Квадратичная функция (парабола)
Все знают, как выглядит парабола y = x2. В седьмом классе мы рисовали таблицу:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
После этого по точкам строили график:
Параболу y = ax2 + bx + c мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.
1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
На рисунке приведены две параболы y = ax2 с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.
2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y ). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).
На рисунке приведены две параболы y = a1x2 и y = a2x2, у которых a2 > a1 > 0.
3. Абсцисса вершины параболы y = ax2 + bx + c находится по формуле:
Для нахождения ординаты вершины y0 удобнее всего подставить x0 в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что
где D = b2 − 4ac — дискриминант.
4. Точки пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью X находятся с помощью решения квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.
5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).
А теперь покажем, как с помощью графика функции y = ax2 + bx + c решать квадратные неравенства.
1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство
x2 < 400.
Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.
Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? 
Давайте решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции y = x2 и отметим все значения x, для которых y < 400.
Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).
2. Решим неравенство: x2 − 3x − 10 ≥ 0.
Графиком функции y = x2 − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x2 − 3x − 10 = 0, находим x1 = −2 и x2 = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:
Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .
Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!
3. Ещё одно неравенство: x2 + 2x + 4 > 0.
Ветви параболы y = x2 + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x2 + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.
Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.
Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.
Ответ: .
Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.
4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. Ответ приведите в тыc. руб.
Подставим выражение для q в формулу выручки:
r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p2.
Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:
100p − 10p2 ≥ 240.
Переносим всё вправо и делим на 10:
p2 − 10p + 24 ≤ 0.
Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p2 − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.
Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.
Ответ: 6.
5. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t2, где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?
Итак, требуется, чтобы выполнялось неравенство h(t) ≥ 3. Подставляем сюда выражение для h:
1,6 + 8t − 5t2 ≥ 3.
Собираем всё справа:
5t2 − 8t + 1,4 ≤ 0.
Корни соответствующего уравнения 5t2 −8t+1,4 = 0 равны t1 = 0,2 и t2 = 1,4. Как дальше действовать — мы знаем.
Таким образом, через t1 = 0,2 секунды после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась; затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени t = 1,4 секунды снова стала равна трём метрам над землей.
Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение t2 − t1 = 1,2 секунд. В бланк ответов вписываем десятичную дробь 1,2.
6. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением T(t) = T0 + bt + at2, где t — время в минутах, T0 = 1400 К, a = −10 К/мин, b = 200 К/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 К прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.
Согласно условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:
T(t) = 1400 + 200t − 10t2.
В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T ≤ 1760, или
1400 + 200t − 10t2 ≤ 1760.
Переносим всё вправо и делим на 10:
t2 − 20t + 36 ≥ 0.
Находим t1 = 2, t2 = 18 и делаем рисунок:
Получаем решения нашего неравенства:
Остаётся понять: в какой же момент отключать прибор? Для этого надо представить физическую картину процесса.
Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и при t = 2 мин достигает 1760 К. Затем повышение температуры продолжается, в результате чего прибор может испортиться. Поэтому ясно, что отключать его надо при t = 2.
А что же решения t ≥ 18? Они не имеют физического смысла. Войдя в зону температур T > 1760, прибор испортится, и формула T(t) = 1400+200t−10t2, справедливая для исправного прибора, перестанет адекватно отражать реальность.
Поэтому в бланк ответов вписываем число 2.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Квадратичная функция (парабола)» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.03.2023
В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.
Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.
1 способ – находим формулу по точкам
Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.
Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:
Алгоритм:
1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:
2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.
3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.
4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.
Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:
2 способ – преобразование графиков функций
Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).
Вот как выглядит применение этого способа:
Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:
И понимать, как меняются функции от преобразований:
Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:
Пример:
3 способ – гибридный
Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).
По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).
Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.
Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию
— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:
— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:
— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:
— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:
— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:
- ЕГЭ по математике профиль
Новые задания №9 ЕГЭ 2022 по профильной математике — графики функций.
Для успешного результата необходимо уметь выполнять действия с функциями.
Задание №9 ЕГЭ 2022 математика профильный уровень Прототипы
| Скачать задания | Источник |
| Новые задания 9 | ФИПИ |
| Прототипы задания №9 | vk.com/mathegeexam |
| Скачать задания | vk.com/ekaterina_chekmareva |
| → Теория → Задачи → Шпаргалка |
vk.com/abel_mat |
| Линейная функция | math100.ru |
| Парабола | |
| Гипербола | |
| Логарифмическая и показательная функции | |
| Иррациональные функции | |
| Тригонометрические функции |
Из кодификатора 2022 года для выполнения 9 задания нужно изучить основные элементарные функции, их свойства и графики:
3.3.1 Линейная функция, её график
3.3.2 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график
3.3.3 Квадратичная функция, её график
3.3.4 Степенная функция с натуральным показателем, её график
3.3.5 Тригонометрические функции, их графики
3.3.6 Показательная функция, её график
3.3.7 Логарифмическая функция, её график
Уметь выполнять действия с функциями: определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функции, находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения; строить графики изученных функций:
При отработке данного задания будут полезны книги:
Купить ЕГЭ. Математика. Графики функций, уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
Купить Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств
Связанные страницы:
Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи в разделе контакты
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Свойства квадратичной функции
(blacktriangleright) Квадратичная функция – это функция вида (f(x)=ax^2+bx+c, ane 0).
(blacktriangleright) Графиком данной функции является парабола. При (a>0) ветви параболы направлены вверх, при (a<0) – вниз.
(blacktriangleright) Корни уравнения (ax^2+bx+c=0) – это абсциссы точек пересечения параболы с осью (Ox).
(blacktriangleright) Ось (Oy) парабола пересекает в точке ((0;c)).
(blacktriangleright) Вершина параболы имеет координаты (left(-dfrac b{2a};fleft(-dfrac b{2a}right)right)).
(blacktriangleright) Рассмотрим некоторые удобные равносильные переходы:
I. Пусть ветви параболы (f(x)=ax^2+bx+c) направлены вверх и она имеет две точки пересечения с осью (Ox). Это условие задается одной из следующих систем: [begin{cases} a>0\D>0end{cases} quad text{или} quad begin{cases} a>0\fleft(-dfrac
b{2a}right)<0end{cases}]
II. Пусть ветви параболы (f(x)=ax^2+bx+c) направлены вниз и она имеет одну точку пересечения с осью (Ox). Это условие задается одной из следующих систем: [begin{cases} a<0\D=0end{cases} quad text{или} quad begin{cases} a<0\fleft(-dfrac
b{2a}right)=0end{cases}]
III. Пусть ветви параболы (f(x)=ax^2+bx+c) направлены вверх, она имеет две точки пересечения с осью (Ox), причем необходимо, чтобы обе точки были меньше (1). Это условие задается одной из следующих систем: [begin{cases} a>0\D>0\x_2=dfrac{-b+sqrt D}{2a}<1end{cases} quad text{или} quad begin{cases} a>0\D>0\f(1)>0\-dfrac b{2a}<1
end{cases}]
IV. Пусть ветви параболы (f(x)=ax^2+bx+c) направлены вверх, она имеет две точки пересечения с осью (Ox), причем необходимо, чтобы эти точки находились по разные стороны от (1). Это условие задается одной из следующих систем: [begin{cases} a>0\D>0\x_1<1\x_2>1end{cases} quad text{или} quad begin{cases} a>0\D>0\f(1)<0
end{cases}]
Задание
1
#3824
Уровень задания: Легче ЕГЭ
При каких значениях параметра (a) уравнение [x^2+3ax-a^2+1=0] имеет два корня из отрезка ([-3;0]) ?
Т.к. уравнение квадратное, то для того, чтобы оно имело 2 корня, необходимо, чтобы его дискриминант был больше нуля: (D=13a^2-4>0).
Для того, чтобы оба корня были из отрезка ([-3;0]), нужно, чтобы парабола (y=x^2+3ax-a^2+1) выглядела так:
Заметим, что (x_0=-dfrac{3a}{2}) — вершина параболы.
Т.е. нужно выполнение сразу нескольких условий:
[begin{cases}
D>0\
y(-3)geqslant 0\
y(0)geqslant 0\
-3<x_0<0
end{cases}
Rightarrow
begin{cases}
ain left(-infty;
-frac{2}{sqrt{13}}right)cupleft(frac{2}{sqrt{13}};+inftyright)\[2ex]
-10leqslant aleqslant 1\
-1leqslant aleqslant 1\
0<a<2
end{cases}]
(Rightarrow ainleft(frac{2}{sqrt{13}};1right]).
Ответ:
(ainleft(frac{2}{sqrt{13}};1right]).
Задание
2
#1226
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых ровно один корень уравнения [ax^2+4x+a+1=0] больше (1).
Рассмотрим два случая:
1) (a=0). Тогда уравнение становится линейным и (x=-dfrac{1}{4}). Это значения параметра нам не подходит.
2) (ane 0). Тогда уравнение является квадратным.Его дискриминант (D=4(4-a^2-a)).
а) Если (D=0 Rightarrow a=dfrac{-1pm sqrt{17}}{2} Rightarrow) уравнение (ax^2+4x+a+1=0) имеет один корень (x=-dfrac{2}{a}).
При (a=dfrac{-1+ sqrt{17}}{2}) это корень (x=-dfrac{4}{sqrt{17}-1}<0<1), следовательно, это значение параметра не подходит.
При (a=dfrac{-1- sqrt{17}}{2}) это корень (x=dfrac{4}{sqrt{17}+1}=dfrac{4(sqrt{17}-1)}{sqrt{17}^2-1^2}=dfrac{sqrt{17}-1}{4}<1),
следовательно, это значение параметра также не подходит.
б) Если (D>0 Rightarrow ain left(dfrac{-1- sqrt{17}}{2}
;dfrac{-1+ sqrt{17}}{2} right) Rightarrow) уравнение (ax^2+4x+a+1=0) имеет два корня.
Графиком функции (f(x)=ax^2+4x+a+1) при каждом фиксированном (a) является парабола,
причем при (ain left(0;dfrac{-1+ sqrt{17}}{2}right)) ветви направлены вверх, при (ain left(dfrac{-1- sqrt{17}}{2};0right)) ветви направлены вниз:
Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень больше (1), нужно:
[left[
begin{gathered}
begin{aligned}
&begin{cases}
0<a<dfrac{-1+ sqrt{17}}{2}\
f(1)<0
end{cases}\[5pt]
&begin{cases}
dfrac{-1- sqrt{17}}{2}<a<0\
f(1)>0
end{cases}
end{aligned}
end{gathered}
right. quad Longrightarrow quad -dfrac{5}{2}<a<0]
Ответ:
(ain left(-dfrac{5}{2};0right)).
Задание
3
#4047
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите все положительные значения параметра (a), при каждом из которых оба корня уравнения [(1-a^2)x^2-2ax+1=0] не меньше (-3).
Т.к. уравнение должно иметь два корня, то оно должно быть квадратным (т.е. (1-a^2 ne 0)) и дискриминант (D=4(2a^2-1)>0).
Графиком функции (f(x)=(1-a^2)x^2-2ax+1) при каждом фиксированном (a) является парабола:
(1) (1-a^2>0 Rightarrow -1<a<1 Rightarrow ) ветви направлены вверх.
(2) (1-a^2<0 Rightarrow a<-1 text{ или } a>1 Rightarrow ) ветви направлены вниз.
Таким образом (учитывая, что по условию нам нужны только положительные (a)):
[left[
begin{gathered}
begin{aligned}
&begin{cases}
D>0\
0<a<1\
f(-3)geqslant 0\
x_o= dfrac{2a}{2(1-a^2)}>-3
end{cases}\[5pt]
&begin{cases}
D>0\
a>1\
f(-3)leqslant 0 \
x_o >-3
end{cases}
end{aligned}
end{gathered}
right. quad Longrightarrow quad ain left(dfrac{1}{sqrt2};
1right)cup left[dfrac{1+sqrt{11}}{3};+inftyright)]
Заметим, что условие (x_o>-3) важно. Без этого условия возможен еще один случай, который не удовлетворяет нашему условию. Например:
Ответ:
(ain left(dfrac{1}{sqrt2}; 1right)cup
left[dfrac{1+sqrt{11}}{3};+inftyright)).
Задание
4
#6905
Уровень задания: Легче ЕГЭ
При каких значениях параметра (a) неравенство [log_a{left(sqrt{1-x^2}+1right)}+
log_a{left(sqrt{1-x^2}+7right)}<1]
справедливо для каждого допустимого значения (x)?
Задача от подписчиков.
ОДЗ неравенства: (|x|leqslant 1).
Заметим, что при всех (x) из ОДЗ аргументы обоих логарифмов положительны.
Пусть (t=sqrt{1-x^2}+1). Так как (|x|leqslant 1), то (sqrt{1-x^2}in [0;1]), следовательно, (tin [1;2]). Тогда исходное неравенство относительно (x) будет иметь решения при всех (x) из ОДЗ, если полученное неравенство [log_at+log_a(t+6)<1] относительно (t) будет иметь решения при всех (tin [1;2]). Полученное неравенство можно переписать в виде [log_a{t(t+6)}<1]
1) Пусть (a>1). Тогда неравенство равносильно [t^2+6t-a<0] Графиком функции (y=t^2+6t-a) является парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, решением неравенства (y<0) может быть либо интервал (если (D>0)), либо пустое множество (если (Dleqslant 0)). Следовательно, нужно, чтобы решением неравенства (y<0) был интервал, который содержал в себе отрезок ([1;2]). Нам подходит такая картинка:
То есть числа (1) и (2) должны находиться строго между корнями уравнения (y=0). Это задается следующими условиями: [begin{cases}
y(1)<0\
y(2)<0\
D>0end{cases}quadRightarrowquad begin{cases} 7-a<0\
16-a<0\ 36+4a>0end{cases}quadRightarrowquad a>16] Найденные (a) подходят под условие (a>1).
2) Пусть (0<a<1). Тогда неравенство равносильно [t^2+6t-a>0] В этом случае решением неравенства (y>0) может быть либо объединение двух лучей ((Dgeqslant 0)), либо все (mathbb{R}) ((D<0)). Заметим, что абсцисса вершины параболы (t_0=-3). Следовательно, для того, чтобы неравенство выполнялось при всех (tin [1;2]), нам подходят следующие положения параболы (y=t^2+6t-a): 
Первые два положения задаются условием (Dleqslant 0), в этом случае отрезок ([1;2]) содержится в решении неравенства (y>0).
Третье положение задается условием (D>0), и чтобы отрезок ([1;2]) содержался в решении, нужно, чтобы число (1) находилось правее правого корня, следовательно, (y(1)>0) (левее левого корня (1) располагаться не может, так как абсцисса вершины параболы равна (-3)). Следовательно: [left[begin{gathered}begin{aligned}
&Dleqslant 0\
&begin{cases} D>0\
y(1)>0end{cases}end{aligned}end{gathered}right.
quadRightarrowquad a<7]
Так как этот случай был возможен при (ain (0;1)), то, пересекая эти значения с (ain (-infty;7)), получим (ain (0;1)).
Объединяя найденные (a) в обоих пунктах, получим окончательный ответ
[ain (0;1)cup(16;+infty)]
Ответ:
(ain (0;1)cup(16;+infty))
Задание
5
#13006
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите все значения параметра (a), при каждом из которых все решения неравенства [a^2x^2-2a(a-3)x-18 leqslant 0] принадлежат отрезку ([-1;2]).
Заметим, что при (a^2=0) неравенство принимает вид (-18 leqslant
0), что верно при любом значении (xin mathbb{R}). Но (mathbb{R}) не содержится в отрезке ([-1;2]), следовательно, это значение параметра не подходит.
Далее будем считать, что (ane 0). Следовательно, (a^2>0
Rightarrow) ветви параболы (f(x)=a^2x^2-2a(a-3)x-18) (при каждом фиксированном (a)) направлены вверх.
Если дискриминант (D<0), то данное неравенство не имеет решений. Следовательно, этот случай нам не подходит. Если (Dgeqslant 0), то решением неравенства будет отрезок ([x_1;x_2]), где (x_1, x_2) – корни уравнения (a^2x^2-2a(a-3)x-18=0) (при (D=0) решением неравенства будет “вырожденный” отрезок ([x_0;x_0]), состоящий из одной точки (x_0=x_1=x_2) – абсциссы вершины параболы).
Заметим, что (x_0=dfrac{2a(a-3)}{2a^2}) – абсцисса вершина параболы.
Для того, чтобы ([x_1; x_2] subseteq [-1;2]), нужно, чтобы:
[begin{cases}
f(-1) geqslant 0\
f(2)geqslant 0\
-1leqslant x_0leqslant 2\
D=4a^2((a-3)^2+18)geqslant 0
end{cases} Rightarrow quad ain [1+sqrt7;+infty)]
Ответ:
(ain [1+sqrt7;+infty)).
Задание
6
#3287
Уровень задания: Легче ЕГЭ
При каких значениях параметра (a) число (3) заключено между корнями уравнения
[x^2-(2a-1)x+4-a=0]
Графиком (y=x^2-(2a-1)x+4-a) является парабола, ветви которой направлены вверх и которая должна пересекать ось абсцисс в двух точках. Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы парабола выглядела так:
Значит, необходимо: [y(3)<0 quad Rightarrow quad a>dfrac{16}7]
Ответ:
(ain left(frac{16}7;+inftyright))
Задание
7
#3162
Уровень задания: Легче ЕГЭ
При каких значениях параметра (a) решением неравенства
[x^2-(a^2-2a-3)x+a^2+2leqslant 0]
является отрезок ([2;3]).
Рассмотрим множество функций (f_a(x)=x^2-(a^2-2a-3)x+a^2+2). При каждом фиксированном (a) это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх, которая может выглядеть как ((1)) ((D=0)), ((2)) ((D>0)) или ((3)) ((D<0)):
Для того, чтобы решением неравенства являлся отрезок ([2;3]), необходимо, чтобы парабола выглядела как ((2)), то есть необходимо выполнение следующих условий:
(begin{cases}
(a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\
f_a(2)=0\
f_a(3)=0 end{cases} quad Rightarrow quad
begin{cases}
(a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\
a^2-4a-12=0\
a^2-3a-10=0 end{cases} quad Rightarrow )
(Rightarrow quad
begin{cases}
(a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\
a=-2
end{cases})
Заметим, что при (a=-2) неравенство ((a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0) выполняется, т.к. оно равносильно (1>0). Следовательно, (ain
{-2}).
Ответ:
(ain {-2})
Выпускники, которые планируют сдавать ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение достойных баллов по итогам его прохождения, непременно должны научиться справляться с задачами на нахождение квадратичной функции. Как показывает практика, подобные задания ежегодно встречаются в аттестационном испытании. Если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на квадратичную функцию, вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.
«Прокачать» навыки и улучшить собственные знания по данной теме вам поможет образовательный проект «Школково». Мы подготовили и систематизировали весь необходимый материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.
Для того чтобы школьники могли оперативно находить правильные ответы в задачах, ориентируясь на график квадратичной функции, мы предлагаем прежде всего повторить основные понятия и правила. Сделать это вы можете в разделе «Теоретическая справка». Там представлены определение графика квадратичной функции и базовые формулы, необходимые для решения задач по данной теме.
Чтобы получить практические навыки и закрепить полученные знания, предлагаем выполнить упражнения, подобранные нашими специалистами. Для каждой задачи на квадратичную функцию на портале вы найдете правильный ответ и описание алгоритма решения. Практиковаться можно как с простыми упражнениями, так и с более сложными.
Тренироваться в решении задач на квадратичную функцию, которые встречаются в ЕГЭ, школьники могут в режиме онлайн как в Москве, так и в любом другом городе России. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Квадратичная функция – подробнее
Квадратичная функция – это функция вида ( y=a{{x}^{2}}+bx+c), где ( ane 0), ( b) и ( c) – любые числа (они и называются коэффициентами).
Число ( a) называют старшим или первым коэффициентом такой функции, ( b) – вторым коэффициентом, а ( c) – свободным членом.
Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.
Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения ( Dleft( y right)) и область значений( Eleft( y right)).
Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции ( y=a{{x}^{2}}+bx+c)? Правильно, любыми. Ведь в эту формулу можно подставить любое число (в отличии, например, от функции ( y=frac{1}{x}) – в нее нельзя подставить ( x=0)).
Значит, область определения – все действительные числа:
( Dleft( y right)=mathbb{R}) или ( Dleft( y right)=left( -infty ;+infty right)).
А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?
Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию ( y={{x}^{2}}) ( left( a=1,text{ }b=0,text{ }c=0 right)~), чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю.
Значит, эта функция всегда не меньше нуля.
А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше.
Таким образом, можем написать для ( y={{x}^{2}}:Eleft( y right)=left[ 0;+infty right)).
В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.
График квадратичной функции
Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем
Кстати мы очень подробно разобрали как быстро и правильно рисовать параболу. Переходи по ссылке и всему научишься.
Начнем с простейшей квадратичной функции – ( y={{x}^{2}}).
Составим таблицу значений:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:
Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.
Рассмотрим теперь другую функцию: ( y={{x}^{2}}-2{x}-3).
Составим таблицу значений:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
Сравним два рисунка.
Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах.
Во второй параболе вершина переместилась в точку ( left( 1;-4 right)), а ветви переехали вместе с ней.
Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.
Кстати, если хочешь научиться быстро и правильно рисовать график квадратичной функции, то переходи по ссылке, там отличная статья.
Коэффициенты квадратичной функции
Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида ( y=a{{x}^{2}}) (( b=0), ( c=0) – пусть не мешают).
Построим на одном рисунке графики нескольких функций: при ( a= -2,text{ }-1,frac{1}{2},text{ }1,text{ }3:)
Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?
Во-первых, это невозможно не заметить, если ( displaystyle mathbf{a}<mathbf{0}), ветви парабол направлены вниз, а если ( displaystyle mathbf{a}>mathbf{0}) – вверх.
Так, хорошо.
Значит, если парабола пересекает ось ( displaystyle Ox) в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения.
Если не пересекает – корней нет.
Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси ( displaystyle Ox) вершиной:
А что такое вершина параболы?
Решения
1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, ( displaystyle a<0). То есть вариант b) сразу не подходит.
Дальше посмотрим на точку пересечения с осью ( displaystyle Oy:y=4). Что нам дает эта точка? Вспоминай.
Это – свободный член c. Значит, ( displaystyle c=4) – отбросим вариант a).
Ну что же, ( displaystyle a=-1,c=4,) осталось определить b. Тут нам поможет вершина. Напоминаю, что ее координата вычисляется по формуле: ( displaystyle {{x}_{в}}=frac{-b}{2a}).
В нашем случае ( displaystyle {{x}_{в}}=1). Тогда:
( displaystyle 1=frac{-b}{2cdot left( -1 right)}text{ }Rightarrow text{ }b=2).
Итак, наша парабола задается формулой: ( displaystyle y=-{{x}^{2}}+2x+4). Это вариант ответа d)
2. Проще простого: корни – это точки пересечения параболы с осью ( displaystyle Ox).
Смотрим: ( displaystyle {{x}_{1}}=1), ( displaystyle {{x}_{2}}=5). Значит, их сумма ( displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6).
3. То же самое: ( displaystyle {{x}_{1}}=-1), ( displaystyle {{x}_{2}}=5). Произведение: ( displaystyle {{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}=-5).
4. Хм… Ну, коэффициент с мы бы нашли, да только по оси ( displaystyle Oy) нет обозначений. Зато показаны точки пересечения с осью ( displaystyle Ox). А это ведь корни уравнения ( displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0:{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=4).
Как это нам поможет?
Кстати, чему равен старший коэффициент?
Он равен ( displaystyle 1). Как называется такое квадратное уравнение? Вспоминай: оно называется приведенным. Теперь догадался? Можно ведь применить теорему Виета. Точно! Ведь она говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком:
( displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b),
а произведение – свободному члену:
( displaystyle {{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}=c).
Ну вот и решили: ( displaystyle b=-left( -1+4 right)=-3), ( displaystyle c=-1cdot 4=-4).
Ответ: ( displaystyle -3;text{ -}4.)