Решу егэ математика 127889 - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-8; -5].

Спрятать решение

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся её наибольшим значением на заданном отрезке. Найдём это наибольшее значение:

Ответ: 153.

Спрятать решение

Прототип задания

Курс Д. Д. Гущина

Эдуард Сабитов 15.01.2017 12:38

Почему значения с концов отрезка не используются ,при нахождении наибольшего значения ф-ии?

Ирина Сафиулина

Добрый день! Потому что на данном отрезке есть точка максимума. А если есть точка максимума, то она и является наибольшим значением на данном отрезке,

Источник

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задания Д18 № 127889

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-8; -5].

Спрятать решение

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: 153.

Аналоги к заданию № 77446: 127889 127893 127865 127867 127869 127871 127873 127875 127877 127879 … Все

Спрятать решение

Прототип задания

Сообщить об ошибке · Помощь

Источник

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Квадратные уравнения

Показательные уравнения

Логарифмические уравнения

Модуль числа

Уравнения с модулем

Тригонометрический круг

Формулы тригонометрии

Формулы приведения

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Простейшие тригонометрические уравнения 2

Тригонометрические уравнения

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть tg x — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений $x=frac{pi}{3}+2pi n$ , где — целое, а найти надо корни на отрезке $left [frac{5 pi}{2};frac{9 pi}{2} right ].$ На указанном промежутке лежит точка 4 pi . От нее и будем отсчитывать. Получим: $x=4 pi +frac{pi}{3}=frac{13 pi}{3}.$

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

Давайте потренируемся.

а) Решите уравнение $2{{sin}^2 left(frac{pi }{2}+xright)}=-sqrt{3}{cos x}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $left[-3pi right.;left.-frac{3pi }{2}right]$

$2{{sin}^2 left(frac{pi }{2}+xright)}=-sqrt{3}{cos x}$

Упростим левую часть по формуле приведения.

$2{{cos}^2 x+sqrt{3}{cos x}=0}$

Вынесем {cos x} за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок $left[-3pi right.;left.-frac{3pi }{2}right].$

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения $-frac{17pi }{6};-frac{5pi }{2};-frac{3pi }{2}.$

Ответ: $-frac{17pi }{6};-frac{5pi }{2};-frac{3pi }{2}.$

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений $x=frac{pi }{3}+2pi n$ , где — целое, а найти надо корни на отрезке $[frac{5pi }{2};frac{9pi }{2}].$ На указанном промежутке лежит точка 4 pi. От нее и отсчитываем.

Получим: $x=4pi +frac{pi }{3}=frac{13pi }{3}.$

2. а) Решите уравнение ${({27}^{{cos x}})}^{{sin x}}=3^{frac{3{cos x}}{2}}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $left[-pi ;frac{pi }{2}right].$

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

а) $3^{3{cos x{sin x}}}=3^{frac{3{cos x}}{2}}$

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

$3{cos x{sin x}}=frac{3{cos x}}{2}$

${cos x({sin x-frac{1}{2})=0}}$

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $left[-pi ;frac{pi }{2}right].$

Отметим на тригонометрическом круге отрезок $left[-pi ;frac{pi }{2}right]$ и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $x=-frac{pi }{2}$ и $x=frac{pi }{2}$ из серии $x=frac{pi }{2}+pi n,nin z.$

Точки серии $x=frac{5pi }{6}+2pi n,nin z$ не входят в указанный отрезок.

А из серии $x=frac{pi }{6}+2pi n,nin z$ в указанный отрезок входит точка $x=frac{pi }{6}.$

Ответ в пункте (б): $-frac{pi }{2},frac{pi }{6} , frac{pi }{2}.$

3. а) Решите уравнение ${cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $left[-frac{7pi }{2}right.;left.-2pi right].$

а)
${cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}$

Применим формулу косинуса двойного угла: $boldsymbol{cos2alpha =1-{2sin}^2alpha }$

$1-2{{sin}^2 x}+{{sin}^2 x}=0,5$

${{-sin}^2 x=-0,5}$

${{sin}^2 x=0,5}$

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке $left[-frac{7pi }{2}right.;left.-2pi right]$ с помощью двойного неравенства.

Сначала серия $x=frac{pi }{4}+pi n,nin Z.$

$-frac{7pi }{2}le frac{pi }{4}+pi nle -2pi$

$-frac{7}{2}le frac{1}{4}+nle -2$

$n=-3, x_1=frac{pi }{4}-3pi =-frac{11pi }{4}$

Теперь серия $x=-frac{pi }{4}+pi n,nin Z$

$-frac{7pi }{2}le -frac{pi }{4}+pi nle -2pi$

$-frac{7}{2}le -frac{1}{4}+nle -2$

$n=-3, x_2=-frac{pi }{4}-3pi =-frac{13pi }{4}$

$n=-2, x_3=-frac{pi }{4}-2pi =-frac{9pi }{4}$

Ответ: $-frac{13pi }{4};-frac{11pi }{4};-frac{9pi }{4}$ .

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии $x=-frac{pi }{4}+2pi n,nin Z$ на отрезке $left[-frac{pi }{2}right.;left.20pi right].$ Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение $left({tg}^2x-3right)sqrt{11{cos x}}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $left[-frac{5pi }{2};-pi right].$

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть ${tg x=frac{{sin x}}{{cos x}}}.$

ОДЗ:

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а) $x=pm frac{pi }{3}+2pi n, nin z$

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок $left[-frac{5pi }{2};-pi right].$

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

$x=frac{pi }{3}-2pi =-frac{5pi }{3}$ и $x=-frac{pi }{3}-2pi =-frac{7pi }{3}.$

5. а) Решите уравнение $sqrt{{cos x+{sin x}}}({{cos}^2 x-frac{1}{2})=0}$

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых ${cos x}=frac{sqrt{2}}{2}$ или ${cos x}=-frac{sqrt{2}}{2}$ . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых tgx=-1.

Числа серии $x=-frac{3pi }{4}+2pi n$ не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

На отрезке нам подходит корень $x =-frac{pi }{4}$ .

На отрезке нам подходят корни $x=frac{pi }{4};frac{3pi }{4};frac{7pi }{4}$ .

На отрезке — корни $x= frac{9pi }{4} ; frac{11pi }{4};frac{15pi }{4}.$

Ответ в пункте б): $-frac{pi }{4};frac{3pi }{4};frac{7pi }{4};frac{pi }{4};frac{9pi }{4} ; frac{11pi }{4};frac{15pi }{4}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание №12. Уравнения u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

На какие числа делится число онлайн калькулятор. Посчитать делители числа.

Какие числа делятся на 127889?

На число 127889 без остатка (нацело) делятся следующие числа: 127889, 255778, 383667, 511556, 639445, 767334, 895223, 1023112, 1151001, 1278890, 1406779, 1534668 и многие другие.

Какие четные числа делятся на 127889?

На число 127889 делятся следующие четные числа: 255778, 511556, 767334, 1023112, 1278890, 1534668, 1790446, 2046224, 2302002, 2557780, 2813558, 3069336 и многие други.

Какие нечетные числа делятся на 127889?

На число 127889 делятся следующие нечетные числа: 127889, 383667, 639445, 895223, 1151001, 1406779, 1662557, 1918335, 2174113, 2429891, 2685669, 2941447 и многие другие.

На какое наибольшее число делится число 127889 без остатка?

Наибольшее число на которое делится число 127889 есть само число 127889. т.е делиться на само себя без остатка.

На какое наибольшее число делится число 127889 без остатка, не считая числа 127889 и 1?

Наибольшим делителем числа 127889 не считая самого числа 127889 является число 6731.

Какое наименьшее натуральное число делится на 127889?

Наименьшее натуральное число которое делиться на число 127889 является само число 127889.

На какое наименьшее натуральное число делится число 127889?

Наименьшее натуральное число на которое можно разделить число 127889 — это число 1.

Делители числа 127889.

(что бы не забыть запишите все делители числа 127889 в блокнот.)На какие целые и(или) натуральные числа делится число 127889?

Число 127889 делится на следующие целые, натуральные числа (все делители числа 127889): 1, 19, 53, 127, 1007, 2413, 6731, 127889

На какие четные числа делится число 127889?

Таких чисел нет.

На какие нечетные числа делится число 127889?

Число 127889 делится на следующие нечетные числа (нечетные делители числа): 1, 19, 53, 127, 1007, 2413, 6731, 127889

Сколько делителей имеет число 127889?

Число 127889 имеет 8 делителей

Сколько четных делителей имеет число 127889?

Число 127889 имеет 0 четных делителей

Сколько нечетных делителей имеет число 127889?

Число 127889 имеет 8 нечетных делителей

Число 127889 прописью, словами.

— сто двадцать семь тысяч восемьсот восемьдесят девять

(что бы не забыть запишите число 127889 прописью в блокнот.)

Числа кратные 127889.

— кратные числа, числу 127889 : 255778, 383667, 511556, 639445, 767334, 895223, 1023112, 1151001, 1278890, 1406779, 1534668 и многие другие.

Простые множители числа 127889.

Простые множители числа 127889 = 19, 53, 127 (единица также является простым множителем числа 127889)

Сумма цифр числа 127889.

Сумма цифр числа 127889 равна 35

Произведение цифр числа 127889.

Произведение цифр числа 127889 равна 8064

Квадрат числа 127889.

Квадрат числа 127889 равен 16355596321

Куб числа 127889.

Куб числа 127889 равен 2091700857896369

Квадратный корень числа 127889.

Квадратный корень числа 127889 равен 357.6157.

Число 127889 в двоичной системе счисления.

Запись числа 127889 в двоичной системе счисления выглядит так: 11111001110010001

Количество значащих нулей в двоичной записи числа 127889 = 7

Количество едениц в двоичной записи числа 127889 = 10

(что бы не забыть запишите число 127889 в двоичной системе счисления в блокнот.)Число 127889 в шестнадцатеричной системе счисления.

Запись числа 127889 в шестнадцатеричной системе счисления выглядит так: 1f391

(что бы не забыть запишите число 127889 в шестнадцатеричной системе счисления в блокнот.)Число 127889 в восьмеричной системе счисления.

Запись числа 127889 в восьмеричной системе счисления выглядит так: 371621

(что бы не забыть запишите число 127889 в восьмеричной системе счисления в блокнот.)Число 127889 не является простым!

Корни числа 127889.

Корень 3 степени из 127889.

Корень 3 (третьей) степени из 127889 равен 50.38226994561

Корень 4 степени из 127889.

Корень 4 (четвертой) степени из 127889 равен 18.91073016936

Корень 5 степени из 127889.

Корень 5 (пятой) степени из 127889 равен 10.504288431562

Корень 6 степени из 127889.

Корень 6 (шестой) степени из 127889 равен 7.0980469106375

Корень 7 степени из 127889.

Корень 7 (седьмой) степени из 127889 равен 5.3647266576065

Корень 8 степени из 127889.

Корень 8 (восьмой) степени из 127889 равен 4.3486469354685

Корень 9 степени из 127889.

Корень 9 (девятой) степени из 127889 равен 3.6933963032821

Корень 10 степени из 127889.

Корень 10 (десятой) степени из 127889 равен 3.2410320010087

Корень 11 степени из 127889.

Корень 11 (одиннадцатой) степени из 127889 равен 2.9124438611417

Корень 12 степени из 127889.

Корень 12 (двенадцатой) степени из 127889 равен 2.6642160029993

Корень 13 степени из 127889.

Корень 13 (тринадцатой) степени из 127889 равен 2.4707757057432

Корень 14 степени из 127889.

Корень 14 (четырнадцатой) степени из 127889 равен 2.3161879581775

Корень 15 степени из 127889.

Корень 15 (пятнадцатой) степени из 127889 равен 2.1900576447343

Степени числа 127889.

127889 в 3 степени.

127889 в 3 степени равно 2091700857896369.

127889 в 4 степени.

127889 в 4 степени равно 2.6750553101551E+20.

127889 в 5 степени.

127889 в 5 степени равно 3.4211014856042E+25.

127889 в 6 степени.

127889 в 6 степени равно 4.3752124789244E+30.

127889 в 7 степени.

127889 в 7 степени равно 5.5954154871716E+35.

127889 в 8 степени.

127889 в 8 степени равно 7.1559209123889E+40.

127889 в 9 степени.

127889 в 9 степени равно 9.1516356956451E+45.

127889 в 10 степени.

127889 в 10 степени равно 1.1703935374804E+51.

127889 в 11 степени.

127889 в 11 степени равно 1.4968045911482E+56.

127889 в 12 степени.

127889 в 12 степени равно 1.9142484235736E+61.

127889 в 13 степени.

127889 в 13 степени равно 2.448113166424E+66.

127889 в 14 степени.

127889 в 14 степени равно 3.130867447408E+71.

127889 в 15 степени.

127889 в 15 степени равно 4.0040350698156E+76.

Какое число имеет такую же сумму цифр как и число 127889?Математика. Найти сумму цифр числа 127889.

Число 127889 состоит из следующих цифр — 1, 2, 7, 8, 8, 9.

Определить сумму цифр числа 127889 не так уж и сложно.

Сумма цифр шестизначного числа 127889 равна 1 + 2 + 7 + 8 + 8 + 9 = 35.

Числа сумма цифр которых равна 35.

Следующие числа имеют такую же сумму цифр как и число 127889 — 8999, 9899, 9989, 9998, 17999, 18899, 18989, 18998, 19799, 19889, 19898, 19979, 19988, 19997, 26999, 27899, 27989, 27998, 28799, 28889.

Четырехзначные числа сумма цифр которых равна 35 — 8999, 9899, 9989, 9998.

Пятизначные числа сумма цифр которых равна 35 — 17999, 18899, 18989, 18998, 19799, 19889, 19898, 19979, 19988, 19997.

Шестизначные числа сумма цифр которых равна 35 — 107999, 108899, 108989, 108998, 109799, 109889, 109898, 109979, 109988, 109997.

Квадрат суммы цифр числа 127889.

Квадрат суммы цифр шестизначного числа 127889 равен 1 + 2 + 7 + 8 + 8 + 9 = 35² = 1225.

Сумма квадратов цифр шестизначного числа 127889.

Сумма квадратов цифр числа 127889 равна 1² + 2² + 7² + 8² + 8² + 9² = 1 + 4 + 49 + 64 + 64 + 81 = 263.

Сумма четных цифр числа 127889.

Сумма четных цифр шестизначного числа 127889 равна 2 + 8 + 8 = 18.

Квадрат суммы четных цифр шестизначного числа 127889.

Квадрат суммы четных цифр числа 127889 равна 2 + 8 + 8 = 18² = 324.

Сумма квадратов четных цифр шестизначного числа 127889.

Сумма квадратов четных цифр числа 127889 равна 2² + 8² + 8² = 4 + 64 + 64 = 132.

Сумма нечетных цифр числа 127889.

Сумма нечетных цифр шестизначного числа 127889 равна 1 + 7 + 9 = 17.

Квадрат суммы нечетных цифр шестизначного числа 127889.

Квадрат суммы нечетных цифр числа 127889 равна 1 + 7 + 9 = 17² = 289.

Сумма квадратов нечетных цифр шестизначного числа 127889.

Сумма квадратов нечетных цифр числа 127889 равна 1² + 7² + 9² = 1 + 49 + 81 = 131.

Произведение цифр числа 127889.

Какое число имеет такое же произведение цифр как и число 127889?Математика. Найти произведение цифр числа 127889.

Число 127889 состоит из следующих цифр — 1, 2, 7, 8, 8, 9.

Найти сумму цифр числа 127889 просто.

Решение:

Произведение цифр числа 127889 равно 1 * 2 * 7 * 8 * 8 * 9 = 8064.

Числа произведение цифр которых равно 8064.

Следующие числа имеют такое же произведение цифр как и число 127889 — 27889, 27898, 27988, 28789, 28798, 28879, 28897, 28978, 28987, 29788, 29878, 29887, 36788, 36878, 36887, 37688, 37868, 37886, 38678, 38687.

Пятизначные числа произведение цифр которых равно 8064 — 27889, 27898, 27988, 28789, 28798, 28879, 28897, 28978, 28987, 29788.

Шестизначные числа произведение цифр которых равно 8064 — 127889, 127898, 127988, 128789, 128798, 128879, 128897, 128978, 128987, 129788.

Квадрат произведения цифр числа 127889.

Квадрат произведения цифр шестизначного числа 127889 равен 1 * 2 * 7 * 8 * 8 * 9 = 8064² = 65028096.

Произведение квадратов цифр шестизначного числа 127889.

Произведение квадратов цифр числа 127889 равна 1² * 2² * 7² * 8² * 8² * 9² = 1 * 4 * 49 * 64 * 64 * 81 = 65028096.

Произведение четных цифр числа 127889.

Произведение четных цифр шестизначного числа 127889 равно 2 * 8 * 8 = 128.

Квадрат произведения четных цифр шестизначного числа 127889.

Квадрат произведения четных цифр числа 127889 равен 2 * 8 * 8 = 128² = 16384.

Произведение квадратов четных цифр шестизначного числа 127889.

Произведение квадратов четных цифр числа 127889 равно 2² * 8² * 8² = 4 * 64 * 64 = 16384.

Запишите числа которые в сумме дают число 127889.

Задача: Данно число 127889.Какие 2(два) числа дают в сумме число 127889?Решение:

1) 37504 + 90385 = 127889

2) 51152 + 76737 = 127889

3) 51273 + 76616 = 127889

4) 58681 + 69208 = 127889

5) 59062 + 68827 = 127889

Какие 3(три) числа дают в сумме число 127889?Решение:

1) 34049 + 27141 + 66699 = 127889

2) 22807 + 46062 + 59020 = 127889

3) 13650 + 46044 + 68195 = 127889

4) 8837 + 21389 + 97663 = 127889

5) 12742 + 35165 + 79982 = 127889

Какие 4(четыре) числа дают в сумме число 127889?Решение:

1) 2718 + 25400 + 26644 + 73127 = 127889

2) 10442 + 24003 + 12855 + 80589 = 127889

3) 17241 + 12215 + 13257 + 85176 = 127889

4) 30212 + 5011 + 6505 + 86161 = 127889

5) 7383 + 2383 + 33391 + 84732 = 127889

Какие 5(пять) чисел дают в сумме число 127889?Решение:

1) 20487 + 15378 + 8028 + 34453 + 49543 = 127889

2) 23437 + 5655 + 1324 + 826 + 96647 = 127889

3) 18833 + 27073 + 12300 + 13932 + 55751 = 127889

4) 10168 + 20712 + 30501 + 7560 + 58948 = 127889

5) 6830 + 19933 + 8756 + 43816 + 48554 = 127889

Источник

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

Раскроем скобки.

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$

$х=-{17}/{5}$

$х = — 3,4$

Ответ: $- 3,4$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

$a$ — старший коэффициент;
$b$ — средний коэффициент;
$c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

$4х^2 — 5х = 0$

Вынесем х как общий множитель за скобки:

$х (4х — 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х — 5 = 0$

$х_1 = 0 х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = — c$

$x_2 = {-c}/{a}$

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$

если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

$x^2 — 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x = ±4$

Ответ: $х_1 = 4, х_2 = — 4$

Решение полного квадратного уравнения

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение

$b^2 — 4ac$.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

$3х^2 — 11 = -8х$

Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней

$3х^2 + 8х — 11 = 0$

$a = 3 ,b = 8, c = — 11$

$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$

$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$

$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$

Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$

Устные способы

Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

$4х^2+ 3х — 7 = 0$

$4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$

Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$

$5х^2+ 7х + 2 = 0$

$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$

Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$

Кубические уравнения

Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

$(x — 3)^3 = 27$

Представим обе части как основания в третьей степени

$(x — 3)^3 = $3³

Извлечем кубический корень из обеих частей

$х — 3 = 3$

Соберем известные слагаемые в правой части

$x = 6$

Ответ: $х = 6$

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
решить получившееся целое уравнение;
исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

$4x + 1 — {3}/{x} = 0$

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$

$4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2 + x — 3 = 0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$

${3х-5}/{-2}={1}/{х}$

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

Воспользуемся основным свойством пропорции

$х (3х — 5) = -2$

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

$3х^2- 5х + 2 = 0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

$a + b + c = 0$

$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

Например,

${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение

$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)

Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
Решить получившееся целое уравнение;
Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

Решить уравнение: $4x+1-{3}/{x}=0$

Решение:

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x ≠ 0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x+1-{3}/{x}=0|·x$

$4x·x+1·x-{3·x}/{x}=0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2+x-3=0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$

Тогда, $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю

Ответ: $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ — пропорция, то $a·d=b·c$

Решить уравнение ${3x-5}/{-2}={1}/{x}$

Решение:

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

Воспользуемся основным свойством пропорции

$х(3х-5)=-2$

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне

$3х^2-5х+2=0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$

$x_1=1, x_2={2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1=1, x_2={2}/{3}$

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
Решить полученное рациональное уравнение.
Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Решите уравнение $√{4х-3}=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.

Решение:

Обе части уравнение возведем в квадрат:

$√{4х-3}^2=х^2$

Получаем квадратное уравнение:

$4х-3=х^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

${-х}^2+4х-3=0$

Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как

$a+b+c=0$

$-1+4-3=0$, следовательно $х_1 = 1; х_2={с}/{а}={-3}/{-1}=3$

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$√{4·1-3}=1$

$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.

$√{4·(3)-3}=3$

$√9=3$

$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит

$х_1=1$ наименьший корень.

Ответ: $1$

Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Решить уравнение: $х-6=√{8-х}$

Возведем обе части уравнения в квадрат

$(х-6)^2=8-х$

В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение

$х^2-2·6·х+6^2=8-х$

$х^2-12х+36=8-х$

Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.

$х^2-12х+36-8+х=0$

Приводим подобные слагаемые:

$х^2-11х+28=0$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$D=b^2-4ac=121-4·28=121-112=9=3^2$

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}={11±3}/{2}$

$x_1=7; x_2=4$

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$x_1=7$

$7-6=√{8-7}$

$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.

$x_2=4$

$4-6=√{8-4}$

$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.

Ответ: $7$

Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

$a^x=b$

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n⋅a^m=a^{n+m}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

$a^n:a^m=a^{n-m}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n·m}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a·b)^n=a^n·b^n$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

$a^0=1$

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

$a^{-n}={1}/{a^n}$

${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$

Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение $25·5^х=1$

Решение:

В левой части уравнения необходимо сделать одну степень с основанием $5$ и в правой части уравнения представить число $1$ в виде степени с основанием $5$

$5^2·5^х=5^0$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются

$5^{2+х}=5^0$

Далее проговариваем: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели

$2+х=0$

$х=-2$

Ответ: $-2$

Решить уравнение $2^{3х+2}-2^{3х-2}=30$

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель

$2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$

$2^{3x-2}({2^{3x+2}}/{2^{3x-2}}-{2^{3x-2}}/{2^{3x-2}})=30$

$2^{3x-2}(2^{3x+2-(3x-2)}-1)=30$

$2^{3x-2}(2^4-1)=30$

$2^{3x-2}·15=30$

Разделим обе части уравнения на $15$

$2^{3х-2}=2$

$2^{3х-2}=2^1$

$3х-2=1$

$3х=3$

$х=1$

Ответ: $1$

Источник

10.03.2023

Третья тренировочная работа от Статграда по математике в формате ЕГЭ 2023 года. Работа проводилась 28 февраля 2023 года. Разбираем все задания из варианта в формате видеоурока.

Ответы на каждое задание будут по ходу видео, вместе с разбором.

Другие варианты ЕГЭ по математике профильного уровня

Есть вопросы? Задавайте в комментариях ниже.

Вариант разбора от Анны Малковой

Вариант №2

Два варианта на одном разборе

Отдельно 1-я часть варианта, детальный разбор

Добавить комментарий

Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.

Источник