)-x=0]
Это уравнение преобразуется в уравнение вида:
[1,125^4A-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0 (*)]
Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку (4x) рублей, а, значит, его переплата составила (4x-A) рублей. Т.к. (4x-A=65,240), то (A=4x-65,240). Значит:
[1,125^4(4x-65,240)-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0]
Заметим также, что (1,125=dfrac{9}{8} Rightarrow)
[x=dfrac{9^4cdot 2^3cdot 5cdot
7cdot233}{9^4cdot4-8(9^3+9^2cdot8+9cdot8^2+8^3)}=65,610]
Значит, ежегодный платеж составил (65,610) рублей.
Ответ:
(65,610) рублей.
Задание
7
#1186
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Для покупки квартиры Алексею не хватало (1,209,600) рублей, поэтому в январе (2015) года он решил взять в банке кредит под (10
%) годовых на (2) года. Условия пользования кредитом таковы:
– раз в год (15) декабря банк начисляет на оставшуюся сумму долга проценты (т.е. долг увеличивается на (10%));
– в период с (16) по (31) декабря Алексей обязан перевести в банк некоторую сумму (x) рублей (сделать платеж).
Какова должна быть сумма (x), чтобы Алексей выплатил долг равными платежами?
Т.к. процентная ставка в банке равна (10 %), то (15) декабря (2015) года долг Алексея составит (110 %) от первоначальной суммы ((1,209,600) рублей), т.е. будет равен (1,1cdot 1,209,600) рублей. После этого Алексей переводит банку (x) рублей, то есть его долг уменьшается на (x) и будет равен ((1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей.
До (15) декабря (2016) года долг Алексея остается неизменным, т.е. равен ((1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей. (15) декабря (2016) банк снова увеличивает долг на (10 %), т.е. долг Алексея уже будет равен (1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей.
После этого Алексей снова переводит банку (x) рублей, следовательно, долг равен (1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x).
Т.к. в конце 2-ого года кредит должен быть выплачен, то
(1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x=0 Rightarrow)
(1,1^2cdot 1,209,600-1,1x-x=0 Rightarrow x=dfrac{1,1^2 cdot
1,209,600}{1,1+1}=696,960)
Удобно следить за меняющейся суммой долга, составив таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} &text{Сумма долга до начисления }% &text{После начисления } % &text{После платежа}\
& text{(до 15 декабря)} &text{(15 декабря)} &text{(с 16 по 31 декабря)}\
hline 1 & 1,209,600 &1,1cdot 1,209,600 &1,1cdot 1,209,600-x\
hline 2 & 1,1cdot 1,209,600-x &1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x) &1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x\
hline
end{array}]
Ответ:
(696,960) рублей.
Задачи, затрагивающие сферу финансовой математики, к примеру, на расчет аннуитетного платежа по кредиту, с недавнего времени добавлены во вторую часть ЕГЭ.
Именно поэтому выпускники, которые готовятся к сдаче аттестационного испытания, должны в обязательном порядке уметь справляться с подобными заданиями.
Решение задач по банковскому делу по кредиту предполагает наличие у учащихся базовых навыков анализа числовых данных и осуществления практических расчетов по формулам. Если подобные задания являются для вас достаточно сложными, рекомендуем обратиться к образовательному порталу «Школково». Наши специалисты подобрали задачи на аннуитетные платежи, подобные тем, которые встречаются в аттестационном испытании. Поняв, как правильно решать такие задания, учащиеся смогут успешно справиться с экзаменом и получить достойные баллы.
Необходимо запомнить!
Когда будете решать задачи по банковскому кредиту, рекомендуем учесть несколько важных нюансов.
При аннуитетном платеже выплата долга осуществляется фиксированной суммой, которая остается единой в течение всего периода оплаты. Такой способ имеет важное преимущество. В первые месяцы пользования займом аннуитетный платеж будет меньше, чем суммарная выплата по классической схеме. При этом важно учесть, что досрочное погашение кредита в данном случае не будет выгодным.
Как подготовиться к экзамену?
Для того чтобы задачи, содержащие конкретные примеры расчета банковского кредита в ЕГЭ, давались вам легко, рекомендуем ознакомиться с базовым материалом, собранным специалистами образовательного портала «Школково». Для этого необходимо посетить раздел «Теоретическая справка».
Отработать полученные знания вам помогут задачи по данной теме, представленные на сайте. Для каждого задания наши специалисты прописали алгоритм решения и привели правильный ответ.
Изучить пример расчета аннуитетного платежа и выполнить аналогичные задачи школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ