Тип 10 № 149 
На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Спрятать решение
Решение.
Сергей выучил 25 − 3 = 22 вопроса. Поэтому вероятность того, что ему попадётся выученный билет равна 
Ответ: 0,88.
Аналоги к заданию № 149: 132742 311501 315137 325683 340963 341390 355422 406282 406333 133219 … Все
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313., ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.
Раздел кодификатора ФИПИ: 6.5 Вероятности случайных событий.
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Версия для печати и копирования в MS Word
1
В школе есть трехместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?
Ответ:
2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в 2003 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Ответ:
3
Найдите корень уравнения 
Ответ:
4
Около окружности, радиус которой равен 
описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Ответ:
5
Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за 1 минуту разговора |
| Повременный | 135 руб. в месяц | 0,3 руб. |
| Комбинированный | 255 руб. за 450 мин. в месяц | 0,28 руб. за 1 мин. сверх 450 мин. в месяц |
| Безлимитный | 380 руб. в месяц |
Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что общая длительность телефонных разговоров составляет 650 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 650 минут? Ответ дайте в рублях.
Ответ:
6
Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?
Ответ:
7
Найдите значение выражения 
Ответ:
8
Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции 
ax2 + 2x + 3. Найдите a.
Ответ:
9
В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.
Ответ:
10
11
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
Ответ:
12
Первый садовый насос перекачивает 5 литров воды за 2 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?
Ответ:
13
Решите уравнение 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
14
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA1 = 8.
а) Докажите, что плоскость 
делит объем параллелепипеда в отношении 1:5.
б) Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1, причем AM = 5.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
15
Решите неравенство 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
16
Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Найдите периметр треугольника ABM, если известно, что AB = a и CD = b.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
17
Найдите все значения a при каждом из которых система 
не имеет решений.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
18
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого однозначного натурального числа 
В результате получается рациональное число. Найдите это число.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.
Ответы на тренировочный вариант №149 профильного ЕГЭ
Задание 1
Найдите значение выражения: $$0,0006cdot 0,6cdot 600000$$
Ответ: 216
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$0,0006cdot 0,6cdot 600000=$$ $$=6cdot 10^{-4}cdot 6cdot 10^{-1}cdot 6cdot 10^{5}=216$$
Задание 2
Расстояние от Юпитера – одной из планет Солнечной системы – до Солнца равно 778,1 млн км. Как эта величина записывается в стандартном виде?
Варианты ответа:
1. $$7,781cdot 10^{11}$$; 2. $$7,781cdot 10^{8}$$; 3. $$7,781cdot 10^{10}$$; 4. $$7,781cdot 10^{9}$$
Ответ: 2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$778,1cdot 10^{6}=7,781cdot 10^{8}$$
Задание 3
| На кординатной прямой отмечено число а |  |
Какое из утверждений для этого числа является верным?
1. $$a-6<0$$; 2. $$a-7>0$$; 3. $$6-a>0$$; 4. $$8-a<0$$
Ответ: 2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$aapprox 7,4Rightarrow a-7>0$$
Задание 4
Найдите значение выражения: $$sqrt{6cdot 40}cdot sqrt{60}$$
Ответ: 120
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$sqrt{6cdot40}cdotsqrt{60}=sqrt{6cdot40cdot60}=sqrt{6cdot4cdot10cdot6cdot10}=sqrt{6^{2}cdot2^{2}cdot10^{2}}=6cdot2cdot10=120$$
Задание 5
| При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На графике показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечено время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по графику, за сколько часов работы фонарика напряжение упадёт с 1,4 В до 1,2 В. |
|
Ответ: 8
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
1,4 В — 1ч; 1,2 В — 9 ч. $$9-1=8$$
Задание 6
Решите уравнение: $$frac{5}{1-x}=frac{4}{3-x}$$
Ответ: 11
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$frac{5}{1-x}=frac{4}{3-x}$$ $$5(3-x)=4(1-x)$$ $$15-5x=4-4x$$ $$11=x$$
Задание 7
В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 45%, во второй – на 20%. Сколько рублей стал стоить ранец после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 700 р.?
Ответ: 308
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$700cdot 0,45=315$$ (скидка №1) $$700-315=385$$ (после скидки №1) $$385cdot 0,2=77$$ (скидка №2) $$385-77=308$$
Задание 8
На диаграммах показано содержание питательных веществ в сухарях, твороге, сливочном мороженном и сгущенном молоке. Определите по диаграммам, в каком продукте содержание углеводов наибольшее:
*к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества
Варианты ответа:
1. сухари; 2. творог; 3. мороженое; 4. сгущеное молоко
Ответ: 1
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 9
В среднем на 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, приходится три неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Ответ: 0,98
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$150-3=147$$ $$frac{147}{150}=0,98$$
Задание 10
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики:
Формулы:
1) $$-frac{2}{x}$$; 2) $$x^{2}-2$$; 3) $$2x$$
Ответ: 231
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
1 — парабола $$Rightarrow$$ 2 2 — прямая $$Rightarrow$$ 3 3 — гипербола $$Rightarrow$$ 1
Задание 11
Даны десять чисел, первое из которых равно 16, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найти пятнадцатое из данных чисел.
Ответ: 72
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$a_{1}=16$$ $$d=4$$ $$n=15$$ $$a_{15}=16+4(15-1)=72$$
Задание 12
Найдите значение выражения: $$(x-1)divfrac{x^{2}-2x+1}{x+1}$$ при $$x=-99$$
Ответ: -0,98
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$(x-1)divfrac{x^{2}-2x+1}{x+1}=(x-1)cdotfrac{x+1}{(x-1)^{2}}=$$ $$=frac{x+1}{left | x-1 right |}=$$ $$=frac{-99+1}{left | -99-1 right |}=$$ $$=frac{-98}{100}=-0,98$$
Задание 13
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой F=1,8C+32, где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Фаренгейта соответствует -1 по шкале Цельсия?
Ответ: 30,2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$F=1,8cdot (-1)+32=30,2$$
Задание 14
Решите неравенство: $$x^{2}-64>0$$
Варианты ответа:
1) $$(-infty; +infty)$$; 2) $$(-infty;-8) cup (8; +infty)$$; 3) $$(-8; 8)$$; 4) не решений.
Ответ: 2
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 15
Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 17 минут?
Ответ: 102
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Весь круг = $$360^{circ}$$ и 60 минут $$x^{circ}$$ — 17 $$360^{circ}$$ — 60 $$x=frac{17-360^{circ}}{60}=102^{circ}$$
Задание 16
Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 18°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
Ответ: $$72^{circ}$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
|
1) ОМ — радиус $$Rightarrow$$ МК — диаметр $$Rightarrow$$ $$smile LM=180^{circ}$$ 2) $$angle DKM=18^{circ}$$ $$Rightarrow$$ $$smile KM=18cdot 2=36^{circ}$$ 3) $$smile LK=smile LM-smile KM=180^{circ}-36^{circ}=144^{circ}$$ 4) $$angle OMK=frac{smile LM}{2}=72^{circ}$$ |
 |
Задание 17
Найдите периметр прямоугольника, если в него вписана окружность радиуса 5.
Ответ: 40
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
|
1) Если в прямоугольник вписана окружность, то он квадрат; 2) r=5 (радиус) $$Rightarrow$$ a=10 (сторона квадрата); 3) $$P=4cdot 10=40$$ |
Задание 18
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 39, а основание равно 30. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ: 540
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
|
1) BD — высота и медиана $$Rightarrow$$ $$DC=15$$ 2) $$BD=sqrt{BC^{2}-DC^{2}}=sqrt{39^{2}-15^{2}}=36$$’ 3) $$S=frac{1}{2}ACcdot BD=frac{1}{2}cdot 30cdot 36=540$$ |
 |
Задание 19
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$6sqrt{39}$$, а сторона AB равна 40. Найдите cos B.
Ответ: 0,35
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
1) $$AH=6sqrt{39}$$ $$AB=40$$ $$Rightarrow BH=sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=14$$;
2) $$cos B=frac{BH}{AB}=frac{14}{40}=0,35$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
1. Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.
2. Если в треугольнике АВС углы А и В равны соответственно $$40^{circ}$$ и $$70^{circ}$$, то внешний угол при вершине С этого треугольника равен $$70^{circ}$$.
3. Все хорды одной окружности равны между собой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ: 1
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
1) да; 2) нет, сам угол $$C=70^{circ}$$, а внешний $$110^{circ}$$; 3) нет
Задание 21
Решите неравенство: $$frac{-22}{x^{2}-2x-35}leq0$$
Ответ: $$xin (-infty; -5) cup (7; +infty)$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$frac{-22}{x^{2}-2x-35}leq0$$ $$Leftrightarrow$$ $$frac{22}{(x+5)(x-2)}geq0$$ $$x^{2}-2x-35neq 0$$ $$left{begin{matrix}x_{1}+x_{2}neq 2\x_{1}cdot x_{2}neq-35end{matrix}right.$$ $$left{begin{matrix}x_{1}neq -5\x_{2}=7end{matrix}right.$$
Отметим точки на координатной прямой и найдем какой знак принимает левая часть на полученных интервалах
Задание 22
Мимо наблюдателя поезд проходит за 10 секунд, а мимо моста длиной 400 метров — за 30 секунд. Считается, что поезд проходит мимо моста начиная с того момента, когда локомотив въезжает на мост, и кончая моментом, когда последний вагон покидает мост. Определите длину и скорость поезда.
Ответ: 0,2 км и 72 км/ч
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
Пусть х — длина поезда в км; у — скорость поезда в км/ч.
| 1) $$frac{x}{y}=frac{10}{3600}$$ | час — 3600 секунд $$Rightarrow$$ 10 секунд=$$frac{10}{3600}$$ часа |
| 2) $$frac{0,4+x}{y}=frac{30}{3600}$$ | передний вагон поезда проходит длину моста и длину поезда |
из (1) у=360х подставим во (2):
$$frac{0,4+x}{360x}=frac{1}{120}$$ $$Leftrightarrow$$ $$48+120x=360x$$ $$Leftrightarrow$$ $$240x=48$$ $$Leftrightarrow$$ $$x=0,2$$ $$Rightarrow$$ $$y=360cdot 0,2=72$$
Задание 23
Известно, что графики функций y=x2+p и y=2x-5 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.
Ответ: (1; -3)
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$y=x^{2}+p$$
$$y=2x-5$$
| $$x^{2}+p=2x-5$$ | имеет одно решение, т.к. D=0 |
$$x^{2}-2x+5+p=0$$
$$D=4-4(5+p)=0$$
$$Rightarrow p=-4Rightarrow x=1 y=-3$$
Задание 24
ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC, CD – биссектриса угла C, ∠ADC = 150°. Найдите ∠B.
Ответ: 140
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
|
1) Пусть $$angle A=angle C=x$$ $$Rightarrow$$ $$angle ACD=frac{x}{2}$$ (CD-биссектриса) 2) $$x+frac{x}{2}+150=180^{circ}$$ (из $$bigtriangleup ADC$$) $$1,5x=30$$ $$Rightarrow$$ $$x=20^{circ}$$ 3) $$angle B=180^{circ}-2x=180^{circ}-40^{circ}=140^{circ}$$ |
 |
Задание 25
На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB2–AC2=MB2–MC2.
Ответ:
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
$$AB^{2}-AC^{2}=MB^{2}-MC^{2}$$
|
1) из $$bigtriangleup BMH$$ и $$bigtriangleup CMH$$: $$MH^{2}=BM^{2}-BH^{2}=CM^{2}-CH^{2}$$ $$Rightarrow$$ $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$ 2) из $$bigtriangleup ABH$$ и $$bigtriangleup AHC$$: $$AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=AC^{2}-CH^{2}$$ $$Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$ 3) из 1 и 2 $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}=AB^{2}-AC^{2}$$ $$Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BM^{2}-CM^{2}$$ |
 |
ч.т.д.
Задание 26
Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найдите площадь четырёхугольника OMCD.
Ответ: $$frac{5}{12}$$
Скрыть
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть
|
1) $$bigtriangleup BOMsim bigtriangleup AOD$$; $$frac{BM}{AD}=frac{1}{2}$$ $$Rightarrow$$ $$frac{S_{BOM}}{S_{AOD}}=frac{1}{4}$$ |
 |
2) Пусть $$S_{BOM}=S_{1}$$; $$S_{AOD}=S_{2}$$; $$S_{ABO}=S_{3}$$ $$Rightarrow S_{AOD}=4S_{BOM}=4S_{2}$$; $$S_{ABD}=frac{1}{2}S_{ABCD}=frac{1}{2}$$; $$S_{ABM}=frac{1}{2}cdot AHcdot BM=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot BCcdot BM=frac{1}{4}S_{ABCD}=frac{1}{4}$$
3) $$left{begin{matrix}S_{1}+S_{3}=frac{1}{4}\S_{3}+S_{2}=frac{1}{2}end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}S_{1}+S_{3}=frac{1}{4}\S_{3}+4S_{1}=frac{1}{2}end{matrix}right.$$ (вычтем из второго первое) $$3S_{1}=frac{1}{4}Rightarrow S_{1}=frac{1}{12}$$ $$S_{2}=4frac{1}{12}=frac{1}{3}$$ $$Rightarrow$$ $$S_{3}=frac{1}{4}-S_{1}=frac{1}{4}-frac{1}{12}=frac{1}{6}$$ $$S_{1}+S_{2}+S_{3}=frac{1}{12}+frac{1}{3}+frac{1}{6}=frac{1+4+2}{12}=frac{7}{12}=S_{ABMD}$$ $$S_{MOCD}=1-S_{ABMD}=1-frac{7}{12}=frac{5}{12}$$
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.
Линейные уравнения
Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$
Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.
$5 (5 + 3х) — 10х = 8$
Раскроем скобки.
$25 + 15х — 10х = 8$
Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.
$15х — 10х = 8 — 25$
Приведем подобные слагаемые.
$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.
После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$
$х=-{17}/{5}$
$х = — 3,4$
Ответ: $- 3,4$
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.
Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.
- $a$ — старший коэффициент;
- $b$ — средний коэффициент;
- $c$ — свободный член.
Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.
Решение неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.
1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
$x = 0; ax + b = 0$
2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.
Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$
$4х^2 — 5х = 0$
Вынесем х как общий множитель за скобки:
$х (4х — 5) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
$x = 0$ или $4х — 5 = 0$
$х_1 = 0 х_2 = 1,25$
Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$
Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.
$ax^2 + c = 0$
$ax^2 = — c$
$x_2 = {-c}/{a}$
При решении последнего уравнения возможны два случая:
если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$
если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.
$x^2 — 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x = ±4$
Ответ: $х_1 = 4, х_2 = — 4$
Решение полного квадратного уравнения
Решение с помощью дискриминанта
Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение
$b^2 — 4ac$.
При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:
1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$
2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$
3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.
$3х^2 — 11 = -8х$
Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней
$3х^2 + 8х — 11 = 0$
$a = 3 ,b = 8, c = — 11$
$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$
$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$
$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$
Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$
Устные способы
Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$
$4х^2+ 3х — 7 = 0$
$4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$
Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$
Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$
$5х^2+ 7х + 2 = 0$
$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$
Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$
Кубические уравнения
Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.
$(x — 3)^3 = 27$
Представим обе части как основания в третьей степени
$(x — 3)^3 = $33
Извлечем кубический корень из обеих частей
$х — 3 = 3$
Соберем известные слагаемые в правой части
$x = 6$
Ответ: $х = 6$
Дробно рациональные уравнения
Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.
Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- решить получившееся целое уравнение;
- исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
$4x + 1 — {3}/{x} = 0$
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$
$4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2 + x — 3 = 0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$
Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$
${3х-5}/{-2}={1}/{х}$
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х (3х — 5) = -2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения
$3х^2- 5х + 2 = 0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.
$a + b + c = 0$
$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.
Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.
Например,
${2}/{x}+5x=7$ – рациональное уравнение
$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)
Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:
- Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
- Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- Решить получившееся целое уравнение;
- Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
Решить уравнение: $4x+1-{3}/{x}=0$
Решение:
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x ≠ 0$
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x+1-{3}/{x}=0|·x$
$4x·x+1·x-{3·x}/{x}=0$
3. решаем полученное уравнение
$4x^2+x-3=0$
Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$
Тогда, $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=-1, x_2=-{3}/{4}$
При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b}={c}/{d}$ — пропорция, то $a·d=b·c$
Решить уравнение ${3x-5}/{-2}={1}/{x}$
Решение:
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
$x≠0$
Воспользуемся основным свойством пропорции
$х(3х-5)=-2$
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне
$3х^2-5х+2=0$
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$
$x_1=1, x_2={2}/{3}$
В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $x_1=1, x_2={2}/{3}$
Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.
Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:
- Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
- Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
- Решить полученное рациональное уравнение.
- Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)
Решите уравнение $√{4х-3}=х$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.
Решение:
Обе части уравнение возведем в квадрат:
$√{4х-3}^2=х^2$
Получаем квадратное уравнение:
$4х-3=х^2$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
${-х}^2+4х-3=0$
Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как
$a+b+c=0$
$-1+4-3=0$, следовательно $х_1 = 1; х_2={с}/{а}={-3}/{-1}=3$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$√{4·1-3}=1$
$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.
$√{4·(3)-3}=3$
$√9=3$
$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит
$х_1=1$ наименьший корень.
Ответ: $1$
Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:
- Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Решить уравнение: $х-6=√{8-х}$
Возведем обе части уравнения в квадрат
$(х-6)^2=8-х$
В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение
$х^2-2·6·х+6^2=8-х$
$х^2-12х+36=8-х$
Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.
$х^2-12х+36-8+х=0$
Приводим подобные слагаемые:
$х^2-11х+28=0$
Найдем корни уравнения через дискриминант:
$D=b^2-4ac=121-4·28=121-112=9=3^2$
$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}={11±3}/{2}$
$x_1=7; x_2=4$
Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение
$x_1=7$
$7-6=√{8-7}$
$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.
$x_2=4$
$4-6=√{8-4}$
$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.
Ответ: $7$
Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
$a^x=b$
При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n⋅a^m=a^{n+m}$
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
$a^n:a^m=a^{n-m}$
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n·m}$
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a·b)^n=a^n·b^n$
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
$a^0=1$
7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби
$a^{-n}={1}/{a^n}$
${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$
8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.
Решить уравнение $25·5^х=1$
Решение:
В левой части уравнения необходимо сделать одну степень с основанием $5$ и в правой части уравнения представить число $1$ в виде степени с основанием $5$
$5^2·5^х=5^0$
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются
$5^{2+х}=5^0$
Далее проговариваем: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели
$2+х=0$
$х=-2$
Ответ: $-2$
Решить уравнение $2^{3х+2}-2^{3х-2}=30$
Решение:
Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель
$2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$
$2^{3x-2}({2^{3x+2}}/{2^{3x-2}}-{2^{3x-2}}/{2^{3x-2}})=30$
$2^{3x-2}(2^{3x+2-(3x-2)}-1)=30$
$2^{3x-2}(2^4-1)=30$
$2^{3x-2}·15=30$
Разделим обе части уравнения на $15$
$2^{3х-2}=2$
$2^{3х-2}=2^1$
$3х-2=1$
$3х=3$
$х=1$
Ответ: $1$
| 5 | В правильной четырёхугольной пирамиде MABCT боковое ребро в два раза больше стороны основания. Найти угол между прямыми AM и BK, где K — точка пересечения медиан грани CTM Решение |
Задача 14 на четырёхугольную пирамиду векторным способом | |
| 4 | Сторона основания правильной треугольной призмы 8, высота 6. найти угол между CA1 и AB1Решение |
Задача 14 ЕГЭ на правильную треугольную призму и вектор | |
| 3 | В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1. a) Постройте прямую пересечения плоскости ABB1 и плоскости, проходящей через точки C, C1 перпендикулярно плоскости ACC1. б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1Решение |
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1 ! Диагностическая работа 16 Ященко 20 вариантов Тематическая рабочая тетрадь 2019 и 2018 # Решение задачи 14 на призму векторным способом # Ошибка в ответе пособия (в ответах пособий перепутаны номера задач) | |
| 2 | В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания 4, L — середина [SC]. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2sqrt(2/17). a) Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны. б) Найти площадь поверхности пирамидыРешение |
20 вариантов тестов ЕГЭ 2019 Ященко Тематическая рабочая тетрадь Диагностическая работа 10 Задача 14 # Аналоги 876 819 |
|
| 1 | При каких значениях параметра a система уравнений {(a^(3-x-2*y)=x-y-2),(2x+y-5=0) :} имеет два решенияРешение |
Графическое решение системы уравнений егэ по математике | |