ЕГЭ Профиль №13. Логарифмические уравнения
14 января 2018
В закладки
Обсудить
Жалоба
Логарифмы в заданиях ЕГЭ
Большая часть заданий, включенных в ЕГЭ, представляет собой задания на вычисление значений числовых логарифмических выражений.
При подготовке следует обратить внимание на формулу перехода к новому основанию логарифма и следствия из нее. Задачи на использование этих формул в школьных учебниках практически не встречаются.
Материал для проведения самостоятельных работ. 15 вариантов по 28 заданий. Ответы прилагаются.
log-sm.docx
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную (x) в основании и/или аргументе логарифма.
Стандартное логарифмическое уравнение:
[{large{log_a{f(x)}=log_a{g(x)} quad Leftrightarrow quad
begin{cases}
f(x)=g(x)\
f(x)>0 (text{или }g(x)>0)
end{cases}}}]
где (a>0, ane 1).
Некоторые важные формулы:
(0) при (a>0, ane 1, b>0) выполняется основное логарифмическое тождество [{large{a^{log_ab}=b}}]
(1) при (a>0, ane 1) [{large{log_a1=0, qquad
log_aa=1}}]
(2) при (a>0, ane 1, b>0) [{large{log_{a^n}{b^m}=frac mnlog_ab}}]
при четных (m) и (n) и (ane 0, ane 1, bne 0) [{large{log_{a^n}{b^m}=dfrac mnlog_{|a|}{|b|}}}]
(3) при (a>0, ane 1, b>0, c>0) [{large{b^{log_ac}=c^{log_ab}}}]
(4) при (a>0, ane 1, bc>0) [{large{log_a{bc}=log_a{|b|}+log_a{|c|} qquad log_a{dfrac
bc}=log_a{|b|}-log_a{|c|}}}]
(5) при (a>0, ane 1, b>0, bne 1, c>0) [{large{log_abcdot log_bc=log_ac Longleftrightarrow
log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}}}]
Задание
8
#415
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения (log_{5}(-x) = log_{5}4).
ОДЗ: (-x > 0), что равносильно (x < 0). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма (log_{5}(-x)) – показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить (-x), откуда заключаем: (5^{log_5(4)} = -x), что равносильно (4 = -x), что равносильно (x = -4) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -4
Задание
9
#416
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения (log_{8}(9x — 18) = log_{8}36).
ОДЗ: (9x — 18 > 0), что равносильно (x > 2). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма (log_{8}(9x — 18)) – показатель степени, в которую нужно возвести 8, чтобы получить (9x — 18), откуда заключаем: (8^{log_8(36)} = 9x — 18), что равносильно (36 = 9x — 18), что равносильно (x = 6) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 6
Задание
10
#417
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения (log_{3}(2 — x) = log_{3}(2 + x)).
ОДЗ: (2 — x > 0) и (2 + x > 0), что равносильно (-2 < x < 2). Решим на ОДЗ:
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно (2 — x = 2 + x), что равносильно (x = 0) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 0
Задание
11
#418
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения (log_{2}(x + 1) = log_{2}(12 — 3x)).
ОДЗ: (x + 1 > 0) и (12 — 3x > 0), что равносильно (-1 < x < 4). Решим на ОДЗ:
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно (x + 1 = 12 — 3x), что равносильно (x = 2,75) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 2,75
Задание
12
#419
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения (log_{100}(2015x + 1) = log_{100}(2016x + 1)).
ОДЗ: (2015x + 1 > 0) и (2016x + 1 > 0), что равносильно (x > -dfrac{1}{2016}). Решим на ОДЗ:
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно (2015x + 1 = 2016x + 1), что равносильно (x = 0) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 0
Задание
13
#421
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения (log_{frac{1}{3}}(4x + 1) = -3).
ОДЗ: (4x + 1 > 0) , что равносильно (x > -dfrac{1}{4}). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма (log_{frac{1}{3}}(4x + 1)) – показатель степени, в которую нужно возвести (dfrac{1}{3}), чтобы получить (4x + 1), откуда заключаем: [left(dfrac{1}{3}right)^{-3} = 4x + 1qquadLeftrightarrowqquad 3^3 = 4x + 1qquadLeftrightarrowqquad x = 6,5] – подходит по ОДЗ.
Ответ: 6,5
Задание
14
#1653
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения (log_{pi}(7 — 5x) = 2log_{pi}9).
ОДЗ: (7 — 5x > 0) , что равносильно (x < 1,4). Решим на ОДЗ:
По свойству логарифма исходное уравнение равносильно (log_{pi}(7 —
5x) = log_{pi}(9^2)), что равносильно (log_{pi}(7 — 5x) =
log_{pi}81). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно (7 — 5x = 81), что равносильно (x = -14,8) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -14,8
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Блок 1. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для простых неравенств
Блок 2. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для более сложных неравенств
Блок 3. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации)
Блок 4. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации) и замена переменных
Блок 5. Логарифмические неравенства. Закрепление метода замены множителей (метода рационализации) и метода замены переменных
Блок 6. Логарифмические неравенства. Использование свойств логарифмической функции
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Логарифмические уравнения»
Открытый банк заданий по теме логарифмические уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов
Задание №887
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения 5^{log_{25}(10x-8)}=8.
Показать решение
Решение
Найдем ОДЗ: 10x-8>0.
5^{log_{25}(10x-8)}=5^{log_58},
log_{25}(10x-8)=log_58,
log_{5^2}(10x-8)=log_58,
frac12log_5(10x-8)=log_58,
log_5(10x-8)=2log_58,
log_5(10x-8)=log_58^2,
10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.
10x=72,
x=7,2.
Ответ
7,2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №885
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_3(28+4x)=log_3(18-x).
Показать решение
Решение
28+4x=18-x,
5x=-10,
x=-2.
Сделаем проверку.
log_3(28+4cdot(-2))=log_3(18-(-2)),
log_3 20=log_3 20. Верно, значит, x=-2 — корень уравнения.
Ответ
-2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №288
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_{x-7}81=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Показать решение
Решение
Согласно определению логарифма x-7>0 и x-7neq1, тогда x>7 и xneq8.
Так как 2=log_{x-7}(x-7)^2 при x>7 и xneq8, то получаем уравнение log_{x-7}81=log_{x-7}(x-7)^2.
Поэтому (x-7)^2=81,
x-7=pm9,
x_1=16,
x_2=-2.
x_2=-2 решением не является, так как x>7.
Ответ
16
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №287
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_3(12-x)=4.
Показать решение
Решение
Так как 4=log_33^4=log_381, то log_3(12-x)=log_381,
12-x=81,
x=-69.
Ответ
-69
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №286
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_6(5x+27)=log_6(3+x)+1.
Показать решение
Решение
log_6(5x+27)=log_6(3+x)+log_66,
log_6(5x+27)=log_6(6cdot(3+x)),
log_6(5x+27)=log_6(18+6x),
5x+27=18+6x,
x=9.
Проверка:
log_6(5cdot9+27)=log_6(3+9)+1,
log_672=log_612+1,
log_672=log_672.
x=9 — корень уравнения.
Ответ
9
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №284
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения log_{14}(x-3)=log_{14}(8x-31).
Показать решение
Решение
x-3=8x-31,
7x=28,
x=4.
Проверкой убеждаемся, что x=4 действительно является корнем исходного уравнения.
Ответ
4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №34
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_42^{2x+5}=4.
Показать решение
Решение
Воспользуемся формулой:
log_{a}b=x Leftrightarrow a^x=b
Значит:
log_{4}2^{2x+5}=log_{4}256
2^{2x+5}=256
2^{2x+5}=2^8
2x+5=8
2x=3
x=frac{3}{2}=1,5
Ответ
1,5
Задание №33
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_4(2-x)=log_{16}25.
Показать решение
Решение
Воспользуемся формулой:
log_{a^k}x=frac{1}{k}log_{a}x, kneq 0
Получим:
log_{4}(2-x)=log_{4^2}25
log_{4}(2-x)=frac{1}{2}log_{4}25
2log_{4}(2-x)=log_{4}25
log_{4}(2-x)^2=log_{4}25
(2-x)^2=25
|2-x|=5
2-x=5
x=-3
Ответ
-3
Задание №26
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_7(9-x)=3log_73.
Показать решение
Решение
Выполним преобразования:
log_7(9-x)=log_73^3
Раскроем знак логарифма:
9-x=3^3
9-x=27
-x=27-9
x=-18
Ответ
-18
Задание №25
Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения
Условие
Найдите корень уравнения: log_2(7-x)=5.
Показать решение
Решение
Раскроем знак логарифма по формуле
log_ab=c Leftrightarrow b=a^c
и выполним преобразования:
7-x=2^5
7-x=32
-x=32-7
x=-25
Ответ
-25
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
Наверх
Задание №1 ЕГЭ 2022 профильный уровень логарифмические уравнения 12 задач решу ЕГЭ с ответами и решением для подготовки, решаем примеры и готовимся к ЕГЭ.
Скачать файл заданий с ответами
1)Найдите корень уравнения log2 (-5-x)=1
Ответ: -7
2)Найдите корень уравнения log5 (4+x)=2
Ответ: 21
3)Найдите корень уравнения log10 (3-x)=log10 2.
Ответ: 1
4)Найдите корень уравнения log10 (3-x)=log105 7.
Ответ: -2
5)Найдите корень уравнения log4 (3+x)=log4(4x-15).
Ответ: 6
6)Найдите корень уравнения log1/8 (13-x)=-2.
Ответ: -51
7)Найдите корень уравнения log2(12-6x)=3log2 3.
Ответ: -2,5
8)Решите уравнение log7(x2+5x)=log7(x2+6)
Ответ: 1,2
9)Решите уравнение log4(6+5x)=log4(3+x)+1
Ответ: 6
10)Решите уравнение logx+6 32=5. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Ответ: -4
11)Найдите корень уравнения log8 2(8x-4)=4.
Ответ: 2
12)Найдите корень уравнения 3log9(5x-5)=5.
Ответ: 6