Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2014. Основная волна, резервная волна. Запад. Вариант 1
2
Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.
а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.
3
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.
4
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
5
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.
Пройти тестирование по этим заданиям
Задания 16 ЕГЭ–2021
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.
а) Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.
б) Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где N — точка пересечения отрезков AD и CK.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
2
Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.
б) Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, 
а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
3
Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 4, 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
4
Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N
такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 7, 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
5
Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что 
a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.
б) Найдите CN, если BC = 3, AC = 5, CM = 2.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
6
Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что
a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.
б) Найдите CN, если BC = 2, AC = 4, CM = 1.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
7
Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка M, такая, что CM = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка N, что AD = AN.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 4, 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
8
Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Проведена высота CH. На сторонах AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой.
а) Докажите, что треугольники MNH и ABC подобны.
б) Найдите BN, если 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
9
Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Проведена высота CH. На сторонах AC и BC соответственно отмечены точки M и N так, что угол MHN прямой.
а) Докажите, что треугольники MNH и ABC подобны.
б) Найдите BN, если 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
10
Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N, такая, что CN = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 7, 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
11
Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD
а) Докажите, что углы AEB и BDA равны.
б) Найдите площадь трапеции, если AB = 50, а 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
12
Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD
а) Доказать, что ∠AEB = ∠BDA
б) Найти площадь ABCD, если AB = 72, 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
13
Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что
a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.
б) Найдите CN, если BC = 3, AC = 5, CM = 2.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
14
Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK : KP, если 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
15
Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK : KP, если 
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
16
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Отрезок AP — диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что прямая HP пересекает отрезок BC в его середине.
б) Луч PH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M. Найдите длину отрезка MC1, если расстояние от центра этой окружности до прямой BC равно 4, ∠BPH = 120°.
Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.
Всё варианты 16 задания математика ЕГЭ Профиль 2021
| 3659 | Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярна AC, пересекает AD в точке K, BK=KD. а) Доказать, что лучи BK и BD делят угол ABC на три равные части. б) Найти расстояние от центра прямоугольника до прямой CK, если AB=6sqrt7  Решение |
Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярна AC, пересекает AD в точке K, BK=KD ! Доказать, что лучи BK и BD делят угол ABC на три равные части |  |
| 3655 | Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р – середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD=3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q , AD=2BC. a) Докажите, что точка Q – середина отрезка AR б) Найдите площадь треугольника APQ Решение |
Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р – середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD=3RD ! Тренировочный вариант 221 от Ларина Задание 16 # Решение пункта Б | |
| 3631 | В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, а угол BDC равен 75°. Точка P лежит вне прямоугольника, а угол APB равен 150°. а) Докажите, что углы BAP и POB равны. б) Прямая PO пересекает сторону CD в точке F. Найдите CF, если AP=6sqrt3 и BP=4 Решение |
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, а угол BDC равен 75° ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 25 Задание 16 # Задача-аналог 2559 | |
| 3625 | В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O. а) Докажите, что около в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC=12, BD=13 Решение |
Докажите, что около в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 24 Задание 16 # Задача — аналог 2530 | |
| 3616 | Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны. б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, если AC=50 и BD=14 Решение |
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC ! Тренировочная работа №1 по математике 10 класс Статград 08-02-2023 Вариант МА2200109 Задание 16 | |
| 3568 | Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠BB1C1 = ∠BAH. б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B1C1=9 и ∠BAC = 60° Решение |
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠BB1C1 = ∠BAH ! Тренировочная работа по математике №2 СтатГрад 11 класс 13.12.2022 Задание 16 Вариант МА2210209 |
|
| 3532 | На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25. а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, AK:KB = 2:5, а BC < AD и BC = 4 Решение |
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 9 Задание 16 | |
| 3514 | Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F соответственно. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины C. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD. а) Докажите, что I и J лежат на отрезке EF. б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если AC=15, BC=20 Решение |
Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F соответственно ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 7 Задание 16 | |
| 3502 | В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F — середины сторон ВC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если AB=7, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 2,5 Решение |
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F — середины сторон ВC и AD соответственно ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 5 Задание 16 | |
| 3492 | Четырёхугольник ABCD со сторонами BC=7 и AB=CD=20 вписан в окружность радиусом R=16. а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны. б) Найдите AD Решение |
Четырёхугольник ABCD со сторонами BC=7 и AB=CD=20 вписан в окружность радиусом R=16 ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2023 Вариант 3 Задание 16 | |
Показать ещё…
Показана страница 1 из 34
- 10.10.2018
Практический сборник всех прототипов задания 16 из ЕГЭ по математике в 2021 году профильного уровня. Подробно разбираемся как решать любые задания такого типа на ЕГЭ.
- Решение других заданий ЕГЭ по математике
Каждое задание содержит решение и правильный ответ, благодаря которому вы можете проверить себя.
Обсудить решение заданий вы можете в комментариях ниже.
Смотреть в PDF:
Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.
Добавить комментарий
Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.
В задание 16 ЕГЭ математика профильный уровень нужно решить задачу по планиметрии повышенного уровня сложности. В разделе 15 заданий. В заданиях 1, 2 рассматривается комбинация окружности и треугольника. В задании 3 нужно применить свойства биссектрисы треугольника. В заданиях 4, 5 рассматриваются четырехугольники. В задании 6 рассматривается комбинация окружности и параллелограмма. В задании 7 нужно применить свойства окружности, описанной вокруг треугольника, а в задании 9 — вписанной в треугольник. В задании 8 нужно использовать свойства высот треугольника. В заданиях 10, 13 рассматривается комбинация двух окружностей. Задания 11, 12 содержат комбинацию окружностей и трапеции. В задании 14 нужно применить свойства ромба. В задании 15 рассматривается комбинация нескольких геометрических фигур.
Этот документ можно скачать по ссылке
За это задание ты можешь получить 2 балла. На решение дается около 35 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 15.4%
Ответом к заданию 16 по математике (профильной) может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Разбор сложных заданий в тг-канале
Задачи для практики
Задача 1
В начале года Пётр взял в банке кредит $3{,}6$ млн рублей с процентной ставкой $10%$ годовых на $3$ года с погашением кредита по следующей схеме:
— в начале года банк увеличивает долг на $10%$;
— выплаты производятся в конце каждого года;
— каждая следующая выплата на $10%$ больше предыдущей.
Сколько рублей переплатил Пётр банку, погасив свой кредит по указанной схеме за три года?
Решение
Пусть $a = 3.6$ млн.$= 3600$ тыс. рублей и $b_1 , b_2 , b_3$ — выплаты по годам (в тысячах рублей), тогда
$1.1a — b_1 = b$ тыс. рублей — долг после первой выплаты;
$1.1b — b_2 = c$ тыс. рублей — долг после второй выплаты;
$1.1c — b_3 = 0$ тыс. рублей — долг после третьей выплаты;
Проделав обратные преобразования, выразим $a$ через $b_1$, учитывая, что $b_2 = 1.1b_1, b_3 = 1.1^2b_1$ получим:
$a = {b_1}/{1.1} + {b_2}/{1.21} + {b_3}/{1.331} = {b_1}/{1.1} + {b_1}/{1.1} + {b_1}/{1.1} = {3b_1}/{1.1}$, поэтому $b_1 = {1.1a}/{3}$. Учитывая, что $a = 3600$ тыс. рублей, найдем величину первой выплаты $b_1 = {1.1 ·3600}/{3} = 1320$ тыс. рублей. Тогда вторая выплата равна $b_2 = 1.1 · 1320 = 1452$ тыс. рублей, а третья выплата равна $1.1 · 1452 = 1597.2$ тыс. рублей. Сумма всех выплат равна $1320 + 1452 + 1597.2 = 4369.2$ тыс. рублей, значит, Петр переплатил банку $4369.2 — 3600 = 769.2$ тыс. рублей.
Ответ: 769200
Задача 2
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если ежегодно выплачивать по $72000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $122000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите число $r$.
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, ежегодная выплата равна $x$ рублей, $q = 1 + {r}/{100}$ — процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом:
июль $2021: S_1 = qS — x$,
июль $2022: S_2 = qS_1 — x = q^2S — (q + 1)x$.
Если за 2 года кредит не погашен, то далее:
июль $2023: S_3 = qS_2 — x = q^3 S — (q^2 + q + 1)x$,
июль $2024: S_4 = qS_3 — x = q^4 S — (q^3 + q^2 + q + 1)x = q^4 S — {(q^4 — 1)x}/{q- 1}$.
Если долг выплачен двумя равными платежами $x_2$, то $S_2 = 0$. Тогда $q^2 S — (q + 1)x_2 = 0, S = {(q + 1)x_2}/{q^2}$.
Если долг выплачен четырьмя равными платежами $x_4$, то $S_4 = 0$. Тогда $q^4 S — {(q^4- 1)x_4}/{q- 1} = 0, S = {(q^4 — 1)x_4}/{q^4 (q — 1)}$.
Исключив из уравнений сумму кредита $S$, получим ${(q + 1)x_2}/{q^2} = {(q^4 — 1)x_4}/{q^4 (q — 1)}, q^2 = {x_4}/{x_2 — x_4}$.
По условию $x_4 = 72 000, x_2 = 122 000$. Значит $q^2 = {72 000}/{122 000 — 72 000} = {36}/{25}, q = {6}/{5} = 1.2, r = 20$.
Ответ: 20
Задача 3
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если ежегодно выплачивать по $50000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $82000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите число $r$.
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, ежегодная выплата равна $x$ рублей, $q = 1 + {r} / {100}$ — процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом:
июль 2021: $S_1 = qS — x$,
июль 2022: $S_2 = qS_1 — x = q^2S — (q + 1)x$,
июль 2023: $S_3 = qS_2 — x = q^3S — (q^2 + q + 1)x$,
июль 2024: $S_4 = qS_3 — x = q^4S — (q^3 + q^2 + q + 1)x = q^4S — {(q^4 — 1)x} / {q — 1}$. Если долг выплачен двумя равными платежами $x_2$, то $S_2 = 0$. Тогда
$q^2S — (q + 1)x_2 = 0$, $S = {(q + 1)x_2} / {q^2}$. Если долг выплачен четырьмя равными платежами $x_4$, то $S_4 = 0$. Тогда
$q^4S — {(q^4 — 1)x_4} / {q — 1} = 0$, $S = {(q^4 — 1)x_4} / {q^4(q — 1)}$. Исключив из уравнений сумму кредита $S$, получим
${(q + 1)x_2} / {q^2} = {(q^4 — 1)x_4} / {q^4(q — 1)}$, $q^2 = {x_4} / {x_2 — x_4}$. По условию $x_4 = 50000$, $x_2 = 82000$. Значит,
$q^2 = {50000} / {82000 — 50000} = {25} / {16}$, $q = {5} / {4} = 1{,}25$, $r = 25 %$.
Ответ: 25
Задача 4
Вклад в размере $5$ млн руб. планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на $20 %$ по сравнению с его значением в начале года. Кроме того, в середине первого и второго годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $P$ млн руб., где $P$ — целое число. Найдите наименьшее значение $P$, при котором банк за $4$ года начислит на вклад больше $8$ млн рублей.
Решение
При увеличении вклада на $20%$ он увеличивается в ${100+20} / {100}=1{,}2$
раза. После первого начисления процентов вклад стал равен ($1{,}2⋅ 5+P$) млн руб. После второго начисления процентов вклад стал равен $((1{,}2⋅ 5+P)⋅ 1{,}2+P)$ млн руб. Вкладчик положил на вклад ($5+2P$) млн руб., и по условию сумма на вкладе в конце четвёртого года больше вложенного более чем на $8$ млн руб. Запишем неравенство. $((1{,}2⋅ 5+P)⋅ 1{,}2+P)⋅ 1{,}2^2>5+2P+8$. $(7{,}2+2{,}2P)⋅ 1{,}44>13+2P$, $1{,}168P>2{,}632$, $P>{2632} / {1168}$, $P>2{296} / {1168}$. Наименьшее целое $P$ равно $3$.
Ответ: 3
Задача 5
Клиент планирует взять в банке льготный кредит на целое число миллионов рублей сроком на $5$ лет. В середине каждого года действия кредита долг клиента возрастает на $20%$ по сравнению с началом года. В конце $1$-го, $2$-го и $3$-го годов клиент выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце $4$-го и $5$-го годов клиент выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат клиента превысит $20$ млн рублей.
Решение
Пусть $S$ млн руб. — сумма кредита. Так как в конце 1-го, 2-го и 3-го годов клиент выплачивает по $0.2S$, то за три года он выплатит $0.2S · 3 = 0.6S$.
Рассмотрим погашение кредита за 4-й и 5-й годы. В середине четвёртого года долг возрастёт до $1.2S$. Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце четвёртого года долг равен $1.2S — x$, а в середине 5-го года долг равен $1.2(1.2S — x)$. В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна $1.2(1.2S — x)$ и по условию равна $x$. Отсюда $1.2(1.2S — x) = x, 2.2x = 1.44S, x = {144}/{220} S={36}/{55}S$.
Общий размер выплат равен $0.6S+{36}/{55}S + {36}/{55} S = {21}/{11} S$.
По условию ${21}/{11} S > 20, S > 10{10}/{21}$. Найдём наименьшее целое $S$.
Неравенство выполнимо при $S = 11$. Наименьший размер кредита составляет $11$ млн рублей.
Ответ: 11
Задача 6
В июле $2019$ года планируется взять кредит в банке в размере $N$ млн рублей, где $N$ — натуральное число, сроком на $3$ года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2019 | Июль 2020 | Июль 2021 | Июль 2022 |
| Долг (в млн руб.) | $N$ | $0{,}6N$ | $0{,}4N$ | $0$ |
Найдите наименьшее значение $N$, при котором каждая из выплат будет составлять целое число миллионов рублей.
Решение
По условию в январе каждого года долг увеличивается на $20%$, значит, долг в январе каждого года равен
$1.2N; 0.6 · 1.2N; 0.4 · 1.2N$, то есть $1.2N, 0.72N, 0.48N$.
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют: $1.2N — 0.6N; 0.72N — 0.4N; 0.48N — 0$, то есть $0.6N, 0.32N, 0.48N$.
Представим коэффициенты $0.6; 0.32; 0.48$ в виде несократимых дробей, получим ${3}/{5}, {8}/{25}, {12}/{25}$.
По условию числа $N , {3N}/{5}, {8N}/{25}, {12N}/{25}$ должны быть целыми. Числа $3$ и $5, 8$ и $25, 12$ и $25$ образуют пары взаимно простых чисел, значит, число $N$ должно делиться на $5$ и $25$. Наименьшее общее кратное этих чисел равно $25$.
Наименьшее значение $N$ равно $25$ млн рублей.
Ответ: 25
Задача 7
15 января планируется взять кредит в банке на сумму $2$ млн рублей на $6$ месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | $2$ | $1{,}8$ | $1{,}6$ | $1{,}2$ | $0{,}8$ | $0{,}4$ | $0$ |
Найдите наименьшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет составлять более $2{,}5$ млн рублей.
Решение
По условию текущий долг возрастает на $r$ процентов каждый месяц, тогда на 15-е число каждого месяца выплаты процентов за обслуживание кредита составят:
${2r} / {100}$; ${1{,}8r} / {100}$; ${1{,}6r} / {100}$; ${1{,}2r} / {100}$; ${0{,}8r} / {100}$; ${0{,}4r} / {100}$.
Общая сумма выплат (выплата процентов и суммы, взятой в кредит) равна
$2+{2} / {100}r+{1{,}8} / {100}r+{1{,}6} / {100}r+{1{,}2} / {100}r+{0{,}8} / {100}r+{0{,}4} / {100}r>2{,}5$,
$7{,}8r>50$,
$r>6{16} / {39}$,
$r$ — целое число, значит, наименьшее значение $r=7$.
Ответ: 7
Задача 8
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ млн рублей на срок $10$ лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $p%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущем июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку $p$, если известно, что последний платёж будет не менее $0{,}684$ млн рублей.
Решение
Долг уменьшался равномерно 10 лет на $x$ млн руб. ежегодно. Тогда $6 — 10 · x = 0, x = 0.6$.
Каждый год долг уменьшался на $0.6$ млн рублей. Ниже приведена таблица за 10 лет.
| I | I I | I I I | I V | V | V I | V I I | V I I I | I X | X | |
| 6 | 5.4 | 4.8 | 4.2 | 3.6 | 3 | 2.4 | 1.8 | 1.2 | 0.6 | 0 |
Последний платёж по условию не меньше $0.684$ млн. руб.
$0.6 · (1 + 0.01p) ≥ 0.684$,
$1 + 0.01p ≥ 1.14$,
$p ≥ 14.$
Наименьшая ставка $p = 14%.$
Ответ: 14
Задача 9
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $11$ млн рублей на срок $10$ лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущем июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее $1{,}265$ млн рублей.
Решение
Согласно условию возврата кредита, ежегодно сумма долга будет уменьшаться на ${11} / {10}$ млн рублей, а плата за пользование кредитом будет составлять $r%$ от оставшейся суммы долга. Тогда последний платёж будет $({11} / {10}+{11} / {10}⋅ {r} / {100})$ млн рублей, что по условию составляет не менее $1{,}265$ млн рублей. ${11} / {10}(1+{r} / {100})⩾ 1{,}265$, $1+{r} / {100}⩾ 1{,}15$, $r⩾ 15$. Наименьшая возможная ставка — $15%$.
Ответ: 15
Задача 10
Вклад планируется открыть на $3$ года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10 %$ по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале второго и третьего годов вклад ежегодно пополняется на $1$ млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада (в млн рублей), при котором через три года вклад будет больше $5$ млн рублей.
Решение
Пусть первоначальный вклад был $N$ миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10%$, то есть в $1{,}1$ раза. Выпишем размер вклада после увеличения в конце каждого года.
В конце $1$-го года: $N⋅ 1{,}1=1{,}1N$.
В конце $2$-го года: $(1{,}1N+1)⋅ 1{,}1=1{,}21N + 1{,}1$.
В конце $3$-го года: $(1{,}21N+1{,}1+1)⋅ 1{,}1=1{,}331N + 2{,}31$.
Найдём наименьший размер первоначального вклада, при котором через три года вклад будет больше $5$ млн рублей.
$1{,}331N + 2{,}31>5$,
$1{,}331N>2{,}69$, $N>2{28} / {1331}$.
По условию $N$ — целое число, значит, $3$ миллиона рублей — наименьший первоначальный вклад.
Ответ: 3
Задача 11
$15$ января планируется взять кредит в банке на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:
— $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со $2$-го по $14$-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
— $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита на $50%$ больше суммы, взятой в кредит?
Решение
Рассмотрим два способа решения.
I способ
Пусть K сумма планируемого кредита, nчисло месяцев на которое планируется взять кредит.
Тогда долг на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, становится меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на сумму ${K}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на 15-е число по месяцам имеет вид:
$K; K — {K}/{n} = K·{n — 1}/{n}; K — 2·{K}/{n} = K·{n — 2}/{n}; … ; K· {1}/{n}$.
2. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 12.5% по сравнению с концом предыдущего месяца.
Пусть d долг, который образуется в конце предыдущего месяца. 1-го числа последующего месяца он станет равным $d + d·{12.5}/{100}$.
Согласно условию к 15-у числу этого месяца он должен стать равным $d — {K}/{n}$. Поэтому в указанном месяце необходимо выплатить сумму $(d + d·{12.5}/{100}) — (d — {K}/{n}) = d·{12.5}/{100} + {K}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по месяцам:
$x_1 = K·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
$x_2 = K·{n — 1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
$x_3 = K·{n — 2}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
… ;
$x_n = K·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … x_n$ является убывающей арифметической прогрессией (наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$). Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2} ·n$.
3. По условию $S_n$ на 50% больше суммы, взятой в кредит, поэтому $S_n = {3}/{2}K$:
$S_n = {K·{12.5}/{100} + {K}/{n} + K·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}}/{2} ·n = {K ·{12.5}/{100}(1 + {1}/{n}) + {2K}/{n}/{2} ·n$;
$S_n = K ·{12.5}/{200}(n + 1) + K$.
Отсюда, $K ·{12.5}/{200}(n + 1) + K = {3}/{2}K, {12.5}/{200}(n + 1) = {1}/{2}, {1}/{16}(n + 1) = {8}/{16}, n + 1 = 8, n = 7$.
II способ
Пусть K — сумма планируемого кредита, n — число месяцев, на которое планируется взять кредит. Ежемесячный платёж состоит из двух частей. Перваяодна и та же сумма ${K}/{n}$ рублей, на которую каждый месяц уменьшается сумма долга.
Вторая плата за пользованием кредитом, которая составляет 12.5% от оставшегося долга.
Долг перед банком по состоянию на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, должен уменьшаться до нуля равномерно: $K; K — {K}/{n}; K — 2·{K}/{n}; . . . ; K — (n — 1)·{K}/{n}; K — n{K}/{n} = 0$.
$K·{n}/{n}; K·{n — 1}/{n}; K·{n — 2}/{n}; . . . ; K·{n — (n — 1)}/{n} = K·{1}/{n}; 0$.
Так как $12.5% = {12.5}/{100} = {1}/{8}$, то ежемесячные выплаты за пользование кредитом составят
${1}/{8}K·{n}/{n}, {1}/{8}K·{n — 1}/{n}, {1}/{8}K ·{n — 2}/{n}, . . . , {1}/{8}K·{1}/{n}$.
Найдём сумму выплат $S$ за пользование кредитом: $S = {K}/{8n} (n + (n — 1) + (n — 2) + … + 1) = {K}/{8n}· {n + 1}/{2}· n = {K(n + 1)}/{16}$.
По условию общая сумма выплат после погашения кредита на 50% больше суммы, взятой в кредит, то есть $S = {1}/{2}K$.
${K(n + 1)}/{16} = {1}/{2}K, n + 1 = 8, n = 7$.
Кредит планируется взять на $7$ месяцев.
Ответ: 7
Задача 12
В банке взяли кредит на сумму $140000$ рублей под $r%$ годовых (в конце года сумма долга увеличивается на $r%$) и выплатили двумя платежами — $87000$ рублей и затем $63000$ рублей. Найдите $r$.
Решение
1. Через год сумма долга увеличится на $r%$ и станет равной $140 000(1 + {r}/{100})$ рублей. После выплаты $87 000$ рублей долг станет равным $140 000 (1 + {r}/{100}) — 87 000$ рублей.
2. После увеличения в конце второго года на $r%$ долг станет равным $(140 000(1 + {r}/{100}) — 87 000)(1 + {r}/{100})$ рублей. А после выплаты $63 000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $(140 000(1 + {r}/{100}) — 87 000)(1 + {r}/{100}) — 63 000 = 0$.
3. Пусть $(1 + {r}/{100}) = x$. Тогда уравнение принимает вид: $(140 000x- 87 000)x — 63 000 = 0$;
$140 000x^2 — 87 000x — 63 000 = 0; 140x^2 — 87x — 63 = 0$
По формуле корней квадратного уравнения получаем
$x_{1,2} = {87±√{7569 + 35280}}/{280} = {87±√{42 849}}/{280} = {87±207}/{280}$.
$x_1 = {87 — 207}/{280} < 0$, что невозможно по условию.
$x_2 = {87 + 207}/{280} = {294}/{280} = 1{14}/{280} = 1 + {1}/{20} = 1 + {5}/{100}$.
Отсюда, $(1 + {r}/{100}) = 1 + {5}/{100}, r = 5$.
Ответ: 5
Задача 13
В банке взяли кредит на сумму $150000$ рублей под $r%$ годовых (в конце года сумма долга увеличивается на $r%$) и выплатили его двумя платежами — $95000$ рублей и затем $77000$ рублей. Найдите $r$.
Решение
1. Через год сумма долга увеличится на $r%$ и станет равной $150000(1+{r} / {100})$ рублей. После выплаты $95000$ рублей долг станет равным $150000(1+{r} / {100})-95000$ рублей.
2. После увеличения в конце года на $r%$ долг станет равным $(150000(1+{r} / {100})-95000)(1+{r} / {100})$ рублей. А после выплаты $77000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $(150000(1+{r} / {100})-95000)(1+{r} / {100})-77000=0$.
3. Пусть $(1+{r} / {100})=x$.
Тогда уравнение принимает вид: $(150000x-95000)x-77000=0$; $150000x^2-95000x-77000=0$; $150x^2-95x-77=0$
По формуле корней квадратного уравнения получаем: $x_{1,2}={95±√ {9025+46200}} / {300}={95±√ {55225}} / {300}={95±235} / {300}$.
$x_1={95-235} / {300}<0$, что невозможно по условию. $x_2={95+235} / {300}={330} / {300}=1{1} / {10}=1+{10} / {100}$. Отсюда, $(1+{r} / {100})=1+{10} / {100}$, $r=10$.
Ответ: 10
Задача 14
В июне $2022$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с долгом в июне;
— с февраля по $31$ мая каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму планируют взять кредит в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен в течение трёх лет тремя равными платежами и общая сумма выплат будет больше суммы взятого кредита на $20295$ рублей.
Решение
1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2023 года долг возрастёт на 12.5% и станет равным $K·1.125$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу мая 2023 года долг станет равным $K·1.125-x$ рублей.
В январе 2024 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2024 года будет внесён платеж в $x$ рублей. В июне 2024 года долг составит $(K·1.125 — x)·1.125 — x$ рублей.
Наконец, в январе 2025 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2025 года будет внесён платеж в x рублей. Первого июня 2025 года долг составит $((K·1.125-x)·1.125-x)1.125-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:
$((K·1.125 — x)·1.125 — x)1.125 — x = 0$;
$x = {K·(1.125)^3}/{(1.125)^2 + 1.125 + 1}$.
Заметим, что $1.125 = {9}/{8}$, поэтому $x = {K·(9)^3}/{8·9^2 + 8^2·9 + 8^3} = {K·729}/{8·217}$;
Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·729}/{1736} = {K·2187}/{1736}$.
Согласно условию получаем уравнение: ${K·2187}/{1736} = K + 20295$;
${K·(2187- 1736)}/{1736} = 20295; {K·451}/{1736} = 20295$;
$K = 45·1736=78120$
Ответ: 78.120
Задача 15
В октябре $2016$ года решили взять кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на $8%$ по сравнению с долгом в октябре;
— с февраля по $30$ сентября каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был полностью погашен в течение трёх лет тремя равными платежами и общая сумма выплат больше суммы взятого кредита на $8324$ рубля.
Решение
1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2020 года долг возрастёт на 8% и станет равным $K·1.08$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу сентября 2020 года долг станет равным $K·1.08-x$ рублей.
В январе 2021 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2021 года будет внесён платеж в x рублей. В октябре 2021 года долг составит $(K·1.08 — x)·1.08 — x$ рублей.
Наконец, в январе 2022 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2022 года будет внесён платеж в x рублей. Первого октября 2022 года долг составит $((K·1.08-x)·1.08-x)1.08-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:
$((K·1.08 — x)·1.08 — x)1.08 — x = 0$;
$1.08^3K — 1.08^2·x — 1.08x — x = 0$.
$x = {K·(1.08)^3}/{(1.08)^2 + 1.08 + 1}$.
Заметим, что $1.08 = {27}/{25}$, поэтому $x = {K·(27)^3}/{25·((27)^2 + 25·27 + (25)^2)} = {K·19 683}/{25·2029}$;
Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·19 683}/{50 725} = {K·59 049}/{50 725}$.
Согласно условию получаем уравнение: ${K·59 049}/{50 725} = K + 8324$;
${K·(59 049- 50 725)}/{50 725} = 8324; {K·8324}/{50 725} = 8324$;
$K = 50 725$
Ответ: 50.725
Задача 16
Первого июля был взят кредит в банке на сумму $394400$ рублей на $4$ года. Условия его возврата таковы:
— в конце декабря каждого года долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с долгом на первое июля;
— с первого января по $30$ июня каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— сумма платежа каждый год одна и та же (о таком кредите говорят «на четыре года равными платежами с $12{,}5$ процентами годовых»).
Чему будет равна переплата по кредиту в рублях после полного погашения кредита?
Решение
В конце декабря первого года долг возрастёт на $12.5%$ и станет равным $394 400·1.125$. Пусть $x$ — сумма в рублях ежегодного платежа. Тогда после внесения платежа в $x$ рублей к началу июля второго года долг станет равным $394 400·1.125 — x$ рублей.
В конце декабря второго года этот долг опять увеличится на $12.5%$ и с января по конец июня третьего года будет внесён платеж в $x$ рублей.
Первого июля третьего года долг составит $(394 400·1.125-x)·1.125-x$. Аналогично рассуждая получим, что долг на 1-ое июля пятого года будет равен
$(((394 400·1.125-x)·1.125-x)·1.125-x)·1.125-x$. Так как после четырёх внесений долг исчерпается, то получаем уравнение:
$(((394 400·1.125 — x)·1.125 — x)·1.125 — x)·1.125 — x = 0$;
$394 400·(1.125)^4 — x((1.125)^3 + (1.125)^2 + 1.125 + 1) = 0$;
$x = {394 400·(1.125)^4}/{(1.125)^3 + (1.125)^2 + 1.125 + 1}$.
Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:
$x = {394 400·(1.125)^4}/{{(1.125)^4 — 1}/{1.125 — 1}} = {394 400·(1.125)^4·0.125}/{(1.125)^4 — 1}$.
Заметим, что $1.125 = {9}/{8}$, а $0.125 = {1}/{8}$, поэтому
$x = {394 400·(1.125)^4·0.125}/{(1.125)^4 — 1} = {394 400·9^4·8^4}/{8^4·8·(9^4 — 8^4)} = {394 400·6561}/{8·(6561 — 4096)}$;
$x = {394 400·6561}/{8·2465} = {394 400·6561}/{19720} = 20·6561 = 131 220$.
Так как вся сумма выплат равна $4x$, то она равна $4·131 220 = 524 880$.
Сумма переплат по кредиту равна $524 880- 394 400 = 130 480$ рублей.
Ответ: 130480
Задача 17
Первого августа был взят кредит в банке на сумму $100650$ рублей на $4$ года. Условия его возврата таковы:
— в конце декабря каждого года долг возрастает на $20%$ по сравнению с долгом на первое августа;
— с первого января по $31$ июля каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— сумма платежа каждый год одна и та же (о таком кредите говорят: «на четыре года равными платежами с $20$ процентами годовых»).
Чему будет равна в рублях общая сумма выплат после полного погашения кредита?
Решение
1. В конце декабря первого года долг возрастёт на $20%$ и станет равным $100650⋅ 1{,}2$. Пусть $x$ — сумма в рублях ежегодного платежа. Тогда после внесения платежа в $x$ рублей к началу августа второго года долг станет равным $100650⋅ 1{,}2-x$ рублей. В конце декабря второго года этот долг опять увеличится на $20%$ и с января по конец июля третьего года будет внесён платеж в $x$ рублей. Первого августа третьего года долг составит $(100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x$. Аналогично рассуждая, получим, что долг на $1$ августа пятого года будет равен $(((100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x$. Так как после четырёх внесений долг исчерпается, то получаем уравнение: $(((100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x=0$; $100650⋅ (1{,}2)^4-x((1{,}2)^3+(1{,}2)^2+1{,}2+1)=0$; $x={100650⋅ (1{,}2)^4} / {(1{,}2)^3+(1{,}2)^2+1{,}2+1}$. Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем: $x={100650⋅ (1{,}2)^4} / {{(1{,}2)^4-1} / {1{,}2-1}}={100650⋅ (1{,}2)^4⋅0{,}2} / {(1{,}2)^4-1}$. Заметим, что $1{,}2={6} / {5}$, а $0{,}2={1} / {5}$, поэтому
$x={100650⋅ (1{,}2)^4⋅0{,}2} / {(1{,}2)^4-1}={100650⋅ 6^4⋅5^4} / {5^4⋅5⋅(6^4-5^4)}={100650⋅ 1296} / {5⋅(1296-625)}$; $x={100650⋅ 1296} / {5⋅671}=30⋅1296=38880$. Так как вся сумма выплат равна $4x$, то она равна $4⋅ 38880=155520$ рублей.
Ответ: 155.520
Задача 18
В мае планируется взять кредит в банке на сумму $15$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $6%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на май предыдущего года.
На сколько лет надо взять кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения кредита составляла $17{,}25$ млн рублей?
Решение
1. Пусть $n$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на май месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на май предыдущего года на сумму ${15}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на май месяц в млн рублей по годам имеет вид:
$15; 15 — {15}/{n} = 15·{n — 1}/{n}; 15 — 2·{15}/{n} = 15·{n — 2}/{n}; … ; 15·{1}/{n}$.
2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего года.
Пусть $d$ — долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{6}/{100}$.
Согласно условию к маю этого года он должен стать равным $d — {15}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {6}/{100}) — (d — {15}/{n}) = d·{6}/{100} + {15}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :
$x_1 = 15 · {6}/{100} + {15}/{n}$;
$x_2 = 15 · {n — 1}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$;
$x_3 = 15 · {n — 2}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$;
… ;
$x_n = 15 · {1}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$.
3. Найдём теперь $n$ из условия $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n=17.25$:
$17.5={15·{6}/{100} + {15}/{n} + 15·{1}/{n}·{6}/{100} + {15}/{n}}/{2}·n $;
$34.5 = 0.9n + 0.9 + 30; 3.6 = 0.9n; n = 4.$.
Ответ: 4
Задача 19
В апреле планируется взять кредит в банке на сумму $12$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $2{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по март каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в апреле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на апрель предыдущего года.
На сколько лет надо взять кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения кредита составляла $13{,}5$ млн рублей?
Решение
1. Пусть $n$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на апрель месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на апрель предыдущего года на сумму ${12}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на апрель месяц в млн рублей по годам имеет вид:
$12; 12 — {12}/{n} = 12·{n — 1}/{n}; 12 — 2·{12}/{n} = 12·{n — 2}/{n}; … ; 12·{1}/{n}$.
2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 2.5% по сравнению с концом предыдущего года.
Пусть $d$ — долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{2.5}/{100}$.
Согласно условию к апрелю этого года он должен стать равным $d — {12}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {2.5}/{100}) — (d — {12}/{n}) = d·{2.5}/{100} + {12}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :
$x_1 = 12 · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
$x_2 = 12 · {n — 1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
$x_3 = 12 · {n — 2}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
… ;
$x_n = 12 · {1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$. Согласно условию получаем: $S_n = {5.75}/{2}·n = 2.875 ·n$.
3. Найдём теперь $n$ из условия $x_1 + x_n = 13.5$:
$13.5={12·{2.5}/{100} + {12}/{n} + 12·{1}/{n}·{2.5}/{100} + {12}/{n}}/{2}·n $;
$27 = 0.3n + 0.3 + 24; 2.7 = 0.3n; n = 9.$.
Ответ: 9
Задача 20
В августе $2017$ года планируется взять кредит на $S$ млн рублей, где $S$ — целое число, на $4$ года. Условия его возврата таковы: — каждый февраль долг возрастает на $25%$ по сравнению с концом предыдущего года; — с марта по июль каждого года необходимо выплатить часть долга; — в августе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
| Год | $2017$ | $2018$ | $2019$ | $2020$ | $2021$ |
| Долг (в млн. руб.) | $S$ | $0{,}8S$ | $0{,}5S$ | $0{,}3S$ | $0$ |
Найдите наименьшее целое $S$, чтобы общая сумма выплат была больше $5$ млн рублей.
Решение
В феврале 2018 года долг возрастает на 25% по сравнению с концом 2017 года: $S + 0.25S = 1.25S$.
С марта по июль долг уменьшается на некоторое число, обозначим его $P_n$ и будем считать, учитывая условие, что в 2018 году было выплачено $P_1$ и в каждом следующем $P_2, P_3, P_4$, соответственно. Итак, составим выражения для выплат в каждом году.
2018 г: $1.25S — P_1 = 0.8S$;
2019 г: $1.25⋅0.8S — P_2 = 0.5S$;
2020 г: $1.25⋅0.5S — P_3 = 0.3S$;
2021 г: $1.25⋅0.3S — P_4 = 0$.
Общая сумма выплат $(P_1 + P_2 + P_3 + P_4)$ должна быть больше 5 млн рублей, то есть $P_1 + P_2 + P_3 + P_4 > 5$.
$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S + 1.25·0.8S + 1.25·0.5S + 1.25·0.3S-(0.8S + 0.5S + 0.3S)$;
$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S(1 + 0.8 + 0.5 + 0.3) — S·(0.8 + 0.5 + 0.3), S(1.25 ·2.6 — 1.6) > 5, S ·1.65 > 5, S > 3{1}/{33}$.
Отсюда, $S = 4$ млн руб. (наименьшее значение).
Ответ: 4